第2课时 二项式系数的性质、杨辉三角、二 项式定理的应用 基础巩固 1.与杨辉三角有类似性质的三角形数垒如图所示，a,b是某行的前两个数，当a=7时，b等于 () 1 22 34 3 4774 51114115 A.20 B.21 C.22 D.23 案☐c 解析根据观察可知，每一行除开始和末尾的数外，中间的数分别是上一行相邻两个数的和 当a=7时，上面一行的第一个数为6，第二个数为16，故b=6+16=22 2若(x3+)”(∈N,)的展开式中第6项系数最大，则该展开式中的常数项为州) A.210 B.252 C.462 D.10 含案☐A 解析因为展开式中只有第6项的系数最大，且其系数等于其二项式系数，所以展开式项数 为11，从而n=10,于是得其常数项为C。=210 3已知（反+）”的展开式中，所有二项式系数之和为32，常数项为80，则a的值为() A.1 B.±1 C.2 D.±2 答案 解析由条件知2”-32，即n=5, 在适项公式1-C6网（保）-C5h学中，令1550得-3因c3a-80,解得a2 4.(多选题)下列关于(a-b)10的说法正确的是() A.展开式中的二项式系数之和为1024 B.展开式中的第6项的二项式系数最大 C.展开式中第5项或第7项的二项式系数最大 D.展开式中第6项的系数最小 答案ABD 解析☐根据二项式系数的性质进行判断，由二项式系数的性质知：二项式系数之和为2”，故A 正确；当n为偶数时，二项式系数最大的项是中间一项，故B正确，C错误；展开式中第6项的系 数是负数，在系数中最小，故D正确 5.C3+C3+C33+..+C影除以9的余数是() A.7 B.0 C.-1 D.-2
第 2 课时 二项式系数的性质、杨辉三角、二 项式定理的应用 基础巩固 1.与杨辉三角有类似性质的三角形数垒如图所示,a,b 是某行的前两个数,当 a=7 时,b 等于 ( ) A.20 B.21 C.22 D.23 答案 C 解析 根据观察可知,每一行除开始和末尾的数外,中间的数分别是上一行相邻两个数的和, 当 a=7 时,上面一行的第一个数为 6,第二个数为 16,故 b=6+16=22. 2.若(𝑥 3 + 1 𝑥 2 ) 𝑛 (n∈N+)的展开式中第 6 项系数最大,则该展开式中的常数项为( ) A.210 B.252 C.462 D.10 答案 A 解析 因为展开式中只有第 6 项的系数最大,且其系数等于其二项式系数,所以展开式项数 为 11,从而 n=10,于是得其常数项为C10 6 =210. 3.已知(√𝑥 + 𝑎 √x 3 ) n 的展开式中,所有二项式系数之和为 32,常数项为 80,则 a 的值为( ) A.1 B.±1 C.2 D.±2 答案 C 解析 由条件知 2 n=32,即 n=5. 在通项公式 Tk+1=C5 𝑘 (√𝑥) 5-k ( 𝑎 √x 3 ) k = 𝐶5 ka k x 15-5k 6 中,令 15-5k=0,得 k=3.因此𝐶5 3a 3=80,解得 a=2. 4.(多选题)下列关于(a-b) 10 的说法正确的是( ) A.展开式中的二项式系数之和为 1 024 B.展开式中的第 6 项的二项式系数最大 C.展开式中第 5 项或第 7 项的二项式系数最大 D.展开式中第 6 项的系数最小 答案 ABD 解析 根据二项式系数的性质进行判断,由二项式系数的性质知:二项式系数之和为 2 n ,故 A 正确;当 n 为偶数时,二项式系数最大的项是中间一项,故 B 正确,C 错误;展开式中第 6 项的系 数是负数,在系数中最小,故 D 正确. 5.C33 1 + C33 2 + C33 3 +…+C33 33除以 9 的余数是( ) A.7 B.0 C.-1 D.-2
答案☐A 解析原式-C3+C3+C33+.+C影-C93 =(1+1)33.1-233-1=811-1-(9-1)1.1 =C91×911+C1×910×(-1)1+..+C9×9×(-1)10+CH×(-1)1-1 =C91×911.C1×910+..+C9×9-2 =9(C81×910.C11×9+..+C9-9+7 因此二项式除以9的余数是7. 6(+调 的展开式中，所有奇数项系数之和为1024，则中间项系数是 客案☐462 解析☐：二项式的展开式中所有的二项式系数和为2”，而所有偶数项的二项式系数和与所有 奇数项的二项式系数和相等，故由题意得2m-1=1024,即n=11, ∴.展开式共12项，中间项为第六项和第七项，其系数为C1=C1=462 7.若x4(x+3)8=Q0+a1(x+2)+a2(x+2)2+.+a12(x+2)12,则10g2(a1+a+.…+a1）= 答案h 解析☐怜x=-l,等式化为28-a0+a+a2+.