志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的！ 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org 5.3. 1等比数列 第1课时 等比数列的定义 课后·训练提升 基础巩固 1.实数数列1，a,4,b2为等比数列，则a=() A-2 B.2 C.±2 D.±2Z 答案B 解折振据连意得6么解得a一 2.己知等差数列{an}的公差为2，若a1,a3,a4成等比数列，则a2=() A-4 B.-6 C.-8 D.-10 答案B 解析：，a4=a1+3d=Q1+6,a3=a1+2d=a1+4,a1,a5,a4成等比数列， ∴.a3=a1a4,即(a1+4)2=a1×(a1+6), 解得a1=-8,∴.a2=a1+2=-6.故选B 3设am,a2.,a,4成等比数列，其公比为2，则a1t二的值为 ) 2a3+a4 A号 B时 c唱 D.1 答案：A 解桥：设数列的公比为g会授-品-积=品=月 4.若等比数列{am}满足anam+1=16,则公比q为(） A.2 B.4 c.8 D.16 答案：B 解析：，aman+1=l6, ∴.a1a2=16,a2a3=162 两式相除得2=16，即=16.∴q=±4. 1
1 5.3.1 等比数列 第 1 课时 等比数列的定义 课后· 基础巩固 1.实数数列 1,a,4,b 2 为等比数列,则 a=( ) A.-2 B.2 C.±2 D.±2√2 答案:B 解析:根据题意,得{ 𝑎 2 = 1 × 4, 16 = 𝑎 × 𝑏 2 , 解得 a=2. 2.已知等差数列{an}的公差为 2,若 a1,a3,a4成等比数列,则 a2=( ) A.-4 B.-6 C.-8 D.-10 答案:B 解析:∵a4=a1+3d=a1+6,a3=a1+2d=a1+4,a1,a3,a4 成等比数列, ∴𝑎3 2=a1·a4,即(a1+4)2=a1×(a1+6), 解得 a1=-8,∴a2=a1+2=-6.故选 B. 3.设 a1,a2,a3,a4成等比数列,其公比为 2,则 2𝑎1+𝑎2 2𝑎3+𝑎4 的值为( ) A. 1 4 B. 1 2 C. 1 8 D.1 答案:A 解析:设数列{an}的公比为 q,则 2𝑎1+𝑎2 2𝑎3+𝑎4 = 2𝑎1+𝑎1𝑞 2𝑎1𝑞 2+𝑎1𝑞 3 = 2𝑎1+2𝑎1 8𝑎1+8𝑎1 = 4𝑎1 16𝑎1 = 1 4 . 4.若等比数列{an}满足 anan+1=16n ,则公比 q为( ) A.2 B.4 C.8 D.16 答案:B 解析:∵anan+1=16n , ∴a1a2=16,a2a3=162 . 两式相除得𝑎3 𝑎1 =16,即 q 2=16.∴q=±4
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的！ 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org ,anan+1=l6>0,∴a,an+1同号，即q>0, .q=4. 5.(多选题)已知数列{an}的前n项和为Sm,Sn-2am-2,若存在两项am,am,使得amam=64,则下列结论正确的 是() A数列{an}为等比数列 B.数列{an}为等差数列 C.m+n为定值 D.设数列{b}的前n项和为Tn,bm-log2a,则数列为等差数列 答案：ACD 解析：数列{an}的前n项和为Sm,Sm=2am-2 当n=1时，解得a1=2, 当n≥2时，Sm-1=2am-1-2, 所以an=Sn-Sn-1=2an-2am-l, 整理得am=2anl,即2=2（常数）， an-1 所以数列{an}是以2为首项，2为公比的等比数列. 所以an=22m-=2”,又因为a1=S1=2, 所以an=2,选项A正确. 由于an=2”,故存在两项am,am,使得aman=64,2m+m-26,即m+n=6. 选项C正确. 所以bm=log2an=n,所以Tn=1+2+3+…+n=mn+1 2 所以=空=将合一次函数的形式，故该数列为等差数列 选项D正确. 故选ACD 6.三个不相等的实数a,b,c成等差数列，且a,c,b成等比数列，则a:b:c= 答案：4：1：(-2) 解析：由题意得2b=a+c,① c2=ab,② 由①得c=2b-a,③ 将③代入②得a=b(舍去)或a=4b 2
