第2课时空间直角坐标系 1.若半径为r的球在第V卦限内，且与各坐标平面均相切，则球心的坐标是() A.(r,r,) B.(r,r,-r) C.(-r,-r,r） D.(r,-r,r) 答案B 2.己知点A(-3,1,5)与点B(4,3,1),则AB的中点坐标是( A(G1,-2 B(G2,3 C.(-12,3,5) D店2) 答案B 3.如图，正方体的棱长为1，M是所在棱的中点，N是所在棱的四分之一分点，则MN之间的距 离为() A② D②四 4 B.②四 4 2 2. 解析根据题意，得点M和点N的坐标分别为(1,0，)(1,0) 根据空间两点间的距离公式，得点MN之间的距离为MW=(任-1)+(1-02+(0-)=四 故选B, 答案B 4.已知A(0,1,1),B(2,-1,0),C(3,5,7),D1,2,4),则直线AB与直线CD所成角的余弦值为( A5② B5v② 66 66 C 22 D.5②2 22 解析：AB=(2,-2,-1),CD=(-2,-3,-3为 ∴cos=AB匝 5=52☑ 1c而=3xV2z=66 ·直线AB,CD所成角的余弦值为y严 661 答案：A 5.(多选题)下列叙述正确的是(） A.在空间直角坐标系中，在Ox轴上的点的坐标一定是(0，b,c) B.在空间直角坐标系中，在yOz平面上的点的坐标一定可写成(0，b,c) C.在空间直角坐标系中，在Oz轴上的点的坐标可记作(0,0，c) D.在空间直角坐标系中，在xOz平面上点的坐标是(a,0,c) 解析：在Ox上点的坐标形式为(a,0,0),即y坐标与z坐标均为0，A错误；BCD正确. 答案：BCD 6.己知点A(1,-2,11),B(4,2,3),C(6,-1,4),则△4BC的面积为 解析：AB=(4-1)2+[2-(-22+(3-11) =V89 AC=(6-1)2+【-1-(-2)]2+(4-11)2 -V7丙 BC=(6-4)2+(-1-2)2+(4-3)2=14 显然AC2+BC2=AB2.故△ABC是直角三角形
第 2 课时 空间直角坐标系 1.若半径为 r 的球在第Ⅴ卦限内,且与各坐标平面均相切,则球心的坐标是( ) A.(r,r,r) B.(r,r,-r) C.(-r,-r,r) D.(r,-r,r) 答案:B 2.已知点 A(-3,1,5)与点 B(4,3,1),则 AB 的中点坐标是( ) A.( 7 2 ,1,-2) B.( 1 2 ,2,3) C.(-12,3,5) D.( 1 3 , 4 3 ,2) 答案:B 3.如图,正方体的棱长为 1,M 是所在棱的中点,N 是所在棱的四分之一分点,则 M,N 之间的距 离为( ) A.√21 4 B.√29 4 C.√21 2 D.√29 2 解析:根据题意,得点 M 和点 N 的坐标分别为 1,0,1 2 , 1 4 ,1,0 . 根据空间两点间的距离公式,得点 M,N 之间的距离为 MN=√( 1 4 -1) 2 + (1-0) 2 + (0- 1 2 ) 2 = √29 4 . 故选 B. 答案:B 4.已知 A(0,1,1),B(2,-1,0),C(3,5,7),D(1,2,4),则直线 AB 与直线 CD 所成角的余弦值为( ) A.5√22 66 B.- 5√22 66 C.5√22 22 D.- 5√22 22 解析:∵𝐴𝐵⃗⃗⃗ =(2,-2,-1),𝐶𝐷⃗⃗⃗ =(-2,-3,-3), ∴cos= 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ·𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ |𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ||𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ | = 5 3×√22 = 5√22 66 , ∴直线 AB,CD 所成角的余弦值为5√22 66 . 答案:A 5.(多选题)下列叙述正确的是( ) A.在空间直角坐标系中,在 Ox 轴上的点的坐标一定是(0,b,c) B.在空间直角坐标系中,在 yOz 平面上的点的坐标一定可写成(0,b,c) C.