志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的： 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org 5.1 数列基础 5.1.1数列的概念 课后·训练提升 基础巩固 1下面四个结论，其中叙述正确的有() ①数列的通项公式是唯一的； ②数列可以看作是一个定义在正整数集或其子集上的函数： ③若用图象表示数列，则它是一群孤立的点； ④每个数列都有通项公式 A.①② B.②③ c.③④ D.①④ 答案B 解析：数列的通项公式不唯一，有的数列没有通项公式，因此①④不正确. 2.已知数列的通项公式an= 3n+1,n为奇数， 2n-2,n为偶数， 则a2a3等于( A.70 B.28 C.20 D.8 答案：C 解析：由an (3n+1,n为奇数， 2n-2,n为偶数， 得2a3=2×10=20.故选C 3数列文品是…的通项公式为 ) 1 A.an=(-l)"+l2 (2n+1)(2n+3) B.an=(-1)"+ (2n+1)(2n+3) C.aa=(-l"2n+12n+3 1 D.an-(-l)"”2n+12n+3 答案D 1
1 5.1 数列基础 5.1.1 数列的概念 课后· 基础巩固 1.下面四个结论,其中叙述正确的有( ) ①数列的通项公式是唯一的; ②数列可以看作是一个定义在正整数集或其子集上的函数; ③若用图象表示数列,则它是一群孤立的点; ④每个数列都有通项公式. A.①② B.②③ C.③④ D.①④ 答案:B 解析:数列的通项公式不唯一,有的数列没有通项公式,因此①④不正确. 2.已知数列的通项公式 an={ 3𝑛 + 1,𝑛为奇数, 2𝑛-2,𝑛为偶数, 则 a2a3 等于( ) A.70 B.28 C.20 D.8 答案:C 解析:由 an={ 3𝑛 + 1,𝑛为奇数, 2𝑛-2,𝑛为偶数, 得 a2a3=2×10=20.故选 C. 3.数列- 1 3×5 , 2 5×7 ,- 3 7×9 , 4 9×11,…的通项公式为( ) A.an=(-1)n+1 1 (2𝑛+1)(2𝑛+3) B.an=(-1)n+1 𝑛 (2𝑛+1)(2𝑛+3) C.an=(-1)n 1 (2𝑛+1)(2𝑛+3) D.an=(-1)n 𝑛 (2𝑛+1)(2𝑛+3) 答案:D
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网永远提供更新的！ 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org 解析：观察式子的分子为1,2,3,4，…，n,…,分母为3×5,5×7,7×9，…，(2n+1)2n+3),…,而且正、负间隔.故 通项公式为am(-l)"”2m+12n+3 4.如图，下列四个图形中，着色三角形的个数依次构成一个数列的前4项，则这个数列的一个通项公式 为( A.an=3-1 B.an=3" C.an=3"-2n D.an=3m-1+2n-3 答案：A 解析：四个图形中着色三角形的个数依次为1,3,9,27，都是3的指数幂猜想数列的通项公式为am=3-1 5.下面四个数列中，是递增数列的是() A1吃号是 π，2π，3π B.sin2sin号，sin号… cl吉 D.0,2,0,2,0,… 答案：C 解析：A中数列是递减数列，B中数列不是单调数列，D中数列不是单调数列，C中数列符合条件 6.已知数列{an},an=d+m(a<0,n∈N+),满足a1=2,a2=4,则a3= 答案2 解析：亿三a+m=2, a2=a2+m=4, .d2-a=2 .a=2或a=-1,又a<0,∴.a=-1. 又a+m=2,∴.m=3, .am=(-1)+3,.a=(-1)3+3=2 7.以下通项公式 ①a1-ly”1:2a-√1- 2
