2.平面解析几何 基础巩固 1.点A(2,-3)关于点B(-1,0)的对称点A的坐标是() A.(5,-6) B.(-4,3) C.(3,-3) D.（13 22 1=24x 解析：设点A(xy),则 解化= 0=3+ 21 答案B 2.过抛物线2=6x的焦点F作直线交抛物线于A(1,),B(x2,2)两点，如果x1+2=6,那么4B= () A.10 B.9 C.6 D.4 解析：因为抛物线尸=6x的准线方程为X-三所以 3 AF=x1+BF列=+AB=A+|BF=x1t+3-=9.故选B. 答案B 3.若圆(x-1)2+0y+1)2=R2上有且仅有两个点到直线4x+3y=11的距离等于1，则半径R的取值 范围是( A.R>1 B.R2,a=1 ∴.V1+b>2,b>V3,2b>23.故选CD 答案：CD 6.若动圆C的圆心在抛物线y2=4x上，且与直线1x=-1相切，则动圆C必过一个定点，该定点 坐标为 解析：由题意，得圆心在y2-4x上，它到直线1的距离为圆的半径，1为2=4x的准线.由抛物线的 定义可知，圆心到准线的距离等于其到抛物线焦点的距离，故动圆C必过的定点为抛物线的 焦点，即点(1,0). 答案(1,0)
2.平面解析几何 基础巩固 1.点 A(2,-3)关于点 B(-1,0)的对称点 A'的坐标是( ) A.(5,-6) B.(-4,3) C.(3,-3) D. 1 2 ,- 3 2 解析:设点 A'(x,y),则{ -1 = 2+𝑥 2 , 0 = -3+𝑦 2 , 解得{ 𝑥 = -4, 𝑦 = 3. 答案:B 2.过抛物线 y 2=6x 的焦点 F 作直线交抛物线于 A(x1,y1),B(x2,y2)两点,如果 x1+x2=6,那么|AB|= ( ) A.10 B.9 C.6 D.4 解析:因为抛物线 y 2=6x 的准线方程为 x=- 3 2 ,所以 |AF|=x1+ 3 2 ,|BF|=x2+ 3 2 ,|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+3=9.故选 B. 答案:B 3.若圆(x-1)2+(y+1)2=R2 上有且仅有两个点到直线 4x+3y=11 的距离等于 1,则半径 R 的取值 范围是( ) A.R>1 B.R0)的离心率大于 2,则该双曲线的虚轴长可能是( ) A.2 B.3 C.4 D.5 解析:∵e>2,a=1, ∴√1 + 𝑏 2>2,b>√3,2b>2√3.故选 CD. 答案:CD 6.若动圆 C 的圆心在抛物线 y 2=4x 上,且与直线 l:x=-1 相切,则动圆 C 必过一个定点,该定点 坐标为 . 解析:由题意,得圆心在 y 2=4x 上,它到直线 l 的距离为圆的半径,l 为 y 2=4x 的准线.由抛物线的 定义可知,圆心到准线的距离等于其到抛物线焦点的距离,故动圆 C 必过的定点为抛物线的 焦点,即点(1,0). 答案:(1,0)
7.如图，已知圆C与x轴相切于点T(1,0),与y轴正半轴交于两点A,B(B在A的上方)，且 4B=2,则圆C的标准方程为 ↑y O T 解析：由题意，圆的半径为V1+工=V2,圆心坐标为(1，V2),故圆C的标准方程为(x-1)2+0 v2)2=2. 答案：(x-1)2+0-V2)2=2 8若从方程兰-二1（其中mn∈-1,23）所表示的圆锥曲线中任取一个，则此方程表示焦点 九 在x轴上的双曲线的概率为 解析：由题意，m,n∈{-1,2,3}，则使方程表示圆锥曲线的m,n的所有情况分别是(-1，-1).(2， 1),(2,2),(2,3),(3,-1),(3,2),(3,3),共7种，其中符合焦点在x轴上的双曲线的情况有 (2,2).