在空间直角坐标系中,在 Oz 轴上的点的坐标可记作(0,0,c) D.在空间直角坐标系中,在 xOz 平面上点的坐标是(a,0,c) 解析:在 Ox 上点的坐标形式为(a,0,0),即 y 坐标与 z 坐标均为 0,A 错误;BCD 正确. 答案:BCD 6.已知点 A(1,-2,11),B(4,2,3),C(6,-1,4),则△ABC 的面积为 . 解析:AB=√(4-1) 2 + [2-(-2)] 2 + (3-11) 2 =√89, AC=√(6-1) 2 + [-1-(-2)] 2 + (4-11) 2 =√75, BC=√(6-4) 2 + (-1-2) 2 + (4-3) 2 = √14. 显然 AC2+BC2=AB2 .故△ABC 是直角三角形
所以Sa4c×V×V厉=厘 2 答案5v2 7.已知A(1-1,1-1),B(2,),则AB的最小值为 解析：AB=[2-(1-t2+[t-(1-t]2+(t-t)2 -V5t2-2t+2 故当1时，AB有最小值为5 5 答案 8.(用向量法求解下列问题) 如图，已知直三棱柱ABC-A1B1C,在底面△ABC中，CA=CB=1,∠BCA-90°，棱AA1=2,N是A1A 的中点 B (I)求BN的长： (2)求异面直线B41与CB1所成角的余弦值， 解如图，以C为原点，CA,CB,C℃的方向分别为x轴、y轴、轴正方向，建立空间直角坐标系 如图所示 (1)依题意得B(0,1,0),N1,0,1) ∴B1=(1-02+(0-12+(1-0)2=V3, .BN的长为V. (2)依题意得A1(1,0,2),B0,1,0),C(0,0,0),B1(0,1,2), ∴.BA1=(1,-1,2),CB1=(0,1,2),∴.BA·CB1=3 又BA=V6,1CB11=V5 ∴cos<BA,CB丽Cg=画 BA1CBI 10 异面直线BA1与CB1所成角的余弦值为 10
所以 S△ABC= 1 2 × √14 × √75 = 5√42 2 . 答案: 5√42 2 7.已知 A(1-t,1-t,t),B(2,t,t),则 AB 的最小值为 . 解析:AB=√[2-(1-𝑡)] 2 + [𝑡-(1-𝑡)] 2 + (𝑡-𝑡) 2 =√5𝑡 2-2𝑡 + 2. 故当 t= 1 5 时,AB 有最小值为3√5 5 . 答案: 3√5 5 8.(用向量法求解下列问题) 如图,已知直三棱柱 ABC-A1B1C1,在底面△ABC 中,CA=CB=1,∠BCA=90°,棱 AA1=2,N 是 A1A 的中点. (1)求 BN 的长; (2)求异面直线 BA1 与 CB1 所成角的余弦值. 解:如图,以 C 为原点,𝐶𝐴⃗⃗ , 𝐶𝐵⃗⃗⃗ , 𝐶𝐶1 ⃗⃗⃗⃗ 的方向分别为 x 轴、y 轴、z 轴正方向,建立空间直角坐标系 如图所示. (1)依题意得 B(0,1,0),N(1,0,1), ∴|𝐵𝑁⃗⃗ ⃗ |=√(1-0) 2 + (0-1) 2 + (1-0) 2 = √3, ∴BN 的长为√3. (2)依题意得 A1(1,0,2),B(0,1,0),C(0,0,0),B1(0,1,2), ∴𝐵𝐴1 ⃗⃗ ⃗⃗ =(1,-1,2),𝐶𝐵1 ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,2),∴𝐵𝐴1 ⃗⃗ ⃗⃗ · 𝐶𝐵1 ⃗⃗⃗⃗⃗ =3. 又|𝐵𝐴1 ⃗⃗ ⃗⃗ |=√6,|𝐶𝐵1 ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√5, ∴cos= 𝐵𝐴1 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·𝐶𝐵1 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |𝐵𝐴1 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||𝐶𝐵1 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | = √30 10 . ∴异面直线 BA1 与 CB1 所成角的余弦值为√30 10