2.2.4点到直线的距离 1.已知点P在x轴上，且到直线3x4y+6=0的距离为6，则点P的坐标为() A.(80) B.(-12.0) C.(80)或(-12,0) D.(-80)或(120) 解析：设点P的坐标为(x0),则由点到直线的距离公式可得，x4x0+6,解得x=8或x一12 32+42 故点P的坐标为(8,0)或(-12,0) 答案：C 2.己知点(3，m)到直线x+V3y4=0的距离为1，则m的值为( A.V3 B.-V3 DV3或 解析由已知，得B+v3m4=l, 2 即v3m-1-2.解得m=V3或m= 3 答案D 3点P(mm-m到直线若+片=1的距离为 ) A.Vm2±n2 B.Vm2-n2 C.V-m2 +n2 D.Vm2+n2 解析直线方程可化为x+m-mm=0,故，点P到直线的距离dm+m--mm=Vm2+n己 m2+n2 答案D 4.在平面直角坐标系内，若点A(1,2),B(3,1)到某条直线的距离分别为1,2，则符合条件的直线共 有() A1条 B.2条 C.3条 D.4条 解析：由题意可知，所求直线的斜率一定存在， 故可设直线的方程为y=kr+b,即x-y+b=0. k-2+地=1， k+1 由已知得 3k-1+=2 k2+1 4 故符合条件的直线共有2条。 答案B 5.(多选题)若动点A(x1),B622)分别在直线1：x+7=0和2x+-5=0上移动，则AB的中点 M到原点的距离不可能是( A.3v2 B.3V3 C.2v2 D.V2 解析：根据题意可知，AB的中，点M在直线x+y6=0上，则，点M到原点距离的最小值就是原点 到直线x+60的距离.由点到直线的距离公式，得原点到直线x6=0的距离d-增32 故AB的中点M到原点的距离的最小值为3vZ,故选CD 答案CD 6.己知直线的倾斜角为60°，且原点到该直线的距离是5，则该直线的方程 为 解析：因为直线的斜率为tan60°=√3，所以可设直线方程为y=√3x+b, 即V3xy+b=0.由已知，得0-0+1_ =5, Vw32+-1 解得b=±10.故该直线的方程为V3x-y+10=0或V3x-y10=0
2.2.4 点到直线的距离 1.已知点 P 在 x 轴上,且到直线 3x-4y+6=0 的距离为 6,则点 P 的坐标为( ) A.(8,0) B.(-12,0) C.(8,0)或(-12,0) D.(-8,0)或(12,0) 解析:设点 P 的坐标为(x,0),则由点到直线的距离公式可得, |3𝑥-4×0+6| √3 2+(-4) 2 =6,解得 x=8 或 x=-12. 故点 P 的坐标为(8,0)或(-12,0). 答案:C 2.已知点(3,m)到直线 x+√3y-4=0 的距离为 1,则 m 的值为( ) A.√3 B.-√3 C.- √3 3 D.√3或- √3 3 解析:由已知,得 |3+√3𝑚-4| 2 =1, 即|√3m-1|=2.解得 m=√3或 m=- √3 3 . 答案:D 3.点 P(m-n,-m)到直线𝑥 𝑚 + 𝑦 𝑛 =1 的距离为( ) A.√𝑚2 ± 𝑛2 B.√𝑚2-𝑛2 C.√-𝑚2 + 𝑛2 D.√𝑚2 + 𝑛2 解析:直线方程可化为 nx+my-mn=0,故点 P 到直线的距离 d=|𝑛(𝑚-𝑛)+𝑚(-𝑚)-𝑚𝑛| √𝑚2+𝑛2 = √𝑚2 + 𝑛2. 答案:D 4.在平面直角坐标系内,若点 A(1,2),B(3,1)到某条直线的距离分别为 1,2,则符合条件的直线共 有( ) A.1 条 B.2 条 C.3 条 D.4 条 解析:由题意可知,所求直线的斜率一定存在, 故可设直线的方程为 y=kx+b,即 kx-y+b=0. 由已知,得 { |𝑘-2+𝑏| √𝑘 2+1 = 1, |3𝑘-1+𝑏| √𝑘 2+1 = 2, 解得{ 𝑘 = 0, 𝑏 = 3 或{ 𝑘 = - 4 3 , 𝑏 = 5 3 . 