(2,3),3,2)(3,3),共4种，故此方程表示焦点在x轴上的双曲线的概率为号 答案 9.已知圆Cx2+y2-2r+my=0经过点(3，-1). (1)若直线12xy+1=0与圆C相切，求1的值； (2)若圆M(x-6)2+0y10)2=2(>0)与圆C无公共点，求r的取值范围 解：将点(3，-1)的坐标代入x2+y2-2x+my=0,可得m=4,所以圆的方程为x2+y2-2x+4y=0,即(x 1)2+0y+2)2=5,故圆心为C(1,-2),半径r=V5. ()因为直线1与圆C相切，所以圆心C到直线1的距离等于圆的半径，即2x12+=5,整理 V22+12 得4+t=5,解得1=1或1=-9. (2)圆M的圆心为M(6,10),则MC=13.由题意可得，圆M与圆C内含或外离，所以13V5+r,解得r>13+V5或rb0)的左顶点为4，右焦点为B,过B作垂直于x轴的直线交该椭 圆于M,N两点，直线AM的斜率为号 (1)求椭圆的离心率 (2)若△A1MN的外接圆在M处的切线与椭圆交于另一点D,且△F2MD的面积为兰求椭圆的 方程 解(1)由题意可知，A1(-a,0),F(c,0) (X=C, 设M(x,),则，点M在第一象限，x2 a2 6=1, b2 a+c a(a+c)a a-2ce后= 2)(1)知，b--心-4c2-e2-3C,故椭圆方程为壳+会-1，M(c刘)A2c,0 设△4MN的外接圆的圆心坐标为Tu0,由|TA=TM,得+2cy-(eP+2,解得1=. KTM= 3-4 “切线斜率为=是切线方程为2c=x-c,即3x+4少9c-0,代入椭圆方程，得72 18cx+11c2=0, .△=182c2.4×7×11c2=16c2>0,xD=7-c 11
7.如图,已知圆 C 与 x 轴相切于点 T(1,0),与 y 轴正半轴交于两点 A,B(B 在 A 的上方),且 |AB|=2,则圆 C 的标准方程为 . 解析:由题意,圆的半径为√1 + 1 = √2,圆心坐标为(1,√2),故圆 C 的标准方程为(x-1)2+(y- √2) 2=2. 答案:(x-1)2+(y-√2) 2=2 8.若从方程𝑥 2 𝑚 − 𝑦 2 𝑛 =1(其中 m,n∈{-1,2,3})所表示的圆锥曲线中任取一个,则此方程表示焦点 在 x 轴上的双曲线的概率为 . 解析:由题意,m,n∈{-1,2,3},则使方程表示圆锥曲线的 m,n 的所有情况分别是(-1,-1),(2,- 1),(2,2),(2,3),(3,-1),(3,2),(3,3),共 7 种,其中符合焦点在 x 轴上的双曲线的情况有 (2,2),(2,3),(3,2),(3,3),共 4 种,故此方程表示焦点在 x 轴上的双曲线的概率为4 7 . 答案: 4 7 9.已知圆 C:x 2+y2 -2x+my=0 经过点(3,-1). (1)若直线 l:2x-y+t=0 与圆 C 相切,求 t 的值; (2)若圆 M:(x-6)2+(y-10)2=r2 (r>0)与圆 C 无公共点,求 r 的取值范围. 解:将点(3,-1)的坐标代入 x 2+y2 -2x+my=0,可得 m=4,所以圆的方程为 x 2+y2 -2x+4y=0,即(x- 1)2+(y+2)2=5,故圆心为 C(1,-2),半径 r=√5. (1)因为直线 l 与圆 C 相切,所以圆心 C 到直线 l 的距离等于圆的半径,即 |2×1-(-2)+𝑡| √2 2+(-1) 2 = √5,整理 得|4+t|=5,解得 t=1 或 t=-9. (2)圆 M 的圆心为 M(6,10),则|MC|=13.