习题课 圆及其方程 1.若圆C的半径为1，圆心C在第一象限，且与直线4x3y=0和x轴都相切，则该圆的标准方 程是( Ax3那P+()°-1 B.(x-2)2+01)2=1 C.(x-1)2+03)2=1 D(x)0-1y- 解析：设圆心C为(a,b),由题意知，b=1,4a-3边-=1 .a>0,∴.a=2 ∴.圆的标准方程为(x-2)2+0y1)2=1 答案B 2.若圆C1:(x-a2+y2=12与圆C2x2+y2=4相切，则a的值为() A.±3 B.±1 C.±1或±3 D.1或3 解析：圆C1的圆心坐标为(a,0),半径为1，圆C2的圆心坐标为(0,0)，半径为2.当两圆外切 时，a=3,则a=±3；当两圆内切时，ad=1,则a=±1. 答案C 3.关于xy的方程x2+y2+2a+2by+2+b2=0表示的图形是( A.以(a.b)为圆心的圆 B.以(-a,-b)为圆心的圆 C.点(a,b) D.点(-a,-b) 解析：原方程可化为(x+a)2+y+b)2=0,故原方程表示点(-a,-b). 答案D 4.己知点M(a,b)(ab≠0)是圆x2+y2=2内一点，直线m是以点M为中点的弦所在的直线，直线1 的方程是ax+by=2,则( A.m∥1，且1与圆相交 B.m⊥1，且1与圆相交 C.m∥1，且1与圆相离 D.ILm,且1与圆相离 解析由题意，得km=导∴直线m的方程为b=x-a∴a+b-a2-P-0.又Ma,b)为圆内一点， .2+b2<2,.m与1平行 圆心到直线I的距离d- 2 √a2+b2 ∴直线1与圆相离 答案C 5.(多选题)在平面直角坐标系中，圆M的方程为x2+04)?=4,若直线1x+my+2=0上至少存在 一点P,使得以该点为圆心，2为半径的圆与圆M有公共点，则m的取值可以是() A.0 B C.1 D.2 解析：依题意，圆M的圆心为M(0,4),半径r=2.若直线x+y+2=0上至少存在一，点P,使得以该 点为圆心，2为半径的圆与圆M有公共点，则在直线I上至少存在一点P,使得MP2+2成立 又点M到直线1的距离为兴则4，解得m故m的取值可以是0和号 √m2+1 √m2+1 答案：AB 6.与直线x+y-2-0和曲线x2+2-12x-12y+54=0都相切的半径最小的圆的标准方程为_ 解析：如图，圆O1即为所求圆.设O1(0,o),半径为r
习题课——圆及其方程 1.若圆 C 的半径为 1,圆心 C 在第一象限,且与直线 4x-3y=0 和 x 轴都相切,则该圆的标准方 程是( ) A.(x-3)2+(𝑦- 7 3 ) 2 =1 B.(x-2)2+(y-1)2=1 C.(x-1)2+(y-3)2=1 D.(𝑥- 3 2 ) 2 +(y-1)2=1 解析:设圆心 C 为(a,b),由题意知,b=1,|4𝑎-3𝑏| 5 =1. ∵a>0,∴a=2, ∴圆的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=1. 答案:B 2.若圆 C1:(x-a) 2+y2=1 2 与圆 C2:x 2+y2=4 相切,则 a 的值为( ) A.±3 B.±1 C.±1 或±3 D.1 或 3 解析:圆 C1 的圆心坐标为(a,0),半径为 1,圆 C2 的圆心坐标为(0,0),半径为 2.当两圆外切 时,|a|=3,则 a=±3;当两圆内切时,|a|=1,则 a=±1. 答案:C 3.关于 x,y 的方程 x 2+y2+2ax+2by+a2+b2=0 表示的图形是( ) A.以(a,b)为圆心的圆 B.以(-a,-b)为圆心的圆 C.点(a,b) D.点(-a,-b) 解析:原方程可化为(x+a) 2+(y+b) 2=0,故原方程表示点(-a,-b). 答案:D 4.