第2课时 概率与统计 1.从应届高中毕业生中选拔飞行员，已知这批学生体型合格的概率为，视力合格的概率为其 他几项标准合格的概率为从中任选一名学生，则该生均合格的概率为（假设各项标准互不影 响)() A月 BS 答案☐p 解析该生各项均合格的概车为××六 2.某班有50名学生，一次考试后的数学成绩~WM(110,102,若P100s≤110)=0.34，则估计该班 学生的数学成绩在120分以上（含120分）的人数为( A.10 B.9 C.8 D.7 答案」 解析-N(110,102),且P(100s冬110)=0.34， ∴.P(2120)=P(5≤100)=7×(1-0.34×2)=0.16 .估计该班数学成绩在120分以上的人数为0.16×50=8. 3.一名篮球运动员投篮一次得3分的概率为a,得2分的概率为b,不得分的概率为c(a,b,c∈ (0,1).已知他投篮一次得分的均值为2（不计其他得分情况），则ab的最大值为() A D 6 答案D 解析☐由已知，得3a+2b+0xc-2,即3a+2b-2,故ab名3ax2b(2)=言当且仅当 a宁b时取等号 4.己知x与y之间的几组数据如下表所示 假设根据上表数据所得回归直线方程为y=bx+a,根据表中的两组数据(1,0)和(2,2)求得的直 线方程为y=bx+a,则以下结论正确的是( A.b>b',a>a' B.b>b',aa' D.b<b',a<a' 答案☐
第 2 课时 概率与统计 1.从应届高中毕业生中选拔飞行员,已知这批学生体型合格的概率为1 3 ,视力合格的概率为1 6 ,其 他几项标准合格的概率为1 5 ,从中任选一名学生,则该生均合格的概率为(假设各项标准互不影 响)( ) A.4 9 B.5 9 C.4 5 D. 1 90 答案 D 解析 该生各项均合格的概率为1 3 × 1 6 × 1 5 = 1 90. 2.某班有 50 名学生,一次考试后的数学成绩 ξ~N(110,102 ),若 P(100≤ξ≤110)=0.34,则估计该班 学生的数学成绩在 120 分以上(含 120 分)的人数为( ) A.10 B.9 C.8 D.7 答案 C 解析 ∵ξ~N(110,102 ),且 P(100≤ξ≤110)=0.34, ∴P(ξ≥120)=P(ξ≤100)= 1 2 ×(1-0.34×2)=0.16, ∴估计该班数学成绩在 120 分以上的人数为 0.16×50=8. 3.一名篮球运动员投篮一次得 3 分的概率为 a,得 2 分的概率为 b,不得分的概率为 c(a,b,c∈ (0,1)).已知他投篮一次得分的均值为 2(不计其他得分情况),则 ab 的最大值为( ) A. 1 48 B. 1 24 C. 1 12 D.1 6 答案 D 解析 由已知,得 3a+2b+0×c=2,即 3a+2b=2,故 ab=1 6 ×3a×2b≤ 1 6 ( 3𝑎+2𝑏 2 ) 2 = 1 6 ,当且仅当 a= 1 3 ,b=1 2 时取等号. 4.已知 x 与 y 之间的几组数据如下表所示. x 1 2 3 4 5 6 y 0 2 1 3 3 4 假设根据上表数据所得回归直线方程为𝑦 ^ = b ^ x+𝑎 ^ ,根据表中的两组数据(1,0)和(2,2)求得的直 线方程为 y=b'x+a',则以下结论正确的是( ) A.𝑏 ^ >b',𝑎 ^ >a' B.𝑏 ^ >b',𝑎 ^ a' D.𝑏 ^ <b',𝑎 ^ <a' 答案 C