由题意可得,圆 M 与圆 C 内含或外离,所以 13√5+r,解得 r>13+√5或 rb>0)的左顶点为 A1,右焦点为 F2,过 F2 作垂直于 x 轴的直线交该椭 圆于 M,N 两点,直线 A1M 的斜率为1 2 . (1)求椭圆的离心率; (2)若△A1MN 的外接圆在 M 处的切线与椭圆交于另一点 D,且△F2MD 的面积为12 7 ,求椭圆的 方程. 解:(1)由题意可知,A1(-a,0),F2(c,0). 设 M(x,y),则点 M 在第一象限,{ 𝑥 = 𝑐, 𝑥 2 𝑎2 + 𝑦 2 𝑏 2 = 1, ∴M(𝑐, 𝑏 2 𝑎 ),∴ 𝑏 2 𝑎 𝑎+𝑐 = 𝑎 2 -𝑐 2 𝑎(𝑎+𝑐) = 𝑎-𝑐 𝑎 = 1 2 , ∴a=2c,∴e= 𝑐 𝑎 = 1 2 . (2)由(1)知,b 2=a2 -c 2=4c 2 -c 2=3c 2 ,故椭圆方程为 𝑥 2 4𝑐 2 + 𝑦 2 3𝑐 2=1,M(𝑐, 3 2 𝑐),A1(-2c,0). 设△A1MN 的外接圆的圆心坐标为 T(t,0),由|TA1|=|TM|,得(t+2c) 2=(t-c) 2+ 9 4 c 2 ,解得 t=- 𝑐 8 .∴ kTM= 3 2 𝑐 𝑐+ 𝑐 8 = 4 3 , ∴切线斜率为 k=- 3 4 ,切线方程为 y- 3 2 c=- 3 4 (x-c),即 3x+4y-9c=0,代入椭圆方程,得 7x 2 - 18cx+11c 2=0, ∴Δ=182 c 2 -4×7×11c 2=16c 2>0,xD= 11 7 c
:M2⊥x轴，∴MF-,点D到MF的距离dc-c 55n=Wd×号解得-4故精国方程为后+台 拓展提高 1.已知抛物线顶点为坐标原点O,对称轴为y轴，直线3x-2y6=0过抛物线的焦点，则该抛物线 的方程为( A.x2=-12y B.2=12x C.x2=8y D.y2=8x 解析：由题意，得抛物线的焦点在y轴上，设抛物线的方程为x2=2p(p-0) 将焦点(0，)的坐标代入直线方程3x-2少6=0得，-2×号6=0，解得p=-6. 故抛物线的方程为x2=12y 答案：A 2.设点M(0,1),若在圆Ox2+y2=1上存在点N,使得∠OMNW=45°，则x和的取值范围是( ) A[-1,1] B..11 22 C.[-V2,V2 D2,2] 解析：由题意，易知OM=√x名+1≤VZ,解得-1sxo≤1. 答案：A 3直线一：+m与双曲线装_ 乞=1(a>0,b>0)的交点个数最多为() b A.1 B.2 C.3 D.4 答案：B 4.已知双曲线的一个焦点与圆2+y2.6x=0的圆心重合，且其渐近线的方程为y=±√Zx,则该双 曲线方程为( Ar.号= B号--I 3 6 C=1 D二-1 2 3-6 解析：由题意，圆的方程可化为(x-3)2+y2=9,故圆心坐标为(3,0)，所以双曲线的一个焦点为(3,0) 设双尚线的方程为5-兰=1a>0,6>0,则c- 又其渐近线的方程为y=士V2x,所以2=√2 又c2=a2+b,所以a=V3,b=6 所以双曲线方程为号-台1故选B 答案B 5已知直线1与圆+2-20相交于AB两点，且线段B的中点P坐标关}则直线1 的方程为 解析把圆的方程化为标准方程，得x2+1)2=1,故圆心C(0,1),则直线CP的斜率为1，直线AB 的斜率为1，故直线AB的方程为)(x+),即x+-0 答案x+y=0 6.已知抛物线y2=4x的焦点为F,P为抛物线上一点.若P日=5，则△POF的面积 为 解析：因为抛物线y2=4x的焦点为F,所以焦点F1,0) 又因为1PF=5,所以根据抛物线的定义可得，点P的横坐标0=5-1=4，代入y2=4x,可得纵坐标 0=±4. 所以△POF的面积S-x1x4-2 答案：2
