2.7.2 抛物线的几何性质 1已知抛物线y=2x2上有一点P,当点P到点A(1,3)的距离与点P到焦点的距离之和最小时， 点P的坐标为( A.(-2,1) B.(-1,2) C.(2,1) D.(1,2) 解析由题意知，抛物线的焦点为F(0,),准线1为y=日过点A作准线1的垂线，垂足为，根 据抛物线的定义可知，垂线A4'与抛物线的交点即为所求的，点P,此时点P的坐标为(1,2)， 答案D 2.己知过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A(x1),B(x2,2)两点若x1+2=6,则4B1等于 () A.6 B.8 C.9 D.10 答案B 3.若点P在抛物线y2=x上，点Q在圆M(x-3)2+y2=1上，则PQI的最小值是( ) A.V3-1 B西1 2 C.2 D正1 解析：设Py,0),由(x-3+y2-1可知圆心坐标为M3,0),半径r=1, 则PM=J06-32+8=06子-5好+9=66-)+￥ 因此PM的最小值为罗从PQ的最小值为1故选D 答案D 4.己知抛物线Cy2=8x的焦点为F,准线与x轴的交点为K,点A在C上，且AK=V24F1,则△ AFK的面积为( A.4 B.8 C.16 D.32 解析：抛物线Cy2=8x的焦点为F(2,0),准线为x=2 .K-2,0) 设A(x00),如图，过，点A向准线作垂线，垂足为B,则B(-2o). .AK=V②AF, 且AF=AB|=x0-(-2)=0+2, ∴.由|BK2=AK2-AB, 得y6=(x0+2)2,即8x0=(x0+2)2 解得x0=2,∴%=±4. ∴.△4FK的面积为KFbw之×4x4=8 答案B 5.(多选题)已知双曲线的左顶点与抛物线y2-2x(p>0)的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐 近线与抛物线的准线的交点坐标为(-2，-1)，则下列说法正确的是() A.双曲线的实轴长为2 B.双曲线的虚轴长为2 C双曲线的离心率为9 D.双曲线的顶点坐标为（±1,0） 解析：由题意知，号-2，则p-4
2.7.2 抛物线的几何性质 1.已知抛物线 y=2x 2 上有一点 P,当点 P 到点 A(1,3)的距离与点 P 到焦点的距离之和最小时, 点 P 的坐标为( ) A.(-2,1) B.(-1,2) C.(2,1) D.(1,2) 解析:由题意知,抛物线的焦点为 F(0, 1 8 ),准线 l 为 y=- 1 8 .过点 A 作准线 l 的垂线,垂足为 A',根 据抛物线的定义可知,垂线 AA'与抛物线的交点即为所求的点 P,此时点 P 的坐标为(1,2). 答案:D 2.已知过抛物线 y 2=4x 的焦点作直线交抛物线于 A(x1,y1),B(x2,y2)两点.若 x1+x2=6,则|AB|等于 ( ) A.6 B.8 C.9 D.10 答案:B 3.若点 P 在抛物线 y 2=x 上,点 Q 在圆 M:(x-3)2+y2=1 上,则|PQ|的最小值是( ) A.√3-1 B.√10 2 -1 C.2 D.√11 2 -1 解析:设 P(𝑦0 2 ,y0),由(x-3)2+y2=1 可知圆心坐标为 M(3,0),半径 r=1, 则|PM|=√(𝑦0 2 -3) 2 + 𝑦0 2 = √(𝑦0 2 ) 2 -5𝑦0 2 + 9 = √(𝑦0 2 - 5 2 ) 2 + 11 4 . 因此|PM|的最小值为√11 2 ,从而|PQ|的最小值为√11 2 -1.故选 D. 答案:D 4.