习题课 空间向量及其运算 1.己知向量0A,0觅，0沉不共面，则满足A,B,C,P四点共面的条件是( A.0d=2xA0+3yB0+4C0,且2x+3y+4z=1 B.0丽+OA+0死+0元=0 C.AP=AB+3AC D.AP-20元-0元 答案C 2.在四面体OABC中，棱OA,OB,OC两两互相垂直，且OA=1,OB=2,OC=3,G为△ABC的重心， 则0元·(0A+0死+0元)等于() A兰 B.5 C.7 D 解析：0C=(O+0丽+0C), ∴0元(0+0丽+0)0M+0丽+0元)2-(10A+0丽+10元P+20M.0丽+20丽· 元+20.0元)(1+4+9)兰故选A 答案：A 3.如图，在空间直角坐标系中，正方体ABCD-A1B1CD1的棱长为1，B1E1=A1B1,则BE等于 () A(0.21 B(0,1 c(0,-1） D(日，0，-1) 解析：国为B(11,0),41(1,0,1),B1(1,11),BE1-241B1, 所以E(1,是，1)所以BE=(0,,1) 答案C 4.(多选题)已知向量AB,AC,BC满足AB=AC1+BC1,则下列结论不成立的是() A.AB=AC+BC B.AB=-AC-BC C.AC与BC同向 D.AC与CB同向 解析：AB=AC+CB,且AB=AC1+BC, ∴.AC+CB1=AC1+BC1, ∴.AC与CB同向 答案：ABC 5.已知空间向量的一个基底{ij,k},a=i-j+k,b=i+j+k,c=2i+2k,则下列结论正确的 是 ①a与b共面；②a与c共面；③a,b,c共面. 答案：①②③ 6.已知a,b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(a-c)(b-c)=0,则c的最大值 是 解析：由已知得1c2=(a+b)c=clla-+bcos,即c=V2cos 当cos=1时，c取得最大值为√Z 答案V2
习题课——空间向量及其运算 1.已知向量𝑂𝐴⃗⃗⃗ ,𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗ ,⃗𝑂𝐶⃗⃗ 不共面,则满足 A,B,C,P 四点共面的条件是( ) A.𝑂𝑃⃗⃗⃗ =2x𝐴𝑂⃗⃗⃗ +3y𝐵𝑂⃗⃗⃗⃗ +4z⃗𝐶𝑂⃗⃗ ,且 2x+3y+4z=1 B.𝑂𝑃⃗⃗⃗ + 𝑂𝐴⃗⃗⃗ + 𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗ + ⃗𝑂𝐶⃗⃗ =0 C.𝐴𝑃⃗⃗⃗ = 𝐴𝐵⃗⃗⃗ +3𝐴𝐶⃗⃗ D.𝐴𝑃⃗⃗⃗ =2𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗ − ⃗𝑂𝐶⃗⃗ 答案:C 2.在四面体 OABC 中,棱 OA,OB,OC 两两互相垂直,且 OA=1,OB=2,OC=3,G 为△ABC 的重心, 则𝑂𝐺⃗⃗⃗ ·(𝑂𝐴⃗⃗⃗ + 𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗ +⃗𝑂𝐶⃗⃗ )等于( ) A.14 3 B.5 C.7 D.15 2 解析:∵𝑂𝐺⃗⃗⃗ = 1 3 (𝑂𝐴⃗⃗⃗ + 𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗ +⃗𝑂𝐶⃗⃗ ), ∴𝑂𝐺⃗⃗⃗ ·(𝑂𝐴⃗⃗⃗ + 𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗ +⃗𝑂𝐶⃗⃗ )= 1 3 (𝑂𝐴⃗⃗⃗ + 𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗ + ⃗𝑂𝐶⃗⃗ ) 2= 1 3 ×(|𝑂𝐴⃗⃗⃗ | 2+|𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗ | 2+|⃗𝑂𝐶⃗⃗ | 2+2𝑂𝐴⃗⃗⃗ · 𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗ +2𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗ · ⃗𝑂𝐶⃗⃗ +2𝑂𝐴⃗⃗⃗ · ⃗𝑂𝐶⃗⃗ )= 1 3 ×(1+4+9)= 14 3 .故选 A. 答案:A 3.如图,在空间直角坐标系中,正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,B1E1= 1 4 A1B1,则𝐵𝐸1 ⃗⃗⃗⃗⃗ 等于 ( ) A.(0, 1 4 ,-1) B.(- 1 4 ,0,1) C.(0,- 1 4 ,1) D.( 1 4 ,0,-1) 解析:因为 B(1,1,0),A1(1,0,1),B1(1,1,1),B1E1= 1 4 A1B1, 所以 E1(1, 3 4 ,1),所以𝐵𝐸1 ⃗⃗⃗⃗⃗ = (0,- 1 4 ,1). 