∵MF2⊥x 轴,∴|MF2|=3 2 c,点 D 到 MF2 的距离 d=11 7 c-c= 4 7 c, ∴𝑆△𝐹2𝑀𝐷 = 1 2 |MF2|·d=1 2 × 3 2 c× 4 7 c= 12 7 ,解得 c 2=4.故椭圆方程为𝑥 2 16 + 𝑦 2 12=1. 拓展提高 1.已知抛物线顶点为坐标原点 O,对称轴为 y 轴,直线 3x-2y-6=0 过抛物线的焦点,则该抛物线 的方程为( ) A.x 2=-12y B.y 2=12x C.x 2=8y D.y 2=8x 解析:由题意,得抛物线的焦点在 y 轴上,设抛物线的方程为 x 2=2py(p≠0). 将焦点(0, 𝑝 2 )的坐标代入直线方程 3x-2y-6=0 得,-2×𝑝 2 -6=0,解得 p=-6. 故抛物线的方程为 x 2=-12y. 答案:A 2.设点 M(x0,1),若在圆 O:x 2+y2=1 上存在点 N,使得∠OMN=45°,则 x0 的取值范围是( ) A.[-1,1] B.[- 1 2 , 1 2 ] C.[-√2,√2] D.[- √2 2 , √2 2 ] 解析:由题意,易知|OM|=√𝑥0 2 + 1 ≤ √2,解得-1≤x0≤1. 答案:A 3.直线 y=kx+m 与双曲线𝑥 2 𝑎2 − 𝑦 2 𝑏 2=1(a>0,b>0)的交点个数最多为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案:B 4.已知双曲线的一个焦点与圆 x 2+y2 -6x=0 的圆心重合,且其渐近线的方程为 y=±√2x,则该双 曲线方程为( ) A.x 2 - 𝑦 2 2 =1 B.𝑥 2 3 − 𝑦 2 6 =1 C.y 2 - 𝑥 2 2 =1 D.𝑦 2 3 − 𝑥 2 6 =1 解析:由题意,圆的方程可化为(x-3)2+y2=9,故圆心坐标为(3,0),所以双曲线的一个焦点为(3,0). 设双曲线的方程为𝑥 2 𝑎2 − 𝑦 2 𝑏 2=1(a>0,b>0),则 c=3. 又其渐近线的方程为 y=±√2x,所以𝑏 𝑎 = √2, 又 c 2=a2+b2 ,所以 a=√3,b=√6, 所以双曲线方程为𝑥 2 3 − 𝑦 2 6 =1.故选 B. 答案:B 5.已知直线 l 与圆 x 2+y2 -2y=0 相交于 A,B 两点,且线段 AB 的中点 P 坐标为 - 1 2 , 1 2 ,则直线 l 的方程为 . 解析:把圆的方程化为标准方程,得 x 2+(y-1)2=1,故圆心 C(0,1),则直线 CP 的斜率为 1,直线 AB 的斜率为-1,故直线 AB 的方程为 y- 1 2 =-(𝑥 + 1 2 ),即 x+y=0. 答案:x+y=0 6.已知抛物线 y 2=4x 的焦点为 F,P 为抛物线上一点.若|PF|=5,则△POF 的面积 为 . 解析:因为抛物线 y 2=4x 的焦点为 F,所以焦点 F(1,0). 又因为|PF|=5,所以根据抛物线的定义可得,点 P 的横坐标 x0=5-1=4,代入 y 2=4x,可得纵坐标 y0=±4. 所以△POF 的面积 S=1 2 ×1×4=2. 答案:2
7.已知椭圆c号+ +左=l(@>b≥0)的左顶点为A,上顶点为B,右焦点为F离心率为号△4 面积为v2+1. (1)求椭圆C的方程： (2)若M,N为y轴上的两个动点，且MF⊥NF,直线AM和AW分别与椭圆C交于E,D两点 ①求△MFN面积的最小值： ②证明：E,O,D三点共线， 解(1)由题意可知，A(-a,0),B(0,b),F(c,0) :离心率为吗近-号ac .△ABF的面积为VZ+1, 2a+c)b=2+l,∴bc=2,即b-子 又a2=6+,2c2+c,解得cV2 “a2,6-巨.