2.3.3 直线与圆的位置关系 基础巩固 1.直线ax-y+2a=0与圆x2+2-9的位置关系是( A.相离 B相交 C.相切 D.不确定 解析：由ax-y+2a=0,得y=a(x+2),故直线恒过点(-2,0).又点(-2,0)在圆x2+y2=9内，故直线与圆 相交 答案B 2.己知圆x2+y2+Dx+Ey+F=0与x轴相切于原点，则( ) A.D=E=0.F0 B.D=0,E≠0，F=0 C.D0.E=0,F=0 D.D≠0，E≠0，F=0 解析：圆的圆心为（号》圆与x轴相切于原点， 0+0+D0+E0+f-0,即F-0,号0， 即D=0,圆的半径0， 27 即E≠0. 答案B 3.己知过点P(2,2)的直线与圆(x1)2+y2=5相切，且与直线ax-y+1=0垂直，则a的值为(） A月 B.1 C.2 D 答案：C 4.圆x2+y2+2x+4y3-0上到直线x+y+1-0的距离为√2的点共有( A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 解析：圆的圆心为(-1，-2)，半径为r=2V2 “圆心到直线的距离d=2= v2 圆上到直线的距离为VZ的点共有3个 答案C 5.己知圆x2+y2.4x+6-12=0中过点(-1,0)的最大弦长为m,最小弦长为n,则m-n=() A.10-2V7 B.5-V7 C.10-3V3 D.5.3 解析：圆的方程可化为(x-2)2+0y+3)2-25,圆心(2，-3)到，点(-1,0)的距离为3V2,故最大弦长为直径 的长，即m=10,最小弦长为以(-1,0)为中点的弦的长， 即n=225-(3V2)2=2V7 故m-n=10-2√7 答案：A 6.经过点A(2,-1),与直线x+y=1相切，且圆心在直线y=-2x上的圆的方程 为 解析：设圆心(a,-2a), 则圆的半径一a-2+2a+12=,解得a-1 故圆的半径r=VZ,故圆的方程为(x1)2+y+2)2=2. 答案：(x-1)2+0y+2)2-2 7.己知圆C(x-1)2+y2=1与直线1x-2y+1=0相交于A,B两点，则4B1= 解析圆C的半径1，圆心C到直钱1的距离d-2,故4-2F正=9 答案25 8.若直线3x+4y+m=0与圆x2+y2-2x+4y+4=0只有一个公共点，则实数m的值为
2.3.3 直线与圆的位置关系 基础巩固 1.直线 ax-y+2a=0 与圆 x 2+y2=9 的位置关系是( ) A.相离 B.相交 C.相切 D.不确定 解析:由 ax-y+2a=0,得 y=a(x+2),故直线恒过点(-2,0).又点(-2,0)在圆 x 2+y2=9 内,故直线与圆 相交. 答案:B 2.已知圆 x 2+y2+Dx+Ey+F=0 与 x 轴相切于原点,则( ) A.D=E=0,F≠0 B.D=0,E≠0,F=0 C.D≠0,E=0,F=0 D.D≠0,E≠0,F=0 解析:∵圆的圆心为(- 𝐷 2 ,- 𝐸 2 ),圆与 x 轴相切于原点, ∴0 2+0 2+D·0+E·0+F=0,即 F=0,- 𝐷 2 =0, 即 D=0,圆的半径 r= |𝐸| 2 ≠0, 即 E≠0. 答案:B 3.已知过点 P(2,2)的直线与圆(x-1)2+y2=5 相切,且与直线 ax-y+1=0 垂直,则 a 的值为( ) A.- 1 2 B.1 C.2 D.1 2 答案:C 4.圆 x 2+y2+2x+4y-3=0 上到直线 x+y+1=0 的距离为√2的点共有( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 解析:∵圆的圆心为(-1,-2),半径为 r=2√2, ∴圆心到直线的距离 d=|-1-2+1| √2 = √2 = 1 2 r, ∴圆上到直线的距离为√2的点共有 3 个. 答案:C 5.