2 ∵anan+1=16n>0,∴an,an+1 同号,即 q>0, ∴q=4. 5.(多选题)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,Sn=2an-2,若存在两项 am,an,使得 aman=64,则下列结论正确的 是( ) A.数列{an}为等比数列 B.数列{an}为等差数列 C.m+n 为定值 D.设数列{bn}的前 n 项和为 Tn,bn=log2an,则数列{ 𝑇𝑛 𝑛 }为等差数列 答案:ACD 解析:数列{an}的前 n 项和为 Sn,Sn=2an-2. 当 n=1 时,解得 a1=2, 当 n≥2 时,Sn-1=2an-1-2, 所以 an=Sn-Sn-1=2an-2an-1, 整理得 an=2an-1,即 𝑎𝑛 𝑎𝑛-1 =2(常数), 所以数列{an}是以 2 为首项,2 为公比的等比数列. 所以 an=2·2 n-1=2 n ,又因为 a1=S1=2, 所以 an=2 n ,选项 A 正确. 由于 an=2 n ,故存在两项 am,an,使得 aman=64,2m+n=2 6 ,即 m+n=6. 选项 C 正确. 所以 bn=log2an=n,所以 Tn=1+2+3+…+n=𝑛(𝑛+1) 2 , 所以𝑇𝑛 𝑛 = 𝑛+1 2 = 1 2 n+1 2符合一次函数的形式,故该数列为等差数列. 选项 D 正确. 故选 ACD. 6.三个不相等的实数 a,b,c 成等差数列,且 a,c,b 成等比数列,则 a∶b∶c= . 答案:4∶1∶(-2) 解析:由题意得 2b=a+c,① c 2=ab,② 由①得 c=2b-a,③ 将③代入②得 a=b(舍去)或 a=4b
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的！ 丛书主编任志河。 http://www.zhyh.org 因此c=2b-a=2b-4b=-2b. 则a:b:c=4:1:(-2). 7已知数列fa.}满足a-la=neN,则a- 答案2- 解析：2=t-3,1-2 an+an+1 an an 又a1=l,.数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列. ∴a=2- &已知数列{a}满足a日且a+1,+n∈N,) ()求证数列{a引是等比数列： (2)求数列{an}的通项公式 ()证明a+120w+号 ∴m=片-子=(anr) “数列a引是首项为是公比为的等比数列 2解：ar号=异×目1， a县×周+号 9.己知数列{an}的前n项和Sn=2an+l, (1)求证：数列{a}是等比数列，并求出其通项公式， (2)设bn=an+1+2am,求证：数列{bn}是等比数列. 证明：(1).Sn=2an+l,∴.Sn+1=2an+1+1,Sn+1-Sn=an+1=(2an+1+1)-(2an+1)=2an+1-2am ∴.an+1=2an 由已知及上式可知an0. ∴由n出=2，知数列{an}是等比数列. an 由a1=S=2a1+1,得a1=-1,.an=-2"1 (2)由(1)知，an=-2-1 3