故椭圆C的方程为号+兰-1 (2)不妨设M(0,m),N0,n),m>n. ,MF⊥NF,∴.MF.NF-0, ∴.（√Z,-m）(Z,-n)=0,∴.mn=-2,∴m>0. ①设△MFN的面积为S, :mn=-2n品m>0, ×vm号(m+引)≥号2m是-2，当且仅当m=i时取￥号。 故△MFN面积的最小值为2. ②证明：，A(-2,0),M(0,m), .直线M的方程为)受r+m 尚+=1 得(2+m2)x2+4n2x+4m2-8=0. y=2x+m. 设E(x1,n),.-2x _4m2-8 …1-2m24 2+m2 2+m2h 2+m2 设D(2,2),同理，2= 2n2-4 知E0ka 2n 2-n2 - 又mn=-2,∴.m n> 2m ..koE-2-m2 2阁 2n 2-n2 ∴.koE=kon. 又直线OE,OD过同一点，∴.E,O,D三点共线 挑战创新 已知抛物线方程y2=4x,F为焦点，P为抛物线准线上一点，Q为线段PF与抛物线的交点，定 义.adpn器 ()当点P的坐标为(-1，)时，求dP; (2)证明：存在常数a,使得2d(P)=PH+a (3)P1,P2,P3为抛物线准线上三点，且PP=P2P3,判断dP1)+dP3)与2dP2)的关系. ()解国为立=手所以直线PF的方程为y)
7.已知椭圆 C: 𝑥 2 𝑎2 + 𝑦 2 𝑏 2=1(a>b>0)的左顶点为 A,上顶点为 B,右焦点为 F,离心率为√2 2 ,△ABF 的 面积为√2+1. (1)求椭圆 C 的方程; (2)若 M,N 为 y 轴上的两个动点,且 MF⊥NF,直线 AM 和 AN 分别与椭圆 C 交于 E,D 两点. ①求△MFN 面积的最小值; ②证明:E,O,D 三点共线. 解:(1)由题意可知,A(-a,0),B(0,b),F(c,0). ∵离心率为√2 2 ,∴ 𝑐 𝑎 = √2 2 ,∴a=√2c. ∵△ABF 的面积为√2+1, ∴ 1 2 (a+c)b=√2+1,∴bc=2,即 b=2 𝑐 . 又 a 2=b2+c2 ,∴2c 2= 4 𝑐 2+c2 ,解得 c=√2. ∴a=2,b=√2.故椭圆 C 的方程为𝑥 2 4 + 𝑦 2 2 =1. (2)不妨设 M(0,m),N(0,n),m>n. ∵MF⊥NF,∴𝑀𝐹 ⃗⃗⃗⃗ · 𝑁𝐹⃗⃗⃗⃗ =0, ∴(√2,-m)·(√2,-n)=0,∴mn=-2,∴m>0. ①设△MFN 的面积为 S, ∵mn=-2,∴n= -2 𝑚 (m>0), ∴S=1 2 × √2(m-n)= √2 2 (𝑚 + 2 𝑚 ) ≥ √2 2 ×2√𝑚· 2 𝑚 =2,当且仅当 m=√2时取等号. 故△MFN 面积的最小值为 2. ②证明:∵A(-2,0),M(0,m), ∴直线 AM 的方程为 y= 𝑚 2 x+m. 由{ 𝑥 2 4 + 𝑦 2 2 = 1, 𝑦 = 𝑚 2 𝑥 + 𝑚, 得(2+m2 )x 2+4m2 x+4m2 -8=0. 设 E(x1,y1),∴-2x1= 4𝑚2 -8 2+𝑚2 , ∴x1=- 2𝑚2 -4 2+𝑚2 ,y1= 4𝑚 2+𝑚2 . 设 D(x2,y2),同理,x2=- 2𝑛 2 -4 2+𝑛2 ,y2= 4𝑛 2+𝑛2 . ∴kOE= 2𝑚 2-𝑚2 ,kOD= 2𝑛 2-𝑛2 . 又 mn=-2,∴m= -2 𝑛 , ∴kOE= 2𝑚 2-𝑚2 = 2 -2 𝑛 2- ( -2 𝑛 ) 2 = 2𝑛 2-𝑛2 . ∴kOE=kOD. 又直线 OE,OD 过同一点,∴E,O,D 三点共线. 挑战创新 已知抛物线方程 y 2=4x,F 为焦点,P 为抛物线准线上一点,Q 为线段 PF 与抛物线的交点,定 义:d(P)= |𝑃𝐹| |𝐹𝑄| . (1)当点 P 的坐标为(-1,- 8 3 )时,求 d(P); (2)证明:存在常数 a,使得 2d(P)=|PF|+a; (3)P1,P2,P3 为抛物线准线上三点,且|P1P2|=|P2P3|,判断 d(P1)+d(P3)与 2d(P2)的关系. (1)解:因为 kPF= 8 3 2 = 4 3 ,所以直线 PF 的方程为 y= 4 3 (x-1)
