《高中数学》全程设计训练题库（B版选修第一册，课后习题，含答案）第二章 平面解析几何_第二章测评

第二章测评 (时间：120分钟满分：150分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的 1.设直线5x+3y以-15=0在x轴上的截距为a,在y轴上的截距为b,则() A.a=5,b=3 B.a=3,b=5 C.a=.3.b=5 D.a=-3,b=-5 解析：令y=0,得x=3;令x=0,得y=5, 故a=3,b=5. 答案B 2己知椭圆 a2+ 点-(a>b>0)的离心率为，则哈-( ) A号 B3② D3父 4 解析“e台- a2.b = 4 答案D 3双曲线号-1的渐近线的斜率是 A号 B均 C.±3 D.±9 解析双曲线-号1的渐近线方程为)3x,故斜率k3, 答案：C 4.过点(-1,2)，且斜率为2的直线方程是( ) A.2x-y+4=0 B.2x+y=0 C.2x-y+5=0 Dx+2y3=0 解析：因为直线过点(-1,2)，且斜率为2，所以该直线方程为y-2=2(x+1),即2x-y+4=0. 答案：A 5.过点(-1,3)，且平行于直线x-2y+3=0的直线方程为() A.2x+y1=0 B.x-2y+7=0 C.x-2y-5=0 D.2x+y-5=0 解析：设直线方程为x-2y叶c=0. 因为直线过点(-1,3) 所以-1-6+c=0,解得c=7. 故所求直线方程为x-2y+7=0 答案B 6.己知圆Cx2+2x+y2=0,则圆心C到直线x=3的距离为() A.1 B.2 C.3 D.4 解析：由已知，得圆心C(-1,0),则圆心C到直线x=3的距离为3-(1)=4 答案D 7.圆心为(2,0)，且与直线3x+y=0相切的圆的方程为() A(x-2)2+y2=3 B.(x-2)2+y2=12 C.(x-2)2+y2=6 D.(x+2)2+y2=3

第二章测评 (时间:120 分钟 满分:150 分) 一、选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.设直线 5x+3y-15=0 在 x 轴上的截距为 a,在 y 轴上的截距为 b,则( ) A.a=5,b=3 B.a=3,b=5 C.a=-3,b=5 D.a=-3,b=-5 解析:令 y=0,得 x=3;令 x=0,得 y=5, 故 a=3,b=5. 答案:B 2.已知椭圆𝑥 2 𝑎2 + 𝑦 2 𝑏 2=1(a>b>0)的离心率为1 3 ,则 𝑎 𝑏 =( ) A.9 8 B.3√2 2 C.4 3 D.3√2 4 解析:∵e= 𝑐 𝑎 = √𝑎2-𝑏 2 𝑎2 = 1 3 , ∴ 𝑎 2 𝑏 2 = 9 8 ,∴ 𝑎 𝑏 = 3√2 4 . 答案:D 3.双曲线 x 2 - 𝑦 2 9 =1 的渐近线的斜率是( ) A.±1 9 B.±1 3 C.±3 D.±9 解析:双曲线 x 2 - 𝑦 2 9 =1 的渐近线方程为 y=±3x,故斜率 k=±3. 答案:C 4.过点(-1,2),且斜率为 2 的直线方程是( ) A.2x-y+4=0 B.2x+y=0 C.2x-y+5=0 D.x+2y-3=0 解析:因为直线过点(-1,2),且斜率为 2,所以该直线方程为 y-2=2(x+1),即 2x-y+4=0. 答案:A 5.过点(-1,3),且平行于直线 x-2y+3=0 的直线方程为( ) A.2x+y-1=0 B.x-2y+7=0 C.x-2y-5=0 D.2x+y-5=0 解析:设直线方程为 x-2y+c=0. 因为直线过点(-1,3), 所以-1-6+c=0,解得 c=7. 故所求直线方程为 x-2y+7=0. 答案:B 6.已知圆 C:x 2+2x+y2=0,则圆心 C 到直线 x=3 的距离为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析:由已知,得圆心 C(-1,0),则圆心 C 到直线 x=3 的距离为 3-(-1)=4. 答案:D 7.圆心为(2,0),且与直线√3x+y=0 相切的圆的方程为( ) A.(x-2)2+y2=3 B.(x-2)2+y2=12 C.(x-2)2+y2=6 D.(x+2)2+y2=3

