第一章测评 (时间：120分钟满分：150分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的 1.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，BA+BC+DD D. B A.DB B.DB C.DB D.BD 解析：在长方体ABCD-A1B1C1D1中，BA+BC+DD1-(BA+BC)+DD1=BD+DD1=BD1 答案D 2.己知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是平行四边形，设PA=a,PB=b,PC=c,则PD=(） A.a+b+c B.a-b+c C.a+b-c D.-a+b+c 解析：如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是平行四边形，PA=a,PB=b,PC=C,则PD=PA+ AD PA+BC PA+(PC-PB)=a-b+c. 答案B 3.若直线1的一个方向向量a=(2,2,-2),平面a的一个法向量为b=(1,1,-1),则( A.l∥a B.I⊥a C.lca D.A,C都有可能 解析：直线的一个方向向量为a=(2,2,-2),平面a的一个法向量为b=(1,1,-1), ,'.a=2b ..ILa 答案B 4.如图，在正方体ABCD-A'BCD中，E是面A'BCD的中 心，a}AA,bAE,c=2A而，A正=xa+b+c,则( D C E A B D Ax=21,2 1 B.x=1.y 22 Cx-1 1 22=1 Dx月
第一章测评 (时间:120 分钟 满分:150 分) 一、选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,𝐵𝐴⃗⃗⃗ + 𝐵𝐶⃗⃗⃗ + 𝐷𝐷1 ⃗⃗⃗⃗ = ( ) A.𝐷1𝐵1 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ B.𝐷⃗⃗⃗ 1 ⃗⃗𝐵 C.𝐷𝐵1 ⃗⃗⃗ ⃗ D.𝐵𝐷1 ⃗⃗ ⃗⃗ 解析:在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,𝐵𝐴⃗⃗⃗ + 𝐵𝐶⃗⃗⃗ + 𝐷𝐷1 ⃗⃗⃗⃗ =(𝐵𝐴⃗⃗⃗ + 𝐵𝐶⃗⃗⃗ )+𝐷𝐷1 ⃗⃗⃗⃗ = 𝐵𝐷⃗ ⃗ + 𝐷𝐷1 ⃗⃗⃗⃗ = 𝐵𝐷1 ⃗⃗ ⃗⃗ . 答案:D 2.已知四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 是平行四边形,设𝑃𝐴⃗⃗⃗ =a,𝑃𝐵⃗⃗⃗ =b,𝑃𝐶⃗⃗ =c,则𝑃𝐷⃗⃗⃗ =( ) A.a+b+c B.a-b+c C.a+b-c D.-a+b+c 解析:如图, 四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 是平行四边形,𝑃𝐴⃗⃗⃗ =a,𝑃𝐵⃗⃗⃗ =b,𝑃𝐶⃗⃗ =c,则𝑃𝐷⃗⃗⃗ = 𝑃𝐴⃗⃗⃗ + 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗ = 𝑃𝐴⃗⃗⃗ + 𝐵𝐶⃗⃗⃗ = 𝑃𝐴⃗⃗⃗ +(𝑃𝐶⃗⃗ − 𝑃𝐵⃗⃗⃗ )=a-b+c. 答案:B 3.若直线 l 的一个方向向量 a=(2,2,-2),平面 α 的一个法向量为 b=(1,1,-1),则( ) A.l∥α B.l⊥α C.l⊂α D.A,C 都有可能 解析:∵直线的一个方向向量为 a=(2,2,-2),平面 α 的一个法向量为 b=(1,1,-1), ∴a=2b, ∴l⊥α. 答案:B 4.如图,在正方体 ABCD-A'B'C'D'中,E 是面 A'B'C'D'的中 心,a= 1 2 𝐴𝐴⃗⃗⃗ ',b= 1 2 𝐴𝐵⃗⃗⃗ ,c= 1 3 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗ , 𝐴𝐸⃗⃗⃗ =xa+yb+zc,则( ) A.x=2,y=1,z= 3 2 B.x=1,y= 1 2 ,z= 1 2 C.x= 1 2 ,y= 1 2 ,z=1 D.x= 1 2 ,y= 1 2 ,z= 2 3
