4.2.4随机变量的数字特征 第1课时 离散型随机变量的均值 1.已知随机变量X的分布列为P(X=k)-k=1,23,4),则(X)=() A.2.5 B.3.5 C.0.25 D.2 含案☐A 2.已知的分布列为 1 2 3 4 1-6 设1=2+5，则E()= ) A图 B喂 c号 D号 答案D 图折□因为(0=1哈+2x+3×号4*=品 1 3=6 所以0)=E(25+5)-2B(0+5=-2×号+5=号 3 3.盒子中共有8件产品，其中有2件次品，现从中随机选取3件产品，记次品的件数为X,则X 的均值为( A B c D时 案☐B 解析由题意可知，X~H(8,3,2), 故00-3兴-月 4.某人进行一项试验，若试验成功，则停止试验：若试验失败，则重新试验一次：若试验3次均失 败，则放弃试验若此人每次试验成功的概率为则此人试验次数：的均值为() A B号 c D号 案B 解析☐试验次数的可能取值为1,2,3， 则P-1)=子P-2)×=子 P-3)x×作+)= 故E(0=1*号2号+3x写=号 113 5在某校篮球队的首轮选拔测试中，参加测试的5名同学的投篮命中率分别为冷号，号每 人均有10次投篮机会，至少投中6次才能晋级下一轮测试假设每人每次投篮相互独立，则晋 级下一轮的大约有( A1人 B.2人 C.3人 D.4人 答案下 解析5名同学各投篮10次，相当于每人各做了10次独立重复试验，他们投中的次数分别服 从二项分布，故他们授中的次数的均值分别为10×6,10x5<6,10号=96,10x是= 艺6,10x=号6，故音级下一轮的大约有3人 6.若X~H16,4,2),则E0=
4.2.4 随机变量的数字特征 第 1 课时 离散型随机变量的均值 1.已知随机变量 X 的分布列为 P(X=k)= 1 4 (k=1,2,3,4),则 E(X)=( ) A.2.5 B.3.5 C.0.25 D.2 答案 A 2.已知 ξ 的分布列为 ξ 1 2 3 4 P 1 6 1 6 1 3 1 3 设 η=2ξ+5,则 E(η)=( ) A.7 6 B.17 6 C.17 3 D.32 3 答案 D 解析 因为 E(ξ)=1×1 6 +2×1 6 +3×1 3 +4×1 3 = 17 6 , 所以 E(η)=E(2ξ+5)=2E(ξ)+5=2×17 6 +5= 32 3 . 3.盒子中共有 8 件产品,其中有 2 件次品,现从中随机选取 3 件产品,记次品的件数为 X,则 X 的均值为( ) A.6 5 B.3 4 C.4 5 D.1 5 答案 B 解析 由题意可知,X~H(8,3,2), 故 E(X)= 3×2 8 = 3 4 . 4.某人进行一项试验,若试验成功,则停止试验;若试验失败,则重新试验一次;若试验 3 次均失 败,则放弃试验.若此人每次试验成功的概率为2 3 ,则此人试验次数 ξ 的均值为( ) A.4 3 B.13 9 C.5 3 D.13 7 答案 B 解析 试验次数 ξ 的可能取值为 1,2,3, 则 P(ξ=1)= 2 3 ,P(ξ=2)= 1 3 × 2 3 = 2 9 , P(ξ=3)= 1 3 × 1 3 × ( 2 3 + 1 3 ) = 1 9 . 故 E(ξ)=1×2 3 +2×2 9 +3×1 9 = 13 9 . 5.在某校篮球队的首轮选拔测试中,参加测试的 5 名同学的投篮命中率分别为3 5 , 1 2 , 2 3 , 3 4 , 1 3 ,每 人均有 10 次投篮机会,至少投中 6 次才能晋级下一轮测试.假设每人每次投篮相互独立,则晋 级下一轮的大约有( ) A.1 人 B.2 人 C.3 人 D.4 人 答案 C 解析 5 名同学各投篮 10 次,相当于每人各做了 10 次独立重复试验,他们投中的次数分别服 从二项分布,故他们投中的次数的均值分别为 10×3 5 =6,10×1 2 =56,10×3 4 = 15 2 >6,10×1 3 = 10 3 <6,故晋级下一轮的大约有 3 人. 6.若 X~H(16,4,2),则 E(X)=