解析：圆心(2,0)到直线V3x+y0的距离d=卫3+0L=3,则圆的半径=3，故圆的方程为x V32+12 2)2+y2=3. 答案：A 8.如图，已知抛物线2=4x的焦点为F,过点F的直线AB交抛物线于点A,B,交抛物线的准线 于点C若铝=则4() A.4 B.5 C.6 D.7 解析：设直线AB的倾斜角为a,A(x1M),Bx22,过点B作准线的垂线，垂足为D(图略)，则 IBDI=|BF,则cosa 8肥=盟=票易得ma=2于是直钱AB的方程为)=2 BCI BCI 将y=2(x-1)代入y2=4x,得x2-3x+1=0,则x1+x2=3,故4B1=x1+x2+2=5. 答案B 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分 9.若ab>0,bc0,bc0)}，则下列r的值满足AnB=B的是 () A.1 B C.v2 D.2 解析：由题意知，圆(x-1)2+01)2=2(>0)在圆x2+y2=8内， 故圆心距d=√Z≤2V2-r, 即03或1<1 C.曲线C可能是圆 D.若C为椭圆，且长轴在y轴上，则1<1<2 解析若3，剥方程可化为后-需1，它表示焦点在y错上的双商线 若11，则方程可化为兰-品1，它表示焦点在x轴上的双尚线：若23.则03l,故方程 兰+片1表示焦点在y轴上的描圈 x2 若12则0131故方程号+片-1表示焦点在x轴上的裤国 若12则方程兰+云1即为-1，它表示国 故选AD

解析:圆心(2,0)到直线√3x+y=0 的距离 d= |2√3+0| √(√3) 2+1 2 = √3,则圆的半径 r=√3,故圆的方程为(x- 2)2+y2=3. 答案:A 8.如图,已知抛物线 y 2=4x 的焦点为 F,过点 F 的直线 AB 交抛物线于点 A,B,交抛物线的准线 于点 C.若 |𝐵𝐹| |𝐵𝐶| = √5 5 ,则|AB|=( ) A.4 B.5 C.6 D.7 解析:设直线 AB 的倾斜角为 α,A(x1,y1),B(x2,y2),过点 B 作准线的垂线,垂足为 D(图略),则 |BD|=|BF|,则 cos α= |𝐵𝐷| |𝐵𝐶| = |𝐵𝐹| |𝐵𝐶| = √5 5 ,易得 tan α=2,于是直线 AB 的方程为 y=2(x-1). 将 y=2(x-1)代入 y 2=4x,得 x 2 -3x+1=0,则 x1+x2=3,故|AB|=x1+x2+2=5. 答案:B 二、选择题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.在每小题给出的选项中,有多项 符合题目要求.全部选对的得 5 分,部分选对的得 2 分,有选错的得 0 分. 9.若 ab>0,bc0,bc0,所以直线过第一、第二、第四象限. 答案:ABD 10.设集合 A={(x,y)|x2+y2≤8},B={(x,y)|(x-1)2+(y-1)2≤r 2 (r>0)},则下列 r 的值满足 A∩B=B 的是 ( ) A.1 B.1 2 C.