解析：如图，连接A'C,BD, 因为A正=A+正=+2C=+2(丽+D)-2a+2b+30)-2a+b+2, 所以x=2=1,2 故选A 答案：A 5.己知空间向量a=(3,1,1),b=(x,-3,0),且a⊥b,则x=) A.-3 B.-1 C.1 D.3 解析：因为向量a=(3,1,1),b=(x,-3,0),且a⊥b, 所以ab=3x+1×(-3)+1×0=0, 解得x=1. 答案C 6.设e1,e2,e3为空间中的三个不同向量，若1e1+2e2+3e3=0成立的等价条件为1=2=3=0，则 称e1,2,e3线性无关，否则称它们线性相关.若a=-(2,1,-3),b=(1,0,2),c=(1,-1m)线性相关，则 m=() A.9 B.7 C.5 D.3 解析：依题意，若三个向量线性相关，则存在不全为0的实数x,y,,使得xa+yb+c=0成立」 (2x+y+z=0, 故{x-z=0, (-3x+2y+mz=0, 2±0t2=0 得x=2y=-3z,代入-3x+2y+mz=0, 得(m-9)z=0. 由于xy,:不全为0，因此0，则m=9, 答案：A 7.己知向量a=(2,-1,2),b=(2,2,1),以a,b为邻边的平行四边形的面积为() A.V65 B受 C.4 D. 解析：由题意，cos-ab 2×2-1×2+2×1 lallbl 22+-1)2+22×22+22+12 则nab 所以平行四边形的面积为S=bsin=3x3×画=V65.故选A 0 答案：A 8.在正方体ABCD-A1B1CD1中，点E为BB1的中点则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面 的余弦值为 B c 解析：以A为原点，AB,AD,AA的方向为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系A-, 如图所示
解析:如图,连接 A'C',B'D', 因为𝐴𝐸⃗⃗⃗ = 𝐴𝐴⃗⃗⃗ ' + 𝐴⃗⃗'⃗𝐸 = 𝐴𝐴⃗⃗⃗ ' + 1 2 𝐴⃗⃗'⃗𝐶 ' = 𝐴𝐴⃗⃗⃗ ' + 1 2 (𝐴𝐵⃗⃗⃗ + 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗ )=2a+1 2 (2b+3c)=2a+b+3 2 c, 所以 x=2,y=1,z= 3 2 . 故选 A. 答案:A 5.已知空间向量 a=(3,1,1),b=(x,-3,0),且 a⊥b,则 x=( ) A.-3 B.-1 C.1 D.3 解析:因为向量 a=(3,1,1),b=(x,-3,0),且 a⊥b, 所以 a·b=3x+1×(-3)+1×0=0, 解得 x=1. 答案:C 6.设 e1,e2,e3 为空间中的三个不同向量,若 λ1e1+λ2e2+λ3e3=0 成立的等价条件为 λ1=λ2=λ3=0,则 称 e1,e2,e3 线性无关,否则称它们线性相关.若 a=(2,1,-3),b=(1,0,2),c=(1,-1,m)线性相关,则 m=( ) A.9 B.7 C.5 D.3 解析:依题意,若三个向量线性相关,则存在不全为 0 的实数 x,y,z,使得 xa+yb+zc=0 成立. 故{ 2𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 0, 𝑥-𝑧 = 0, -3𝑥 + 2𝑦 + 𝑚𝑧 = 0, 由{ 2𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 0, 𝑥-𝑧 = 0, 得 x=z,y=-3z,代入-3x+2y+mz=0, 得(m-9)z=0. 由于 x,y,z 不全为 0,因此 z≠0,则 m=9. 答案:A 7.已知向量 a=(2,-1,2),b=(2,2,1),以 a,b 为邻边的平行四边形的面积为( ) A.√65 B.√65 2 C.4 D.8 解析:由题意,cos= 𝑎·𝑏 |𝑎||𝑏| = 2×2-1×2+2×1 √2 2+(-1) 2+2 2× √2 2+2 2+1 2 = 4 9 , 则 sin= √65 9 , 所以平行四边形的面积为 S=|a||b|sin=3×3×√65 9 = √65.故选 A. 答案:A 8.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,点 E 为 BB1 的中点,则平面 A1ED 与平面 ABCD 所成的锐二面 角的余弦值为( ) A.1 2 B.2 3 C.√3 3 D.√2 2 解析:以 A 为原点,𝐴𝐵⃗⃗⃗ , 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗ ,𝐴𝐴1 ⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向为 x 轴、y 轴、z 轴正方向,建立空间直角坐标系 A-xyz, 如图所示
