志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的： 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org 5.1.2 数列中的递推 课后·训练提升 基础巩固 1.己知数列{an},a1=1,am-am-1=n-1(n≥2)，则a6等于(） A.7 B.11 C.16 D.17 答案：C 解析：由题可知a6=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+(a4-a3)+(as-a4)H(a6-as)=1+1+2+3+4+5=16. 2.己知在数列{an}中，a1=2,a2=1,an+2=3an+1-am,则a6+a4-3a5的值为) A.3 B.-2 c.-1 D.0 答案D 解析：，an+2=3an+1-am,.an+2+an=3an+l.令n=4,得a6十a4=3a5,∴.a6+a4-3a5-0. 3.己知在数列{am}中，an-1=man+1(n>1),且a2=3,a3=5,则实数m等于() A.0 B明 C.2 D.5 答案B 解析：由题意得a=a+1,则3=5m+1,故m号 4.已知在数列{an}中，a1=b(b为任意正数)，an+1= a+n=l,23,能使a=b的n可以是() 1 A14 B.15 C.16 D.17 答案C 解析：国为a1=b,am1-1 an+1, 所以ama= 1 bQ4=6. 所以数列{an}的项是以3为周期重复出现的. 所以a1=a4=Q7=Q10=a13=a16=b.故选C. 5若数列fa}的通项a,m心40则数列a)中的最大项是() A.3V10 B.19 C D V1o 60 答案：C 1
1 5.1.2 数列中的递推 课后· 基础巩固 1.已知数列{an},a1=1,an-an-1=n-1(n≥2),则 a6 等于( ) A.7 B.11 C.16 D.17 答案:C 解析:由题可知 a6=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+(a4-a3)+(a5-a4)+(a6-a5)=1+1+2+3+4+5=16. 2.已知在数列{an}中,a1=2,a2=1,an+2=3an+1-an,则 a6+a4-3a5 的值为( ) A.3 B.-2 C.-1 D.0 答案:D 解析:∵an+2=3an+1-an,∴an+2+an=3an+1.令 n=4,得 a6+a4=3a5,∴a6+a4-3a5=0. 3.已知在数列{an}中,an-1=man+1(n>1),且 a2=3,a3=5,则实数 m 等于( ) A.0 B. 2 5 C.2 D.5 答案:B 解析:由题意得 a2=ma3+1,则 3=5m+1,故 m= 2 5 . 4.已知在数列{an}中,a1=b(b 为任意正数),an+1=- 1 𝑎𝑛+1 (n=1,2,3,…),能使 an=b 的 n可以是( ) A.14 B.15 C.16 D.17 答案:C 解析:因为 a1=b,an+1=- 1 𝑎𝑛+1 , 所以 a2=- 1 𝑏+1 ,a3=- 𝑏+1 𝑏 ,a4=b. 所以数列{an}的项是以 3 为周期重复出现的. 所以 a1=a4=a7=a10=a13=a16=b.故选 C. 5.若数列{an}的通项 an= 𝑛 𝑛2+90,则数列{an}中的最大项是( ) A.3√10 B.19 C. 1 19 D. √10 60 答案:C
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的！ 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org 解析：令x)=x+0x>0),运用均值不等式得x)≥290，当且仅当x=3V1而时等号成立. 所以 因为a=1 1 要≤2玩 机 由于n∈N,国此当n-9或n-l0时，a最大 6.若数列{an}满足am+1=2am-1,且as=16,则a6= 答案兴 解析：，am+1=2am1,∴.as=2am-1=16, 解得a号又-2as-1号解得a69 7己知数列{a的通项公式为a-m乳则a.的最小值为， ,此时n的值为 答案3 解析：依题意，an 倡-ns3n∈N m-号m24,neN,) 当n≤3且n∈N,时，am单调递减即最小值为a号 当n≥4且n∈N,时，a,单调递增，即最小值为a号 综上所述，am的最小值为此时n的值为3 8.已知数列{an}满足am≤am+i,am=n2+n,n∈N+,则实数1的最小值是 答案：-3 解析：，an≤am+1,∴.2+n≤(n+1)2+(n+1), 即1≥-(2n+1),又n∈N+,.≥-3. 故实数1的最小值是-3. 9己知在数列a,中，a=l,a13n∈N,以求通项a 解：a1 an+3 ∴.am+1(an+3)=3am, .an+lan=3an-3an+1. 2
