3.1.3 组合与组合数 第1课时 组合与组合数、组合数的性质 基础巩固 1.(多选题)以下四个问题，属于组合问题的是() A.从3个不同的小球中，取出2个排成一列 B.老师在排座次时将甲、乙两位同学安排为同桌 C.在电视节目中，主持人从100名幸运观众中选出2名幸运之星 D.从13名司机中任选出3名进行培训 答案CD 解析从100名幸运观众中选出2名幸运之星”与“从13名司机中任选出3名进行培训”， 与顺序无关，是组合问题 2.(多选题)下列计算结果为21的是( A.A号+C? B.C C.A3 D.C另 答案AD 解析A3+C2=21;C7=1;A号=42：C?=21. A101 品等于( A B.101 c D.6 案D 解析☐ A101 A101 00+c路8 ==A9-6 C7o0+C1o0-C301 4.(多选题)下列等式正确的是() A.Cm=ml(n-m)t n! B.Cm=Cn-m C.C1=C+C-1 D.Cm=C 答案]ABC 解析☐A是组合数公式B,C是组合数性质：C”= m(m,C4=n+1! (m+1m-mp两者不相等， 故D错误 5若A品=6C,则n的值为( A.6 B.7 C.8 D.9 答案B 解析由题意知nn-l)(n-2)=6.n-n-2n3 4×3×2×1 化简得1， 解得n=7. 6.已知C7+1-C7=C,则n等于」 含案☐14 解析：C7+1=C+1
3.1.3 组合与组合数 第 1 课时 组合与组合数、组合数的性质 基础巩固 1.(多选题)以下四个问题,属于组合问题的是( ) A.从 3 个不同的小球中,取出 2 个排成一列 B.老师在排座次时将甲、乙两位同学安排为同桌 C.在电视节目中,主持人从 100 名幸运观众中选出 2 名幸运之星 D.从 13 名司机中任选出 3 名进行培训 答案 CD 解析 “从 100 名幸运观众中选出 2 名幸运之星”与“从 13 名司机中任选出 3 名进行培训”, 与顺序无关,是组合问题. 2.(多选题)下列计算结果为 21 的是( ) A.A3 2 + C6 2 B.C7 7 C.A7 2 D.C7 2 答案 AD 解析 A3 2 + C6 2=21;C7 7=1;A7 2=42;C7 2=21. 3. A101 3 C100 2 +C100 97 等于( ) A.1 6 B.101 C. 1 107 D.6 答案 D 解析 A101 3 C100 2 +C100 97 = A101 3 C100 2 +C100 3 = A101 3 C101 3 = A3 3=6. 4.(多选题)下列等式正确的是( ) A.C𝑛 𝑚 = 𝑛! 𝑚!(𝑛-𝑚)! B.C𝑛 𝑚 = C𝑛 𝑛-𝑚 C.C𝑛+1 𝑚 = C𝑛 𝑚 + C𝑛 𝑚-1 D.C𝑛 𝑚 = C𝑛+1 𝑚+1 答案 ABC 解析 A 是组合数公式;B,C 是组合数性质;C𝑛 𝑚 = 𝑛! 𝑚!(𝑛-𝑚)! , C𝑛+1 𝑚+1 = (𝑛+1)! (𝑚+1)!(𝑛-𝑚)!,两者不相等, 故 D 错误. 5.若A𝑛 3=6C𝑛 4 ,则 n 的值为( ) A.6 B.7 C.8 D.9 答案 B 解析 由题意知 n(n-1)(n-2)=6·𝑛(𝑛-1)(𝑛-2)(𝑛-3) 4×3×2×1 , 化简得𝑛-3 4 =1, 解得 n=7. 6.已知C𝑛+1 7 − C𝑛 7 = C𝑛 8 ,则 n 等于 . 答案 14 解析 ∵C𝑛+1 7 = C𝑛+1 8