已知圆 x 2+y2 -4x+6y-12=0 中过点(-1,0)的最大弦长为 m,最小弦长为 n,则 m-n=( ) A.10-2√7 B.5-√7 C.10-3√3 D.5- 3√2 2 解析:圆的方程可化为(x-2)2+(y+3)2=25,圆心(2,-3)到点(-1,0)的距离为 3√2,故最大弦长为直径 的长,即 m=10,最小弦长为以(-1,0)为中点的弦的长, 即 n=2√25-(3√2) 2=2√7. 故 m-n=10-2√7. 答案:A 6.经过点 A(2,-1),与直线 x+y=1 相切,且圆心在直线 y=-2x 上的圆的方程 为 . 解析:设圆心(a,-2a), 则圆的半径 r=√(𝑎-2) 2 + (-2𝑎 + 1) 2 = |𝑎-2𝑎-1| √2 ,解得 a=1. 故圆的半径 r=√2,故圆的方程为(x-1)2+(y+2)2=2. 答案:(x-1)2+(y+2)2=2 7.已知圆 C:(x-1)2+y2=1 与直线 l:x-2y+1=0 相交于 A,B 两点,则|AB|= . 解析:圆 C 的半径 r=1,圆心 C 到直线 l 的距离 d=|1+1| √5 = 2√5 5 ,故|AB|=2√𝑟 2-𝑑2 = 2√5 5 . 答案: 2√5 5 8.若直线 3x+4y+m=0 与圆 x 2+y2 -2x+4y+4=0 只有一个公共点,则实数 m 的值为
解析：由已知，得圆心为(1，-2)，半径为1 若直线与圆只有一个公共点，则圆心到直线的距离等于半径，即3x1+4×-2+皿-m-5=1,解得 V32+42 m=0或m=10. 答案0或10 9.已知圆C和y轴相切，圆心在直线x-3y=0上，且被直线)y=x截得的弦长为2√7，求圆C的方 程 解依题意，可设圆心为(a,),圆的半径为la, 则由题意，得 +(7)2=2 解得a=±3 故所求圆的方程为(x-3)2+0y1)2=9或(x+3)2+0y+1)2=9. 10.己知点M(3,1),直线1ax-y+4=0及圆Cx2+2-2x-4y+1=0 (1)求过点M的圆的切线方程； (2)若直线1与圆C相交于A,B两点，且弦AB的长为2V3,求a的值 解(1)圆C的方程可化为(x-1)2+0-2)2=4, 则圆心C(1,2),半径为2. 当直线斜率存在时，设切线方程为y1=x3) 即kx-y+1-3k=0. 因为圆心C到切线的距离dk:2+13-2 Vk2+1 所以k子所以切线方程为3x45=0, 当直线斜率不存在时，直线x=3也与圆C相切. 故过点M的圆的切线方程为x=3或3x-4y-5=0. (2)因为点C到直线1的距离为+2 Va2+1 所以 a+2 a2+1 +3-2,解得a-号 拓展提高 1.过点(3,1)作圆(x-1)2+2=1的两条切线，切点分别为A,B,则直线AB的方程为() A.2x+y3=0 B.2x-y3=0 C.4x-y3=0 D.4x+y3=0 解析：根据平面几何知识，直线AB一定与过点(3,1)，(1,0)的直线垂直，故直线AB的斜率为-2 又由题意易知，一个切点为(1,1)，故直线AB的方程为y1=-2(x-1),即2x+y-3=0. 答案：A 2.若直线ar+by-3=0与圆x2+y2+4x1=0相切于点P(-1,2),则ab的值为() A.-3 B.-2 C.2 D.3 解析：圆的圆心为(-2,0)，半径为V5 -a+2b-3=0 由题意可知 2a3列=V5, Ja2+b2 解得份二2故ab-2 答案：C 3.(多选题)若直线y=+4+2k与曲线y=V4-x2有两个公共点，则k的取值不能是() A.-1 B c D 解析：曲线y=V4-x2表示圆心在原点，半径为2的圆在x轴上方的半个圆，直线y=+4+2k过 定点(-2,4).如图
