志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的： 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org 1.数列 课后·训练提升 1.等比数列{an}的前n项和为Sm,已知S3=+10a1,a5=9,则a1=() A号 B司 c时 D时 答案：C 解析：由S3=a2+10a1,得a1+a2+a3=a2+10a1,即a3=9a1,即a1g2=9a1,解得q2=9, 又国为as=9,所以a1g-9,解得a1号 2.已知等差数列{an}的公差为2，若a2,a4,as成等比数列，则数列{an}的前n项和Sm=() A.n(n+1) B.n(n-1) C n(n+1) 2 D n(n-1) 2 答案：A 解析：由题意，得a2,a2+4,a2+12成等比数列，即(a2+4)2=02(a2+12),解得a2=4,即a1=2,所以 Sn=2n+1x2=n+1). 2 3.设首项为1，公比为号的等比数列{an}的前n项和为Sm,则() A.Sn=2an-1 B.Sn=3an-2 C.Sn=4-3an D.Sn=3-2an 答案：D 1
1 1.数列 课后· 1.等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 S3=a2+10a1,a5=9,则 a1=( ) A. 1 3 B.- 1 3 C. 1 9 D.- 1 9 答案:C 解析:由 S3=a2+10a1,得 a1+a2+a3=a2+10a1,即 a3=9a1,即 a1q 2=9a1,解得 q 2=9, 又因为 a5=9,所以 a1q 4=9,解得 a1= 1 9 . 2.已知等差数列{an}的公差为 2,若 a2,a4,a8成等比数列,则数列{an}的前 n 项和 Sn=( ) A.n(n+1) B.n(n-1) C. 𝑛(𝑛+1) 2 D. 𝑛(𝑛-1) 2 答案:A 解析:由题意,得 a2,a2+4,a2+12 成等比数列,即(a2+4)2=a2(a2+12),解得 a2=4,即 a1=2,所以 Sn=2n+𝑛(𝑛-1) 2 ×2=n(n+1). 3.设首项为 1,公比为2 3的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,则( ) A.Sn=2an-1 B.Sn=3an-2 C.Sn=4-3an D.Sn=3-2an 答案:D
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网永远提供更新的！ 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org 解析：方法-因为等比数列的首项为1，公比为号3=所以5=32 1-q 1- 方法二：Sm= 3目3目”a-目观察四个含项可知含D 1号 4.(多选题)设等差数列{am}的前n项和是Sm,己知S4>0,S150,d0 C.S6与S,均为Sn的最大值 D.a80,S150,即am+as>0, 2 S1515xa,+a1-15a≥0， 2 所以等差数列{am}的前7项为正数，从第8项开始为负数，则a1>0,d<0.所以S,为Sn的最大值 选项AB,D正确故选ABD 5已知等差数列a的前n项和为S,as=5S=5则数列}的前10项和为） Aion 99 B c器 D删 答案：A 解析：设等差数列{an}的首项为a1,公差为d. (a1+4d=5, .a5=5,S5=15,. 5a1+5x5-d=15, 2 ÷侣w(-Iy-n 111 =n+五=元-n+ 数列}的前100项和为1+生…+品一品=删 6.已知数列{am}的前n项和为Sm,Sn=2an+n,则a1= 数列{an}的通项公式am= 答案：-11-2" 2
2 解析:方法一:因为等比数列的首项为 1,公比为2 3 ,Sn= 𝑎1-𝑎𝑛𝑞 1-𝑞 = 1- 2 3 𝑎𝑛 1- 2 3 ,所以 Sn=3-2an. 方法二:Sn= 1-( 2 3 ) 𝑛 1- 2 3 =3-3×( 2 3 ) 𝑛 =3-2( 2 3 ) 𝑛-1 ,an=( 2 3 ) 𝑛-1 ,观察四个选项可知选 D. 4.(多选题)设等差数列{an}的前 n 项和是 Sn,已知 S14>0,S150,d0 C.S6 与 S7 均为 Sn 的最大值 D.a80,S150,即 a7+a8>0, S15= 15×(𝑎1+𝑎15) 2 =15a80, 所以等差数列{an}的前 7 项为正数,从第 8 项开始为负数,则 a1>0,d<0.所以 S7 为 Sn的最大值. 选项 A,B,D 正确.故选 ABD. 5.已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,a5=5,S5=15,则数列{ 1 𝑎𝑛𝑎𝑛+1 }的前 100 项和为( ) A. 100 101 B. 99 101 C. 99 100 D. 101 100 答案:A 解析:设等差数列{an}的首项为 a1,公差为 d. ∵a5=5,S5=15,∴{ 𝑎1 + 4𝑑 = 5, 5𝑎1 + 5×(5-1) 2 𝑑 = 15, ∴{ 𝑎1 = 1, 𝑑 = 1, ∴an=a1+(n-1)d=n. ∴ 1 𝑎𝑛𝑎𝑛+1 = 1 𝑛(𝑛+1) = 1 𝑛 − 1 𝑛+1 , ∴数列{ 1 𝑎𝑛𝑎𝑛+1 }的前 100 项和为 1- 1 2 + 1 2 − 1 3 +…+ 1 100 − 1 101=1- 1 101 = 100 101. 6.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,Sn=2an+n,则 a1= ,数列{an}的通项公式 an= . 答案:-1 1-2 n