已知点 M(a,b)(ab≠0)是圆 x 2+y2=r2 内一点,直线 m 是以点 M 为中点的弦所在的直线,直线 l 的方程是 ax+by=r2 ,则( ) A.m∥l,且 l 与圆相交 B.m⊥l,且 l 与圆相交 C.m∥l,且 l 与圆相离 D.l⊥m,且 l 与圆相离 解析:由题意,得 km=- 𝑎 𝑏 ,∴直线 m 的方程为 y-b=- 𝑎 𝑏 (x-a).∴ax+by-a 2 -b 2=0.又 M(a,b)为圆内一点, ∴a 2+b2r, ∴直线 l 与圆相离. 答案:C 5.(多选题)在平面直角坐标系中,圆 M 的方程为 x 2+(y-4)2=4,若直线 l:x+my+2=0 上至少存在 一点 P,使得以该点为圆心,2 为半径的圆与圆 M 有公共点,则 m 的取值可以是( ) A.0 B.1 2 C.1 D.2 解析:依题意,圆 M 的圆心为 M(0,4),半径 r=2.若直线 x+my+2=0 上至少存在一点 P,使得以该 点为圆心,2 为半径的圆与圆 M 有公共点,则在直线 l 上至少存在一点 P,使得|MP|≤2+2 成立. 又点 M 到直线 l 的距离为|4𝑚+2| √𝑚2+1 ,则 |4𝑚+2| √𝑚2+1 ≤4,解得 m≤ 3 4 ,故 m 的取值可以是 0 和 1 2 . 答案:AB 6.与直线 x+y-2=0 和曲线 x 2+y2 -12x-12y+54=0 都相切的半径最小的圆的标准方程为 . 解析:如图,圆 O1 即为所求圆.设 O1(x0,x0),半径为 r
(6,6) 则-(232)×=V2 由、Jx-6)2+(x0-6}=4VZ,得0=2或x0=10(舍去)， 故圆01的标准方程为(x-2)2+0y-2)2=2 答案：(x-2)2+-2)2=2 7.已知半径为6的圆与x轴相切，且与圆x2+03?=1内切，则此圆的方程 是 解析：由题意，可设此圆的方程为(x-a)+0-6)2-36,由已知得Va2+9=5,解得a=±4. 故所求圆的方程为(x+4)2+06)2-36或(x-4)2+06)2-36. 答案：(x+4)2+0-6)2=36或(x-4)2+0-6)2=36 8.已知实数xy满足x2+y2+4x+3=0,求： (山贤的最大值与最小值， (2)x-3)2+04)2的最大值与最小值 解：圆x2+y2+4x+3=0的标准方程为(x+2)2+y2=1,记为圆C,则圆心C(-2,0),半径r=1 ()如图①，设点Mx)在圆C上012)，k是即k+2-0, 由图可知，当直线QM与圆C相切时，k取得最大值或最小值 由C-2,0)到直线-k+2-0的距离为1，得2k+超1，解得k-3± k2+1 所以导的最大值为2最小值为 4 图① y A(3,49 图② (2)如图②，令A(3,4),则(x-3P+04)2表示圆上的点与点A的距离的平方. 设直线AC与圆交于P,Q两点，则(x-3)2+04)P的最大值为4QI2,最小值为4P2 40=4C+r=(-2-3)2+(0-4)2+1=√4五+1,4P1=4C-=V4-1.所以(x-3}2+0-42的最大值为 (41+1)2-42+2V4红，最小值为（√41-1）2-42-24红 9.已知圆C经过点M(0,-2),N(3,1),且圆心C在直线x+2y+1=0上 (1)求圆C的方程； (2)设直线a-y+1=0与圆C相交于A,B两点，是否存在实数a,使得过点P(2,0)的直线I垂直 平分弦AB?若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由. 解(1)设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0