解析:由已知,得圆心为(1,-2),半径为 1. 若直线与圆只有一个公共点,则圆心到直线的距离等于半径,即 |3×1+4×(-2)+𝑚| √3 2+4 2 = |𝑚-5| 5 =1,解得 m=0 或 m=10. 答案:0 或 10 9.已知圆 C 和 y 轴相切,圆心在直线 x-3y=0 上,且被直线 y=x 截得的弦长为 2√7,求圆 C 的方 程. 解:依题意,可设圆心为(𝑎, 𝑎 3 ),圆的半径为 |a|, 则由题意,得( |𝑎- 𝑎 3 | √2 ) 2 +(√7) 2=a2 , 解得 a=±3. 故所求圆的方程为(x-3)2+(y-1)2=9 或(x+3)2+(y+1)2=9. 10.已知点 M(3,1),直线 l:ax-y+4=0 及圆 C:x 2+y2 -2x-4y+1=0. (1)求过点 M 的圆的切线方程; (2)若直线 l 与圆 C 相交于 A,B 两点,且弦 AB 的长为 2√3,求 a 的值. 解:(1)圆 C 的方程可化为(x-1)2+(y-2)2=4, 则圆心 C(1,2),半径为 2. 当直线斜率存在时,设切线方程为 y-1=k(x-3), 即 kx-y+1-3k=0. 因为圆心 C 到切线的距离 d=|𝑘-2+1-3𝑘| √𝑘 2+1 =2, 所以 k=3 4 .所以切线方程为 3x-4y-5=0. 当直线斜率不存在时,直线 x=3 也与圆 C 相切. 故过点 M 的圆的切线方程为 x=3 或 3x-4y-5=0. (2)因为点 C 到直线 l 的距离为 |𝑎+2| √𝑎2+1 , 所以( |𝑎+2| √𝑎2+1 ) 2 +(√3) 2=2 2 ,解得 a=- 3 4 . 拓展提高 1.过点(3,1)作圆(x-1)2+y2=1 的两条切线,切点分别为 A,B,则直线 AB 的方程为( ) A.2x+y-3=0 B.2x-y-3=0 C.4x-y-3=0 D.4x+y-3=0 解析:根据平面几何知识,直线 AB 一定与过点(3,1),(1,0)的直线垂直,故直线 AB 的斜率为-2. 又由题意易知,一个切点为(1,1),故直线 AB 的方程为 y-1=-2(x-1),即 2x+y-3=0. 答案:A 2.若直线 ax+by-3=0 与圆 x 2+y2+4x-1=0 相切于点 P(-1,2),则 ab 的值为( ) A.-3 B.-2 C.2 D.3 解析:圆的圆心为(-2,0),半径为√5. 由题意可知,{ -𝑎 + 2𝑏-3 = 0, |-2𝑎-3| √𝑎2+𝑏 2 = √5, 解得{ 𝑎 = 1, 𝑏 = 2. 故 ab=2. 答案:C 3.(多选题)若直线 y=kx+4+2k 与曲线 y=√4-𝑥 2有两个公共点,则 k 的取值不能是( ) A.-1 B.- 3 2 C.- 3 4 D.- 4 5 解析:曲线 y=√4-𝑥 2表示圆心在原点,半径为 2 的圆在 x 轴上方的半个圆,直线 y=kx+4+2k 过 定点(-2,4).如图
当直线过点(2.0时人铝-1 当直线与圆在第一象限相切时，k= 4 因为直线与曲线有两个公共点， 所以k∈1，-引 答案BC 4.已知直线ar+2=0与圆心为C的圆(x-1)2+(0a)2=4相交于A,B两点，且△4BC为等边三角 形，则实数a= 解析：圆心CL,a)到直线r+y2=0的距离为2A国为△4BC为等边三角形， √a2+1 所以AB1=BC=2,所以2a-2 +12=22, √a2+1 解得a=4牡V15. 答案：4牡15 5.一束光线从A(-1,1)出发，经x轴反射到圆C(x-2)2+0-3)2-1上的最短路程是 解析：圆C的圆心为(2,3)，半径r=1,点A(-1,1)关于x轴的对称点A的坐标为(-1,1)， 国为点4"在反射光线所在的直线上，所以最短路程为4q=[2(1+[3-(1)尸-1=4. 答案：4 6.已知圆Cx2+y2+2x-4y+3=0,若圆C的切线在x轴和y轴上的截距的绝对值相等，求切线方 程 解：切线在两坐标轴上的截距的绝对值相等 ∴切线斜率k=±1或切线过原点 设切线方程y=-x+b或y=x+C或y=k, 由圆心1,2)到直线的距离为V2,得1+2-=V2或-2+4=V2或：2=V2, v2 √2 Vk2+1 故b=3或b=-1,c=5或c-1,k=2±V6. 