√2 D.2 解析:由题意知,圆(x-1)2+(y-1)2=r2 (r>0)在圆 x 2+y2=8 内, 故圆心距 d=√2≤2√2-r, 即 03 或 t3,则方程可化为𝑦 2 𝑡-1 − 𝑥 2 𝑡-3 =1,它表示焦点在 y 轴上的双曲线; 若 t<1,则方程可化为𝑥 2 3-𝑡 − 𝑦 2 1-𝑡 =1,它表示焦点在 x 轴上的双曲线;若 2<t<3,则 0<3-t<t-1,故方程 𝑥 2 3-𝑡 + 𝑦 2 𝑡-1 =1 表示焦点在 y 轴上的椭圆; 若 1<t<2,则 0<t-1<3-t,故方程𝑥 2 3-𝑡 + 𝑦 2 𝑡-1 =1 表示焦点在 x 轴上的椭圆; 若 t=2,则方程𝑥 2 3-𝑡 + 𝑦 2 𝑡-1 =1 即为 x 2+y2=1,它表示圆. 故选 AD

答案：AD 12.渐近线方程为y=±的双曲线方程可以是( A =1 B 16 9 16 片-1 解析选项A中，双曲线的渐近线方程为)=子 4 选项B,C中，双曲线的渐近线方程为y=± 选项D中，双由钱的浙近钱方程为) 故选BC 答案BC 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分 13.若直线h1:ar+2y8=0与直线2：x-y=0平行，则a= 解析：h∥12，a(-1)=2×1,∴.a=-2. 答案-2 14若椭圆号+关1的一个焦点的坐标为0,2，则实数m=】 m 解析：由题意可知√m-5=2,解得m=9 答案9 15.已知直线I与圆Cx2+y2-2y=0相交于A,B两点，且线段AB的中点P的坐标( )则 直线1的方程为 解析：由题意可知，圆心C为(0,1)，故直线CP的斜率为1 因为直线I与直线CP垂直，所以直线1的斜率为-1. 所以直线1的方程为宁(x+》, 即x+y=0, 答案x+y=0 16已知0为坐标原点.B与F分别为椭圆号+三-1(a>b0)的上顶点与右熊点若OB1-OA. 则该椭圆的离心率是 解析：由题意可知，b=C,则a=Vc2+b2=VZc 故梢圆的离心率e二=写 a-2 答案空 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17.(10分)在菱形ABCD中A(4,7),C(2,-3),BC边所在直线过点P(3,-1)求： (I)边AD所在直线的方程； (2)对角线BD所在直线的方程 解(1)由题意可知，kac-:③=2 3-2 AD∥BC,.k4D=2 ∴.直线AD的方程为7=2(x+4), 即2x-y+15=0. (2)kuc :BDLAC,.keD号 又AC的中点为(-1,2)，即BD的中点为(1,2)， 直线BD的方程为2x+I), 即3x-5y+13=0. 18.(12分)已知直线1的方程为3x+4y12=0,求满足下列条件的直线1的方程 (1)与1平行，且过点(-1,3)：

答案:AD 12.渐近线方程为 y=± 4 3 x 的双曲线方程可以是( ) A.𝑥 2 16 − 𝑦 2 9 =1 B.𝑥 2 9 − 𝑦 2 16=1 C.𝑥 2 18 − 𝑦 2 32=1 D.𝑥 2 4 − 𝑦 2 3 =1 解析:选项 A 中,双曲线的渐近线方程为 y=± 3 4 x; 选项 B,C 中,双曲线的渐近线方程为 y=± 4 3 x; 选项 D 中,双曲线的渐近线方程为 y=± √3 2 x. 故选 BC. 答案:BC 三、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.若直线 l1:ax+2y-8=0 与直线 l2:x-y=0 平行,则 a= . 解析:∵l1∥l2,∴a·(-1)=2×1,∴a=-2. 答案:-2 14.若椭圆𝑥 2 5 + 𝑦 2 𝑚 =1 的一个焦点的坐标为(0,2),则实数 m= . 解析:由题意可知√𝑚-5=2,解得 m=9. 答案:9 15.