2 解析:观察式子的分子为 1,2,3,4,…,n,…,分母为 3×5,5×7,7×9,…,(2n+1)(2n+3),…,而且正、负间隔.故 通项公式为 an=(-1)n 𝑛 (2𝑛+1)(2𝑛+3) . 4.如图,下列四个图形中,着色三角形的个数依次构成一个数列的前 4 项,则这个数列的一个通项公式 为( ) A.an=3 n-1 B.an=3 n C.an=3 n -2n D.an=3 n-1+2n-3 答案:A 解析:四个图形中着色三角形的个数依次为 1,3,9,27,都是 3 的指数幂.猜想数列的通项公式为 an=3 n-1 . 5.下面四个数列中,是递增数列的是( ) A.1,1 2 , 1 3 , 1 4 ,… B.sinπ 7 ,sin2π 7 ,sin3π 7 ,… C.-1,- 1 2 ,- 1 4 ,- 1 8 ,… D.0,2,0,2,0,… 答案:C 解析:A 中数列是递减数列,B 中数列不是单调数列,D 中数列不是单调数列,C 中数列符合条件. 6.已知数列{an},an=an+m(a<0,n∈N+),满足 a1=2,a2=4,则 a3= . 答案:2 解析:∵{ 𝑎1 = 𝑎 + 𝑚 = 2, 𝑎2 = 𝑎 2 + 𝑚 = 4, ∴a 2 -a=2, ∴a=2 或 a=-1,又 a<0,∴a=-1. 又 a+m=2,∴m=3, ∴an=(-1)n+3,∴a3=(-1)3+3=2. 7.以下通项公式: ①an= √2 2 [1-(-1)n ];②an=√1-(-1) 𝑛 ;
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的！ 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org ③an 小Z,n为奇数其中可以作为数列VZ,0V2.0,2,0,…通项公式的是 (0,n为偶数. 答案：①②③ 解析：逐一检验得①②③都正确 8.己知数列{an}的前4项为11,102,1003,10004，…，则它的一个通项公式为. 答案：an=10+n 解析：因为11=10+1,102=102+2,1003=103+3,10004=104+4，…，所以该数列的一个通项公式是 am=10"+n. 9.根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式： （音 (2)1,3,6,10,15, (3)7,77,777,… 解)注意前4项中有两项的分子为4不妨把分子统一为4即为后合品，于是它们的分母依次 相差3因而有a32 (2)注意6=2×3,10=2×5,15=3×5，规律还不明显，再把各项的分子和分母都乘2，即 2,2,2,2,2…,因而有ammn+ 1×22x33×44×55x6. 2 (3)把各项除以7，得1,1山，111，…，再乘9，得9,99,99，…，因而有a101) 10.已知数列{a}的通项公式是a,严”，其中n∈N (1)写出a10,am+1 (2)79是不是这个数列中的项？如果是，是第几项？如果不是，请说明理由。 解：(1)将n=10代入a,得a1o102+10-1=109 3 3 将n+1代入am,得 a+1n+1+n+1l=2+3mn+1 3 3 (2)不妨设7是这个数列中的第n项， 则am2+1=79号即+n-1=239, 3 3
3 ③an={ √2,𝑛为奇数, 0,𝑛为偶数. 其中可以作为数列√2,0,√2,0,√2,0,…通项公式的是 . 答案:①②③ 解析:逐一检验得①②③都正确. 8.已知数列{an}的前 4 项为 11,102,1 003,10 004,…,则它的一个通项公式为 . 答案:an=10n+n 解析:因为 11=10+1,102=102+2,1 003=103+3,10 004=104+4,……,所以该数列的一个通项公式是 an=10n+n. 9.根据数列的前几项,写出下列各数列的一个通项公式: (1)4 5 , 1 2 , 4 11 , 2 7 ,…; (2)1,3,6,10,15,…; (3)7,77,777,…. 