志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的： 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org 第2课时 等差数列前n项和的性质及应用 课后·训练提升 基础巩固 1.设等差数列{an}的前n项和为Sm,若S3=9,S6=36,则a7+as+ay等于() A63 B.45 C.36 D.27 答案：B 解析：a十ag+ag=Sg-S6,而由等差数列的性质可知，S,S6-S3,Sg-S6构成等差数列. 所以S+(S9-S6)=2(S6-S3)」 即S9-S6=2S6-3S3=2×36-3×9=45 2.已知数列{an}满足an+1-an=2,a1=-3,则|a+la2+…+as=() A.13 B.8 C.5 D.20 答案：A 解析：，数列{am}满足an+1-an=2,a1=-3, 数列{an}是首项为-3，公差为2的等差数列， ∴.am=-3+(n-1)×2=2n-5. ,数列{an}前两项a1与a均为负值， ∴.la+la2l+…+la5l=-a1-a2+a3+a4+a5=-(-3)-(-1)+1+3+5=13. 3在等差数列{a中，是其前n项和，a-1,0-兰-2，则S1-() A-11 B.11 C.10 D.-10 答案：A 解析：，数列{am}为等差数列 “数列}为等差数列，首项子-1=-1山， 设数列}的公差为d则光-是-2d-2 ∴da1,-11+10d=-l .S11=11 1
1 第 2 课时 等差数列前 n 项和的性质及应用 课后· 基础巩固 1.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S3=9,S6=36,则 a7+a8+a9 等于( ) A.63 B.45 C.36 D.27 答案:B 解析:a7+a8+a9=S9-S6,而由等差数列的性质可知,S3,S6-S3,S9-S6 构成等差数列. 所以 S3+(S9-S6)=2(S6-S3), 即 S9-S6=2S6-3S3=2×36-3×9=45. 2.已知数列{an}满足 an+1-an=2,a1=-3,则|a1|+|a2|+…+|a5|=( ) A.13 B.8 C.5 D.20 答案:A 解析:∵数列{an}满足 an+1-an=2,a1=-3, ∴数列{an}是首项为-3,公差为 2 的等差数列, ∴an=-3+(n-1)×2=2n-5. ∵数列{an}前两项 a1 与 a2 均为负值, ∴|a1|+|a2|+…+|a5|=-a1-a2+a3+a4+a5=-(-3)-(-1)+1+3+5=13. 3.在等差数列{an}中,Sn 是其前 n 项和,a1=-11,𝑆10 10 − 𝑆8 8 =2,则 S11=( ) A.-11 B.11 C.10 D.-10 答案:A 解析:∵数列{an}为等差数列, ∴数列{ 𝑆𝑛 𝑛 }为等差数列,首项𝑆1 1 =a1=-11, 设数列{ 𝑆𝑛 𝑛 }的公差为 d,则 𝑆10 10 − 𝑆8 8 =2d=2, ∴d=1,∴ 𝑆11 11 =-11+10d=-1, ∴S11=-11
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的！ 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org 4已知两个等差数列{a}和t6,的前n项和之比为n∈N,则等于(） b11 A好 B c D咒 答案：C 解析：设数列{am}的前n项和为Sm,数列{bn}的前n项和为Tm, (a1+a21)×21 器=器-名 b1+b21x2T= S21二 7×21+1 (b1+b21)×21 T21 x2+污 5.已知一个首项为正数的等差数列，前3项的和等于前11项的和，当这个数列的前n项和最大时n等 于() A.5 B.6 C.7 D.8 答案C 解析：设等差数列为{an,公差为d,前n项和为Sm 由S=S1及首项为正可知d<0 而S.=na+-r+(ah 又S3=S1, 所以当n3+业-7时，Sn最大 2 故数列的前n项和最大时n等于7. 6.己知数列{am}的通项为an=-2n-1,则数列{a}的前n项和为 答案：2+2n 解析：由题可知数列{an}的各项均为负值，设数列{lan}的前n项和为Sm,则有Sm=-a1-a- am=3+5+7+…+(2n+1)n3+2n+里=2+2n 2 7.一个有11项的等差数列，奇数项之和为30，则它的中间项为 答案：5 解析：由条件知a1+a3+a5+a7+a9+a11=30, 又a1+a11=a3+a9=a5+a7, ,∴.a5+a7=2a6=10 ∴.a6=5,即中间项a6=5. 2
