第2课时 直线的两点式方程和一般式方程 基础巩固 1.己知直线(m+2)x+(m2-2m-3)y=2m在x轴上的截距为3，则实数m的值为() AS B.-6 c. D.6 答案B 2.若直线x-ym+2=0经过一定点，则该点的坐标为( A.(-1,2) B.(1,2) C.(2,-1) D.(2,1) 解析：由已知，得m(xI)y+2=-0,当x=1时，y=2恒成立，故该直线恒过点(1,2) 答案B 3.若直线x+y+12=0在x轴、y轴上的截距分别是-3和4，则m和n的值分别是( A.4,3 B.-4.3 C.4,-3 D.-4,-3 解析令x=0,则y=2=4,解得n=3. n 令y=0,则x=-3 m 解得m=4. 答案C 4.若方程(62-a-2)x+(32.5a+2)y+a-1=0表示平行于x轴的直线，则a的值为() A号 B月 c缄 D.1 6a2-a-2=0, 解析：由题意可知 3a2-5a+2≠0，解得a=2 a-1≠0. 答案B 5.若直线ar+by+c-0经过第一、第二、第三象限，则() A.ab>0.bc>0 B.ab>0.bc0 D.ab0 由题意可知， b 即ab0 bc<0. 故选D. 答案D 6.经过P(-2,3),Q(10,3)两点的直线的方程为 答案y3=0 7.若直线1在x轴、y轴上的截距互为相反数，且1过点(0,1)，则直线1的方程 为 答案xy+1=0 8.已知光线经过点A(4,6),到x轴上的点B2,0)后，被x轴反射照在y轴上，则光线照在y轴上 的点的坐标为_ 解析：点A(4,6)关于x轴的对称点为41(4，-6)，则直线A1B即是反射光线所在直线.因为直线 4B的方程为=器即3x+6=0,令x0,得)6，所以反射光线照在y轴上的点的坐标为 (0,6). 答案：(0,6) 9.已知A,B是x轴上的两点，点P的横坐标为2，且PA=PB引又直线PA的方程为x-y+1=0,求 直线PB的方程 解：由题意可知，P(2,3),A(-1,0) 设B(x,0)(x≠-1)，PA=|PBL, ∴(2+1)2+32=J2-x)2+32
第 2 课时 直线的两点式方程和一般式方程 基础巩固 1.已知直线(m+2)x+(m2 -2m-3)y=2m 在 x 轴上的截距为 3,则实数 m 的值为( ) A.6 5 B.-6 C.- 6 5 D.6 答案:B 2.若直线 mx-y-m+2=0 经过一定点,则该点的坐标为( ) A.(-1,2) B.(1,2) C.(2,-1) D.(2,1) 解析:由已知,得 m(x-1)-y+2=0,当 x=1 时,y=2 恒成立,故该直线恒过点(1,2). 答案:B 3.若直线 mx+ny+12=0 在 x 轴、y 轴上的截距分别是-3 和 4,则 m 和 n 的值分别是( ) A.4,3 B.-4,3 C.4,-3 D.-4,-3 解析:令 x=0,则 y=- 12 𝑛 =4,解得 n=-3. 令 y=0,则 x=- 12 𝑚 =-3, 解得 m=4. 答案:C 4.若方程(6a 2 -a-2)x+(3a 2 -5a+2)y+a-1=0 表示平行于 x 轴的直线,则 a 的值为( ) A.2 3 B.- 1 2 C.2 3或- 1 2 D.1 解析:由题意可知,{ 6𝑎 2 -𝑎-2 = 0, 3𝑎 2 -5𝑎 + 2 ≠ 0, 𝑎-1 ≠ 0, 解得 a=- 1 2 . 答案:B 5.若直线 ax+by+c=0 经过第一、第二、第三象限,则( ) A.ab>0,bc>0 B.ab>0,bc0 D.ab 0, - 𝑐 𝑏 > 0, 即 { 𝑎𝑏 < 0, 𝑏𝑐 < 0. 故选 D. 答案:D 6.经过 P(-2,3),Q(10,3)两点的直线的方程为 . 答案:y-3=0 7.若直线 l 在 x 轴、y 轴上的截距互为相反数,且 l 过点(0,1),则直线 l 的方程 为 . 答案:x-y+1=0 8.已知光线经过点 A(4,6),到 x 轴上的点 B(2,0)后,被 x 轴反射照在 y 轴上,则光线照在 y 轴上 的点的坐标为 . 解析:点 A(4,6)关于 x 轴的对称点为 A1(4,-6),则直线 A1B 即是反射光线所在直线.因为直线 A1B 的方程为𝑦+6 0+6 = 𝑥-4 2-4 ,即 3x+y-6=0,令 x=0,得 y=6,所以反射光线照在 y 轴上的点的坐标为 (0,6). 答案:(0,6) 9.已知 A,B 是 x 轴上的两点,点 P 的横坐标为 2,且|PA|=|PB|.又直线 PA 的方程为 x-y+1=0,求 直线 PB 的方程. 解:由题意可知,P(2,3),A(-1,0). 设 B(x,0)(x≠-1),∵|PA|=|PB|, ∴√(2 + 1) 2 + 3 2 = √(2-𝑥) 2 + 3 2
