志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的： 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org 6.1.4求导法则及其应用 第1课时 函数的和、差、积、商的求导法则测 课后·训练提升 基础巩固 1.曲线y=xe+2x+1在点(0,1)处的切线方程为() Ax+3y3=0 B.3x-y+1=0 C.3x+y1=0 D.x-3y+3=0 答案B 解析：y'=e+xe+2 ∴.切线斜率k=3 ∴.切线方程为y少1=3x) 即3x-y+1=0. 故选B. 2.已知x)=x(2018+lnx),若fxo)=2019,则o等于() A.e2 B.1 C.In2 D.e 答案B 解析：fx=2018+lnx+x-2019+lnx, ∴.fxo)=2019+lnxo=2019, 解得0=1. 故选B 3.曲线y=2sinx+cosx在点（元，-1）处的切线方程为() Ax-y元-1=0 B.2x-y2π-1=0 C.2x+y-2π+1=0 D.x+yπ+1=0 答案：C 解析：∵y'=2cos-sinx, ∴.所求切线斜率k=2cosπ-sinπ=-2 1
1 6.1.4 求导法则及其应用 第 1 课时 函数的和、差、积、商的求导法则 课后· 基础巩固 1.曲线 y=xe x+2x+1 在点(0,1)处的切线方程为( ) A.x+3y-3=0 B.3x-y+1=0 C.3x+y-1=0 D.x-3y+3=0 答案:B 解析:∵y'=e x+xe x+2, ∴切线斜率 k=3. ∴切线方程为 y-1=3x, 即 3x-y+1=0. 故选 B. 2.已知 f(x)=x(2 018+ln x),若 f'(x0)=2 019,则 x0 等于( ) A.e 2 B.1 C.ln 2 D.e 答案:B 解析:∵f'(x)=2 018+ln x+x· 1 𝑥 =2 019+ln x, ∴f'(x0)=2 019+ln x0=2 019, 解得 x0=1. 故选 B. 3.曲线 y=2sin x+cos x 在点(π,-1)处的切线方程为( ) A.x-y-π-1=0 B.2x-y-2π-1=0 C.2x+y-2π+1=0 D.x+y-π+1=0 答案:C 解析:∵y'=2cos x-sin x, ∴所求切线斜率 k=2cos π-sin π=-2
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的： 丛书主编任志河。 http://www.zhyh.org ∴.所求切线方程为-(-1)=-2(x-π)， 即2x+y2π+1-0. 故选C 4.已知曲线y=ae+xnx在点(1，ae)处的切线方程为y=2x+b,则() A.a=e,b=-1 B.a=e.b=1 C.a=e1,b=1 D.a=e,b=-1 答案D 解析：y'=ae+lnx+l, ∴.k=ae+1=2 ∴.ae=l,a=e1 将点(1,1)代入y=2x+b,得2+b=1, ∴.b=1. 5.某厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热.如果原油温度（单位：℃）关于时间x单位)的 函数为)y=x)启-+8(0≤x≤5)，那么原油温度的瞬时变化率的最小值为州） A.8 B号 c.-1 D.-8 答案B 解析：由题意)子2-2(x)-号 ,0≤x≤5， 当x时，/)的最小值为号 即原油温度的瞬时变化率的最小值是号 故选B 6.已知曲线y=x4+ar2+1在点(-1，a+2)处的切线的斜率为8，则a= 答案：-6 解析：y=4x3+2am,∴.-4-2a=8,解得a=-6. 7.曲线y=3(x2+x)e在点(0,0)处的切线方程为 答案y=3x 解析：由题意可知y'=3(2x+1)e+3(x2+x)e=3(x2+3x+1)e, .k=3 .曲线y=3(x2+x)e在点(0,0)处的切线方程为y=3x 2