由。1得0宁 y2=4x, 所以IPFI号1On号 所以dP盟=号 (2)证明：当P(-1,0)时，易知a=2dP)PF=2 设P(-1,p)p≠0，直线PFy=kx1),则k0yp=-2k 故=t1=2+1k2+1 IPFI 2 k 故dP)-览= k2 F0Jk2+1-1 又IPFI=√yF+4=2Wk2+1, 由gk1得2.2R+4r+e-0, y2=4x, 则x0 k2+2-2k2+1 k2 故=1P Vk2+1-1 PF列PF k2 故2dP-1PF=2 -2Vk2+1=2 √k2+1-1 即a=2 故存在a=2,使得2dP)=PF+a. (3)解：设P1(-1n),P2(-12),P(-13), 则2[dP)+dP3l4dP)=PF+PFL2PF-Vy+4+Vy+4-2√y竖+4=Vy+4+ 写+4-2心)+4=好+4+写+4-0+⅓)P+16 因为(Wy7+4+Vy好+4)2-[y1+)2+16]-2√y7+4Vy5+4-2-8=2Vy+4)y5+4) 20y1为+4). 又(y7+4)y3+4)-0+4)2=4y7+y3)-8n3=401-)2>0, 所以dP1)+dP3)>2dP2)
由{ 𝑦 = 4 3 (𝑥-1), 𝑦 2 = 4𝑥, 得 xQ= 1 4 . 所以|PF|=10 3 ,|QF|=5 4 , 所以 d(P)= |𝑃𝐹| |𝑄𝐹| = 8 3 . (2)证明:当 P(-1,0)时,易知 a=2d(P)-|PF|=2. 设 P(-1,yP),yP≠0,直线 PF:y=k(x-1),则 k≠0,yP=-2k. 故 |𝑃𝑄| |𝑃𝐹| = 𝑥𝑄+1 2 = 𝑘 2+1- √𝑘 2+1 𝑘 2 , 故 d(P)= |𝑃𝐹| |𝐹𝑄| = 𝑘 2 √𝑘 2+1-1 . 又|PF|=√𝑦𝑃 2 + 4=2√𝑘 2 + 1, 由{ 𝑦 = 𝑘(𝑥-1), 𝑦 2 = 4𝑥, 得 k 2 x 2 -(2k 2+4)x+k2=0, 则 xQ= (𝑘 2+2)-2 √𝑘 2+1 𝑘 2 . 故 |𝐹𝑄| |𝑃𝐹| =1- |𝑃𝑄| |𝑃𝐹| = √𝑘 2+1-1 𝑘 2 , 故 2d(P)-|PF|= 2𝑘 2 √𝑘 2+1-1 -2√𝑘 2 + 1=2, 即 a=2. 故存在 a=2,使得 2d(P)=|PF|+a. (3)解:设 P1(-1,y1),P2(-1,y2),P3(-1,y3), 则 2[d(P1)+d(P3)]-4d(P2)=|P1F|+|P3F|-2|P2F|=√𝑦1 2 + 4 + √𝑦3 2 + 4-2√𝑦2 2 + 4 = √𝑦1 2 + 4 + √𝑦3 2 + 4-2√( 𝑦 1 +𝑦 3 2 ) 2 + 4 = √𝑦1 2 + 4 + √𝑦3 2 + 4 − √(𝑦1 + 𝑦3 ) 2 + 16. 因为(√𝑦1 2 + 4 + √𝑦3 2 + 4) 2 -[(y1+y3) 2+16]=2√𝑦1 2 + 4√𝑦3 2 + 4-2y1y3-8=2√(𝑦1 2 + 4)(𝑦3 2 + 4)- 2(y1y3+4). 又(𝑦1 2+4)(𝑦3 2+4)-(y1y3+4)2=4(𝑦1 2 + 𝑦3 2 )-8y1y3=4(y1-y3) 2>0, 所以 d(P1)+d(P3)>2d(P2)