x=5.∴.B(5,0) 直线PB的方程为器=号即x+5-0, 0.3 10.已知△ABC的顶点A(-2,-1),B(-1,5),C(3,-3),求△ABC三边所在的直线方程 解：因为直线AB过点A(-2,-1),B-1,5), 所以直线AB的方程为岩=器 即6x-y+11=0. 同理，直线BC的方程为2x+3=0, 直线AC的方程为2x+5y+9=0. 故△ABC三边AB,BC,AC所在的直线方程分别为6r-y+11=0,2x+y-3=0,2x+5y+9=0. 拓展提高 1直线导一京1在y轴上的截距( A.lbl B.-b2 C.b2 D.±b 答案B 2.己知直线1过A(-1,-1),B2,5)两点，点C(1010,b)在直线1上，则b的值为( A.2019 B.2020 C.2021 D.2022 答案：C 3.把直线x-y+V3-1=0绕点(1，V3)逆时针旋转15°后，所得直线1的方程是( A.y=-V3x B.y=V3x C.x-V3y+2=0 D.x+3y-2=0 解析：，直线x-y+v3-1=0的斜率为1， ∴.倾斜角为45°.∴.1的斜率为tan60°=√3. ∴.1的方程为V3=V3(x-1),即y=V3x 答案B 4.己知两直线的方程分别为11：x+y+b=0,2:x+Gy+d=0,它们在平面直角坐标系中的位置如图 所示，则( A.b>0,d0.dc C.b0,a>c D.b0,a0,2->0,且1>2， ∴.ac. 又h的截距20，h的截距三0， .b0.故选C 答案：C 5.直线xy+1=0关于y轴对称的直线的方程为 解析：令y=0,则x=1 令x=0,则y=1,故直线xy+1=0关于y轴对称的直线过点(0,1)和(1,0) 由直线的截距式方程可知，所求直线的方程为x+y=1,即x+1=O. 答案x+y1=0 6.己知A(3,0),B(0,4),直线AB上一动点P(xy),则y的最大值是 解析：由已知，得直线AB的方程为+1 :Px)在直线AB上，x=3- =3y32-30-2}+3
∴x=5.∴B(5,0). ∴直线 PB 的方程为𝑦-3 0-3 = 𝑥-2 5-2 ,即 x+y-5=0. 10.已知△ABC 的顶点 A(-2,-1),B(-1,5),C(3,-3),求△ABC 三边所在的直线方程. 解:因为直线 AB 过点 A(-2,-1),B(-1,5), 所以直线 AB 的方程为𝑦+1 5+1 = 𝑥+2 -1+2 , 即 6x-y+11=0. 同理,直线 BC 的方程为 2x+y-3=0, 直线 AC 的方程为 2x+5y+9=0. 故△ABC 三边 AB,BC,AC 所在的直线方程分别为 6x-y+11=0,2x+y-3=0,2x+5y+9=0. 拓展提高 1.直线 𝑥 𝑎2 − 𝑦 𝑏 2=1 在 y 轴上的截距是( ) A.|b| B.-b 2 C.b 2 D.±b 答案:B 2.已知直线 l 过 A(-1,-1),B(2,5)两点,点 C(1 010,b)在直线 l 上,则 b 的值为( ) A.2 019 B.2 020 C.2 021 D.2 022 答案:C 3.把直线 x-y+√3-1=0 绕点(1,√3)逆时针旋转 15°后,所得直线 l 的方程是( ) A.y=-√3x B.y=√3x C.x-√3y+2=0 D.x+3y-2=0 解析:∵直线 x-y+√3-1=0 的斜率为 1, ∴倾斜角为 45°.∴l 的斜率为 tan 60°=√3. ∴l 的方程为 y-√3 = √3(x-1),即 y=√3x. 答案:B 4.