设棱长为1，则A1(0,0,1),11,0),D0,1,0), ∴41D-0,1,-1),41正-(1,0，》 设平面A1ED的一个法向量为n1=(1y,), （A1Dn1=y-z=0, a正m=1-=0, 解得y=2,z=2 .n1=(1,2,2). 平面ABCD的一个法向量为2=(0,0,1)， c0sm,>调高-导即平面4ED与平西ABCD所成的锐二西角的余弦值为号 答案B 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分 9.下列各组向量互相平行的是( ) A.a=(1,2,1),b=(1,-2,3) B.a=(8.4-6),b=(4.2.-3) C.a=(0,1,-1),b=(0,3,-3) D.a=(-3,2,0),b=(4,-3,3) 解析：若a与b平行，则存在实数1使得a=b,经过验证，只有B,C两组满足条件。 答案BC 10.己知ABCD-A1B1C1D1为正方体，下列结论正确的是() A.(A1A+A1D1+A1B1)2=3(A1B)月 B.AC(A1 B-AA)=0 C.向量AD与向量A1的夹角是60° D.正方体ABCD-A1B1C1D1的体积为AB·AA·AD1 解析：由向量的加法得到A1A+A1D1+A1B1=A1C, A1C2=3A1B, ∴.A1C2-3A1B1,故A正确： .A B1 -A1A AB1,AB1 LAC, .A1C·AB1=0,故B正确： △ACD1是等边三角形， ∴.∠AD1C=60° 又A1B∥D1C ∴，异面直线AD1与A1B所成的夹角为60°，但是向量AD1与向量A1B的夹角是120°，故C不正 确， ,AB⊥AA1 ∴.AE.AA-0,故AB.AA1·AD1=0,因此D不正确.故选AB 答案AB 11.己知四边形ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD,则下列结论成立的是() APA·AB=0 B.P元.BD=0 C.PA.CD-0 DP元.AB=0 解析：，PA⊥平面ABCD, ∴PA⊥AB,PA·AB=0,∴.A正确
设棱长为 1,则 A1(0,0,1),E 1,0,1 2 ,D(0,1,0), ∴𝐴⃗⃗ 1 ⃗𝐷⃗ =(0,1,-1),𝐴⃗⃗ 1 ⃗⃗𝐸⃗ = 1,0,- 1 2 . 设平面 A1ED 的一个法向量为 n1=(1,y,z), 则{ 𝐴⃗⃗ 1 ⃗𝐷⃗ ·𝑛1 = 𝑦-𝑧 = 0, 𝐴⃗⃗ 1 ⃗⃗𝐸⃗ ·𝑛1 = 1- 1 2 𝑧 = 0, 解得 y=2,z=2. ∴n1=(1,2,2). ∵平面 ABCD 的一个法向量为 n2=(0,0,1), ∴cos= 𝑛1·𝑛2 |𝑛1||𝑛2| = 2 3 ,即平面 A1ED 与平面 ABCD 所成的锐二面角的余弦值为2 3 . 答案:B 二、选择题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.在每小题给出的选项中,有多项 符合题目要求.全部选对的得 5 分,部分选对的得 2 分,有选错的得 0 分. 9.下列各组向量互相平行的是( ) A.a=(1,2,1),b=(1,-2,3) B.a=(8,4,-6),b=(4,2,-3) C.a=(0,1,-1),b=(0,3,-3) D.a=(-3,2,0),b=(4,-3,3) 解析:若 a 与 b 平行,则存在实数 λ 使得 a=λb,经过验证,只有 B,C 两组满足条件. 答案:BC 10.已知 ABCD-A1B1C1D1 为正方体,下列结论正确的是( ) A.(𝐴⃗⃗⃗ 1 ⃗𝐴⃗ + 𝐴1𝐷1 ⃗⃗⃗⃗ ⃗ + 𝐴1𝐵1 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) 2=3(𝐴1𝐵1 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) 2 B.𝐴⃗⃗ 1 ⃗⃗𝐶 ·(𝐴1𝐵1 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ − 𝐴⃗⃗⃗ 1 ⃗𝐴⃗ )=0 C.向量𝐴𝐷1 ⃗⃗⃗⃗⃗ 与向量𝐴⃗⃗⃗ 1 ⃗⃗𝐵 的夹角是 60° D.正方体 ABCD-A1B1C1D1 的体积为|𝐴𝐵⃗⃗⃗ · 𝐴𝐴1 ⃗⃗⃗⃗⃗ · 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗ | 解析:由向量的加法得到𝐴⃗⃗⃗ 1 ⃗𝐴⃗ + 𝐴1𝐷1 ⃗⃗⃗⃗ ⃗ + 𝐴1𝐵1 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴⃗⃗ 1 ⃗⃗𝐶 , ∵A1C 2=3A1𝐵1 2 , ∴𝐴⃗⃗ 1 ⃗⃗𝐶 2=3𝐴1𝐵1 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2 ,故 A 正确; ∵𝐴1𝐵1 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ − 𝐴⃗⃗⃗ 1 ⃗𝐴⃗ = 𝐴𝐵1 ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AB1⊥A1C, ∴𝐴⃗⃗ 1 ⃗⃗𝐶 · 𝐴𝐵1 ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,故 B 正确; ∵△ACD1 是等边三角形, ∴∠AD1C=60°. 