已知抛物线 C:y 2=8x 的焦点为 F,准线与 x 轴的交点为 K,点 A 在 C 上,且|AK|=√2|AF|,则△ AFK 的面积为( ) A.4 B.8 C.16 D.32 解析:∵抛物线 C:y 2=8x 的焦点为 F(2,0),准线为 x=-2, ∴K(-2,0). 设 A(x0,y0),如图,过点 A 向准线作垂线,垂足为 B,则 B(-2,y0). ∵|AK|=√2|AF|, 且|AF|=|AB|=x0-(-2)=x0+2, ∴由|BK|2=|AK|2 -|AB|2 , 得𝑦0 2=(x0+2)2 ,即 8x0=(x0+2)2 , 解得 x0=2,∴y0=±4. ∴△AFK 的面积为1 2 |KF|·|y0|=1 2 ×4×4=8. 答案:B 5.(多选题)已知双曲线的左顶点与抛物线 y 2=2px(p>0)的焦点的距离为 4,且双曲线的一条渐 近线与抛物线的准线的交点坐标为(-2,-1),则下列说法正确的是( ) A.双曲线的实轴长为 2 B.双曲线的虚轴长为 2 C.双曲线的离心率为√5 2 D.双曲线的顶点坐标为(±1,0) 解析:由题意知,- 𝑝 2 =-2,则 p=4
设双商践的方程为后-三-1(o0,60。 则其渐近线方程为y=。 由已知得，a+-a+2=4,则a=2 根据题意可知，点(-21)在渐近线)会上 故2X(-2)-1,即b-1. 故c=va2+b2=√5. 故双曲线的实轴长为2a=4,虚轴长为2b=2, 高心率e顶点坐标为2,0， 2 答案BC 6.在平面直角坐标系xOy中，有一定点A(2,1),若线段OA的垂直平分线过抛物线)y2=2px(p>0) 的焦点，则该抛物线的标准方程是」 解析线段04的垂直平分线为4x+2-5=-0,与x轴的交点为（怎0），“抛物线的焦点为（存0） ∴.抛物线的标准方程是y2=5x 答案y2-5x 7.设抛物线y2=2x(p>0)的焦点为F,点A(0,2).若线段FA的中点B在抛物线上，则点B到该抛 物线准线的距离为 解析如图，由已知可得点（朵）在抛物线2-2r上， y=2px B(a. 0 X=- 即1-2p2故p-V2 故4（停1）准线为x=号 因此，点B到抛物线准线的距离为 4 答案兴 8.己知点F(0,1),直线1y=-1,P为平面上的动点，过点P作直线1的垂线，垂足为点Q,且Q丽· OF FP.FO. (1)求动点P的轨迹C的方程： (2)己知圆M过定点D(0,2),圆心M在轨迹C上运动，且圆M与x轴交于A,B两点，设 DA=,DB例=h,求号+2的最大值 解(1)设P(x,y),则Qx,-1) Q丽.正=F币.F0, .(0,y+1)(-x,2)=(x1)(x,-2), 即20y+1)=x2-20y1),即x2=4y, .动点P的轨迹C的方程为x2=4y (2)设圆M的圆心坐标为M(ab),则a2=4b, ① 圆M的半径为MD|=a2+(b-22, 圆M的方程为(x-a)2+0b)2=a2+(b-22 令y=0,则(x-a)2+b2=2+(b-2)2, 整理得x2.2x+4b-4=0】 ② 由①②解得x=a吐2 不妨设A(a-2,0),B(a+2,0)」