…+a11+a12 令x=-3,等式化为0=a0-a1+a--a11+a12,两式相减得28=2(a1+a3+.…+a11),得 a1+a3+..+a11=27,因此log2(a1+a3+..+a11)=log227-7. 8.求证(1)32m+2.-8m-9能被64整除(n∈N+): (2)3">(n+2)2m-(n∈N+,n>2). 证明1)32m+2-8n-9-32.32m-8n-9=99-8n-9=9(8+1)-8n-9-9(C98"+C18m-1+.…+C7-18+C71) 8n-9=9(8+C18m-1+.…+C-282)+9-8n+9-8n-9=9×82(8-2+C18-3+..+C7-2)+64n=64[98-2+C18” 3+.+C-2)+n川， 显然中括号内是正整数 ∴原式能被64整除 (2)因为n∈N+,且n>2,所以3”=(2+1)”展开后至少有4项. (2+1)-2”+C12n-1+..+C-12+1≥2"+m2-1+..+2n+1>2"+n2-1=-(n+2)2-,故3”>(n+2)2m-(n ∈N+,n>2). 9.在(2x-3y)9的展开式中，求 (1)二项式系数之和； (2)各项系数之和： (3)所有奇数项系数之和： (4)各项系数绝对值的和 解设(2x-3y9=ax9+a1xy+a2xy2+.+a9y9 (1)二项式系数之和为Cg+C好+C好+..+C8=29 (2)令x=1,y=1,得各项系数之和为(2-3)9=a0+a1+a2+..+a9=-1. (3)令x=1,y=-1,得a0-a1+a2-a3+..-a9=59,又a0+a1+a2+.+a9=-1, 两式相加得a+a+a4+a6+as-为 23 故所有奇数项系数之和为 7 (4)展开式的通项为Tk+1=C52x)9气-3y)=(-1)293Cx9 ∴.a1<0,a3<0,a5<0,a7<0,a9<0 .lao+a+...+la9=ao-a1+a2-...-a9, 令x=1,y=-1,得1aol+la1+la2l+.…+la9l=a0-a1+a2-.-a9=59
答案 A 解析 原式=C33 0 + C33 1 + C33 2 +…+C33 33 − C33 0 =(1+1)33 -1=2 33 -1=8 11 -1=(9-1)11 -1 =C11 0 ×911+C11 1 ×910×(-1)1+…+C11 10×9×(-1)10+C11 11×(-1)11 -1 =C11 0 ×911 -C11 1 ×910+…+C11 10×9-2 =9(C11 0 ×910 -C11 1 ×99+…+C11 10)-9+7 因此二项式除以 9 的余数是 7. 6.在(√ 1 𝑥 + √ 1 x 3 3 ) n 的展开式中,所有奇数项系数之和为 1 024,则中间项系数是 . 答案 462 解析 ∵二项式的展开式中所有的二项式系数和为 2 n ,而所有偶数项的二项式系数和与所有 奇数项的二项式系数和相等,故由题意得 2 n-1=1 024,即 n=11, ∴展开式共 12 项,中间项为第六项和第七项,其系数为C11 5 = C11 6 =462. 7.若 x 4 (x+3)8=a0+a1(x+2)+a2(x+2)2+…+a12(x+2)12 ,则 log2(a1+a3+…+a11)= . 答案 7 解析 令 x=-1,等式化为 2 8=a0+a1+a2+…+a11+a12. 令 x=-3,等式化为 0=a0-a1+a2-…-a11+a12,两式相减得 2 8=2(a1+a3+…+a11),得 a1+a3+…+a11=2 7 ,因此 log2(a1+a3+…+a11)=log22 7=7. 8.求证:(1)32n+2 -8n-9 能被 64 整除(n∈N+); (2)3n>(n+2)·2n-1 (n∈N+,n>2). 证明 (1)∵3 2n+2 -8n-9=3 2·32n -8n-9=9·9n -8n-9=9(8+1)n -8n-9=9(C𝑛 08 n+C𝑛 18 n-1+…+C𝑛 𝑛-18+C𝑛 𝑛1)- 8n-9=9(8n+C𝑛 18 n-1+…+C𝑛 𝑛-28 2 )+9·8n+9-8n-9=9×82 (8n-2+C𝑛 18 n-3+…+C𝑛 𝑛-2 )+64n=64[9(8n-2+C𝑛 18 n- 3+…+C𝑛 𝑛-2 )+n], 显然中括号内是正整数, ∴原式能被 64 整除. (2)因为 n∈N+,且 n>2,所以 3 n=(2+1)n 展开后至少有 4 项. (2+1)n=2 n+C𝑛 12 n-1+…+C𝑛 𝑛-12+1≥2n+n·2n-1+…+2n+1>2 n+n·2n-1=(n+2)·2n-1 ,故 3 n>(n+2)·2n-1 (n ∈N+,n>2). 