又 A1B∥D1C, ∴异面直线 AD1 与 A1B 所成的夹角为 60°,但是向量𝐴𝐷1 ⃗⃗⃗⃗⃗ 与向量𝐴⃗⃗⃗ 1 ⃗⃗𝐵 的夹角是 120°,故 C 不正 确; ∵AB⊥AA1, ∴𝐴𝐵⃗⃗⃗ · 𝐴𝐴1 ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,故|𝐴𝐵⃗⃗⃗ · 𝐴𝐴1 ⃗⃗⃗⃗⃗ · 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗ |=0,因此 D 不正确.故选 AB. 答案:AB 11.已知四边形 ABCD 是菱形,PA⊥平面 ABCD,则下列结论成立的是( ) A.𝑃𝐴⃗⃗⃗ · 𝐴𝐵⃗⃗⃗ =0 B.𝑃𝐶⃗⃗ · 𝐵𝐷⃗ ⃗ =0 C.𝑃𝐴⃗⃗⃗ · 𝐶𝐷⃗⃗⃗ =0 D.𝑃𝐶⃗⃗ · 𝐴𝐵⃗⃗⃗ =0 解析:∵PA⊥平面 ABCD, ∴PA⊥AB,∴𝑃𝐴⃗⃗⃗ · 𝐴𝐵⃗⃗⃗ =0,∴A 正确
,在菱形ABCD中，AC⊥BD,又PA⊥BD, .BD⊥平面PAC,∴.BD⊥PC, BD.P元=0，∴B正确. ,PA⊥平面ABCD,.PA⊥CD, ∴pA.C而=0 ∴C正确D不成立 故选ABC 答案：ABC 12.己知A1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),则下列向量是平面ABC法向量的是() A.(1,1,1) B.(1,-1,1) c(》 D(享 解析AB-(-l,1,0),AC=(-1,0,1),设n=(x,y,)为平面ABC的法向量， 则nA丽=-x+y=0, (n-AC=-x+z=0. 得x=y=z.故选AC. 答案：AC 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分 13.己知向量a=(-3,2,5),b=(1x,-1),且ab=8,则x的值为 解析ab=(-3,2,5)(1,x,-1)=-3+2x-5=8解得x=8. 答案：8 14.如图，在等腰三角形ABC中，底边BC-2,A而=D元，A正=EE若丽·AC-则CE. AB- 解析：AD=DC,.D是AC的中点， ∴B而=(A+BC,且而.AC= 即2(A+C)(C-BA= 整理得BC2-BA2-1. 在等腰三角形ABC中，底边BC2,得B=5,故os∠ABC-六-昌 由题意知A正=EB! ∴C正·孤=（配-武）E=-(B☑-配)(BA=配·B所-号B=2×5×店-x5= 答案 15.在底面是直角梯形的四棱锥P-ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD,BC∥AD,∠ ABC=90°，PA=AB=BC=2,AD=1,则直线AD到平面PBC的距离为 解析：由已知得AB,AD,AP两两垂直 ∴如图，以A为坐标原点，AB,AD,AF的方向分别为x轴、y轴、二轴正方向，建立空间直角坐 标系
∵在菱形 ABCD 中,AC⊥BD,又 PA⊥BD, ∴BD⊥平面 PAC,∴BD⊥PC, ∴𝐵𝐷⃗ ⃗ · 𝑃𝐶⃗⃗ =0,∴B 正确. ∵PA⊥平面 ABCD,∴PA⊥CD, ∴𝑃𝐴⃗⃗⃗ · 𝐶𝐷⃗⃗⃗ =0. ∴C 正确.D 不成立. 故选 ABC. 答案:ABC 12.已知 A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),则下列向量是平面 ABC 法向量的是( ) A.(1,1,1) B.(1,-1,1) C. - √3 3 ,- √3 3 ,- √3 3 D. √3 3 , √3 3 ,- √3 3 解析:𝐴𝐵⃗⃗⃗ =(-1,1,0),𝐴𝐶⃗⃗ =(-1,0,1),设 n=(x,y,z)为平面 ABC 的法向量, 则{ 𝑛·𝐴𝐵⃗⃗⃗ = -𝑥 + 𝑦 = 0, 𝑛·𝐴𝐶⃗⃗ = -𝑥 + 𝑧 = 0, 得 x=y=z.故选 AC. 答案:AC 三、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.已知向量 a=(-3,2,5),b=(1,x,-1),且 a·b=8,则 x 的值为 . 