已知直线 l 与圆 C:x 2+y2 -2y=0 相交于 A,B 两点,且线段 AB 的中点 P 的坐标为 - 1 2 , 1 2 ,则 直线 l 的方程为 . 解析:由题意可知,圆心 C 为(0,1),故直线 CP 的斜率为 1. 因为直线 l 与直线 CP 垂直,所以直线 l 的斜率为-1. 所以直线 l 的方程为 y- 1 2 =- x+1 2 , 即 x+y=0. 答案:x+y=0 16.已知 O 为坐标原点,B 与 F 分别为椭圆𝑥 2 𝑎2 + 𝑦 2 𝑏 2=1(a>b>0)的上顶点与右焦点.若|OB|=|OF|, 则该椭圆的离心率是 . 解析:由题意可知,b=c,则 a=√𝑐 2 + 𝑏 2 = √2c. 故椭圆的离心率 e= 𝑐 𝑎 = √2 2 . 答案: √2 2 四、解答题:本题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(10 分)在菱形 ABCD 中,A(-4,7),C(2,-3),BC 边所在直线过点 P(3,-1).求: (1)边 AD 所在直线的方程; (2)对角线 BD 所在直线的方程. 解:(1)由题意可知,kBC= -1-(-3) 3-2 =2. ∵AD∥BC,∴kAD=2, ∴直线 AD 的方程为 y-7=2(x+4), 即 2x-y+15=0. (2)kAC= -3-7 2-(-4) =- 5 3 . ∵BD⊥AC,∴kBD= 3 5 . 又 AC 的中点为(-1,2),即 BD 的中点为(-1,2), ∴直线 BD 的方程为 y-2= 3 5 (x+1), 即 3x-5y+13=0. 18.(12 分)已知直线 l 的方程为 3x+4y-12=0,求满足下列条件的直线 l'的方程. (1)l'与 l 平行,且过点(-1,3);

(2)与1垂直，且在两坐标轴上的截距相等。 解()由已知，得直线1的斜率为子 :W的斜率为是 ·直线"的方程为3=x+1), 即3x+4-9=0. (2:111"的斜率为 设1的方程为亭+b,则1在y轴上的藏距为6，在x轴上的藏距为动， '在两坐标轴上的截距相等， ∴.动=b,解得b=0 ∴1的方程为y子，即4x-3y-0. 19.(12分)已知点A(4,2)和B(0,-2). (I)求直线AB的斜率和AB的中点M的坐标 (2)若圆C经过A,B两点，且圆心C在直线2x-y=3上，求圆C的方程 解()由已知，得21，w学-2u受-0，故直线AB的斜率为11B的中点M的坐 4-0 2 标为(2,0). (2)因为圆心C在直线2xy=3上， 所以设C(a,2a-3) 由题意，得4C=BC, 即(a-42+(2a-3-22- a-02+(2a-3+23,解得a月 故圆C的圆心C为（得》，半径4C-四 故圆C的方程为()+(》：-号 20.(12分)在平面直角坐标系0y中，双曲线C品-片-1(m>0,n>0)经过点(3,0，其中一条 渐近线的方程为)受椭圆C寺+片-1(>b0)与双曲线C有相同的焦点椭圆G的左焦 点、左顶点和上顶点分别为FAB,且点F到直线B的距离为号b, (1)求双曲线C的方程 (2)求椭圆C2的方程 解(1)由双曲线C荒-卡=1m>0,n>0)经过点V3,0可得m-3,故m=3 y2 由双由线G的一条渐近钱的方程为)亭 可得验=得故n-1 故双曲线G的方程为号y, (2由箱圆C兰+号-1(o>b0)与双商钱C有相同的层点，可得G--40 由题意可知，F(-2,0),A(←a,0),B(0,b),则直线AB的方程为br-ay+ab=0. 由点F到直线AB的距离为.可得2+=b,即+b=7a-2② √b2+a2 7 由①②，解得a=4,b=2V3. 故横园C的方程为后+益-1. 21.(12分)已知点A(-V3,0)和B(3,0),动点C到A,B两点的距离之差的绝对值为2，点C的轨 迹与经过点(2,0)，且倾斜角为的直线交于D,E两点 (1)求点C的轨迹方程