∴.7+8=n+1, .∴.n=14 7.不等式C2-n<5的解集为 答案☐2,3,4} 解析☐由C保-n<5,得1， 22n<5, 即2-3n-10<0, 解得-2<n<5. 由题意知n22,且n∈N+, 则n=2,3,4,故原不等式的解集为{2,3,4} 8.从2,3,5,7四个数中任取两个不同的数相乘，有m个不同的积；任取两个不同的数相除，有n 个不同的商，则m:n= 答案☐1：2 解析m=C经，n=A经， ∴.m:n=6:12=1:2. 9.计算：(1)C号+C8Cg, (2)Cg+C+C号+Cg+C+C (3)C7+1Ct-1 解1)原式-C号+C3%1袋+20是-35+1251260 2×1 (2)原式=2(Cg+Cg+C3=2(Cg+C3)=26+x4-32, 2×1 (3)方法一：原式=C%+1C=+1nm+卫n=n+1)n=+n nl 方法二：原式=(C7+C-1)C-1=(1+C)C1=(1+n)n=+n. 10.设x∈N+,求C3+C2的值 图□由是意可将化己3 解得2s≤4 ,x∈N+, x=2或x=3或x=4 当x=2时，原式的值为4； 当x=3时，原式的值为7 当x=4时，原式的值为11. .所求式子的值为4或7或11 拓展提高 1.已知C5+1-C4=C品，则n等于( A.8 B.12 C.13 D.15 案]A 解析☐国为C克+1=C+ 所以5+4=n+1, 所以n=8. 2.已知集合M={xx=C4,n∈N,集合Q={1,2,3,4},则下列结论正确的是( A.MUQ={0,1,2,3,4}B.QSM C.MCO D.MnQ={1,4} 答案D
∴7+8=n+1, ∴n=14. 7.不等式C𝑛 2 -n<5 的解集为 . 答案 {2,3,4} 解析 由C𝑛 2 -n<5,得 𝑛(𝑛-1) 2 -n<5, 即 n 2 -3n-10<0, 解得-2<n<5. 由题意知 n≥2,且 n∈N+, 则 n=2,3,4,故原不等式的解集为{2,3,4}. 8.从 2,3,5,7 四个数中任取两个不同的数相乘,有 m 个不同的积;任取两个不同的数相除,有 n 个不同的商,则 m∶n= . 答案 1∶2 解析 ∵m=C4 2 ,n=A4 2 , ∴m∶n=6∶12=1∶2. 9.计算:(1)C7 4 + C50 48C9 9 ; (2)C5 0 + C5 1 + C5 2 + C5 3 + C5 4 + C5 5 ; (3)C𝑛+1 𝑛 C𝑛 𝑛-1 . 解 (1)原式=C7 3 + C50 2 ×1= 7×6×5 3×2×1 + 50×49 2×1 =35+1 225=1 260. (2)原式=2(C5 0 + C5 1 + C5 2 )=2(C6 1 + C5 2 )=2 6+ 5×4 2×1 =32. (3)方法一:原式=C𝑛+1 𝑛 C𝑛 1 = (𝑛+1)! 𝑛! ·n= (𝑛+1)·𝑛! 𝑛! ·n=(n+1)·n=n2+n. 方法二:原式=(C𝑛 𝑛 + C𝑛 𝑛-1 )·C𝑛 𝑛-1=(1+C𝑛 1 )·C𝑛 1=(1+n)·n=n2+n. 10.设 x∈N+,求C2𝑥-3 𝑥-1 + C𝑥+1 2𝑥-3的值. 解 由题意可得{ 2𝑥-3 ≥ 𝑥-1, 𝑥 + 1 ≥ 2𝑥-3, 解得 2≤x≤4. ∵x∈N+, ∴x=2 或 x=3 或 x=4. 当 x=2 时,原式的值为 4; 当 x=3 时,原式的值为 7; 当 x=4 时,原式的值为 11. ∴所求式子的值为 4 或 7 或 11. 拓展提高 1.已知C𝑛+1 5 − C𝑛 4 = C𝑛 3 ,则 n 等于( ) A.8 B.12 C.13 D.15 答案 A 解析 因为C𝑛+1 5 = C𝑛+1 4 , 所以 5+4=n+1, 所以 n=8. 2.已知集合 M={x|x=C4 𝑛 ,n∈N},集合 Q={1,2,3,4},则下列结论正确的是( ) A.M∪Q={0,1,2,3,4}B.Q⊆M C.M⊆Q D.M∩Q={1,4} 答案 D
解析由C知，n=0,12,3,4 国为Cg=1,C-4,C经=36，C保=C}-4,C4=l, 2 所以M={1,4,6} 故Mn0={1,4},MU0={1,2,3,4,6},选D 3.C1+Cx的值是() A.46或20 B.30 C.36 D.40 答案A x+1≤10： 解析因为 17-x≤10， x+1≥0， 17-x≥0， 所以7s≤9 又x∈Nt, 所以x=7,8,9 当x=7时，C80+C8=46 当x=8时，C10+C20-20 当x=9时，C8+C8。=46. 故选A 4解不等式C-1>3C 避由 3×8! ml(8-m)! 