则 r=( |6+6-2| √2 -3√2) × 1 2 = √2. 由√(𝑥0 -6) 2 + (𝑥0 -6) 2=4√2,得 x0=2 或 x0=10(舍去). 故圆 O1 的标准方程为(x-2)2+(y-2)2=2. 答案:(x-2)2+(y-2)2=2 7.已知半径为 6 的圆与 x 轴相切,且与圆 x 2+(y-3)2=1 内切,则此圆的方程 是 . 解析:由题意,可设此圆的方程为(x-a) 2+(y-6)2=36,由已知得√𝑎 2 + 9=5,解得 a=±4. 故所求圆的方程为(x+4)2+(y-6)2=36 或(x-4)2+(y-6)2=36. 答案:(x+4)2+(y-6)2=36 或(x-4)2+(y-6)2=36 8.已知实数 x,y 满足 x 2+y2+4x+3=0,求: (1)𝑦-2 𝑥-1 的最大值与最小值; (2)(x-3)2+(y-4)2 的最大值与最小值. 解:圆 x 2+y2+4x+3=0 的标准方程为(x+2)2+y2=1,记为圆 C,则圆心 C(-2,0),半径 r=1. (1)如图①,设点 M(x,y)在圆 C 上,Q(1,2),k=𝑦-2 𝑥-1 ,即 kx-y-k+2=0. 由图可知,当直线 QM 与圆 C 相切时,k 取得最大值或最小值. 由 C(-2,0)到直线 kx-y-k+2=0 的距离为 1,得 |-2𝑘-𝑘+2| √𝑘 2+1 =1,解得 k=3±√3 4 . 所以𝑦-2 𝑥-1的最大值为3+√3 4 ,最小值为3-√3 4 . 图① 图② (2)如图②,令 A(3,4),则(x-3)2+(y-4)2 表示圆上的点与点 A 的距离的平方. 设直线 AC 与圆交于 P,Q 两点,则(x-3)2+(y-4)2 的最大值为|AQ|2 ,最小值为|AP|2 . |AQ|=|AC|+r=√(-2-3) 2 + (0-4) 2+1=√41+1,|AP|=|AC|-r=√41-1.所以(x-3)2+(y-4)2 的最大值为 (√41+1)2=42+2√41,最小值为(√41-1)2=42-2√41. 9.已知圆 C 经过点 M(0,-2),N(3,1),且圆心 C 在直线 x+2y+1=0 上. (1)求圆 C 的方程; (2)设直线 ax-y+1=0 与圆 C 相交于 A,B 两点,是否存在实数 a,使得过点 P(2,0)的直线 l 垂直 平分弦 AB?若存在,求出实数 a 的值;若不存在,请说明理由. 解:(1)设圆 C 的方程为 x 2+y2+Dx+Ey+F=0
∫9-E+1=0, (D=-6, 则有4-2E+F=0, 解得{E=4, 10+3D+E+F=0,F=4. 故圆C的方程为x2+y2-6xr+4y+4=0. (2)设符合条件的实数a存在， 因为1垂直平分弦AB,所以圆心C(3,-2)必在1上， 所以1的斜率kc-2ksa证 所以a是 把a-y+1-0,即y=ar+1代入圆C的方程 消去y,整理得(d2+1)x2+6(a-1)x+9=0. 因为直线xy叶1=0交圆C于A,B两点， 所以△=36(a-1)2-36(a2+1)>0,解得a<0. 故实数a的取值范围为(-0,0) 因为-0,0)，所以不存在实数a,使得过点P2,0)的直线1垂直平分弦AB
则有{ - 𝐷 2 -𝐸 + 1 = 0, 4-2𝐸 + 𝐹 = 0, 10 + 3𝐷 + 𝐸 + 𝐹 = 0, 解得{ 𝐷 = -6, 𝐸 = 4, 𝐹 = 4. 故圆 C 的方程为 x 2+y2 -6x+4y+4=0. (2)设符合条件的实数 a 存在, 因为 l 垂直平分弦 AB,所以圆心 C(3,-2)必在 l 上, 所以 l 的斜率 kPC=-2,kAB=a=- 1 𝑘𝑃𝐶 . 所以 a= 1 2 . 把 ax-y+1=0,即 y=ax+1 代入圆 C 的方程, 消去 y,整理得(a 2+1)x 2+6(a-1)x+9=0. 因为直线 ax-y+1=0 交圆 C 于 A,B 两点, 所以 Δ=36(a-1)2 -36(a 2+1)>0,解得 a<0. 故实数 a 的取值范围为(-∞,0). 因为1 2 ∉(-∞,0),所以不存在实数 a,使得过点 P(2,0)的直线 l 垂直平分弦 AB