(2)l'与 l 垂直,且在两坐标轴上的截距相等. 解:(1)由已知,得直线 l 的斜率为- 3 4 . ∵l'∥l,∴l'的斜率为- 3 4 , ∴直线 l'的方程为 y-3=- 3 4 (x+1), 即 3x+4y-9=0. (2)∵l'⊥l,∴l'的斜率为4 3 . 设 l'的方程为 y= 4 3 x+b,则 l'在 y 轴上的截距为 b,在 x 轴上的截距为- 3 4 b. ∵l'在两坐标轴上的截距相等, ∴- 3 4 b=b,解得 b=0. ∴l'的方程为 y= 4 3 x,即 4x-3y=0. 19.(12 分)已知点 A(4,2)和 B(0,-2). (1)求直线 AB 的斜率和 AB 的中点 M 的坐标; (2)若圆 C 经过 A,B 两点,且圆心 C 在直线 2x-y=3 上,求圆 C 的方程. 解:(1)由已知,得 kAB= 2-(-2) 4-0 =1,xM= 4+0 2 =2,yM= 2-2 2 =0,故直线 AB 的斜率为 1,AB 的中点 M 的坐 标为(2,0). (2)因为圆心 C 在直线 2x-y=3 上, 所以设 C(a,2a-3). 由题意,得|AC|=|BC|, 即√(𝑎-4) 2 + (2𝑎-3-2) 2= √(𝑎-0) 2 + (2𝑎-3 + 2) 2 ,解得 a= 5 3 . 故圆 C 的圆心 C 为 5 3 , 1 3 ,半径 r=|AC|=√74 3 . 故圆 C 的方程为 x- 5 3 2+ y- 1 3 2= 74 9 . 20.(12 分)在平面直角坐标系 xOy 中,双曲线 C1: 𝑥 2 𝑚2 − 𝑦 2 𝑛2=1(m>0,n>0)经过点(√3,0),其中一条 渐近线的方程为 y= √3 3 x,椭圆 C2: 𝑥 2 𝑎2 + 𝑦 2 𝑏 2=1(a>b>0)与双曲线 C1 有相同的焦点.椭圆 C2 的左焦 点、左顶点和上顶点分别为 F,A,B,且点 F 到直线 AB 的距离为√7 7 b. (1)求双曲线 C1 的方程; (2)求椭圆 C2 的方程. 解:(1)由双曲线 C1: 𝑥 2 𝑚2 − 𝑦 2 𝑛2=1(m>0,n>0)经过点(√3,0),可得 m2=3,故 m=√3. 由双曲线 C1 的一条渐近线的方程为 y= √3 3 x, 可得𝑛 𝑚 = √3 3 ,故 n=1. 故双曲线 C1 的方程为𝑥 2 3 -y 2=1. (2)由椭圆 C2: 𝑥 2 𝑎2 + 𝑦 2 𝑏 2=1(a>b>0)与双曲线 C1 有相同的焦点,可得 a 2 -b 2=4.① 由题意可知,F(-2,0),A(-a,0),B(0,b),则直线 AB 的方程为 bx-ay+ab=0. 由点 F 到直线 AB 的距离为√7 7 b,可得|-2𝑏+𝑎𝑏| √𝑏 2+𝑎2 = √7 7 b,即 a 2+b2=7(a-2)2 .② 由①②,解得 a=4,b=2√3. 故椭圆 C2 的方程为𝑥 2 16 + 𝑦 2 12=1. 21.(12 分)已知点 A(-√3,0)和 B(√3,0),动点 C 到 A,B 两点的距离之差的绝对值为 2,点 C 的轨 迹与经过点(2,0),且倾斜角为π 4 的直线交于 D,E 两点. (1)求点 C 的轨迹方程;