解析:a·b=(-3,2,5)·(1,x,-1)=-3+2x-5=8,解得 x=8. 答案:8 14.如图,在等腰三角形 ABC 中,底边 BC=2,𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗ = 𝐷𝐶⃗⃗⃗ ,𝐴𝐸⃗⃗⃗ = 1 2 𝐸𝐵⃗⃗⃗ .若𝐵𝐷⃗ ⃗ · 𝐴𝐶⃗⃗ =- 1 2 ,则𝐶𝐸⃗⃗ · 𝐴𝐵⃗⃗⃗ = . 解析:∵𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗ = 𝐷𝐶⃗⃗⃗ ,∴D 是 AC 的中点, ∴𝐵𝐷⃗ ⃗ = 1 2 (𝐵𝐴⃗⃗⃗ + 𝐵𝐶⃗⃗⃗ ),且𝐵𝐷⃗ ⃗ · 𝐴𝐶⃗⃗ =- 1 2 , 即 1 2 (𝐵𝐴⃗⃗⃗ + 𝐵𝐶⃗⃗⃗ )·(𝐵𝐶⃗⃗⃗ − 𝐵𝐴⃗⃗⃗ )=- 1 2 , 整理得𝐵𝐶⃗⃗⃗ 2 − 𝐵𝐴⃗⃗⃗ 2=-1. 在等腰三角形 ABC 中,底边 BC=2,得 AB=√5,故 cos∠ABC= 1 √5 = √5 5 . 由题意知𝐴𝐸⃗⃗⃗ = 1 2 𝐸𝐵⃗⃗⃗ , ∴𝐶𝐸⃗⃗ · 𝐴𝐵⃗⃗⃗ =(𝐵𝐸⃗⃗⃗ − 𝐵𝐶⃗⃗⃗ )·𝐴𝐵⃗⃗⃗ =( 2 3 𝐵𝐴⃗⃗⃗ − 𝐵𝐶⃗⃗⃗ )·(-𝐵𝐴⃗⃗⃗ )=𝐵𝐶⃗⃗⃗ · 𝐵𝐴⃗⃗⃗ − 2 3 𝐵𝐴⃗⃗⃗ 2=2×√5 × 1 √5 − 2 3 ×5=- 4 3 . 答案:- 4 3 15.在底面是直角梯形的四棱锥 P-ABCD 中,侧棱 PA⊥底面 ABCD,BC∥AD,∠ ABC=90°,PA=AB=BC=2,AD=1,则直线 AD 到平面 PBC 的距离为 . 解析:由已知得 AB,AD,AP 两两垂直. ∴如图,以 A 为坐标原点,𝐴𝐵⃗⃗⃗ ,𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗ ,𝐴𝑃⃗⃗⃗ 的方向分别为 x 轴、y 轴、z 轴正方向,建立空间直角坐 标系
D、 B 则A(0,0,0),B2,0,0),C(2,2,0),P0,0,2),PB=(2,0,-2),BC=(02,0) 设平面PBC的一个法向量为n=(a,b,c), 则nr:P丽=2a-2c=0, '(nB元=2b=0, 令a=1,则n=(1,0,1) 又丽-(20,0.∴d1=V2 答案：V2 16.如图，在空间四边形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD,∠BAD=90°，∠BCD-90°，且AB=AD, 则AC与平面BCD所成角的度数为 解析：取BD的中点O,连接AO,CO. 0 因为AB=AD,所以AO⊥BD 又平面ABD⊥平面BCD, 所以AO⊥平面BCD. 因此，∠ACO即为AC与平面BCD所成的角 国为∠BAD=90°，∠BCD=90°，所以A0=0C-BD, 又A0⊥OC,所以∠AC0=45°. 答案：45° 四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17.(10分)已知空间中三点A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4),设a=AB,b=AC (1)求向量a与向量b的夹角的余弦值： (2)若ka+b与ka-2b互相垂直，求实数k的值. 解(1)a=AB-(1,1,0),b=AC=-(-1,0,2), 设a与b的夹角为0， cos0品=品晋 (2).ka+b=(k-1,k,2),ka-2b=(k+2,k-4),且(ka+b)⊥(ka-2b), ∴.(k1)k+2)+2-8=0, 解得k=载k=2 18.(12分)如图，己知直三棱柱ABC-A1B1C,若AB=BC=3,AA1=6,且AB⊥BC
则 A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),P(0,0,2),𝑃𝐵⃗⃗⃗ =(2,0,-2),𝐵𝐶⃗⃗⃗ =(0,2,0). 设平面 PBC 的一个法向量为 n=(a,b,c), 则{ 𝑛·𝑃𝐵⃗⃗⃗ = 2𝑎-2𝑐 = 0, 𝑛·𝐵𝐶⃗⃗⃗ = 2𝑏 = 0, 令 a=1,则 n=(1,0,1). 又𝐴𝐵⃗⃗⃗ =(2,0,0),∴d=|𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ·𝑛| |𝑛| = √2. 答案:√2 16.如图,在空间四边形 ABCD 中,平面 ABD⊥平面 BCD,∠BAD=90°,∠BCD=90°,且 AB=AD, 则 AC 与平面 BCD 所成角的度数为 . 解析:取 BD 的中点 O,连接 AO,CO. 