2 解析:令 f(x)=x+90 𝑥 (x>0),运用均值不等式得 f(x)≥2√90,当且仅当 x=3√10时等号成立. 因为 an= 1 𝑛+ 90 𝑛 ,所以 1 𝑛+ 90 𝑛 ≤ 1 2√90. 由于 n∈N+,因此当 n=9 或 n=10 时,an= 1 19最大. 6.若数列{an}满足 an+1=2an-1,且 a8=16,则 a6= . 答案: 19 4 解析:∵an+1=2an-1,∴a8=2a7-1=16, 解得 a7= 17 2 ,又 a7=2a6-1= 17 2 ,解得 a6= 19 4 . 7.已知数列{an}的通项公式为 an=|𝑛- 10 3 |,则 an 的最小值为 ,此时 n 的值为 . 答案: 1 3 3 解析:依题意,an={ 10 3 -𝑛(𝑛 ≤ 3,𝑛∈N+), 𝑛- 10 3 (𝑛 ≥ 4,𝑛∈N+). 当 n≤3 且 n∈N+时,an 单调递减,即最小值为 a3= 1 3 ; 当 n≥4 且 n∈N+时,an 单调递增,即最小值为 a4= 2 3 ; 综上所述,an 的最小值为1 3 ,此时 n 的值为 3. 8.已知数列{an}满足 an≤an+1,an=n2+λn,n∈N+,则实数 λ 的最小值是 . 答案:-3 解析:∵an≤an+1,∴n 2+λn≤(n+1)2+λ(n+1), 即 λ≥-(2n+1),又 n∈N+,∴λ≥-3. 故实数 λ 的最小值是-3. 9.已知在数列{an}中,a1=1,an+1= 3𝑎𝑛 𝑎𝑛+3 (n∈N+),求通项 an. 解:∵an+1= 3𝑎𝑛 𝑎𝑛+3 , ∴an+1(an+3)=3an, ∴an+1an=3an-3an+1
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的！ 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org 两边同除以3a…a=一六 a2 a1 把以上这(n-1)个式子累加， 10.已知数列{a;的通项公式am-(n+2)(,试求数列{a}的最大项 解：假设第n项a为最大项，则n之a1, lan≥ant1, 即a+2)”≥m+1(月 (m+2)”≥a+3)月+” 解得负三及即4a3， 65 所以n=4或5，故在数列{am}中a4与as均为最大项，且a4=as 拓展提高 1.若数列{an}的前n项和Sn=3r2-2n+l,则数列{am的通项公式am为(） 2,n=1. A.an=6n-5 B.am-6m-5,n22 C.an=6n+1 2,n=1, D.am-6n+1,n≥2 答案B 解析：当n=1时，a1=S1=2, 当n≥2时，an=Sn-Sm-1-6n-5. 又当n=1时不满足an=6n-5, 故写成分段函数形式， 2,n=1, 即a-6n-5,n22. 2.己知a1=l,an=n(an+1-an)(n∈N+),则数列{an}的通项公式是() A.an=2n-1 Ba-(件) 3
3 两边同除以 3an+1an 得 1 3 = 1 𝑎𝑛+1 − 1 𝑎𝑛 , ∴ 1 𝑎2 − 1 𝑎1 = 1 3 , 1 𝑎3 − 1 𝑎2 = 1 3 ,…, 1 𝑎𝑛 − 1 𝑎𝑛-1 = 1 3 , 把以上这(n-1)个式子累加, 得 1 𝑎𝑛 − 1 𝑎1 = 𝑛-1 3 . ∵a1=1,∴ 1 𝑎𝑛 = 𝑛+2 3 ,∴an= 3 𝑛+2 . 10.已知数列{an}的通项公式 an=(n+2)( 6 7 ) 𝑛 ,试求数列{an}的最大项. 解:假设第 n 项 an 为最大项,则{ 𝑎𝑛 ≥ 𝑎𝑛-1 , 𝑎𝑛 ≥ 𝑎𝑛+1 , 即{ (𝑛 + 2)( 6 7 ) 𝑛 ≥ (𝑛 + 1)( 6 7 ) 𝑛-1 , (𝑛 + 2)( 6 7 ) 𝑛 ≥ (𝑛 + 3)( 6 7 ) 𝑛+1 . 解得{ 𝑛 ≤ 5, 𝑛 ≥ 4, 即 4≤n≤5, 所以 n=4 或 5,故在数列{an}中 a4 与 a5均为最大项,且 a4=a5= 6 5 7 4 . 拓展提高 1.若数列{an}的前 n 项和 Sn=3n 2 -2n+1,则数列{an}的通项公式 an为( ) A.an=6n-5 B.an={ 2,𝑛 = 1, 6𝑛-5,𝑛 ≥ 2 C.an=6n+1 D.an={ 2,𝑛 = 1, 6𝑛 + 1,𝑛 ≥ 2 答案:B 解析:当 n=1 时,a1=S1=2, 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=6n-5. 又当 n=1 时不满足 an=6n-5, 故写成分段函数形式, 即 an={ 2,𝑛 = 1, 6𝑛-5,𝑛 ≥ 2. 2.已知 a1=1,an=n(an+1-an)(n∈N+),则数列{an}的通项公式是( ) A.an=2n-1 B.an=( 𝑛+1 𝑛 ) 𝑛-1
