志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的！ 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org 6.2.2 导数与函数的极值、最值 第1课时导数与函数的极值 课后·训练提升 基础巩固 1关于函数的极值，下列说法正确的是() A.函数的极值在区间端点处取得 B.函数的极小值一定小于它的极大值 Cx)在定义域内最多只能有一个极大值和一个极小值 D.如果x)在区间(a,b)内有极值，那么x)在区间(a,b)内不是单调函数 答案D 解析：易知选项A,B,C均不正确.对于D,不妨设和是x)在区间(a,b)内的极小值点，则在0附近，当 xxo),当x>和时x)>xo),故在和附近函数几x)不单调，即fx)在区间(a,b)内不是单调函数， 故选D 2.己知函数x)子+nx,则( Ax为x)的极大值点 Bx为x)的极小值点 C.x=2为x)的极大值点 D.x=2为x)的极小值点 答案D 解析/x)=是+=>0， 当02时fx)>0, 故x=2为几x)的极小值点 3.已知函数x)=x3+(a-1)x2+3x-1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是() A(-2,4) B.(0,2) C.(-0,-2)U(4,+0) 1
1 6.2.2 导数与函数的极值、最值 第 1 课时 导数与函数的极值 课后· 基础巩固 1.关于函数的极值,下列说法正确的是( ) A.函数的极值在区间端点处取得 B.函数的极小值一定小于它的极大值 C.f(x)在定义域内最多只能有一个极大值和一个极小值 D.如果 f(x)在区间(a,b)内有极值,那么 f(x)在区间(a,b)内不是单调函数 答案:D 解析:易知选项 A,B,C 均不正确.对于 D,不妨设 x0 是 f(x)在区间(a,b)内的极小值点,则在 x0 附近,当 xf(x0),当 x>x0 时,f(x)>f(x0),故在 x0 附近函数 f(x)不单调,即 f(x)在区间(a,b)内不是单调函数, 故选 D. 2.已知函数 f(x)= 2 𝑥 +ln x,则( ) A.x= 1 2 为 f(x)的极大值点 B.x= 1 2为 f(x)的极小值点 C.x=2 为 f(x)的极大值点 D.x=2 为 f(x)的极小值点 答案:D 解析:f'(x)=- 2 𝑥 2 + 1 𝑥 = 𝑥-2 𝑥 2 (x>0), 当 02 时,f'(x)>0, 故 x=2 为 f(x)的极小值点. 3.已知函数 f(x)=x3+(a-1)x 2+3x-1 有极大值和极小值,则实数 a 的取值范围是( ) A.(-2,4) B.(0,2) C.(-∞,-2)∪(4,+∞)
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的！ 丛书主编任志河。 http://www.zhyh.org D.(-0,0)U(2,+0) 答案：C 解析：函数x)的定义域为Rfx)=3x2+2(a-1)x+3. 因为x)在其定义域内既有极大值又有极小值 所以关于x的方程3x2+2(a-1)x+3=0有两个不相等的实数根， 所以4=4(a-1)2.36>0,解得a4 4.己知函数x)=x3-3bx+3b在区间(0,1)内有极小值，则() A.00 D.b月 答案：A 解析：fx)=3x23b,要使x)在区间(0,1)内有极小值，又fx)关于y轴对称，则fx)在区间(0,1)内由负变 正，即0)0. 3-3b>0. 5.若x=-2是函数x)=(x2+ax-1)e1的极值点，则x)的极小值为() A.-1 B.-2e3 C.5e3 D.1 答案：A 解析：由题意可得fx)=(2x+a)e1+(x2+ax-1)e=[x2+(a+2)x+a-l]e 因为f-2)=0,所以a=-1, 所以fx)=(x2-x-1)e1, fx)=(x2+x-2)e1. 令fx)>0,得x1, 令fx)0) 当x>0时，-e<-l,∴.a<-1 7.若函数x)=x3+x2-a-4在区间(-1,1)内恰有一个极值点，则实数a的取值范围为 答案[1,5) 2