因为 AB=AD,所以 AO⊥BD. 又平面 ABD⊥平面 BCD, 所以 AO⊥平面 BCD. 因此,∠ACO 即为 AC 与平面 BCD 所成的角. 因为∠BAD=90°,∠BCD=90°,所以 AO=OC=1 2 BD. 又 AO⊥OC,所以∠ACO=45°. 答案:45° 四、解答题:本题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(10 分)已知空间中三点 A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4),设 a=𝐴𝐵⃗⃗⃗ ,b=𝐴𝐶⃗⃗ . (1)求向量 a 与向量 b 的夹角的余弦值; (2)若 ka+b 与 ka-2b 互相垂直,求实数 k 的值. 解:(1)∵a=𝐴𝐵⃗⃗⃗ =(1,1,0),b=𝐴𝐶⃗⃗ =(-1,0,2), 设 a 与 b 的夹角为 θ, ∴cos θ= 𝑎·𝑏 |𝑎||𝑏| = -1 √10=- √10 10 . (2)∵ka+b=(k-1,k,2),ka-2b=(k+2,k,-4),且(ka+b)⊥(ka-2b), ∴(k-1)(k+2)+k2 -8=0, 解得 k=- 5 2或 k=2. 18.(12 分)如图,已知直三棱柱 ABC-A1B1C1,若 AB=BC=3,AA1=6,且 AB⊥BC
B (I)求点B到平面AACC的距离； (2)设D为BB1的中点，求平面A1CD与底面AB1C所成二面角的余弦值 解(I)过点B作BH⊥AC于点H, ,在直三棱柱中，平面ABC⊥平面AA1C1C, ,.BH⊥面AA1C1C 即BH为点B到平面AA1C1C的距离 'AB⊥BC,AB=BC=3, ∴.AC-3VZ 利用等面积可得BH3三 2 点B到平面AA1C1C的距离等于3 (2)如图，以，点B1为原点，B1A,B1C,B1B的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角 坐标系，则A1(3,0,0),C0,3,6),D(0,0,3), H C A A1C=(-3,3,6),A1D=(-3,0,3) 设平面A1DC的法向量为1(xy,2), 则m1☑=-3x+3y+62=0, (n1A1D=-3x+3z=0, .n1=-(1,-1,1). 又平面A1B1C1的一个法向量为BB1=(0,0,6), .cos<n. 平面A1CD与底面A1BC所成二面角的余弦值为 19.(12分)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，N是AD1的中点，AM=2MB. D C MB ()化简B丽-A而-AA, (2)设AB=a,AD=b,AA1=c,若MN=xa+b+zc,求x+y+z 解()：在平行六面体ABCD-A1BCD1中N是AD1的中点，∴B丽-A而-AA=B丽- A而=B丽-N=函 (2).'AM=2MB
(1)求点 B 到平面 AA1C1C 的距离; (2)设 D 为 BB1 的中点,求平面 A1CD 与底面 A1B1C1 所成二面角的余弦值. 解:(1)过点 B 作 BH⊥AC 于点 H, ∵在直三棱柱中,平面 ABC⊥平面 AA1C1C, ∴BH⊥面 AA1C1C, 即 BH 为点 B 到平面 AA1C1C 的距离. ∵AB⊥BC,AB=BC=3, ∴AC=3√2, 利用等面积可得 BH=3√2 2 , ∴点 B 到平面 AA1C1C 的距离等于3√2 2 . (2)如图,以点 B1 为原点,𝐵1𝐴1 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,𝐵1𝐶1 ⃗⃗⃗⃗⃗ ,𝐵⃗⃗ 1 ⃗⃗𝐵⃗ 的方向分别为 x 轴、y 轴、z 轴正方向,建立空间直角 坐标系,则 A1(3,0,0),C(0,3,6),D(0,0,3), 𝐴⃗⃗ 1 ⃗⃗𝐶 =(-3,3,6),𝐴⃗⃗ 1 ⃗𝐷⃗ =(-3,0,3). 设平面 A1DC 的法向量为 n1=(x,y,z), 则{ 𝑛1 ·𝐴⃗⃗ 1 ⃗⃗𝐶 = -3𝑥 + 3𝑦 + 6𝑧 = 0, 𝑛1 ·𝐴⃗⃗ 1 ⃗𝐷⃗ = -3𝑥 + 3𝑧 = 0, ∴n1=(1,-1,1). 又平面 A1B1C1 的一个法向量为𝐵𝐵1 ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,6), ∴cos= √3 3 , ∴平面 A1CD 与底面 A1B1C1 所成二面角的余弦值为√3 3 . 19.