2 4.已知两个等差数列{an}和{bn}的前 n 项和之比为 7𝑛+1 4𝑛+27(n∈N+),则 𝑎11 𝑏11 等于( ) A. 7 4 B. 3 2 C. 4 3 D. 78 71 答案:C 解析:设数列{an}的前 n 项和为 Sn,数列{bn}的前 n 项和为 Tn, 则 𝑎11 𝑏11 = 2𝑎11 2𝑏11 = (𝑎1+𝑎21)×21 (𝑏1+𝑏21)×21 = (𝑎1+𝑎21)×21 2 (𝑏1+𝑏21)×21 2 = 𝑆21 𝑇21 = 7×21+1 4×21+27 = 4 3 . 5.已知一个首项为正数的等差数列,前 3 项的和等于前 11 项的和,当这个数列的前 n 项和最大时,n 等 于( ) A.5 B.6 C.7 D.8 答案:C 解析:设等差数列为{an},公差为 d,前 n 项和为 Sn. 由 S3=S11 及首项为正可知 d<0. 而 Sn=na1+ 𝑛(𝑛-1) 2 d=𝑑 2 n 2+(𝑎1 - 𝑑 2 )n, 又 S3=S11, 所以当 n= 3+11 2 =7 时,Sn 最大. 故数列的前 n 项和最大时 n 等于 7. 6.已知数列{an}的通项为 an=-2n-1,则数列{|an|}的前 n项和为 . 答案:n 2+2n 解析:由题可知数列{an}的各项均为负值,设数列{|an|}的前 n 项和为 Sn,则有 Sn=-a1-a2-…- an=3+5+7+…+(2n+1)= 𝑛(3+2𝑛+1) 2 =n2+2n. 7.一个有 11 项的等差数列,奇数项之和为 30,则它的中间项为 . 答案:5 解析:由条件知 a1+a3+a5+a7+a9+a11=30, 又 a1+a11=a3+a9=a5+a7, ∴a5+a7=2a6=10. ∴a6=5,即中间项 a6=5
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网永远提供更新的！ 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org 8.己知数列{an}满足a1=l,an+1-am=3(n∈N+),则an=_ ,a4十☑7十☑10+·十a3m+4= 答案：3n-2n+19m+20 2 解析：数列{an}满足a1=l,am+1-an=3(n∈N+), .数列{am}是首项为1，公差为3的等差数列， ∴.an=1+(n-1)×3=3n-2, ∴.数列{a3m+1}是首项为10，公差为9的等差数列， ∴a4+a+a10+…+a3m+4-10n+1)+n+1x9=m+1X9m+20 2 2 9.在等差数列{am}中，己知a4-7,S6=45, (I)求数列{an}的通项公式： (2)当n取何值时，S取最大值，并求出最大值 解：(1)由题意知4=a1+3d-7, (S6=6a1+15d=45 日10 因此an=a1+(n-1)d=11-n. (2由(1知S-01m-2r+号neN) 2 因此当n=10或11时Sn最大，且(Sn)max=S10=S1=55 10.在等差数列{am}中，a1=-60,a17=-12,求数列{|an}的前n项和 解等差数列{am}的公差da7=12-60-3, 17-1 16 ∴.am=a1+(n-1)d=-60+(n-1)×3=3n-63. 由an<0,得3n-63<0,即n<21 .数列{am}的前20项是负数，第20项以后的项都为非负数 设Sn,Sn'分别表示数列{an},{la}的前n项和 当21时8=8=60ng3-r+受 2 当n≥21时， S=-80t+S-50)=s-20=-60m2g23-2×(60×20+209×3）=2r.号n+1260 ∴.数列{lanl}的前n项和为 3
3 8.已知数列{an}满足 a1=1,an+1-an=3(n∈N+),则 an= ,a4+a7+a10+…+a3n+4= . 答案:3n-2 (𝑛+1)(9𝑛+20) 2 解析:数列{an}满足 a1=1,an+1-an=3(n∈N+), ∴数列{an}是首项为 1,公差为 3 的等差数列, ∴an=1+(n-1)×3=3n-2, ∴数列{a3n+1}是首项为 10,公差为 9 的等差数列, ∴a4+a7+a10+…+a3n+4=10(n+1)+ 𝑛(𝑛+1) 2 ×9= (𝑛+1)(9𝑛+20) 2 . 9.在等差数列{an}中,已知 a4=7,S6=45, (1)求数列{an}的通项公式; (2)当 n 取何值时,Sn 取最大值,并求出最大值. 解:(1)由题意知{ 𝑎4 = 𝑎1 + 3𝑑 = 7, 𝑆6 = 6𝑎1 + 15𝑑 = 45, 解得{ 𝑎1 = 10, 𝑑 = -1. 因此 an=a1+(n-1)d=11-n. (2)由(1)知 Sn= 𝑛(10+11-𝑛) 2 =- 1 2 n 2+ 21 2 n(n∈N+). 因此当 n=10 或 11 时 Sn 最大,且(Sn)max=S10=S11=55. 10.在等差数列{an}中,a1=-60,a17=-12,求数列{|an|}的前 n 项和. 解:∵等差数列{an}的公差 d=𝑎17-𝑎1 17-1 = -12-(-60) 16 =3, ∴an=a1+(n-1)d=-60+(n-1)×3=3n-63. 由 an<0,得 3n-63<0,即 n<21. ∴数列{an}的前 20 项是负数,第 20 项以后的项都为非负数. 设 Sn,Sn'分别表示数列{an},{|an|}的前 n 项和, 当 n<21 时,Sn'=-Sn=- -60n+𝑛(𝑛-1) 2 ×3 =- 3 2 n 2+ 123 2 n; 当 n≥21 时, Sn'=-S20+(Sn-S20)=Sn-2S20=-60n+𝑛(𝑛-1) 2 ×3-2×(-60 × 20 + 20×19 2 × 3) = 3 2 n 2 - 123 2 n+1 260. ∴数列{|an|}的前 n 项和为