得>品 所以m>27-3m 所以m>2平-7月 4 又因为0sm-1≤8，且0sms8,m∈N 所以m=7或8. 5.已知20C克+5=4(n+4)C3+15A2+3,求n的值 解☐原方程可化为20xa+5-4n+4)x+3+15n+3n+2) (n-1)141 即m+5m+4n+3n+2n+1_m+4m+3Xn+2n+1亚+15n+3)n+2), 6 6 所以(n+5)(n+4)(n+1)-(n+4)(n+1)n=90, 即5(n+4)(n+1)=90, 所以2+5m-14=0, 即n=2或n=.7. 注意到n2l,且n∈N+, 所以n=2. 挑战创新 从n个红球和n个白球，总计2n个球中取出m()个球的方法数是C须，该方法数我们还可 以用如下方法得到：只取m个红球；取m-1个红球，1个白球：取m-2个红球，2个白球.于是 可得到组合数公式：C2%=CC9+Cm-1C1+.+C7Cm-r+..+C9C(mn),按如上方法化 简：C%C%n+C1Cm+.…+CTCm+.+C7Cm(其中mn),其结果为 答案☐c+m(或CR+m) 解析因为C$=C
解析 由C4 𝑛知,n=0,1,2,3,4. 因为C4 0=1,C4 1=4,C4 2 = 4×3 2 =6,C4 3 = C4 1=4,C4 4=1, 所以 M={1,4,6}, 故 M∩Q={1,4},M∪Q={1,2,3,4,6},选 D. 3.C10 𝑥+1 + C10 17-𝑥的值是( ) A.46 或 20 B.30 C.36 D.40 答案 A 解析 因为{ 𝑥 + 1 ≤ 10, 17-𝑥 ≤ 10, 𝑥 + 1 ≥ 0, 17-𝑥 ≥ 0, 所以 7≤x≤9. 又 x∈N+, 所以 x=7,8,9. 当 x=7 时,C10 8 + C10 10=46; 当 x=8 时,C10 9 + C10 9 =20; 当 x=9 时,C10 10 + C10 8 =46. 故选 A. 4.解不等式:C8 𝑚-1>3C8 𝑚. 解 由 8! (𝑚-1)!(9-𝑚)! > 3×8! 𝑚!(8-𝑚)!, 得 1 9-𝑚 > 3 𝑚 , 所以 m>27-3m, 所以 m>27 4 =7- 1 4 . 又因为 0≤m-1≤8,且 0≤m≤8,m∈N, 所以 m=7 或 8. 5.已知 20C𝑛+5 5 =4(n+4)C𝑛+3 𝑛-1 +15A𝑛+3 2 ,求 n 的值. 解 原方程可化为 20×(𝑛+5)! 5!𝑛! =4(n+4)×(𝑛+3)! (𝑛-1)!4! +15(n+3)(n+2), 即 (𝑛+5)(𝑛+4)(𝑛+3)(𝑛+2)(𝑛+1) 6 = (𝑛+4)(𝑛+3)(𝑛+2)(𝑛+1)𝑛 6 +15(n+3)(n+2), 所以(n+5)(n+4)(n+1)-(n+4)(n+1)n=90, 即 5(n+4)(n+1)=90, 所以 n 2+5n-14=0, 即 n=2 或 n=-7. 注意到 n≥1,且 n∈N+, 所以 n=2. 挑战创新 从 n 个红球和 n 个白球,总计 2n 个球中取出 m(m≤n)个球的方法数是C2𝑛 𝑚 ,该方法数我们还可 以用如下方法得到:只取 m 个红球;取 m-1 个红球,1 个白球;取 m-2 个红球,2 个白球;……于是 可得到组合数公式:C2𝑛 𝑚 = C𝑛 𝑚C𝑛 0 + C𝑛 𝑚-1C𝑛 1+…+C𝑛 𝑟C𝑛 𝑚-𝑟+…+C𝑛 0C𝑛 𝑚(m≤n),按如上方法化 简:C𝑛 0C𝑚 0 + C𝑛 1C𝑚 1 +…+C𝑛 𝑟C𝑚 𝑟 +…+C𝑛 𝑚C𝑚 𝑚(其中 m≤n),其结果为 . 答案 C𝑛+𝑚 𝑚 (或C𝑛+𝑚 𝑛 ) 解析 因为C𝑛 𝑘 = C𝑛 𝑛-𝑘
所以原式=C9C9+CCm+.+C7Cm+..+C7Cm=CCm+CCm1+..+C7Cm-r+.+CC%= C+m(或Ch+m）
所以原式=C𝑛 0C𝑚 0 + C𝑛 1C𝑚 1 +…+C𝑛 𝑟C𝑚 𝑟 +…+C𝑛 𝑚C𝑚 𝑚 = C𝑛 0C𝑚 𝑚 + C𝑛 1C𝑚 𝑚-1+…+C𝑛 𝑟C𝑚 𝑚-𝑟+…+C𝑛 𝑚C𝑚 0 = C𝑛+𝑚 𝑚 (或C𝑛+𝑚 𝑛 )