解:(1)注意前 4 项中有两项的分子为 4,不妨把分子统一为 4,即为4 5 , 4 8 , 4 11 , 4 14,…,于是它们的分母依次 相差 3,因而有 an= 4 3𝑛+2 . (2)注意 6=2×3,10=2×5,15=3×5,规律还不明显,再把各项的分子和分母都乘 2,即 1×2 2 , 2×3 2 , 3×4 2 , 4×5 2 , 5×6 2 ,…,因而有 an= 𝑛(𝑛+1) 2 . (3)把各项除以 7,得 1,11,111,…,再乘 9,得 9,99,999,…,因而有 an= 7 9 (10n -1). 10.已知数列{an}的通项公式是 an= 𝑛 2+𝑛-1 3 ,其中 n∈N+. (1)写出 a10,an+1; (2)792 3 是不是这个数列中的项?如果是,是第几项?如果不是,请说明理由. 解:(1)将 n=10 代入 an,得 a10= 10 2+10-1 3 = 109 3 . 将 n+1 代入 an,得 an+1= (𝑛+1) 2+(𝑛+1)-1 3 = 𝑛 2+3𝑛+1 3 . (2)不妨设 792 3是这个数列中的第 n 项, 则 an= 𝑛 2+𝑛-1 3 =792 3 ,即 n 2+n-1=239
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的： 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org 解得n=15或n=-16(舍去)， 因此79是数列{am}中的第15项. 拓展提高 1下面四个命题：O已知在数列{a,中，ann克∈N,位是这个数列的第10项且最大项为第1项，② 数列名…的通项公式为a国数列的图象是一群孤立的点，④数列1，-111，…与数列-11 1,1,…是同一个数列真命题的个数是() A.1 B.2 C.3 D.4 答案B 解析：对于①，易知教列{a}是通减教列，且a0品故①正确；对于②，当n=1时，a1≠导国此②错误实 际上a,n∈N,对于国，由数列的表示法知正确，对于④，由数列的概念知错误综上所述，真命题 的个数为2.故选B. 2.把1,3,6,10,15,21，…这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点可以排成一个正三角形（第一个除 外)则第七个三角形数是( ) A27 B.28 C.29 D.30 答案B 解析：观察三角形数的增长规律，可以发现每一项比它的前一项多的点数正好是它本身的序号，根据这 个增长规律可知第七个三角形数是1+2+3+4+5+6+7=28. 3.(多选题)若数列{aan}满足：对任意正整数n,{am+1-an}为递减数列，则称数列{an}为“差递减数列给出 下列数列{an}(n∈N+),其中是“差递减数列的有( A.an=3n B.an=n2+1 C.an=V元 D.do-n 答案：CD 解析：选项A中，：am+1-an=3(n+1)-3n=3 .数列{an}不为“差递减数列” 4
4 解得 n=15 或 n=-16(舍去), 因此 792 3 是数列{an}中的第 15 项. 拓展提高 1.下面四个命题:①已知在数列{an}中,an= 1 𝑛+2 (n∈N+), 1 12是这个数列的第 10 项,且最大项为第 1 项;② 数列2 3 , 3 4 , 4 5 , 5 6 ,…的通项公式为 an= 𝑛 𝑛+1 ;③数列的图象是一群孤立的点;④数列 1,-1,1,-1,…与数列-1,1,- 1,1,…是同一个数列.真命题的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案:B 解析:对于①,易知数列{an}是递减数列,且 a10= 1 12,故①正确;对于②,当 n=1 时,a1= 1 2 ≠ 2 3 ,因此②错误,实 际上 an= 𝑛+1 𝑛+2 (n∈N+);对于③,由数列的表示法知正确;对于④,由数列的概念知错误.综上所述,真命题 的个数为 2.故选 B. 2.把 1,3,6,10,15,21,…这些数叫做三角形数,这是因为这些数目的点可以排成一个正三角形(第一个除 外).则第七个三角形数是( ) A.27 B.28 C.29 D.30 答案:B 解析:观察三角形数的增长规律,可以发现每一项比它的前一项多的点数正好是它本身的序号,根据这 个增长规律可知第七个三角形数是 1+2+3+4+5+6+7=28. 3.(多选题)若数列{an}满足:对任意正整数 n,{an+1-an}为递减数列,则称数列{an}为“差递减数列”.给出 下列数列{an}(n∈N+),其中是“差递减数列”的有( ) A.an=3n B.an=n2+1 C.an=√𝑛 D.an=ln 𝑛 𝑛+1 答案:CD 解析:选项 A 中,∵an+1-an=3(n+1)-3n=3, ∴数列{an}不为“差递减数列