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的！ 丛书主编任志河。 http://www.zhyh.org C.an=n2 D.an=n 答案D 解析：方法一：构造法。 由已知整理得(n+l)an=1am+1, 出==…数列侣}是常数列， n+1 且4=-l,∴awn 方法二：累乘法 当≥2时品=六品= -1'am-2 n-2 器-兴- 两边分别相乘得红=n,又a1=l,∴an=n a 3.(多选题)已知数列{am}的通项公式是an=2+1+4.则下列说法正确的是() A.若k=-5,则数列{an}中有两项是负数 B.若k=-5,则当n=2或3时，am有最小值-2 C.若对于n∈N+,都有an+1>am,则实数k的取值范围是(-3，+o) D.若对于n∈N+,都有an+1>am,则实数k的取值范围是(-o,-3) 答案：ABC 解析：由2-5n+4am,知该数列{an}是递增数列， 即(n+1)2+kn+1)+4>m2+km+4, 整理得>-2n-1,考虑到n∈N+,得k>-2n-1=-3.所以实数k的取值范围为(-3，+o).C正确，D不正确. 4.若数列{am}满足：a1+3a2+5a3+…+(2n-1)an-(n-1)3m+l+3(n∈N+),则数列{an}的通项公式 an=」 答案：3” 解析：a1+3a2+5a3+…+(2n-3)am-1+(2n-1)am(n-1)31+3, 把n换成n-1得，1+3a+5a3+…+(2n-3)am-1=(n-2)3"+3,两项相减得an=3” 4
4 C.an=n2 D.an=n 答案:D 解析:方法一:构造法. 由已知整理得(n+1)an=nan+1, ∴ 𝑎𝑛+1 𝑛+1 = 𝑎𝑛 𝑛 ,∴数列{ 𝑎𝑛 𝑛 }是常数列, 且 𝑎𝑛 𝑛 = 𝑎1 1 =1,∴an=n. 方法二:累乘法. 当 n≥2 时, 𝑎𝑛 𝑎𝑛-1 = 𝑛 𝑛-1 , 𝑎𝑛-1 𝑎𝑛-2 = 𝑛-1 𝑛-2 , …… 𝑎3 𝑎2 = 3 2 , 𝑎2 𝑎1 = 2 1 , 两边分别相乘得𝑎𝑛 𝑎1 =n,又 a1=1,∴an=n. 3.(多选题)已知数列{an}的通项公式是 an=n2+kn+4.则下列说法正确的是( ) A.若 k=-5,则数列{an}中有两项是负数 B.若 k=-5,则当 n=2 或 3 时,an 有最小值-2 C.若对于 n∈N+,都有 an+1>an,则实数 k 的取值范围是(-3,+∞) D.若对于 n∈N+,都有 an+1>an,则实数 k 的取值范围是(-∞,-3) 答案:ABC 解析:由 n 2 -5n+4an,知该数列{an}是递增数列, 即(n+1)2+k(n+1)+4>n2+kn+4, 整理得 k>-2n-1,考虑到 n∈N+,得 k>-2n-1=-3.所以实数 k 的取值范围为(-3,+∞).C 正确,D 不正确. 4.若数列{an}满足:a1+3a2+5a3+…+(2n-1)·an=(n-1)·3 n+1+3(n∈N+),则数列{an}的通项公式 an= . 答案:3 n 解析:a1+3a2+5a3+…+(2n-3)·an-1+(2n-1)·an=(n-1)·3 n+1+3, 把 n 换成 n-1 得,a1+3a2+5a3+…+(2n-3)·an-1=(n-2)·3 n+3,两项相减得 an=3 n
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的！ 丛书主编任志河。 http://www.zhyh.org 5已知数列{a,的通项公式为a=-n+2)(③)”，则当a,取得最大值时，m_ 答案：5或6 解析：由题意知当n≥2时，有≥1， lan≥an+1 即 +2自”≥a+1 m+2(③”≥(m+3)( n+1 解得数n-5或6 6.如果数列{an}满足：a1=6,a+a2+a+…+an-n-3,那么这个数列的通项公式为 答案：an=2·3” 解析：由a1+a+a+…+an-3, 得ata+a++a1-2-30n≥2)， 两式作差得：3an-1=an(n≥2)，即n=3 an-1 因此am-a12.2.L-631-2-3n≥2).