2 D.(-∞,0)∪(2,+∞) 答案:C 解析:函数 f(x)的定义域为 R,f'(x)=3x 2+2(a-1)x+3. 因为 f(x)在其定义域内既有极大值又有极小值, 所以关于 x 的方程 3x 2+2(a-1)x+3=0 有两个不相等的实数根, 所以 Δ=4(a-1)2 -36>0,解得 a4. 4.已知函数 f(x)=x3 -3bx+3b 在区间(0,1)内有极小值,则( ) A.00 D.b 0, 即{ -3𝑏 0, 解得 00,得 x1, 令 f'(x)0). ∵当 x>0 时,-e x<-1,∴a<-1. 7.若函数 f(x)=x3+x2 -ax-4 在区间(-1,1)内恰有一个极值点,则实数 a 的取值范围为 . 答案:[1,5)
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的！ 丛书主编任志河。 http://www.zhyh.org 解析：由题意，fx)=3x2+2x-a,则f-1)f1)0,即(1-a5-a)<0,解得1<a<5.又当a=1时，函数fx)=x3+x2. x-4在区间(-1,1)内恰有一个极值，点，当a=5时，函数x)=x3+x2-5x-4在区间(-1,1)内没有极值点，故实数 a的取值范围为[1,5)， 8.求下列函数的极值 (1/x)=x3-12x (2器2 解(1)函数x)的定义域为R fx)=3x2-12=3(x+2)(x-2), 令f(x)=0,得x=-2或x=2 当x变化时x),x)的变化情况如下表 -00,-2) -2 (-22)2 2,+0) (x)+ 0 (x) 极大值16 极小值-16 所以当x=-2时x)有极大值， 极大值为16： 当x=2时，x)有极小值， 极小值为-16. (2)函数x)的定义域为R f)22+-4_21x+1 (x2+1)2 (x2+1)2 令fx)=0,得x=-1或x=1 当x变化时，fx),几x)的变化情况如下表 -0,-1) -1,1) 1,+0) 0 + 0 极小值-3 极大值-1 所以当x=1时x)有极小值，极小值为-3； 当x=1时x)有极大值，极大值为-1 9.己知函数x)=ar3+br2,当x=1时，函数有极大值3. (1)求a,b的值； (2)求函数的极小值 解(1).当x=1时，函数有极大值3fx)=3ax2+2bx, 3
3 解析:由题意,f'(x)=3x 2+2x-a,则 f'(-1)·f'(1)<0,即(1-a)(5-a)<0,解得 1<a<5.又当 a=1 时,函数 f(x)=x3+x2 - x-4 在区间(-1,1)内恰有一个极值点,当 a=5 时,函数 f(x)=x3+x2 -5x-4 在区间(-1,1)内没有极值点,故实数 a 的取值范围为[1,5). 8.求下列函数的极值. (1)f(x)=x3 -12x; (2)f(x)= 2𝑥 𝑥 2+1 -2. 解:(1)函数 f(x)的定义域为 R, f'(x)=3x 2 -12=3(x+2)(x-2). 令 f'(x)=0,得 x=-2 或 x=2. 当 x 变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表. x (-∞,-2) -2 (-2,2) 2 (2,+∞) f'(x) + 0 - 0 + f(x) ↗ 极大值 16 ↘ 极小值-16 ↗ 所以当 x=-2 时,f(x)有极大值, 极大值为 16; 当 x=2 时,f(x)有极小值, 极小值为-16. (2)函数 f(x)的定义域为 R, f'(x)= 2(𝑥 2+1)-4𝑥 2 (𝑥 2+1) 2 =- 2(𝑥-1)(𝑥+1) (𝑥 2+1) 2 . 令 f'(x)=0,得 x=-1 或 x=1. 当 x 变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表. x (-∞,-1) -1 (-1,1) 1 (1,+∞) f'(x) - 0 + 0 - f(x) ↘ 极小值-3 ↗ 极大值-1 ↘ 所以当 x=-1 时,f(x)有极小值,极小值为-3; 当 x=1 时,f(x)有极大值,极大值为-1. 9.已知函数 f(x)=ax3+bx2 ,当 x=1 时,函数有极大值 3. (1)求 a,b 的值; (2)求函数的极小值. 解:(1)∵当 x=1 时,函数有极大值 3,f'(x)=3ax2+2bx