故切线方程为x+y3=0或x+y+1-0或xy叶5=0或x-y+1=0或y=(2+√6)x或y=(2-V6)x 挑战创新 己知线段AB的端点B的坐标为(1,3)，端点A在圆C(x+1)2+y2=4上运动， (I)求线段AB的中点M的轨迹； (2)过点B的直线I与圆C有两个交点A,D,当CA⊥CD时，求直线I的斜率 x+1 解(1)设A(x1),Mxy),由中点坐标公式得 2= y1+3 即1=2：点A在圆C上 y1=2y-3. .2 -=y, (2P+23驴-4即+6到=1 ∴点M的轨迹是以点(0，引为圆心，1为半径的圆。 (2)设1的斜率为k则1的方程为上3=x1), 即kx-yk+3=0. :C41CD,∴.△CAD为等腰直角三角形，圆心C-1,0)到1的距离为CD-2 由点到直线的距离公式，得k+3=V2, Vk2+1
当直线过点(2,0)时,k=4-0 -2-2 =-1. 当直线与圆在第一象限相切时,k=- 3 4 . 因为直线与曲线有两个公共点, 所以 k∈[-1,- 3 4 ). 答案:BC 4.已知直线 ax+y-2=0 与圆心为 C 的圆(x-1)2+(y-a) 2=4 相交于 A,B 两点,且△ABC 为等边三角 形,则实数 a= . 解析:圆心 C(1,a)到直线 ax+y-2=0 的距离为 |2𝑎-2| √𝑎2+1 .因为△ABC 为等边三角形, 所以|AB|=|BC|=2,所以( |2𝑎-2| √𝑎2+1 ) 2 +1 2=2 2 , 解得 a=4±√15. 答案:4±√15 5.一束光线从 A(-1,1)出发,经 x 轴反射到圆 C:(x-2)2+(y-3)2=1 上的最短路程是 . 解析:圆 C 的圆心为(2,3),半径 r=1,点 A(-1,1)关于 x 轴的对称点 A'的坐标为(-1,-1). 因为点 A'在反射光线所在的直线上,所以最短路程为|A'C|-r=√[2-(-1)] 2 + [3-(-1)] 2 -1=4. 答案:4 6.已知圆 C:x 2+y2+2x-4y+3=0,若圆 C 的切线在 x 轴和 y 轴上的截距的绝对值相等,求切线方 程. 解:∵切线在两坐标轴上的截距的绝对值相等, ∴切线斜率 k=±1 或切线过原点. 设切线方程 y=-x+b 或 y=x+c 或 y=kx, 由圆心(-1,2)到直线的距离为√2,得 |-1+2-𝑏| √2 = √2或 |-1-2+𝑐| √2 = √2或 |-𝑘-2| √𝑘 2+1 = √2, 故 b=3 或 b=-1,c=5 或 c=1,k=2±√6. 故切线方程为 x+y-3=0 或 x+y+1=0 或 x-y+5=0 或 x-y+1=0 或 y=(2+√6)x 或 y=(2-√6)x. 挑战创新 已知线段 AB 的端点 B 的坐标为(1,3),端点 A 在圆 C:(x+1)2+y2=4 上运动. (1)求线段 AB 的中点 M 的轨迹; (2)过点 B 的直线 l 与圆 C 有两个交点 A,D,当 CA⊥CD 时,求直线 l 的斜率. 解:(1)设 A(x1,y1),M(x,y),由中点坐标公式得{ 𝑥1+1 2 = 𝑥, 𝑦 1 +3 2 = 𝑦, 即{ 𝑥1 = 2𝑥-1, 𝑦1 = 2𝑦-3. ∵点 A 在圆 C 上, ∴(2x) 2+(2y-3)2=4,即 x 2+(𝑦- 3 2 ) 2 =1. ∴点 M 的轨迹是以点(0, 3 2 )为圆心,1 为半径的圆. (2)设 l 的斜率为 k,则 l 的方程为 y-3=k(x-1), 即 kx-y-k+3=0. ∵CA⊥CD,∴△CAD 为等腰直角三角形,圆心 C(-1,0)到 l 的距离为√2 2 CD=√2. 由点到直线的距离公式,得 |-𝑘-𝑘+3| √𝑘 2+1 = √2
解得k=3士 22 2
解得 k=3±√22 2