爵□由题意可知6=x==2是故好-91-6) 6 ni=1 1 要，2-成万=58-6子×号=亭故可得b= Σxy成 -5A n2 =-b=-月×子号而 i=1 A 由直线方程的求解可得b'器-2，把(1,0代入可得a-2,比较可得ba,故选C 5.甲、乙同时炮击一架敌机，己知甲击中敌机的概率为0.6，乙击中敌机的概率为0.5，则敌机被 击中的概率为 答案b.8 解析☐P(敌机被击中)=1-P(甲未击中敌机)P(乙未击中敌机)=1-(1-0.6)×1-0.5)=1-0.2=0.8 6.乒乓球单打比赛在甲、乙两名运动员间进行，比赛采用7局4胜制（即先胜4局者获胜，比赛 结束)，假设两人在每一局比赛中获胜的可能性相同，则甲以4比2获胜的概率为 管案☐品 解析☐甲以4比2获胜，则需打六局比赛，且甲第六局胜，前五局胜三局， 故共概车为Cg×月°×)×对量 7某商场举行摸奖活动，规则为：从装有除颜色外完全相同的7个白球、3个红球的盒子中摸 出3个不同的球，摸出后把球放回.若3个球全是红球，则中一等奖，若3个球中有1个白球、2 个红球，则中二等奖现有3人去摸奖，则恰有2人中奖的概率为 答案☐5929 J72000 解析 个人去摸奖，中一等奖的概率为P1= C品中二等奖的概率为P 2,所以任何一人中 Cio 类的概率为P1+P2=子+=共 -60 若3人去摸奖，则格有2人中奖的概率为C3×(偏)×1-)=器 8.坛子里放着7个大小、形状相同的鸭蛋，其中有4个是绿皮的，3个是白皮的.如果不放回地 依次拿出2个鸭蛋，求： (1)第1次拿出绿皮鸭蛋的概率： (2)第1次和第2次都拿出绿皮鸭蛋的概率； (3)在第1次拿出绿皮鸭蛋的条件下，第2次拿出绿皮鸭蛋的概率 解☐设“第1次拿出绿皮鸭蛋”为事件A,“第2次拿出绿皮鸭蛋”为事件B,则“第1次和第2次 都拿出绿皮鸭蛋”为事件AB (1)从7个鸭蛋中不放回地依次拿出2个，一共有A号=42（种）拿法.根据分步乘法计数原理，第1 次拿出绿皮鸭蛋的拿法有A1×A好=24（种）， 于是P心A登=月 (2)因为nAB)=A好=12 所以P4B)把=是=月 (3)由(1)(2)可得，在第1次拿出绿皮鸭蛋的条件下」 第2次车出绿成鸭蛋的概车为心0一端-著-月 9.某手机厂商推出一款6寸大屏手机，现抽取500名该手机使用者(200名女性、300名男性) 对手机进行评分，评分的频数分布表如下
解析 由题意可知,n=6,𝑥 = 1 𝑛 ∑ 𝑖=1 𝑛 xi= 21 6 = 7 2 , y = 1 n ∑ i=1 n yi= 13 6 ,故 ∑ 𝑖=1 𝑛 𝑥𝑖 2 -n𝑥 2 =91-6×( 7 2 ) 2 = 35 2 , ∑ 𝑖=1 𝑛 xiyi-n𝑥 𝑦=58-6×7 2 × 13 6 = 25 2 ,故可得𝑏 ^ = ∑ 𝑖=1 𝑛 𝑥𝑖𝑦 𝑖 -𝑛𝑥 𝑦 ∑ 𝑖=1 𝑛 𝑥𝑖 2 -𝑛𝑥 2 = 5 7 , 𝑎 ^ = 𝑦 − 𝑏 ^ 𝑥 = 13 6 − 5 7 × 7 2 =- 1 3 .而 由直线方程的求解可得 b'=0-2 1-2 =2,把(1,0)代入可得 a'=-2,比较可得𝑏 ^ a',故选 C. 5.甲、乙同时炮击一架敌机,已知甲击中敌机的概率为 0.6,乙击中敌机的概率为 0.5,则敌机被 击中的概率为 . 答案 0.8 解析 P(敌机被击中)=1-P(甲未击中敌机)P(乙未击中敌机)=1-(1-0.6)×(1-0.5)=1-0.2=0.8. 6.乒乓球单打比赛在甲、乙两名运动员间进行,比赛采用 7 局 4 胜制(即先胜 4 局者获胜,比赛 结束),假设两人在每一局比赛中获胜的可能性相同,则甲以 4 比 2 获胜的概率为 . 