(12 分)在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中,N 是 AD1 的中点,AM=2MB. (1)化简:𝐵𝑁⃗⃗ ⃗ − 1 2 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗ − 1 2 𝐴𝐴1 ⃗⃗⃗⃗⃗ ; (2)设𝐴𝐵⃗⃗⃗ =a,𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗ =b,𝐴𝐴1 ⃗⃗⃗⃗⃗ =c,若𝑀𝑁⃗⃗⃗ =xa+yb+zc,求 x+y+z. 解:(1)∵在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中,N 是 AD1 的中点,∴𝐵𝑁⃗⃗ ⃗ − 1 2 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗ − 1 2 𝐴𝐴1 ⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐵𝑁⃗⃗ ⃗ − 1 2 𝐴𝐷1 ⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐵𝑁⃗⃗ ⃗ − 𝐴𝑁⃗ ⃗ = 𝐵𝐴⃗⃗⃗ . (2)∵AM=2MB
M丽=丽-M=2A而+AA-子A丽-子+b+2 .MN=xa+yb+zc, .x+y+-3 20.(12分)如图，己知P是矩形ABCD平面外一点，PA⊥平面ABCD,E,F分别是AB,PC的中点 求证： (1)EF,AP,AD共面 (2)EF⊥CD. 证明(I)如图，以A为原点，AB,AD,AP的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐 标系Az 设AB=2a.BC=2b.PA=2c 则A(0,0,0),B2a,0,0),C2a,2b,0),D0,2b,0),P(0,0,2c). ,E为AB的中点，F为PC的中点， ∴.E(a,0,0),F(a,b,c. EF=(0,b,c,AP-(0,0,2c),AD=(0,2b,0) ∴F=A丽+而 ∴EF,A下AD共面 (2).CD=(-2a,0,0),EF-(0,b,c）, ∴.CD.EF-(-2a,0,0(0,b,c)=0 ∴.C而1EF ..CD⊥EF 21.(12分)如图，在三棱锥A-BCD中，DA,DB,DC两两垂直，且DB=DC=DA-2,E为BC的中点. (I)证明：AE⊥BC (2)求直线AE与DC的夹角的余弦值 解：如图，以D为坐标原点，DE,DC,DA方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标 系Dz
∴𝑀𝑁⃗⃗⃗ = 𝐴𝑁⃗ ⃗ − 𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗ = 1 2 (𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐴1 ⃗⃗⃗⃗⃗ )- 2 3 𝐴𝐵⃗⃗⃗ =- 2 3 a+ 1 2 b+ 1 2 c. ∵𝑀𝑁⃗⃗⃗ =xa+yb+zc, ∴x=- 2 3 ,y= 1 2 ,z= 1 2 , ∴x+y+z=1 3 . 20.(12 分)如图,已知 P 是矩形 ABCD 平面外一点,PA⊥平面 ABCD,E,F 分别是 AB,PC 的中点. 求证: (1)𝐸𝐹⃗⃗ ,𝐴𝑃⃗⃗⃗ ,𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗ 共面; (2)EF⊥CD. 证明:(1)如图,以 A 为原点,𝐴𝐵⃗⃗⃗ ,𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗ , 𝐴𝑃⃗⃗⃗ 的方向分别为 x 轴、y 轴、z 轴正方向,建立空间直角坐 标系 Axyz. 设 AB=2a,BC=2b,PA=2c, 则 A(0,0,0),B(2a,0,0),C(2a,2b,0),D(0,2b,0),P(0,0,2c). ∵E 为 AB 的中点,F 为 PC 的中点, ∴E(a,0,0),F(a,b,c). ∵𝐸𝐹⃗⃗ =(0,b,c),𝐴𝑃⃗⃗⃗ =(0,0,2c),𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗ =(0,2b,0), ∴𝐸𝐹⃗⃗ = 1 2 𝐴𝑃⃗⃗⃗ + 1 2 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗ , ∴𝐸𝐹⃗⃗ ,𝐴𝑃⃗⃗⃗ ,𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗ 共面. (2)∵𝐶𝐷⃗⃗⃗ =(-2a,0,0),𝐸𝐹⃗⃗ =(0,b,c), ∴𝐶𝐷⃗⃗⃗ · 𝐸𝐹⃗⃗ =(-2a,0,0)·(0,b,c)=0, ∴𝐶𝐷⃗⃗⃗ ⊥ 𝐸𝐹⃗⃗ , ∴CD⊥EF. 21.(12 分)如图,在三棱锥 A-BCD 中,DA,DB,DC 两两垂直,且 DB=DC=DA=2,E 为 BC 的中点. (1)证明:AE⊥BC; (2)求直线 AE 与 DC 的夹角的余弦值. 解:如图,以 D 为坐标原点,𝐷𝐵⃗ ⃗ ,𝐷𝐶⃗⃗⃗ ,𝐷𝐴⃗⃗⃗⃗ 方向分别为 x 轴、y 轴、z 轴正方向,建立空间直角坐标 系 Dxyz