含案☐ 7.己知随机变量‘的分布列为 -1 0 1 1-2 若刀=a5+3,E()子则a= 答案卫 解析☐由已知，得+十m=1,解得m言 故E0(I)0x+1哈号 因为1=a心+3， 所以E)=Ea+3)-=aE(0+3=+3-号 解得a=2. 8.某电视台开展有奖答题活动，每次要求答30个选择题，每个选择题有4个选项，其中有且只 有一个正确答案，每一题选对得5分，选错或不选得0分，满分150分，规定满100分拿三等奖， 满120分拿二等奖，满140分拿一等奖.己知某选手选对任意一题的概率是0.8，则该选手可望 能拿到 等奖 答案☐上 解析设该选手选对题的个数为X,则XB(30,0.8),故EX)-30×0.8-24.因为24×5-120（分）， 所以该选手可望能拿到二等奖。 9.在某科学试验中A,B两个方案成功的概率相同，且A,B两个方案成功与否不影响.己知A,B 两个方案至少有一个成功的概率为0.36. (1)求两个方案均成功的概率； (2)设试验成功的方案的个数为X,求X的分布列及均值 解☐1)设A,B两个方案成功的概率均为x,则A,B两个方案都未能成功的概率为(1-x),则1 (1-x)2-0.36,解得x=0.2. 故两个方案均成功的概率为0.22-0.04 (2)由题意可知，X的分布列为 0.64 0.32 0.04 故E(X0=0×0.64+1×0.32+2×0.04=0.4. 10.A,B两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，A队队员分别是A1,A2,A3,B队队员分 别是B1,B2,B3,按以往多次比赛的统计，对阵队员之间的胜负概率如下表所示 对阵队员 A队队员胜的概率 A队队员负的概率 A1和B1 2-3 1-3 A2和B2 2 3 5 A3和B3 二5 现按表中对阵方式出场比赛，胜队得1分，负队得0分.设A,B两队最后所得总分分别为X,Y (1)求X,Y的分布列： (2)求E(,E( 解☐1)X的可能取值分别为32,1,0
答案 1 2 7.已知随机变量 ξ 的分布列为 ξ -1 0 1 P 1 2 1 3 m 若 η=aξ+3,E(η)= 7 3 ,则 a= . 答案 2 解析 由已知,得 1 2 + 1 3 +m=1,解得 m= 1 6 , 故 E(ξ)=(-1)×1 2 +0×1 3 +1×1 6 =- 1 3 . 因为 η=aξ+3, 所以 E(η)=E(aξ+3)=aE(ξ)+3=- 1 3 a+3= 7 3 , 解得 a=2. 8.某电视台开展有奖答题活动,每次要求答 30 个选择题,每个选择题有 4 个选项,其中有且只 有一个正确答案,每一题选对得 5 分,选错或不选得 0 分,满分 150 分,规定满 100 分拿三等奖, 满 120 分拿二等奖,满 140 分拿一等奖.已知某选手选对任意一题的概率是 0.8,则该选手可望 能拿到 等奖. 答案 二 解析 设该选手选对题的个数为 X,则 X~B(30,0.8),故 E(X)=30×0.8=24.因为 24×5=120(分), 所以该选手可望能拿到二等奖. 9.在某科学试验中 A,B 两个方案成功的概率相同,且 A,B 两个方案成功与否不影响.已知 A,B 两个方案至少有一个成功的概率为 0.36. (1)求两个方案均成功的概率; (2)设试验成功的方案的个数为 X,求 X 的分布列及均值. 解 (1)设 A,B 两个方案成功的概率均为 x,则 A,B 两个方案都未能成功的概率为(1-x) 2 ,则 1- (1-x) 2=0.36,解得 x=0.2. 故两个方案均成功的概率为 0.2 2=0.04. (2)由题意可知,X 的分布列为 X 0 1 2 P 0.64 0.32 0.04 故 E(X)=0×0.64+1×0.32+2×0.04=0.4. 10.A,B 两个代表队进行乒乓球对抗赛,每队三名队员,A 队队员分别是 A1,A2,A3,B 队队员分 别是 B1,B2,B3,按以往多次比赛的统计,对阵队员之间的胜负概率如下表所示. 对阵队员 A 队队员胜的概率 A 队队员负的概率 A1 和 B1 2 3 1 3 A2 和 B2 2 5 3 5 A3 和 B3 2 5 3 5 现按表中对阵方式出场比赛,胜队得 1 分,负队得 0 分.设 A,B 两队最后所得总分分别为 X,Y. (1)求 X,Y 的分布列; (2)求 E(X),E(Y). 解 (1)X 的可能取值分别为 3,2,1,0