已知两直线的方程分别为 l1:x+ay+b=0,l2:x+cy+d=0,它们在平面直角坐标系中的位置如图 所示,则( ) A.b>0,d0,dc C.b0,a>c D.b0,a0,k2=- 1 𝑐 >0,且 k1>k2, ∴ac. 又 l1 的截距- 𝑏 𝑎 0, ∴b0.故选 C. 答案:C 5.直线 x-y+1=0 关于 y 轴对称的直线的方程为 . 解析:令 y=0,则 x=-1; 令 x=0,则 y=1,故直线 x-y+1=0 关于 y 轴对称的直线过点(0,1)和(1,0). 由直线的截距式方程可知,所求直线的方程为 x+y=1,即 x+y-1=0. 答案:x+y-1=0 6.已知 A(3,0),B(0,4),直线 AB 上一动点 P(x,y),则 xy 的最大值是 . 解析:由已知,得直线 AB 的方程为𝑥 3 + 𝑦 4 =1. ∵P(x,y)在直线 AB 上,∴x=3- 3 4 y, ∴xy=3y- 3 4 y 2=- 3 4 (y-2)2+3
当y=2时，y取得最大值3. 答案：3 7.设直线1的方程为(m+1)x+y+(2-m)=0,证明：直线1恒过第四象限 证明：直线1的方程可化为(x-1)m+x+y+2-0. 令任442=0解形=3 故1过定点(1，-3) 因为点(1，-3)在第四象限，所以1恒过第四象限 挑战创新 已知直线1a-y+1+2k=0(k∈R) (1)证明：直线1过定点； (2)若直线1不经过第四象限，求k的取值范围： (3)若直线1交x轴负半轴于点A,交y轴正半轴于点B,O为坐标原点，设△AOB的面积为S,求 S的最小值及此时直线I的方程 (1)证明：直线1的方程可化为kx+2)-(1)=0. 当x=-2y=1时，kx+2)-U1)=0对任意k∈R恒成立，故直线1过定点(-2,1) (2)解：直线I的方程可化为y=c+2k+1,则直线I在y轴上的截距为1+2k 要使直线/不经过第四象限，则化之0、 1+2k≥0，解得e0. 故k的取值范围是[0，+o). (3)解依题意，直线1在x轴上的截距为.1+2坠在y轴上的截距为1+2k 所以4(+2,0），B0,1+20. k 国为0，且1+2e0, 所以k>0. 故S-0A0l-月21+2444+4)-4， 当且仅当4是即时，取等号。 故S的最小值为4，此时直线1的方程为x-2y+4=0
当 y=2 时,xy 取得最大值 3. 答案:3 7.设直线 l 的方程为(m+1)x+y+(2-m)=0,证明:直线 l 恒过第四象限. 证明:直线 l 的方程可化为(x-1)m+x+y+2=0. 令{ 𝑥-1 = 0, 𝑥 + 𝑦 + 2 = 0,解得{ 𝑥 = 1, 𝑦 = -3. 故 l 过定点(1,-3). 因为点(1,-3)在第四象限,所以 l 恒过第四象限. 挑战创新 已知直线 l:kx-y+1+2k=0(k∈R). (1)证明:直线 l 过定点; (2)若直线 l 不经过第四象限,求 k 的取值范围; (3)若直线 l 交 x 轴负半轴于点 A,交 y 轴正半轴于点 B,O 为坐标原点,设△AOB 的面积为 S,求 S 的最小值及此时直线 l 的方程. (1)证明:直线 l 的方程可化为 k(x+2)-(y-1)=0. 当 x=-2,y=1 时,k(x+2)-(y-1)=0 对任意 k∈R 恒成立,故直线 l 过定点(-2,1). (2)解:直线 l 的方程可化为 y=kx+2k+1,则直线 l 在 y 轴上的截距为 1+2k. 要使直线 l 不经过第四象限,则{ 𝑘 ≥ 0, 1 + 2𝑘 ≥ 0, 解得 k≥0. 故 k 的取值范围是[0,+∞). (3)解:依题意,直线 l 在 x 轴上的截距为- 1+2𝑘 𝑘 ,在 y 轴上的截距为 1+2k, 所以 A(- 1+2𝑘 𝑘 ,0),B(0,1+2k). 因为- 1+2𝑘 𝑘 0, 所以 k>0. 故 S=1 2 |OA||OB|=1 2 · 1+2𝑘 𝑘 (1+2k)= 1 2 (4k+1 𝑘 +4)≥ 1 2 ×(4+4)=4, 当且仅当 4k=1 𝑘 ,即 k=1 2 时,取等号. 故 S 的最小值为 4,此时直线 l 的方程为 x-2y+4=0