Di C 由题意可得D(0,0,0),A(0,0,2),B2,0,0),C0,2,0),E(1,1,0 (1)证明：因为AE-(1,1,-2),BC=(-22,0), 所以AE.BC=1×(-2)+1×2+(-2)×0=0, 所以AE⊥BC 即AE⊥BC (2)因为AE=(1,1,-2),DC=-(0,2,0), 所以c0正沉)需品=忌=票所以直线4E与DC的夫角的余孩值为 6 22.(12分)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠ DAB=60°，PD=AD=AB,PDL底面ABCD. (I)证明：PA⊥BD (2)求平面PAD与平面PBC所成的锐二面角的大小 (1)证明：因为∠DAB=60°，AB=2AD, 由余弦定理得BD=V3AD,从而BD+AD=AB2,故BD⊥AD 又PD⊥底面ABCD,可得BD⊥PD,所以BD⊥平面PAD.故PA⊥BD (2)解：如图，以D为坐标原点，DA,DB,DP的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角 坐标系Dxz,不妨设AD=1,则A1,0,0),B0,V3,0),C(-1,3,0),P(0,0,1),AE=(-1,V3,0),P-(0,√3，- 1),BC=-(-1,0,0). 设平面PAD的一个法向量为n=-(0,1,0),设平面PBC的法向量为m=(xy,), 则m西=32=0取1，得m0,1V3 (mBC=-x=0, 所以0sm>品=克故平面PAD与平面PBC所成的锐二西角的大小为60e
由题意可得 D(0,0,0),A(0,0,2),B(2,0,0),C(0,2,0),E(1,1,0). (1)证明:因为𝐴𝐸⃗⃗⃗ =(1,1,-2),𝐵𝐶⃗⃗⃗ =(-2,2,0), 所以𝐴𝐸⃗⃗⃗ · 𝐵𝐶⃗⃗⃗ =1×(-2)+1×2+(-2)×0=0, 所以𝐴𝐸⃗⃗⃗ ⊥ 𝐵𝐶⃗⃗⃗ , 即 AE⊥BC. (2)因为𝐴𝐸⃗⃗⃗ =(1,1,-2),𝐷𝐶⃗⃗⃗ =(0,2,0), 所以 cos=𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗ ·𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ |𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗ ||𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ | = 1×2 √6×2 = √6 6 ,所以直线 AE 与 DC 的夹角的余弦值为√6 6 . 22.(12 分)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为平行四边形,∠ DAB=60°,PD=AD=1 2 AB,PD⊥底面 ABCD. (1)证明:PA⊥BD; (2)求平面 PAD 与平面 PBC 所成的锐二面角的大小. (1)证明:因为∠DAB=60°,AB=2AD, 由余弦定理得 BD=√3AD,从而 BD2+AD2=AB2 ,故 BD⊥AD. 又 PD⊥底面 ABCD,可得 BD⊥PD,所以 BD⊥平面 PAD.故 PA⊥BD. (2)解:如图,以 D 为坐标原点,𝐷𝐴⃗⃗⃗⃗ ,𝐷𝐵⃗ ⃗ , 𝐷𝑃⃗⃗⃗ 的方向分别为 x 轴、y 轴、z 轴正方向,建立空间直角 坐标系 Dxyz,不妨设 AD=1,则 A(1,0,0),B(0,√3,0),C(-1,√3,0),P(0,0,1),𝐴𝐵⃗⃗⃗ =(-1,√3,0),𝑃𝐵⃗⃗⃗ =(0,√3,- 1),𝐵𝐶⃗⃗⃗ =(-1,0,0). 设平面 PAD 的一个法向量为 n=(0,1,0),设平面 PBC 的法向量为 m=(x,y,z), 则{ 𝑚·𝑃𝐵⃗⃗⃗ = √3𝑦-𝑧 = 0, 𝑚·𝐵𝐶⃗⃗⃗ = -𝑥 = 0, 取 y=1,得 m=(0,1,√3). 所以|cos|=|𝑛·𝑚| |𝑛||𝑚| = 1 2 ,故平面 PAD 与平面 PBC 所成的锐二面角的大小为 60°