(2)求线段DE的长 解(1)根据双曲线的定义，可知点C的轨迹为双曲线 设其方程为号-云1(a>0,b0 则2a=2,2c=4B1=2V3 故a=1,c=√3，b=c2-a2=√Z 故点C的轨迹方程为2.二1 2 (2)由已知得，直线方程为y=x-2 将y=-2代入x2.号=l,得r+4r6=0 因为△>0，所以直线与双曲线有两个交点】 设Dx1n),E(x22), 则x1+2=-4,x12=-6 DE]-V1+x(x+x2)24x1x2-4V5. 22.(12分)已知双曲线A的渐近线方程为壮2y=0,且双曲线A过点(2V7,-V2) (1)求双曲线A的方程： (2)求以双曲线A的顶点为焦点，焦点为顶点的椭圆B的方程： (3)椭圆B上有P,Q两点，0为坐标原点，若直线OP,OQ的斜率之积为求证：OPP+1OQP为 定值 (1)解：由题意，可设双曲线A的方程为x242=1(10). 因为双曲线A过点(2V7,-V2),所以(2v7)24×(-V2}=1,所以1=20 所以双曲线A的方程为号-兰-1 （2)解设椭圆B的方程为三+发=1(a>b>0) 12 由(1)知，双曲线A的顶点为(2V5,0),(-2v5,0),焦点为(5,0)，(-5,0)， 根据题意可知，a2-25,b2-25-20=5. 故椭国B的方程为号+号-1 (3)i证明由题意，设koP-k0),则ko0录则直钱OP的方程为-直钱00的方程为)六 将)-代入号+后-1，得 5k2+1 故10PP-x2+2=(1+x2-252+四 5k2+1 同理，10QP-525k2+赳 5k2+1 故10PP+100P150+30-30, 5k2+1 故OP2+1OQI2为定值

(2)求线段 DE 的长. 解:(1)根据双曲线的定义,可知点 C 的轨迹为双曲线. 设其方程为𝑥 2 𝑎2 − 𝑦 2 𝑏 2=1(a>0,b>0), 则 2a=2,2c=|AB|=2√3, 故 a=1,c=√3,b=√𝑐 2-𝑎 2 = √2. 故点 C 的轨迹方程为 x 2 - 𝑦 2 2 =1. (2)由已知得,直线方程为 y=x-2. 将 y=x-2 代入 x 2 - 𝑦 2 2 =1,得 x 2+4x-6=0. 因为 Δ>0,所以直线与双曲线有两个交点. 设 D(x1,y1),E(x2,y2), 则 x1+x2=-4,x1x2=-6. 故|DE|=√1 + 1|x1-x2|=√2√(𝑥1 + 𝑥2 ) 2 -4𝑥1𝑥2=4√5. 22.(12 分)已知双曲线 A 的渐近线方程为 x±2y=0,且双曲线 A 过点(2√7,-√2). (1)求双曲线 A 的方程; (2)求以双曲线 A 的顶点为焦点,焦点为顶点的椭圆 B 的方程; (3)椭圆 B 上有 P,Q 两点,O 为坐标原点,若直线 OP,OQ 的斜率之积为1 5 ,求证:|OP|2+|OQ|2 为 定值. (1)解:由题意,可设双曲线 A 的方程为 x 2 -4y 2=λ(λ≠0). 因为双曲线 A 过点(2√7,-√2),所以(2√7) 2 -4×(-√2) 2=λ,所以 λ=20. 所以双曲线 A 的方程为𝑥 2 20 − 𝑦 2 5 =1. (2)解:设椭圆 B 的方程为𝑥 2 𝑎2 + 𝑦 2 𝑏 2=1(a>b>0). 由(1)知,双曲线 A 的顶点为(2√5,0),(-2√5,0),焦点为(5,0),(-5,0), 根据题意可知,a 2=25,b 2=25-20=5. 故椭圆 B 的方程为𝑥 2 25 + 𝑦 2 5 =1. (3)证明:由题意,设 kOP=k(k≠0),则 kOQ= 1 5𝑘 .则直线 OP 的方程为 y=kx,直线 OQ 的方程为 y= 1 5𝑘 x. 将 y=kx 代入𝑥 2 25 + 𝑦 2 5 =1,得 x 2= 25 5𝑘 2+1 . 故|OP|2=x2+y2=(1+k2 )x 2= 25(𝑘 2+1) 5𝑘 2+1 . 同理,|OQ|2= 5(25𝑘 2+1) 5𝑘 2+1 . 故|OP|2+|OQ|2= 150𝑘 2+30 5𝑘 2+1 =30. 故|OP|2+|OQ|2 为定值