答案 5 32 解析 甲以 4 比 2 获胜,则需打六局比赛,且甲第六局胜,前五局胜三局, 故其概率为C5 3 × ( 1 2 ) 3 × ( 1 2 ) 2 × 1 2 = 5 32. 7.某商场举行摸奖活动,规则为:从装有除颜色外完全相同的 7 个白球、3 个红球的盒子中摸 出 3 个不同的球,摸出后把球放回.若 3 个球全是红球,则中一等奖;若 3 个球中有 1 个白球、2 个红球,则中二等奖.现有 3 人去摸奖,则恰有 2 人中奖的概率为 . 答案 5 929 72 000 解析 一个人去摸奖,中一等奖的概率为 P1= 1 C10 3 ,中二等奖的概率为 P2= C3 2 C7 1 C10 3 ,所以任何一人中 奖的概率为 P1+P2= 1 C10 3 + C3 2 C7 1 C10 3 = 11 60. 若 3 人去摸奖,则恰有 2 人中奖的概率为C3 2 × ( 11 60) 2 × (1- 11 60) = 5 929 72 000. 8.坛子里放着 7 个大小、形状相同的鸭蛋,其中有 4 个是绿皮的,3 个是白皮的.如果不放回地 依次拿出 2 个鸭蛋,求: (1)第 1 次拿出绿皮鸭蛋的概率; (2)第 1 次和第 2 次都拿出绿皮鸭蛋的概率; (3)在第 1 次拿出绿皮鸭蛋的条件下,第 2 次拿出绿皮鸭蛋的概率. 解 设“第 1 次拿出绿皮鸭蛋”为事件 A,“第 2 次拿出绿皮鸭蛋”为事件 B,则“第 1 次和第 2 次 都拿出绿皮鸭蛋”为事件 AB. (1)从 7 个鸭蛋中不放回地依次拿出 2 个,一共有A7 2=42(种)拿法.根据分步乘法计数原理,第 1 次拿出绿皮鸭蛋的拿法有A4 1 × A6 1=24(种), 于是 P(A)= 24 42 = 4 7 . (2)因为 n(AB)=A4 2=12, 所以 P(AB)= 𝑛(𝐴𝐵) 𝑛(𝛺) = 12 42 = 2 7 . (3)由(1)(2)可得,在第 1 次拿出绿皮鸭蛋的条件下, 第 2 次拿出绿皮鸭蛋的概率为 P(B|A)= 𝑃(𝐴𝐵) 𝑃(𝐴) = 2 7 4 7 = 1 2 . 9.某手机厂商推出一款 6 寸大屏手机,现抽取 500 名该手机使用者(200 名女性、300 名男性) 对手机进行评分,评分的频数分布表如下
分值区间 [50,60) [60,70) 70,80) [80,90) [90,100] 女性用户 频数 20 40 80 分值区间 [50,60) 60,70) 70,80) I80,90) 90,100] 男性用户 频数 45 75 90 60 30 (1)完成下列频率分布直方图，并比较女性用户和男性用户评分的波动大小（不计算具体值，给 出结论即可)方 频率 组距 0.04 0.035 0.01 0.005 ----评分 05060708090100 女性用户 ↑频率 组距 0.04 0.0 003 0.015 0.01 0.005 -评分 05060708090100 男性用户 (2)把评分不低于70分的用户称为“评分良好用户”，能否有90%的把握认为评分良好与用户 的性别有关？ 解1)女性用户和男性用户的频率分布直方图分别如下图所示 十额率 组距 0.04 0. 0.01 0.005 评分 05060708090100 女性用户 频率 组距 0.04 0.035 0.03 0 0.05 0.01 0.005-+------评分 05060708090100 男性用户 由图可得女性用户的波动小，男性用户的波动大 (2)由题可得2×2列联表如下 性别 评分情况 总计 女性用户 男性用户 评分良好 140 180 320 评分不良好 120 180 总计 200 300 500