设双曲线的方程为𝑥 2 𝑎2 − 𝑦 2 𝑏 2=1(a>0,b>0), 则其渐近线方程为 y=± 𝑏 𝑎 x. 由已知得,a+𝑝 2 =a+2=4,则 a=2. 根据题意可知,点(-2,-1)在渐近线 y= 𝑏 𝑎 x 上, 故 𝑏 2 ×(-2)=-1,即 b=1. 故 c=√𝑎 2 + 𝑏 2 = √5. 故双曲线的实轴长为 2a=4,虚轴长为 2b=2, 离心率 e= √5 2 ,顶点坐标为(±2,0). 答案:BC 6.在平面直角坐标系 xOy 中,有一定点 A(2,1),若线段 OA 的垂直平分线过抛物线 y 2=2px(p>0) 的焦点,则该抛物线的标准方程是 . 解析:∵线段 OA 的垂直平分线为 4x+2y-5=0,与 x 轴的交点为( 5 4 ,0),∴抛物线的焦点为( 5 4 ,0), ∴抛物线的标准方程是 y 2=5x. 答案:y 2=5x 7.设抛物线 y 2=2px(p>0)的焦点为 F,点 A(0,2).若线段 FA 的中点 B 在抛物线上,则点 B 到该抛 物线准线的距离为 . 解析:如图,由已知可得点 B 𝑝 4 ,1 在抛物线 y 2=2px 上, 即 1=2p· 𝑝 4 ,故 p=√2. 故 B( √2 4 ,1),准线为 x=- √2 2 . 因此,点 B 到抛物线准线的距离为3√2 4 . 答案: 3√2 4 8.已知点 F(0,1),直线 l:y=-1,P 为平面上的动点,过点 P 作直线 l 的垂线,垂足为点 Q,且𝑄𝑃⃗⃗⃗ · 𝑄𝐹⃗⃗⃗ = 𝐹𝑃⃗⃗ · 𝐹𝑄⃗⃗⃗ . (1)求动点 P 的轨迹 C 的方程; (2)已知圆 M 过定点 D(0,2),圆心 M 在轨迹 C 上运动,且圆 M 与 x 轴交于 A,B 两点,设 |DA|=l1,|DB|=l2,求 𝑙1 𝑙2 + 𝑙2 𝑙1 的最大值. 解:(1)设 P(x,y),则 Q(x,-1). ∵𝑄𝑃⃗⃗⃗ · 𝑄𝐹⃗⃗⃗ = 𝐹𝑃⃗⃗ · 𝐹𝑄⃗⃗⃗ , ∴(0,y+1)·(-x,2)=(x,y-1)·(x,-2), 即 2(y+1)=x2 -2(y-1),即 x 2=4y, ∴动点 P 的轨迹 C 的方程为 x 2=4y. (2)设圆 M 的圆心坐标为 M(a,b),则 a 2=4b. ① 圆 M 的半径为|MD|=√𝑎 2 + (𝑏-2) 2 , 圆 M 的方程为(x-a) 2+(y-b) 2=a2+(b-2)2 . 令 y=0,则(x-a) 2+b2=a2+(b-2)2 , 整理得 x 2 -2ax+4b-4=0. ② 由①②解得 x=a±2. 不妨设 A(a-2,0),B(a+2,0)
故h=(a-2)2+4,h=(a+2)2+4 于号+台 + 22+16=2 (a2+8) =2.1+ 16a2 Va4+64 a4+64 ③ √a4+64 当a0时，由③得， + /1+16 1+ 22 16 Q2462 a2 当且仅当a=+2V2时，等号成立 当a=0时，由③得号+异-2 故当a=±22时号+是的最大值为2Z 9.己知A,B是抛物线x2-2p(p>0)上的两个动点，O为坐标原点，非零向量0A,0丽满足OA+ 01=0A-01 (I)求证：直线AB经过一定点； (2)当线段AB的中点到直线2x=0的距离的最小值为S时，求D的值 (1)证明：，0A+0死1=0A-0B1 ,.OA⊥OB 设A,B两点的坐标分别为(x1),x2), 则x子=2p1,x3=2p2. 经过A,B两点的直线方程为(x2-x1)0y)=(02n)x-x1),由1= 票得e-0m倍 erw 2+(x-x) :x1知，…y=2p 令x0,得n气等 ① 2p .OA⊥OB,∴.x1x2+2=0. n+经-0 4p2 ,x1x20(否则0A,0丽中有一个为零向量)， x12=.4p2代入①得y=2p. .直线AB经过定点(0,2p), (2)解：设线段AB中点的坐标为(x), 则1+2=2x,1+2=2y 故x子+x2=2pm+2p2=2p0n+2), x1+x3=(x1+x2)2-2x1x2=(x1+x2)2+8p2, 4+8p-p,即)产+2p ② 经1B的中点到直技)20的距高学持@爪入得子2烈_是 xpitp x-p)+p 又d的最小值为5号=华p-2