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的： 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org 2n2+号元n0, “数列前30项的绝对值之和为S0-21=30x(-60)+2022x3-2×21×(←60)+220×3-765 2.已知数列{am}共有19项，其中奇数项的和记为S,偶数项的和记为T则宁() A号 B号 c D 答案：B 解析：，Sn=a1+a3+a5+…+a19 10(a1+a19=10a10, 2 Tn-a2+a4+a6+…+a18-9%a2ta1el_=9a10 2 产温 3.(多选题)设数列{an}(n∈N+)是等差数列，Sn是其前n项的和，且SSs,则下列结论正确的是 () A.dS5 D.S与S,均为Sn的最大值 答案：ABD 解析：由S50, 又S6=S7,∴.a1+a2+…+a6=a1+a2+…+a6+a,∴.a=0,B正确； 4
4 Sn'={ - 3 2 𝑛 2 + 123 2 𝑛,𝑛 0,a21=0,a22>0, ∴数列前 30 项的绝对值之和为 S30-2S21=30×(-60)+ 30×29 2 ×3-2×[21 × (-60) + 21×20 2 × 3]=765. 2.已知数列{an}共有 19 项,其中奇数项的和记为 Sn,偶数项的和记为 Tn,则 𝑆𝑛 𝑇𝑛 =( ) A. 19 9 B. 10 9 C. 8 9 D. 5 9 答案:B 解析:∵Sn=a1+a3+a5+…+a19= 10(𝑎1+𝑎19) 2 =10a10, Tn=a2+a4+a6+…+a18= 9(𝑎2+𝑎18) 2 =9a10. ∴ 𝑆𝑛 𝑇𝑛 = 10 9 . 3.(多选题)设数列{an}(n∈N+)是等差数列,Sn 是其前 n 项的和,且 S5S8,则下列结论正确的是 ( ) A.dS5 D.S6 与 S7 均为 Sn 的最大值 答案:ABD 解析:由 S50, 又 S6=S7,∴a1+a2+…+a6=a1+a2+…+a6+a7,∴a7=0,B 正确;
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的！ 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org 同理由S7>S8,得asS5,即a6+a+a8+a9>0,可得2(a7+as)>0,由结论a7=0,asS8,.S6与S,均为Sm的最大值，D正确.故选ABD 4.已知在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，己知S3-9,a4+a5+a6=7,则Sg-S6= 答案：5 解析：S,S6-S,Sg-S6成等差数列， 而S3=9,S6-S3=a4+a5+a6=7,∴.Sg-S6=5. 5设S是等差数列a,的前n项和若经=则票 S12 答案品 解析受=设S-k则S=3认 ∴.S3=k,S6-S3=2k,S9-S6=3k,S12-S9=4k ∴.S12=k+2k+3k+4k=10k 品 6设等差数列a}的前n项和为S已知子>斜且aaSa-1aw,5@型-130m 2 2 沿>器即aw>m 又a6a10,a<0, ∴.等差数列{an}为单调递减数列. 则Sn取最大值时n的值为6. 7.已知公差大于零的等差数列{an}的前n项和为Sm,且满足a3a4=117,2+a5=22, (1)求数列{an}的通项公式： (2)求Sn的最小值： (3)若数列{b,是等差数列，且6：本求非零常数c的值 解(I)数列{am}为等差数列， ∴.a3+a4=a2+a5=22
5 同理由 S7>S8,得 a8S5,即 a6+a7+a8+a9>0,可得 2(a7+a8)>0,由结论 a7=0,a8S8,∴S6 与 S7 均为 Sn的最大值,D 正确.故选 ABD. 4.已知在等差数列{an}中,Sn 为其前 n 项和,已知 S3=9,a4+a5+a6=7,则 S9-S6= . 答案:5 解析:∵S3,S6-S3,S9-S6成等差数列, 而 S3=9,S6-S3=a4+a5+a6=7,∴S9-S6=5. 5.设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,若 𝑆3 𝑆6 = 1 3 ,则 𝑆6 𝑆12 = . 