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的！ 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org ÷甜*m20 解得6二g经验证0-6b9符合题意 ∴.a=-6,b=9 (2)/fx)=-18xr2+18x=-18x(x-1). 当fx)>0时，0l. .函数x)的极小值为0)=0 拓展提高 1.(多选题)已知函数y=x)的导数y=fx)的图象如图所示，则以下说法错误的是() A-3是函数y=x)的极值点 B-1是函数y=x)的极值点 Cy=x)在区间(-3,1)内单调递增 D.曲线y=x)在x=0处切线的斜率小于零 答案：BD 2若函数x)号-+x+1在区间（G,3)内有极值点，则实数a的取值范围是() A(2) B2) c(2,) D2,) 答案：C 解析：由题意可知x)=0有2个不相等的实根，且在区间（侵，3）内有根，由x)0有2个不相等的实根， 得a2由)=0在（行，3）内有根，得a=x+在（仔3）内有解又xe2,),所以2≤a<号综 上，a的取值范国是(2,9) 3.已知函数x)=nx+r2-bx,若x=1是函数x)的极大值点，则实数a的取值范围是( ) A.(-0,1) 4
4 ∴{ 𝑓'(1) = 0, 𝑓(1) = 3, 即{ 3𝑎 + 2𝑏 = 0, 𝑎 + 𝑏 = 3, 解得{ 𝑎 = -6, 𝑏 = 9. 经验证 a=-6,b=9 符合题意. ∴a=-6,b=9. (2)f'(x)=-18x 2+18x=-18x(x-1). 当 f'(x)>0 时,01. ∴函数 f(x)的极小值为 f(0)=0. 拓展提高 1.(多选题)已知函数 y=f(x)的导数 y=f'(x)的图象如图所示,则以下说法错误的是( ) A.-3 是函数 y=f(x)的极值点 B.-1 是函数 y=f(x)的极值点 C.y=f(x)在区间(-3,1)内单调递增 D.曲线 y=f(x)在 x=0 处切线的斜率小于零 答案:BD 2.若函数 f(x)= 𝑥 3 3 − 𝑎 2 x 2+x+1 在区间( 1 2 ,3)内有极值点,则实数 a 的取值范围是( ) A.(2, 5 2 ) B.[2, 5 2 ) C.(2, 10 3 ) D.[2, 10 3 ) 答案:C 解析:由题意可知 f'(x)=0 有 2 个不相等的实根,且在区间( 1 2 ,3)内有根,由 f'(x)=0 有 2 个不相等的实根, 得 a2.由 f'(x)=0 在( 1 2 ,3)内有根,得 a=x+1 𝑥在 ( 1 2 ,3)内有解.又 x+1 𝑥 ∈ [2, 10 3 ),所以 2≤a<10 3 .综 上,a 的取值范围是(2, 10 3 ). 3.已知函数 f(x)=ln x+𝑎 2 x 2 -bx,若 x=1 是函数 f(x)的极大值点,则实数 a 的取值范围是( ) A.(-∞,1)