故 l1=√(𝑎-2) 2 + 4,l2=√(𝑎 + 2) 2 + 4. 于是𝑙1 𝑙2 + 𝑙2 𝑙1 = 𝑙1 2+𝑙2 2 𝑙1 𝑙2 = 2𝑎 2+16 √𝑎4+64 =2√(𝑎2+8) 2 𝑎4+64 =2√1 + 16𝑎2 𝑎4+64, ③ 当 a≠0 时,由③得, 𝑙1 𝑙2 + 𝑙2 𝑙1 =2√1 + 16 𝑎2+ 64 𝑎2 ≤2√1 + 16 2×8 =2√2. 当且仅当 a=±2√2时,等号成立. 当 a=0 时,由③得, 𝑙1 𝑙2 + 𝑙2 𝑙1 =2. 故当 a=±2√2时, 𝑙1 𝑙2 + 𝑙2 𝑙1 的最大值为 2√2. 9.已知 A,B 是抛物线 x 2=2py(p>0)上的两个动点,O 为坐标原点,非零向量𝑂𝐴⃗⃗⃗ ,𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗ 满足|𝑂𝐴⃗⃗⃗ + 𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗ |=|𝑂𝐴⃗⃗⃗ − 𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗ |. (1)求证:直线 AB 经过一定点; (2)当线段 AB 的中点到直线 y-2x=0 的距离的最小值为2√5 5 时,求 p 的值. (1)证明:∵|𝑂𝐴⃗⃗⃗ + 𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗ |=|𝑂𝐴⃗⃗⃗ − 𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗ |, ∴OA⊥OB. 设 A,B 两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2), 则𝑥1 2=2py1,𝑥2 2=2py2. 经过 A,B 两点的直线方程为(x2-x1)(y-y1)=(y2-y1)(x-x1),由 y1= 𝑥1 2 2𝑝 ,y2= 𝑥2 2 2𝑝 ,得(x2-x1)·(y-y1)=( 𝑥2 2 2𝑝 - 𝑥1 2 2𝑝 )(x-x1). ∵x1≠x2,∴y-y1= 𝑥2+𝑥1 2𝑝 (x-x1). 令 x=0,得 y-y1= 𝑥1+𝑥2 2𝑝 (-x1),∴y=- 𝑥1𝑥2 2𝑝 . ① ∵OA⊥OB,∴x1x2+y1y2=0. ∴x1x2+ 𝑥1 2𝑥2 2 4𝑝2 =0. ∵x1x2≠0(否则𝑂𝐴⃗⃗⃗ ,𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗ 中有一个为零向量), ∴x1x2=-4p 2 代入①得 y=2p. ∴直线 AB 经过定点(0,2p). (2)解:设线段 AB 中点的坐标为(x,y), 则 x1+x2=2x,y1+y2=2y. 故𝑥1 2 + 𝑥2 2=2py1+2py2=2p(y1+y2). ∵𝑥1 2 + 𝑥2 2=(x1+x2) 2 -2x1x2=(x1+x2) 2+8p 2 , ∴4x 2+8p 2=4py,即 y= 1 𝑝 x 2+2p. ② 线段 AB 的中点到直线 y-2x=0 的距离 d=|𝑦-2𝑥| √5 ,将②代入得 d= | 1 𝑝 𝑥 2+2𝑝-2𝑥| √5 = | 1 𝑝 (𝑥-𝑝) 2+𝑝| √5 = 1 𝑝 (𝑥-𝑝) 2+𝑝 √5 . 又 d 的最小值为2√5 5 ,∴ 𝑝 √5 = 2√5 5 .∴p=2