答案:C 4.(多选题)已知向量𝐴𝐵⃗⃗⃗ ,𝐴𝐶⃗⃗ ,𝐵𝐶⃗⃗⃗ 满足|𝐴𝐵⃗⃗⃗ |=|𝐴𝐶⃗⃗ |+|𝐵𝐶⃗⃗⃗ |,则下列结论不成立的是( ) A.𝐴𝐵⃗⃗⃗ = 𝐴𝐶⃗⃗ + 𝐵𝐶⃗⃗⃗ B.𝐴𝐵⃗⃗⃗ =-𝐴𝐶⃗⃗ − 𝐵𝐶⃗⃗⃗ C.𝐴𝐶⃗⃗ 与𝐵𝐶⃗⃗⃗ 同向 D.𝐴𝐶⃗⃗ 与𝐶𝐵⃗⃗⃗ 同向 解析:∵𝐴𝐵⃗⃗⃗ = 𝐴𝐶⃗⃗ + 𝐶𝐵⃗⃗⃗ ,且|𝐴𝐵⃗⃗⃗ |=|𝐴𝐶⃗⃗ |+|𝐵𝐶⃗⃗⃗ |, ∴|𝐴𝐶⃗⃗ + 𝐶𝐵⃗⃗⃗ |=|𝐴𝐶⃗⃗ |+|𝐵𝐶⃗⃗⃗ |, ∴𝐴𝐶⃗⃗ 与𝐶𝐵⃗⃗⃗ 同向. 答案:ABC 5.已知空间向量的一个基底{i,j,k},a=i-j+k,b=i+j+k,c=2i+2k,则下列结论正确的 是 . ①a 与 b 共面;②a 与 c 共面;③a,b,c 共面. 答案:①②③ 6.已知 a,b 是平面内两个互相垂直的单位向量,若向量 c 满足(a-c)·(b-c)=0,则|c|的最大值 是 . 解析:由已知得|c| 2=(a+b)·c=|c||a+b|·cos,即|c|=√2cos. 当 cos=1 时,|c|取得最大值为√2. 答案:√2
7.在正方体ABCD-A1B1CD1中，有下列命题： ①(AA+AD+AB)2=3AB2: ②A1C(A1B1-A1=0; ③AD1与A1B的夹角为60° 其中真命题的个数是 答案2 8.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为4的正方形，A1C与BD1相交于点 N,BC与B1C相交于点M,且AM⊥B,建立空间直角坐标系 (1)求AA的长， (2)求c0s. 解(1)如图，以D为原点，DA,D元，DD的方向分别为x轴、y轴、：轴正方向，建立空间直角坐 标系 设A41=a,则B(4,4,0),N2,2.0),4(40,0,(2,4月 ∴BN=(-2-2,0,AM=（2,4) 由丽1，得丽.丽0，即4-8+号0， 解得a=2VZ .AA的长为2VZ (2)由(1)可得BN=(-2,-2,2V2),AD=(-4,0,2V2), 故os-丽西-店 BND五3
7.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,有下列命题: ①(𝐴𝐴1 ⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐵⃗⃗⃗ ) 2=3𝐴𝐵⃗⃗⃗ 2 ; ②𝐴⃗⃗ 1 ⃗⃗𝐶 ·(𝐴1𝐵1 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ − 𝐴⃗⃗⃗ 1 ⃗𝐴⃗ )=0; ③𝐴𝐷1 ⃗⃗⃗⃗⃗ 与𝐴⃗⃗ 1 ⃗⃗⃗𝐵 的夹角为 60°. 其中真命题的个数是 . 答案:2 8.在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,底面 ABCD 是边长为 4 的正方形,A1C1 与 B1D1 相交于点 N,BC1 与 B1C 相交于点 M,且𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗ ⊥ 𝐵𝑁⃗⃗ ⃗ ,建立空间直角坐标系. (1)求𝐴𝐴1 ⃗⃗⃗⃗⃗ 的长; (2)求 cos. 解:(1)如图,以 D 为原点,𝐷𝐴⃗⃗⃗⃗ ,𝐷𝐶⃗⃗⃗ ,𝐷𝐷1 ⃗⃗⃗⃗ 的方向分别为 x 轴、y 轴、z 轴正方向,建立空间直角坐 标系. 设 AA1=a,则 B(4,4,0),N(2,2,a),A(4,0,0),M 2,4,𝑎 2 , ∴𝐵𝑁⃗⃗ ⃗ =(-2,-2,a),𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗ = (-2,4, 𝑎 2 ). 由𝐵𝑁⃗⃗ ⃗ ⊥ 𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗ ,得𝐵𝑁⃗⃗ ⃗ · 𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗ =0,即 4-8+ 𝑎 2 2 =0, 解得 a=2√2, ∴𝐴𝐴1 ⃗⃗⃗⃗⃗ 的长为 2√2. (2)由(1)可得𝐵𝑁⃗⃗ ⃗ =(-2,-2,2√2),𝐴𝐷1 ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-4,0,2√2), 故 cos= ⃗𝐵𝑁⃗⃗⃗⃗ ·𝐴𝐷1 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | ⃗𝐵𝑁⃗⃗⃗⃗ ||𝐴𝐷1 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | = √6 3