2 ∴所求切线方程为 y-(-1)=-2(x-π), 即 2x+y-2π+1=0. 故选 C. 4.已知曲线 y=ae x+xln x 在点(1,ae)处的切线方程为 y=2x+b,则( ) A.a=e,b=-1 B.a=e,b=1 C.a=e -1 ,b=1 D.a=e -1 ,b=-1 答案:D 解析:∵y'=ae x+ln x+1, ∴k=ae+1=2, ∴ae=1,a=e -1 . 将点(1,1)代入 y=2x+b,得 2+b=1, ∴b=-1. 5.某厂将原油精炼为汽油,需对原油进行冷却和加热.如果原油温度 y(单位:℃)关于时间 x(单位:h)的 函数为 y=f(x)= 1 8 x 3 -x 2+8(0≤x≤5),那么原油温度的瞬时变化率的最小值为( ) A.8 B.- 8 3 C.-1 D.-8 答案:B 解析:由题意,f'(x)= 3 8 x 2 -2x= 3 8 (𝑥- 8 3 ) 2 − 8 3 . ∵0≤x≤5, ∴当 x= 8 3 时,f'(x)的最小值为- 8 3 , 即原油温度的瞬时变化率的最小值是- 8 3 . 故选 B. 6.已知曲线 y=x4+ax2+1 在点(-1,a+2)处的切线的斜率为 8,则 a= . 答案:-6 解析:∵y'=4x 3+2ax,∴-4-2a=8,解得 a=-6. 7.曲线 y=3(x 2+x)ex在点(0,0)处的切线方程为 . 答案:y=3x 解析:由题意可知 y'=3(2x+1)ex+3(x 2+x)ex=3(x 2+3x+1)ex , ∴k=3. ∴曲线 y=3(x 2+x)ex在点(0,0)处的切线方程为 y=3x
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的： 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org 8.已知函数x)与()cosx+sinx,则)的值为 答案：1 解析：fx)=f(侣)sinx+cosx ⑨-份x号+ =2-1 ..Ax)=(v2-1)cosx+sin x. ) 9.求下列函数的导数 (1)y=x2+logsx; (2)y=x3e: (3y (4y-si吃克0吃 解(y-2x+品 (2)y'-3x2e+r2e (3)xsinx-cosx x2 (4)y=x-sintcos=x-sin x. .y=1-cos x. 10.己知曲线Cy=x2-2x+3,直线1：x-y4=0,在曲线C上求一点P,使点P到直线1的距离最短，并求出最 短距离， 解：设P(x0o)y=x)=2-2xr+3, 则fx)=2x-2. 由题意可知fx0)=20-2=l,解得0-三 w是P) ∴.点P到直线I的最短距离d= 3
3 8.已知函数 f(x)=f'( π 4 )cos x+sin x,则 f( π 4 )的值为 . 答案:1 解析:∵f'(x)=-f'( π 4 )sin x+cos x, ∴f'( π 4 )=-f'( π 4 ) × √2 2 + √2 2 , ∴f'( π 4 ) = √2-1. ∴f(x)=(√2-1)cos x+sin x. ∴f( π 4 )=1. 9.求下列函数的导数. (1)y=x2+log3x; (2)y=x3 e x ; (3)y= cos𝑥 𝑥 ; (4)y=x-sin𝑥 2 cos 𝑥 2 . 解:(1)y'=2x+ 1 𝑥ln3. (2)y'=3x 2 e x+x3 e x . (3)y'=-𝑥sin𝑥-cos𝑥 𝑥 2 . (4)∵y=x-sin𝑥 2 cos 𝑥 2 =x- 1 2 sin x, ∴y'=1- 1 2 cos x. 10.已知曲线 C:y=x2 -2x+3,直线 l:x-y-4=0,在曲线 C 上求一点 P,使点 P 到直线 l 的距离最短,并求出最 短距离. 解:设 P(x0,y0),y=f(x)=x2 -2x+3, 则 f'(x)=2x-2. 由题意可知 f'(x0)=2x0-2=1,解得 x0= 3 2 . ∴y0= 9 4 .∴P( 3 2 , 9 4 ). ∴点 P 到直线 l 的最短距离 d= | 3 2 - 9 4 -4| √2 = 19√2 8
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的！ 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org 拓展提高 1.已知y=fx)是可导函数，如图，直线y=kr+2是曲线y=x)在x=3处的切线，令g(x)=x),g(x)是g(x) 的导函数，则g(3)=() y=f(x) y=kx+2 A.-1 B.0 C.2 D.4 答案B 解析：由题图可知由线))在x3处的切线的斜车为哈所以3)-号 因为gx)=x), 所以g《x)=x)+xfx, 所以g《3)=3)+3f3), 又由题图可知3)=1， 所以g3)-1+3×()-0 2.