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的！ 丛书主编任志河。 http://www.zhyh.org 解析：因为Snm=2an+n,所以当n=1时，S1=a1=2a1+l,所以a1=-1.当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2an+m-2am-1-n+1, 即an=2an-1-1,即am-1=2(am-1-),所以数列{am-1}是以-2为首项，2为公比的等比数列，所以am-1=-2,所以 an=1-2 7.已知数列{an}是递增的等差数列，a2,a4是方程x2-5x+6=0的根 (I)求数列{an}的通项公式 (2)求数列的前n项和， 解(1)方程x2-5x+6=0的两根为2,3， 由题意得a2=2,a4=3. 设数列{a}的公差为d,则a4-a=2d,故d号 从而am是 所以数列{am}的通项公式为amn+l. (2设数列}的前n项和为3导=器剥S号+子…学要+兴是+ 4 …贵+格 两式相减得致是+宁+…品器=+++宁… 器北 号 2n+2: 所以5-2 8.己知等差数列{an}的前n项和Sm满足S3=0,S5=-5. (I)求数列{an}的通项公式： (2)求数列 22n+的前n项和 1 解()设教列{a}的公差为d则S=na+d 由已如可母尼a:十6a05解得侣二计 (5a1+10d=-5, 故数列{an}的通项公式为am=2-n. 3
3 解析:因为 Sn=2an+n,所以当 n=1 时,S1=a1=2a1+1,所以 a1=-1.当 n≥2时,an=Sn-Sn-1=2an+n-2an-1-n+1, 即 an=2an-1-1,即 an-1=2(an-1-1),所以数列{an-1}是以-2 为首项,2 为公比的等比数列,所以 an-1=-2 n ,所以 an=1-2 n . 7.已知数列{an}是递增的等差数列,a2,a4 是方程 x 2 -5x+6=0 的根. (1)求数列{an}的通项公式; (2)求数列{ 𝑎𝑛 2 𝑛 }的前 n 项和. 解:(1)方程 x 2 -5x+6=0 的两根为 2,3, 由题意得 a2=2,a4=3. 设数列{an}的公差为 d,则 a4-a2=2d,故 d=1 2 , 从而 a1= 3 2 . 所以数列{an}的通项公式为 an= 1 2 n+1. (2)设数列{ 𝑎𝑛 2 𝑛 }的前 n 项和为 Sn.由(1)知 𝑎𝑛 2 𝑛 = 𝑛+2 2 𝑛+1 ,则 Sn= 3 2 2 + 4 2 3+…+ 𝑛+1 2 𝑛 + 𝑛+2 2 𝑛+1 , 1 2 Sn= 3 2 3 + 4 2 4+…+ 𝑛+1 2 𝑛+1 + 𝑛+2 2 𝑛+2 . 两式相减得1 2 Sn= 3 2 2 + 1 2 3 + 1 2 4+…+ 1 2 𝑛+1 − 𝑛+2 2 𝑛+2 = 1 2 + 1 2 2 + 1 2 3 + 1 2 4+…+ 1 2 𝑛+1 − 𝑛+2 2 𝑛+2 = 1 2 (1- 1 2 𝑛+1 ) 1- 1 2 − 𝑛+2 2 𝑛+2=1- 𝑛+4 2 𝑛+2 , 所以 Sn=2- 𝑛+4 2 𝑛+1 . 8.已知等差数列{an}的前 n 项和 Sn 满足 S3=0,S5=-5. (1)求数列{an}的通项公式; (2)求数列{ 1 𝑎2𝑛-1 𝑎2𝑛+1 }的前 n 项和. 解:(1)设数列{an}的公差为 d,则 Sn=na1+ 𝑛(𝑛-1) 2 d. 由已知可得{ 3𝑎1 + 3𝑑 = 0, 5𝑎1 + 10𝑑 = -5, 解得{ 𝑎1 = 1, 𝑑 = -1. 故数列{an}的通项公式为 an=2-n
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的： 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org (2)由(1)知 1 1 2r-1a2n+1 (3-2n)(1-2n) 从而数列{。1一 a2n-1a2n+1 }的前n项和为+片…品品
4 (2)由(1)知 1 𝑎2𝑛-1𝑎2𝑛+1 = 1 (3-2𝑛)(1-2𝑛) = 1 2 1 2𝑛-3 − 1 2𝑛-1 , 从而数列{ 1 𝑎2𝑛-1𝑎2𝑛+1 }的前 n 项和为1 2 × 1 -1 − 1 1 + 1 1 − 1 3 +…+ 1 2𝑛-3 − 1 2𝑛-1 = 𝑛 1-2𝑛