故符合条件的直线共有 2 条. 答案:B 5.(多选题)若动点 A(x1,y1),B(x2,y2)分别在直线 l1:x+y-7=0 和 l2:x+y-5=0 上移动,则 AB 的中点 M 到原点的距离不可能是( ) A.3√2 B.3√3 C.2√2 D.√2 解析:根据题意可知,AB 的中点 M 在直线 x+y-6=0 上,则点 M 到原点距离的最小值就是原点 到直线 x+y-6=0 的距离.由点到直线的距离公式,得原点到直线 x+y-6=0 的距离 d=|-6| √2 =3√2. 故 AB 的中点 M 到原点的距离的最小值为 3√2,故选 CD. 答案:CD 6.已知直线的倾斜角为 60°,且原点到该直线的距离是 5,则该直线的方程 为 . 解析:因为直线的斜率为 tan 60°=√3,所以可设直线方程为 y=√3x+b, 即√3x-y+b=0.由已知,得 |0-0+𝑏| √(√3) 2+(-1) 2 =5, 解得 b=±10.故该直线的方程为√3x-y+10=0 或√3x-y-10=0
答案V3x-y+10=0或V3x-y-10=0 7.已知x+3=0,则，(x-2)2+(y+1)的最小值为 解析：设P(x),A(2-1),则点P在直线x+3=0上，且(x-2)2+0y+1)2-PA 又P4A的最小值为点A2,-1到直线x+3=0的距离d23=V2, V12+12 故x-2)2+0+1)2的最小值为VZ, 答案√Z 8.设点P在直线x+3y=0上，且点P到原点的距离与点P到直线x+3y2=0的距离相等，求点 P的坐标 解：，点P在直线x+3y=0上 .设P(-300 -3%)2+8=3%2 √12+32 解得号 “点P的坐标为（得）或（居，） 9.己知直线1和2的方程分别为7x+8y+9=0,7x+83=0,直线1平行于h,直线1与1h的距离 为d,与h的距离为，且验=求直线1的方程 解：由题意知，h∥2，故h∥2∥1. 设I的方程为7x+8y+c=0, 则2-9L=3到 72+8272+82 解得c=21或c=5. 故直线1的方程为7x+8y+21=0或7x+8y+5-0
答案:√3x-y+10=0 或√3x-y-10=0 7.已知 x+y-3=0,则√(𝑥-2) 2 + (𝑦 + 1) 2的最小值为 . 解析:设 P(x,y),A(2,-1),则点 P 在直线 x+y-3=0 上,且√(𝑥-2) 2 + (𝑦 + 1) 2=|PA|. 又|PA|的最小值为点 A(2,-1)到直线 x+y-3=0 的距离 d=|2+(-1)-3| √1 2+1 2 = √2, 故√(𝑥-2) 2 + (𝑦 + 1) 2的最小值为√2. 答案:√2 8.设点 P 在直线 x+3y=0 上,且点 P 到原点的距离与点 P 到直线 x+3y-2=0 的距离相等,求点 P 的坐标. 解:∵点 P 在直线 x+3y=0 上, ∴设 P(-3y0,y0), ∴√(-3𝑦0 ) 2 + 𝑦0 2 = |-3𝑦 0 +3𝑦 0 -2| √1 2+3 2 , 解得 y0=± 1 5 . ∴点 P 的坐标为( 3 5 ,- 1 5 )或(- 3 5 , 1 5 ). 9.已知直线 l1 和 l2 的方程分别为 7x+8y+9=0,7x+8y-3=0,直线 l 平行于 l1,直线 l 与 l1 的距离 为 d1,与 l2 的距离为 d2,且 𝑑1 𝑑2 = 1 2 ,求直线 l 的方程. 解:由题意知,l1∥l2,故 l1∥l2∥l. 设 l 的方程为 7x+8y+c=0, 则 2· |𝑐-9| √7 2+8 2 = |𝑐-(-3)| √7 2+8 2 , 解得 c=21 或 c=5. 故直线 l 的方程为 7x+8y+21=0 或 7x+8y+5=0