某市在一次降雨过程中，降雨量（单位：mm)与时间（单位：min)的函数关系可近似地表示为 y=)=√10t,1∈[0,801，则在时刻1=40min的降雨强度为(） A.20mm B.400 mm Cmm/min D.子mm/min 答案D 解析：0品 ÷40高=片 3.已知f(x)=sinx-cosxfn+1(x)是f(x)的导函数，即fx)=f(x)x)=5(x),…fm+(x)=(x,n∈N+,则fE 020(x)=() A.sin x-cosx B.cos x-sin x C.sin x+cos x D.-sin x-cosx 4
4 拓展提高 1.已知 y=f(x)是可导函数,如图,直线 y=kx+2 是曲线 y=f(x)在 x=3 处的切线,令 g(x)=xf(x),g'(x)是 g(x) 的导函数,则 g'(3)=( ) A.-1 B.0 C.2 D.4 答案:B 解析:由题图可知曲线 y=f(x)在 x=3 处的切线的斜率为2-1 0-3 =- 1 3 ,所以 f'(3)=- 1 3 . 因为 g(x)=xf(x), 所以 g'(x)=f(x)+xf'(x), 所以 g'(3)=f(3)+3f'(3). 又由题图可知 f(3)=1, 所以 g'(3)=1+3×(- 1 3 )=0. 2.某市在一次降雨过程中,降雨量 y(单位:mm)与时间 t(单位:min)的函数关系可近似地表示为 y=f(t)=√10𝑡,t∈[0,80],则在时刻 t=40 min 的降雨强度为( ) A.20 mm B.400 mm C. 1 2 mm/min D. 1 4 mm/min 答案:D 解析:∵f'(t)= 5 √10𝑡 , ∴f'(40)= 5 √400 = 1 4 . 3.已知 f1(x)=sin x-cos x,fn+1(x)是 fn(x)的导函数,即 f2(x)=f1'(x),f3(x)=f2'(x),…,fn+1(x)=fn'(x),n∈N+,则 f2 020(x)=( ) A.sin x-cos x B.cos x-sin x C.sin x+cos x D.-sin x-cos x
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的！ 丛书主编任志河。 http://www.zhyh.org 答案D 解析：f(x)=sinx-cosx, .(x)=f(x)=cosx+sin x, f(x)(x)=-sinx+cosx, f(x)=(x)=-cosx-sinx, fs(x)=f(x)=sin x-cosx, .f五02o(x)=f4(x)=-cosx-sinx.故选D. 4.己知直线x-火1=0与抛物线y=ar2相切，则a的值为 答案 解析：设切点为P(x0,o）.,y=a2 ..y'=2ax. 2ax0=1, 由题意可知y0=ax6, x0-y0-1=0, 解得a月 5.已知a∈R,函数x)=c+的导函数是fx),且fx)为奇函数若曲线yx)的一条切线的斜率为则 切点的横坐标为 答案：ln2 解析：由已知得x)=e忌 国为f)为奇函数，所以fx)=f-x),即c是-(e-ae),即(e+e1-a)-0,解得a=l.所以fx)=e是令 e是=是解得e-2或e=舍去)所以x=n2 6.已知函数x)子3-2r2+axa∈R),在曲线y=x)的所有切线中，有且仅有一条切线1与直线y=x垂直. 求a的值和切线I的方程 解x)r3-2r2+a ∴fx)=x2.4xta. 由题意可知，方程fx)=x2.4x+a=-1有两个相等的实根， ∴.4=16-4(a+1)=0,解得a=3. 由fx)=x2.4x+3=-1,解得x=2. 3
5 答案:D 解析:∵f1(x)=sin x-cos x, ∴f2(x)=f1'(x)=cos x+sin x, f3(x)=f2'(x)=-sin x+cos x, f4(x)=f3'(x)=-cos x-sin x, f5(x)=f4'(x)=sin x-cos x, ∴f2 020(x)=f4(x)=-cos x-sin x.故选 D. 4.已知直线 x-y-1=0 与抛物线 y=ax2 相切,则 a 的值为 . 答案: 1 4 解析:设切点为 P(x0,y0).∵y=ax2 , ∴y'=2ax. 由题意可知{ 2𝑎𝑥0 = 1, 𝑦0 = 𝑎𝑥0 2 , 𝑥0 -𝑦0 -1 = 0, 解得 a= 1 4 . 