女性用户 分值区间 [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100] 频数 20 40 80 50 10 男性用户 分值区间 [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100] 频数 45 75 90 60 30 (1)完成下列频率分布直方图,并比较女性用户和男性用户评分的波动大小(不计算具体值,给 出结论即可); 女性用户 男性用户 (2)把评分不低于 70 分的用户称为“评分良好用户”,能否有 90%的把握认为评分良好与用户 的性别有关? 解 (1)女性用户和男性用户的频率分布直方图分别如下图所示. 女性用户 男性用户 由图可得女性用户的波动小,男性用户的波动大. (2)由题可得 2×2 列联表如下. 评分情况 性别 总计 女性用户 男性用户 评分良好 140 180 320 评分不良好 60 120 180 总计 200 300 500
则7-500x0120-180x602=15.208>2706. 200×300×320×180 二24 故有90%的把握认为评分良好与用户的性别有关 10.一个暗箱里放有6个黑球、4个白球 (1)依次取出3个球，不放回，若第1次取出的是白球，求第3次取到黑球的概率： (2)有放回地依次取出3个球，若第1次取出的是白球，求第3次取到黑球的概率， (3)有放回地依次取出3个球，求取到白球的个数的分布列和均值 解☐1)设事件A为“第1次取出的是白球，第3次取到黑球”则)cc=号 CAS (2)因为每次取出球之前暗箱的情况没有变化， 所以每次取球互不影响，所以所求概率P品=昌 (3)由题意可知，B(3,), 则P5-0-c3×自×=器 Pg-=c××目=器 PG-2-c号×周x号=器 P-3)=C3×() ×目°=品 故‘的分布列为 0 1 3 27 54 36 8 125 125 125 125 E9-3×号=号
则 χ 2= 500×(140×120-180×60) 2 200×300×320×180 = 125 24 ≈5.208>2.706. 故有 90%的把握认为评分良好与用户的性别有关. 10.一个暗箱里放有 6 个黑球、4 个白球. (1)依次取出 3 个球,不放回,若第 1 次取出的是白球,求第 3 次取到黑球的概率; (2)有放回地依次取出 3 个球,若第 1 次取出的是白球,求第 3 次取到黑球的概率; (3)有放回地依次取出 3 个球,求取到白球的个数 ξ 的分布列和均值. 解 (1)设事件 A 为“第 1 次取出的是白球,第 3 次取到黑球”,则 P(A)= C4 1 (C6 1 C5 1+C3 1 C6 1 ) C4 1A9 2 = 2 3 . (2)因为每次取出球之前暗箱的情况没有变化, 所以每次取球互不影响,所以所求概率 P= 6 10 = 3 5 . (3)由题意可知,ξ~B(3, 2 5 ), 则 P(ξ=0)=C3 0 × ( 2 5 ) 0 × ( 3 5 ) 3 = 27 125, P(ξ=1)=C3 1 × 2 5 × ( 3 5 ) 2 = 54 125 , P(ξ=2)=C3 2 × ( 2 5 ) 2 × 3 5 = 36 125, P(ξ=3)=C3 3 × ( 2 5 ) 3 × ( 3 5 ) 0 = 8 125. 故 ξ 的分布列为 ξ 0 1 2 3 P 27 125 54 125 36 125 8 125 E(ξ)=3×2 5 = 6 5