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网永远提供更新的！ 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org B.(-o0,1] C.(-o,0) D.(-0,0] 答案：A 解析：fx)的定义域为(0，+o), x)taxb.由)=0，得b-1+a 所以f)=a1x ①若a≤0，则由fx)=0,得x=1. 当00,此时x)单调递增；当x>1时(x)0,则由x)=0,得x=l或x 因为x=1是x)的极大值点，所以1， 解得00)的极大值与极小值的积小于0，则a的取值范围是 答案（停+ 解析：fx)=3x2-3a2-3(x-a)(x+a(a>0),令fx)=0,得x=±a. 当-aa或x0,函数x)单调递增，所以x)i=f-a=-ad3+3a3+a=2㎡3+a,x)振维=fa)=a3 30+a=2d+a,且元-a>a,故o0y@<0,解得a2 5.已知函数x)-2+alnx (1)若a=-1,求函数x)的极值，并指出是极大值还是极小值： (2)若a=l,求证：在区间[l,+o)内，函数x)的图象在函数gx)r的图象的下方. (1)解：函数x)的定义域为(0，+o), 当a=1时，/x)=r= 令fx)=0,得x=1或x=-l(舍去)
5 B.(-∞,1] C.(-∞,0) D.(-∞,0] 答案:A 解析:f(x)的定义域为(0,+∞), f'(x)= 1 𝑥 +ax-b.由 f'(1)=0,得 b=1+a. 所以 f'(x)= (𝑎𝑥-1)(𝑥-1) 𝑥 , ①若 a≤0,则由 f'(x)=0,得 x=1. 当 00,此时 f(x)单调递增;当 x>1 时,f'(x)0,则由 f'(x)=0,得 x=1 或 x= 1 𝑎 . 因为 x=1 是 f(x)的极大值点,所以1 𝑎 >1, 解得 00)的极大值与极小值的积小于 0,则 a 的取值范围是 . 答案:( √2 2 , + ∞) 解析:f'(x)=3x 2 -3a 2=3(x-a)(x+a)(a>0),令 f'(x)=0,得 x=±a. 当-aa 或 x0,函数 f(x)单调递增,所以 f(x)极大值=f(-a)=-a 3+3a 3+a=2a 3+a,f(x)极小值=f(a)=a3 - 3a 3+a=-2a 3+a,且 f(-a)>f(a),故 f(-a)>0,f(a) √2 2 . 5.已知函数 f(x)= 1 2 x 2+aln x. (1)若 a=-1,求函数 f(x)的极值,并指出是极大值还是极小值; (2)若 a=1,求证:在区间[1,+∞)内,函数 f(x)的图象在函数 g(x)= 2 3 x 3 的图象的下方. (1)解:函数 f(x)的定义域为(0,+∞), 当 a=-1 时,f'(x)=x- 1 𝑥 = (𝑥+1)(𝑥-1) 𝑥 . 令 f'(x)=0,得 x=1 或 x=-1(舍去)
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的！ 丛书主编任志河。 http://www.zhyh.org 当x∈(0,1)时fx)0,因此函数x)在区间(1，+o)内单调递增， 故x=1是x)的极小值点， 所以x)在x1处取得极小值1)之 (2)证明：设F)-xgx)之2+lnx子， 则F)=2r-23+2=122+4 当x≥1时，F《x)≤0 故F(x)在区间[1，+o)内单调递减. 又FI)-名0， 故在区间[1，+o)内，Fx)2则当x∈（侣，2）时，fx)0:当x∈(2，+o)时fx小0.所以)在x=2处取得极小值 若a≤三则当x∈(0,2)时，x-20.所以2不是x)的极小值点. 综上可知，a的取值范国是（份，+0）】 6
6 当 x∈(0,1)时,f'(x)0,因此函数 f(x)在区间(1,+∞)内单调递增, 故 x=1 是 f(x)的极小值点, 所以 f(x)在 x=1 处取得极小值 f(1)= 1 2 . (2)证明:设 F(x)=f(x)-g(x)= 1 2 x 2+ln x- 2 3 x 3 , 则 F'(x)=x+1 𝑥 -2x 2= -2𝑥 3+𝑥 2+1 𝑥 = -(𝑥-1)(2𝑥 2+𝑥+1) 𝑥 , 当 x≥1 时,F'(x)≤0, 故 F(x)在区间[1,+∞)内单调递减. 又 F(1)=- 1 6 1 2 ,则当 x∈( 1 𝑎 ,2)时,f'(x)0.所以 f(x)在 x=2 处取得极小值. 若 a≤ 1 2 ,则当 x∈(0,2)时,x-20.所以 2 不是 f(x)的极小值点. 综上可知,a 的取值范围是( 1 2 , + ∞)