当n=1时，1=6也满足该式， a1 a2 an-1 (m-1)个 ∴.an=23" 7.已知数列{a}满足a=l,am+1-amn+i+求a, 解”后=+而=m干-元 vn+1.w元 ∴.am+1-an=Vn+I-V元 当n≥2时，(a2-a)+(a3-a2)+(a4as)+…+(am-am1)=(VZ-1)H(V3-V2)+(√4-V③)+…+元-Vm-i)=V元 1, 即an-a1=V元-l. 又a1=l,∴am=Vi. 而a1=1也适合an=V元 故数列{an}的通项公式为an=V元 挑战创新 己知数列{aa}的前n项和为Sn,点(n,Snn∈N,)在函数x)-之2+的图象上
5 5.已知数列{an}的通项公式为 an=(n+2)·( 7 8 ) 𝑛 ,则当 an取得最大值时,n= . 答案:5 或 6 解析:由题意知当 n≥2 时,有{ 𝑎𝑛 ≥ 𝑎𝑛-1 , 𝑎𝑛 ≥ 𝑎𝑛+1 , 即{ (𝑛 + 2) ( 7 8 ) 𝑛 ≥ (𝑛 + 1) ( 7 8 ) 𝑛-1 , (𝑛 + 2) ( 7 8 ) 𝑛 ≥ (𝑛 + 3) ( 7 8 ) 𝑛+1 , 解得{ 𝑛 ≤ 6, 𝑛 ≥ 5, 故 n=5 或 n=6. 6.如果数列{an}满足:a1=6,a1+a2+a3+…+an= 3 2 an-3,那么这个数列的通项公式为 . 答案:an=2·3 n 解析:由 a1+a2+a3+…+an= 3 2 an-3, 得 a1+a2+a3+…+an-1= 3 2 an-1-3(n≥2), 两式作差得:3an-1=an(n≥2),即 𝑎𝑛 𝑎𝑛-1 =3. 因此 an=a1· 𝑎2 𝑎1 · 𝑎3 𝑎2 ·…· 𝑎𝑛 ⏟ 𝑎 𝑛 -1 (𝑛-1)个 =6·3 n-1=2·3 n (n≥2).当 n=1 时,a1=6 也满足该式, ∴an=2·3 n . 7.已知数列{an}满足 a1=1,an+1-an= 1 √𝑛+1+√𝑛 ,求 an. 解:∵ 1 √𝑛+1+√𝑛 = √𝑛+1-√𝑛 (√𝑛+1+√𝑛)(√𝑛+1-√𝑛) = √𝑛 + 1 − √𝑛, ∴an+1-an=√𝑛 + 1 − √𝑛. 当 n≥2 时,(a2-a1)+(a3-a2)+(a4-a3)+…+(an-an-1)=(√2-1)+(√3 − √2)+(√4 − √3)+…+(√𝑛 − √𝑛-1)=√𝑛- 1, 即 an-a1=√𝑛-1. 又 a1=1,∴an=√𝑛. 而 a1=1 也适合 an=√𝑛. 故数列{an}的通项公式为 an=√𝑛. 挑战创新 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,点(n,Sn)(n∈N+)在函数 f(x)= 1 2 x 2+ 1 2 x 的图象上
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网永远提供更新的！ 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org (1)求数列{an}的通项公式， (②设数列d的前n项和为1.证明1 (解：点(n,S)在x)之2+2的图象上 Sn2r+2① 当n≥2时，S-12n-lP+n-l).② ①-②，得an=n. 当n=1时，a=S之+1，满足上式， .an=n. （2i证明0得d==) 五品+品+点…=x+x作》+×后)…x(白)+ ×低动)=点品是位+)< 6
6 (1)求数列{an}的通项公式; (2)设数列{ 1 𝑎𝑛𝑎𝑛+2 }的前 n 项和为 Tn,证明:Tn< 3 4 . (1)解:∵点(n,Sn)在 f(x)= 1 2 x 2+ 1 2 x 的图象上, ∴Sn= 1 2 n 2+ 1 2 n.① 当 n≥2 时,Sn-1= 1 2 (n-1)2+ 1 2 (n-1).② ①-②,得 an=n. 当 n=1 时,a1=S1= 1 2 + 1 2 =1,满足上式, ∴an=n. (2)证明 由(1)得 1 𝑎𝑛𝑎𝑛+2 = 1 𝑛(𝑛+2) = 1 2 ( 1 𝑛 - 1 𝑛+2 ), ∴Tn= 1 𝑎1𝑎3 + 1 𝑎2𝑎4 + 1 𝑎3𝑎5 +…+ 1 𝑎𝑛𝑎𝑛+2 = 1 2 × (1- 1 3 ) + 1 2 × ( 1 2 - 1 4 ) + 1 2 × ( 1 3 - 1 5 )+…+ 1 2 × ( 1 𝑛-1 - 1 𝑛+1 ) + 1 2 × ( 1 𝑛 - 1 𝑛+2 ) = 1 2 1+ 1 2 − 1 𝑛+1 − 1 𝑛+2 = 3 4 − 1 2 ( 1 𝑛+1 + 1 𝑛+2 ) < 3 4