3 因此 c=2b-a=2b-4b=-2b. 则 a∶b∶c=4∶1∶(-2). 7.已知数列{an}满足 a1=1, 𝑎𝑛 𝑎𝑛+𝑎𝑛+1 = 1 3 (n∈N+),则 an= . 答案:2 n-1 解析:∵ 𝑎𝑛 𝑎𝑛+𝑎𝑛+1 = 1 3 ,∴ 𝑎𝑛+𝑎𝑛+1 𝑎𝑛 =3,∴ 𝑎𝑛+1 𝑎𝑛 =2. 又 a1=1,∴数列{an}是首项为 1,公比为 2 的等比数列. ∴an=2 n-1 . 8.已知数列{an}满足 a1= 7 8 ,且 an+1= 1 2 an+ 1 3 (n∈N+). (1)求证:数列{𝑎𝑛- 2 3 }是等比数列; (2)求数列{an}的通项公式. (1)证明:∵an+1= 1 2 an+ 1 3 , ∴an+1- 2 3 = 1 2 an+ 1 3 − 2 3 = 1 2 (𝑎𝑛- 2 3 ). ∴ 𝑎𝑛+1- 2 3 𝑎𝑛- 2 3 = 1 2 . ∴数列{𝑎𝑛- 2 3 }是首项为 5 24,公比为1 2的等比数列. (2)解:∵an- 2 3 = 5 24 × ( 1 2 ) 𝑛-1 , ∴an= 5 24 × ( 1 2 ) 𝑛-1 + 2 3 . 9.已知数列{an}的前 n 项和 Sn=2an+1, (1)求证:数列{an}是等比数列,并求出其通项公式; (2)设 bn=an+1+2an,求证:数列{bn}是等比数列. 证明:(1)∵Sn=2an+1,∴Sn+1=2an+1+1,Sn+1-Sn=an+1=(2an+1+1)-(2an+1)=2an+1-2an, ∴an+1=2an. 由已知及上式可知 an≠0. ∴由 𝑎𝑛+1 𝑎𝑛 =2,知数列{an}是等比数列. 由 a1=S1=2a1+1,得 a1=-1,∴an=-2 n-1 . (2)由(1)知,an=-2 n-1
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的！ 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org .bn=am+1+2an=-2"-2×2-1-2×2m=-2n+1-4×2-1 -2, bn ∴.数列{b}是以-4为首项，2为公比的等比数列. 拓展提高 1.在等比数列{an}中，a1=1,公比q士1.若am=a1a2a4a5,则m等于() A.9 B.10 C.11 D.12 答案C 解析：，am=a1a2a3a4as=qq2gq=q10=1×q0,∴.m=11. 2已知在等比数列{am}中，2t2-2,4=8,则a6() a1+a2 A.31 B.32 C.63 D.64 答案B 解析：在等比数列{am}中，2t2-2,a4=8, 'a1+a2 ∴2+ 1+29=q=2。 a1+a2 a1+a2 ∴.gq2=4,a6=a4*q2=8×4=32, a6-32.故选B 3.已知等比数列{an}的公比g>1,且a2-4,2(an+an+2)=5am+1,则数列{am的通项公式an=(） A2- B.2" C.2m+1 D.2m+2 答案B 解析：，2(an+an+2)=5am+1, ∴.2an+2anq=5anq, 即2g2-5g+2-0,解得g=2或g舍去) a2=4,∴a1g=4,.a1=2,.an=2" 4.若数列{an}是等差数列，若a1+1,a3+3,a5+5构成公比为g的等比数列，则g= 答案：1 解析：设数列{am}的公差为d, 则a1=a3-2d,a5=Q3+2d. 由题意得(a1+1)(a5+5)=(a+3)2, 即(a3-2d+1)(a3+2d+5)=(3+a3)2. 4
4 ∴bn=an+1+2an=-2 n -2×2 n-1=-2×2 n=-2 n+1=-4×2 n-1 . ∴ 𝑏𝑛+1 𝑏𝑛 =2, ∴数列{bn}是以-4 为首项,2 为公比的等比数列. 拓展提高 1.在等比数列{an}中,a1=1,公比 q≠±1.若 am=a1a2a3a4a5,则 m 等于( ) A.9 B.10 C.11 D.12 答案:C 解析:∵am=a1a2a3a4a5=q·q 2·q 3·q 4=q10=1×q 10 ,∴m=11. 2.已知在等比数列{an}中, 𝑎2+𝑎3 𝑎1+𝑎2 =2,a4=8,则 a6=( ) A.31 B.32 C.63 D.64 答案:B 解析:∵在等比数列{an}中, 𝑎2+𝑎3 𝑎1+𝑎2 =2,a4=8, ∴ 𝑎2+𝑎3 𝑎1+𝑎2 = (𝑎1+𝑎2)·𝑞 𝑎1+𝑎2 =q=2, ∴q 2=4,a6=a4·q 2=8×4=32, ∴a6=32.