5.已知 a∈R,函数 f(x)=e x+ 𝑎 e 𝑥的导函数是 f'(x),且 f'(x)为奇函数.若曲线 y=f(x)的一条切线的斜率为3 2 ,则 切点的横坐标为 . 答案:ln 2 解析:由已知得 f'(x)=e x - 𝑎 e 𝑥 . 因为 f'(x)为奇函数,所以 f'(x)=-f'(-x),即 e x - 𝑎 e 𝑥=-(e-x -a·e x ),即(ex+e -x )(1-a)=0,解得 a=1.所以 f'(x)=e x - 1 e 𝑥 .令 e x - 1 e 𝑥 = 3 2 ,解得 e x=2 或 e x=- 1 2 (舍去).所以 x=ln 2. 6.已知函数 f(x)= 1 3 x 3 -2x 2+ax(a∈R),在曲线 y=f(x)的所有切线中,有且仅有一条切线 l与直线 y=x 垂直. 求 a 的值和切线 l 的方程. 解:∵f(x)= 1 3 x 3 -2x 2+ax, ∴f'(x)=x2 -4x+a. 由题意可知,方程 f'(x)=x2 -4x+a=-1 有两个相等的实根, ∴Δ=16-4(a+1)=0,解得 a=3. 由 f'(x)=x2 -4x+3=-1,解得 x=2
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的： 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org 28-24+2x3号 “切线1的方程为子-x-2), 即3x+3y8=0. .a的值为3，切线1的方程为3x+3y8=0. 挑战创新 设函数)=ax是曲线x)在点(2,2)处的切线方程为7x4少12=0. (1)求x)的解析式： (2)求证：曲线y=x)上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形的面积为定值，并求此 定值 (1)解：7x-4-12=0可化为y子-3. 当x2时是 又)+总于是 a+= 解得6二名 故与是 (2)证明：设点P(0,w)为曲线上任一点，由x)=1+是，可知曲线x)在点P,0)处的切线方程为上 w(1+x-o).即(x)=(1+xo 令x=0,得)=号从而切线与直线x=0的交点坐标为(0，)令得)=20，从而切线与直线同x 的交点坐标为(2x0,2x0) 所以曲线)在点P0,w)处的切线与直线x0和直线)x所国成的三角形的面积为} 92a-6 故曲线y=x)上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形的面积为定值，此定值为6. 6
6 ∴f(2)= 1 3 ×8-2×4+2×3= 2 3 . ∴切线 l 的方程为 y- 2 3 =-(x-2), 即 3x+3y-8=0. ∴a 的值为 3,切线 l 的方程为 3x+3y-8=0. 挑战创新 设函数 f(x)=ax- 𝑏 𝑥 ,曲线 y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为 7x-4y-12=0. (1)求 f(x)的解析式; (2)求证:曲线 y=f(x)上任一点处的切线与直线 x=0 和直线 y=x 所围成的三角形的面积为定值,并求此 定值. (1)解:7x-4y-12=0 可化为 y= 7 4 x-3. 当 x=2 时,y= 1 2 . 又 f'(x)=a+ 𝑏 𝑥 2 ,于是{ 2𝑎- 𝑏 2 = 1 2 , 𝑎 + 𝑏 4 = 7 4 , 解得{ 𝑎 = 1, 𝑏 = 3. 故 f(x)=x- 3 𝑥 . (2)证明:设点 P(x0,y0)为曲线上任一点,由 f'(x)=1+ 3 𝑥 2 ,可知曲线 y=f(x)在点 P(x0,y0)处的切线方程为 yy0=(1 + 3 𝑥0 2 )(x-x0),即 y-(𝑥0 - 3 𝑥0 ) = (1 + 3 𝑥0 2 )(x-x0). 令 x=0,得 y=- 6 𝑥0 ,从而切线与直线 x=0 的交点坐标为(0,- 6 𝑥0 ).令 y=x,得 y=x=2x0,从而切线与直线 y=x 的交点坐标为(2x0,2x0). 所以曲线 y=f(x)在点 P(x0,y0)处的切线与直线 x=0 和直线 y=x 所围成的三角形的面积为1 2 · |- 6 𝑥0 |·|2x0|=6. 故曲线 y=f(x)上任一点处的切线与直线 x=0 和直线 y=x 所围成的三角形的面积为定值,此定值为 6