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的！ 丛书主编任志河。 http://www.zhyh.org 同理可得选项B中的数列也不为“差递减数列” 选项C中，：am1-am=Vn+-V冗=n+后 1 ∴.数列{an}为“差递减数列” 同理可得选项D中的也为“差递减数列”故选C和D. 4数列巴识 ,…中，有序数对(a,b)可以是 答案：(15,26) 解析：由已知，各项可写为平+五35+五】 1×3,2×4 Q4x6,5x7… 因此可得a=3×5-15,b=24+2=26, 故有序数对(a,b)为(15,26) 5已知数列{a}的通项公式为a,-1+ 一，则该数列的前4项依次为 2 答案1,0,1,0 解析：a1+1 2 ∴.a1=1,2=0,a=1,a4=0. 6已知数列a,}的通项公式为a,中则ao 若a则n 答案品 12 1 1 解析：amn+2a1010xz=20 1 由an= 十2=高得㎡+2m168-0,得n=12或m=14舍去 1 1已知在数列{a}中an行 (1)求数列{an}的第7项； (2)求证：数列{an}的各项都在区间(0,1)内； (3)区间（传，)内有没有数列{a}中的项若有，有几项测 72 (1)解：由通项公式可知m 49 72+1=50 n2 1 (2)证明·amn2+l2中i 5
5 同理可得选项 B 中的数列也不为“差递减数列”. 选项 C 中,∵an+1-an=√𝑛 + 1 − √𝑛 = 1 √𝑛+1+√𝑛 , ∴数列{an}为“差递减数列”. 同理可得选项 D 中的也为“差递减数列”.故选 C 和 D. 4.数列√5 3 , √10 8 , √17 𝑎 , √𝑏 24 , √37 35 ,…中,有序数对(a,b)可以是 . 答案:(15,26) 解析:由已知,各项可写为√3+2 1×3 , √8+2 2×4 , √15+2 𝑎 , √𝑏 4×6 , √35+2 5×7 ,…, 因此可得 a=3×5=15,b=24+2=26, 故有序数对(a,b)为(15,26). 5.已知数列{an}的通项公式为 an= 1+(-1) 𝑛+1 2 ,则该数列的前 4 项依次为 . 答案:1,0,1,0 解析:∵an= 1+(-1) 𝑛+1 2 , ∴a1=1,a2=0,a3=1,a4=0. 6.已知数列{an}的通项公式为 an= 1 𝑛(𝑛+2) ,则 a10= ,若 an= 1 168,则 n= . 答案: 1 120 12 解析:∵an= 1 𝑛(𝑛+2) ,∴a10= 1 10×12 = 1 120. 由 an= 1 𝑛(𝑛+2) = 1 168,得 n 2+2n-168=0,得 n=12 或 n=-14(舍去). 7.已知在数列{an}中,an= 𝑛 2 𝑛2+1 . (1)求数列{an}的第 7 项; (2)求证:数列{an}的各项都在区间(0,1)内; (3)区间( 1 3 , 2 3 )内有没有数列{an}中的项?若有,有几项? (1)解:由通项公式可知 a7= 7 2 7 2+1 = 49 50. (2)证明 ∵an= 𝑛 2 𝑛2 +1 =1- 1 𝑛2+1
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的！ 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org ∴.0am,∴.数列{an}是递增数列. 6
6 ∴01- 2𝑛+1 (𝑛+1)+𝑛 =0, ∴an+1>an,∴数列{an}是递增数列