故选 B. 3.已知等比数列{an}的公比 q>1,且 a2=4,2(an+an+2)=5an+1,则数列{an}的通项公式 an=( ) A.2 n-1 B.2 n C.2 n+1 D.2 n+2 答案:B 解析:∵2(an+an+2)=5an+1, ∴2an+2an·q 2=5an·q, 即 2q 2 -5q+2=0,解得 q=2 或 q= 1 2 (舍去). ∵a2=4,∴a1q=4,∴a1=2,∴an=2 n . 4.若数列{an}是等差数列,若 a1+1,a3+3,a5+5 构成公比为 q 的等比数列,则 q= . 答案:1 解析:设数列{an}的公差为 d, 则 a1=a3-2d,a5=a3+2d. 由题意得(a1+1)(a5+5)=(a3+3)2 , 即(a3-2d+1)(a3+2d+5)=(3+a3) 2
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的！ 丛书主编任志河。 http://www.zhyh.org 整理得(d+1)2=0,即d=-1. 因此a3+3=a1+2d+3=a1+1,a5+5=a1+4d+5=a1+1, 故a1+1=a3+3,得q=1. 5若数列a票器“品…是首项为1，公比为-2的等比数列，则as一 答案：32 解析：由题意可得红-(-V2)-(n≥2)， an-1 所以巨，号-（②(2是（②，将上面的四个式子左右两边分别相乘，得普( a √2)1+2+3+4=32，又a1=1,所以a5=32. 6.数列{am,{bm}满足条件a1=0,a2=1,且am2+2,bn=an+1-an 2 (1)求证：数列{bm}是等比数列： (2)求数列{bm}的通项公式， (1)证明：，2am+2=an+am+1,且a1=0,a2=1, ..an+1-an0 On+1=an+2-an+1= antan+1.an+i 1 2 bn an+1-an an+1-an 2 .数列{bn}是等比数列. (2)解b1=a-a1=l,公比q=之 -1()=(》1 7.在等比数列{an}中，已知a1=2,a4=16. (1)求数列{an}的通项公式： (2)若as,a5分别为等差数列{bm}的第3项和第5项，试求数列{bm}的通项公式及前n项和Sm. 解(1)设数列{an}的公比为q, 由题意a4=a1g,得16=2q, 解得q=2,an=a1d-1=2” (2)由(1)得a3=8,a5=32,则b3=8,b5=32 设数列{bm}的公差为d, 到有低十82 5
5 整理得(d+1)2=0,即 d=-1. 因此 a3+3=a1+2d+3=a1+1,a5+5=a1+4d+5=a1+1, 故 a1+1=a3+3,得 q=1. 5.若数列 a1, 𝑎2 𝑎1 , 𝑎3 𝑎2 ,…, 𝑎𝑛 𝑎𝑛-1 ,…是首项为 1,公比为-√2的等比数列,则 a5= . 答案:32 解析:由题意可得 𝑎𝑛 𝑎𝑛-1 =(-√2) n-1 (n≥2), 所以𝑎2 𝑎1 =-√2, 𝑎3 𝑎2 =(-√2) 2 , 𝑎4 𝑎3 =(-√2) 3 , 𝑎5 𝑎4 =(-√2) 4 ,将上面的四个式子左右两边分别相乘,得 𝑎5 𝑎1 =(- √2) 1+2+3+4=32,又 a1=1,所以 a5=32. 6.数列{an},{bn}满足条件 a1=0,a2=1,且 an+2= 𝑎𝑛+𝑎𝑛+1 2 ,bn=an+1-an. (1)求证:数列{bn}是等比数列; (2)求数列{bn}的通项公式. (1)证明:∵2an+2=an+an+1,且 a1=0,a2=1, ∴an+1-an≠0, ∴ 𝑏𝑛+1 𝑏𝑛 = 𝑎𝑛+2-𝑎𝑛+1 𝑎𝑛+1-𝑎𝑛 = 𝑎𝑛+𝑎𝑛+1 2 -𝑎𝑛+1 𝑎𝑛+1-𝑎𝑛 =- 1 2 . ∴数列{bn}是等比数列. (2)解:∵b1=a2-a1=1,公比 q=- 1 2 , ∴bn=1×(- 1 2 ) 𝑛-1 = (- 1 2 ) 𝑛-1 . 