答案: 3 10 解析:∵ 𝑆3 𝑆6 = 1 3 ,∴设 S3=k,则 S6=3k. ∴S3=k,S6-S3=2k,S9-S6=3k,S12-S9=4k. ∴S12=k+2k+3k+4k=10k, ∴ 𝑆6 𝑆12 = 3 10. 6.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知𝑆𝑛 𝑛 > 𝑆𝑛+1 𝑛+1 ,且 a6a7 𝑆𝑛+1 𝑛+1 ,S11= 11(𝑎1+𝑎11) 2 =11a6,S13= 13(𝑎1+𝑎13) 2 =13a7, ∴ 𝑆11 11 > 𝑆13 13 ,即 a6>a7. 又 a6a70,a7<0, ∴等差数列{an}为单调递减数列. 则 Sn 取最大值时 n 的值为 6. 7.已知公差大于零的等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 a3a4=117,a2+a5=22. (1)求数列{an}的通项公式; (2)求 Sn 的最小值; (3)若数列{bn}是等差数列,且 bn= 𝑆𝑛 𝑛+𝑐 ,求非零常数 c 的值. 解:(1)∵数列{an}为等差数列, ∴a3+a4=a2+a5=22
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的！ 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org 又a3a4=117,a3,a4是方程x2-22x+117=0的两实根，又公差d0,∴a3<a4, a3=9,a4=13,得a1=1,d=4, ∴.an=4n-3. (2)由(1)知a1=1,d=4, Sagd-2r-n=2(n-9)-是 .当n=1时，Sn最小，最小值为S=a1=1. (3)由(2)知Sm=22-n, 6产- n+c b处2来兴 ,数列{bm}是等差数列， ∴.2b2=b1+b3, 即2并2+是得2c+c0, ·c=或c0舍去 故c一月 挑战创新 若数列{an}是等差数列，Sn是其前n项和，且a21=-10,S5=40. (1)求数列{an}的通项公式： (2)若数列{bm}满足bn=an,求数列{bm}的前n项和Tm 解(1)设等差数列的首项为a1,公差为d, 则由题意知21=a1+20d=-10, S5=5a1+10d=40, 解得810 因此an=10+(n-1)×(-1)=-n+11. (2)由(1)知an=11-n .当n≤11时， 7=a1tat+…+a-2r+n 6
6 又 a3a4=117,∴a3,a4 是方程 x 2 -22x+117=0 的两实根,又公差 d>0,∴a3<a4, ∴a3=9,a4=13,得 a1=1,d=4, ∴an=4n-3. (2)由(1)知 a1=1,d=4, ∴Sn=na1+ 𝑛(𝑛-1) 2 ·d=2n 2 -n=2(𝑛- 1 4 ) 2 − 1 8 , ∴当 n=1 时,Sn 最小,最小值为 S1=a1=1. (3)由(2)知 Sn=2n 2 -n, ∴bn= 𝑆𝑛 𝑛+𝑐 = 2𝑛 2 -𝑛 𝑛+𝑐 , ∴b1= 1 1+𝑐 ,b2= 6 2+𝑐 ,b3= 15 3+𝑐 . ∵数列{bn}是等差数列, ∴2b2=b1+b3, 即 6 2+𝑐 ×2= 1 1+𝑐 + 15 3+𝑐 ,得 2c 2+c=0, ∴c=- 1 2 或 c=0(舍去), 故 c=- 1 2 . 挑战创新 若数列{an}是等差数列,Sn 是其前 n 项和,且 a21=-10,S5=40. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若数列{bn}满足 bn=|an|,求数列{bn}的前 n项和 Tn. 解:(1)设等差数列的首项为 a1,公差为 d, 则由题意知{ 𝑎21 = 𝑎1 + 20𝑑 = -10, 𝑆5 = 5𝑎1 + 10𝑑 = 40, 解得{ 𝑎1 = 10, 𝑑 = -1. 因此 an=10+(n-1)×(-1)=-n+11. (2)由(1)知 an=11-n. ∴当 n≤11 时, Tn=a1+a2+…+an=- 1 2 n 2+ 21 2 n
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网永远提供更新的！ 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org 当n≥12时， I-lal+lal+…+lal-ata+…+am1-a2-an3…-aw-2S1Sa2rΞn+110 ∴.Tm= n2+号n≤11， n2 1 21 2n+110,n≥12. 7
7 当 n≥12 时, Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+…+a11-a12-a13-…-an=2S11-Sn= 1 2 n 2 - 21 2 n+110. ∴Tn={ - 1 2 𝑛 2 + 21 2 𝑛,𝑛 ≤ 11, 1 2 𝑛 2 - 21 2 𝑛 + 110,𝑛 ≥ 12