则PX-3)号×号×=号PX-2)号×号x号+x号×号+号×是×号=号PGK=)号××+ 吉×号×号+x号×号=号PK-0)号×x是=是 根据题意，X+Y=3,则 P(Y-0)=PX=3)=元 8 P(Y=)-PK=2)2g 75 PY-2)-PK-I)号 P-3)-P0X-0)号 故X的分布列为 X 0 2 28 8 25 5 75 Y的分布列为 3 1 0 28 25 75 (200-3号+2号+1号0*= 22 因为X+Y-3,所以E()=3-E0 23 11.随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20 件、次品4件.已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元，2万元，1万元，而生产 1件次品亏损2万元设生产1件该产品的利润（单位：万元）为X将频率视为概率 (1)求X的分布列： (2)求生产1件该产品的平均利润： (3)经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%，一等品率提高为70%若此时要求 生产1件该产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？ 解☐1)X的所有可能取值为62,1，-2， 则PX=6)5-0.63,PX=2)-50-0.25. 200 200 P0X=品0L P0X-2)-2点-002 故X的分布列为 6 2 -2 0.63 0.25 0.02 (2)EX)=6×0.63+2×0.25+1×0.1+(-2)×0.02=4.34 故生产1件该产品的平均利润为4.34万元 (3)设技术革新后的三等品率为x,则二等品率为0.29-x,0S≤0.29. 故E(X)=6×0.7+2×(0.29-x)+1×x+(-2)×0.01=4.76-x(0≤x≤0.29). 依题意，E(X0≥4.73，即4.76-24.73， 解得x≤0.03.故三等品率最多为3%
则 P(X=3)= 2 3 × 2 5 × 2 5 = 8 75,P(X=2)= 2 3 × 2 5 × 3 5 + 1 3 × 2 5 × 2 5 + 2 3 × 3 5 × 2 5 = 28 75,P(X=1)= 2 3 × 3 5 × 3 5 + 1 3 × 2 5 × 3 5 + 1 3 × 3 5 × 2 5 = 2 5 ,P(X=0)= 1 3 × 3 5 × 3 5 = 3 25. 根据题意,X+Y=3,则 P(Y=0)=P(X=3)= 8 75, P(Y=1)=P(X=2)= 28 75, P(Y=2)=P(X=1)= 2 5 , P(Y=3)=P(X=0)= 3 25. 故 X 的分布列为 X 0 1 2 3 P 3 25 2 5 28 75 8 75 Y 的分布列为 Y 3 2 1 0 P 3 25 2 5 28 75 8 75 (2)E(X)=3×8 75 +2×28 75 +1×2 5 +0×3 25 = 22 15. 因为 X+Y=3,所以 E(Y)=3-E(X)= 23 15. 11.随机抽取某厂的某种产品 200 件,经质检,其中有一等品 126 件、二等品 50 件、三等品 20 件、次品 4 件.已知生产 1 件一、二、三等品获得的利润分别为 6 万元,2 万元,1 万元,而生产 1 件次品亏损 2 万元.设生产 1 件该产品的利润(单位:万元)为 X,将频率视为概率. (1)求 X 的分布列; (2)求生产 1 件该产品的平均利润; (3)经技术革新后,仍有四个等级的产品,但次品率降为 1%,一等品率提高为 70%.若此时要求 生产 1 件该产品的平均利润不小于 4.73 万元,则三等品率最多是多少? 解 (1)X 的所有可能取值为 6,2,1,-2, 则 P(X=6)= 126 200=0.63,P(X=2)= 50 200=0.25, P(X=1)= 20 200=0.1, P(X=-2)= 4 200=0.02. 故 X 的分布列为 X 6 2 1 -2 P 0.63 0.25 0.1 0.02 (2)E(X)=6×0.63+2×0.25+1×0.1+(-2)×0.02=4.34. 故生产 1 件该产品的平均利润为 4.34 万元. (3)设技术革新后的三等品率为 x,则二等品率为 0.29-x,0≤x≤0.29. 故 E(X)=6×0.7+2×(0.29-x)+1×x+(-2)×0.01=4.76-x(0≤x≤0.29). 依题意,E(X)≥4.73,即 4.76-x≥4.73, 解得 x≤0.03.故三等品率最多为 3%