7.在等比数列{an}中,已知 a1=2,a4=16. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若 a3,a5 分别为等差数列{bn}的第 3 项和第 5项,试求数列{bn}的通项公式及前 n项和 Sn. 解:(1)设数列{an}的公比为 q, 由题意 a4=a1q 3 ,得 16=2q 3 , 解得 q=2,an=a1q n-1=2 n . (2)由(1)得 a3=8,a5=32,则 b3=8,b5=32. 设数列{bn}的公差为 d, 则有{ 𝑏1 + 2𝑑 = 8, 𝑏1 + 4𝑑 = 32
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的： 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org 期得0126 从而bm=-16+12(n-1)=12n-28. 所以数列{b}的前n项和Sn-16+2m28=6m2-22n 2 挑战创新 已知数列{a}的前n项之和为S,S与am满足关系S-2n∈N,) (I)求am+1与am满足的关系式，并求a1的值 (2)证明数列受}是等比数列，并求{a}的通项公式 (3)是否存在常数p,使数列{am+1-pan}为等比数列？若存在，请求出常数p的值；若不存在，请说明理由. (①解：S-2.名① S1-2② ②-①得am+1n+nn+3。 :2n+2 n+2 n+1 m+1三 n an. ∷2 1 由题意知a1=S=2.中，∴n号 (2)证明：（①知胖=器而号=克 n+1 “数列侣}是以为首项为公比的等比数列 =支份-)” ∴an2 (3解：2为apa共-婴=-也2 2n+1 若数列{an+1-pan}是等比数列，则1-2p=0, p 6
6 解得{ 𝑏1 = -16, 𝑑 = 12. 从而 bn=-16+12(n-1)=12n-28. 所以数列{bn}的前 n 项和 Sn= 𝑛(-16+12𝑛-28) 2 =6n 2 -22n. 挑战创新 已知数列{an}的前 n 项之和为 Sn,Sn 与 an 满足关系:Sn=2- 𝑛+2 𝑛 an(n∈N+). (1)求 an+1 与 an 满足的关系式,并求 a1 的值. (2)证明:数列{ 𝑎𝑛 𝑛 }是等比数列,并求{an}的通项公式. (3)是否存在常数 p,使数列{an+1-pan}为等比数列?若存在,请求出常数 p 的值;若不存在,请说明理由. (1)解:∵Sn=2- 𝑛+2 𝑛 an,① ∴Sn+1=2- 𝑛+3 𝑛+1 an+1.② ②-①得 an+1= 𝑛+2 𝑛 an- 𝑛+3 𝑛+1 an+1, ∴ 2(𝑛+2) 𝑛+1 an+1= 𝑛+2 𝑛 an. ∴ 2 𝑛+1 an+1= 1 𝑛 an. 由题意知 a1=S1=2- 1+2 1 a1,∴a1= 1 2 . (2)证明:由(1)知 𝑎𝑛+1 𝑛+1 = 𝑎𝑛 2𝑛 ,而 𝑎1 1 = 1 2 , ∴数列{ 𝑎𝑛 𝑛 }是以1 2 为首项, 1 2 为公比的等比数列. ∴ 𝑎𝑛 𝑛 = 1 2 · ( 1 2 ) 𝑛-1 = ( 1 2 ) 𝑛 . ∴an= 𝑛 2 𝑛. (3)解:由(2)知 an+1-pan= 𝑛+1 2 𝑛+1 − 𝑝𝑛 2 𝑛 = (1-2𝑝)𝑛+1 2 𝑛+1 . 若数列{an+1-pan}是等比数列,则 1-2p=0, ∴p= 1 2
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的： 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org 当p时，数列[an+1pan是等比数列. 7
7 ∴当 p= 1 2 时,数列{𝑎𝑛+1 -𝑝𝑎𝑛 }是等比数列