9.在(2x-3y) 9 的展开式中,求: (1)二项式系数之和; (2)各项系数之和; (3)所有奇数项系数之和; (4)各项系数绝对值的和. 解 设(2x-3y) 9=a0x 9+a1x 8 y+a2x 7 y 2+…+a9y 9 . (1)二项式系数之和为C9 0 + C9 1 + C9 2+…+C9 9=2 9 . (2)令 x=1,y=1,得各项系数之和为(2-3)9=a0+a1+a2+…+a9=-1. (3)令 x=1,y=-1,得 a0-a1+a2-a3+…-a9=5 9 ,又 a0+a1+a2+…+a9=-1, 两式相加得 a0+a2+a4+a6+a8= 5 9 -1 2 , 故所有奇数项系数之和为5 9 -1 2 . (4)∵展开式的通项为 Tk+1=C9 𝑘 (2x) 9-k (-3y) k=(-1)k 2 9-k 3 k C9 𝑘 x 9-k y k , ∴a1<0,a3<0,a5<0,a7<0,a9<0. ∴|a0|+|a1|+…+|a9|=a0-a1+a2-…-a9, 令 x=1,y=-1,得|a0|+|a1|+|a2|+…+|a9|=a0-a1+a2-…-a9=5 9
拓展提高 1(3x) 的展开式中各项系数之和为128，则展开式中的系数是( A.7 B.-7 C.21 D.-21 答案☐ 爵析□令x1,则3-1-128-2解得n-7,故(3x京》 展开式的通项为Tk+1=C5(3x)7 5xe1时=c3x学1时 令7警-3，得k=6,故的系数为C43=21 2若a为正实数且(axr}0 的展开式中各项系数的和为1，则该展开式第2020项为() A B.-2丽 c品 D.4040 x2018 答案D 解析由条件知，(a-1)2020-1,则a-1=±1，因为a为正实数，所以a=2 所以展开式的第2020项为2020-C经8器(2)( 2019 =-2C2020x2018-.4040-x2018 3.已知(3-x)”=a0+a1x+a2x2+.+amx”,若其第2项的二项式系数与第4项的二项式系数相等，则 a0-a1+a2+.+(-l)”an=(） A.32 B.64 C.128 D.256 答案☐p 解析☐由题意可得C=C品n=4. 令x=-1,则(3-x)”=(3+1)1=a0-a1+a2-a3+a4=256,故a0a+a2+..+(-1)”an=256 4若(3-x(∈N)中所有项的系数之和为a,所有项的系数的绝对值之和为b,则哈+的最小值 为() A.2 B明 c唱 答案☐B 令1，得a-2,令x=1,得h=4,所以始+号-2+六，令1-2则2所以2+ g122号 5.若（√Z-x)10=a0+a1x+a2x2+..+a1ox10,则(a0+a2+..+a1o)2-(a1+a3+..+a9)}2=」 答案☐1 解析令x=1,得a0+a1+a+..+a1o=(VZ-1)10: 令x=-1,得a0-a1+a2-a3+…+a10=(√2+1)10 故(a0+a2+..+a1o)P-(a1+a3+..+a9)2 =(a0+a1+a2+..+a10)(a0-a1+a2-a3+..+a10） =(V2-1)10(Z+1)10 =1. 6.己知(1+3x)”的展开式中含有x2项的系数是54，则n= 答案☐4 解析C(3x}2=54r,即1-6，解得n=4 2
拓展提高 1.若(3𝑥- 1 √x 2 3 ) n 的展开式中各项系数之和为 128,则展开式中1 x 3的系数是( ) A.7 B.-7 C.21 D.-21 答案 C 解析 令 x=1,则(3-1)n=128=2 n ,解得 n=7,故(3𝑥- 1 √x 2 3 ) 7 展开式的通项为 Tk+1=𝐶7 k·(3x) 7- k·(x - 2 3) k·(-1)k=𝐶7 k3 7-k·x 7- 5k 3 ·(-1)k . 令 7- 5k 3 =-3,得 k=6,故 1 x 3的系数为𝐶7 6·3=21. 2.若 a 为正实数,且(𝑎𝑥- 1 𝑥 ) 2 020 的展开式中各项系数的和为 1,则该展开式第 2 020 项为( ) A. 1 𝑥 2 018 B.- 1 𝑥 2 018 C.4 040 𝑥 2 018 D.- 4 040 𝑥 2 018 答案 D 解析 由条件知,(a-1)2 020=1,则 a-1=±1,因为 a 为正实数,所以 a=2. 所以展开式的第 2 020 项为 T2 020=C2 020 2 019·(2x)·(- 1 𝑥 ) 2 019 =-2C2 020 1 ·x -2 018=-4 040·x -2 018 . 3.已知(3-x) n=a0+a1x+a2x 2+…+anx n ,若其第 2 项的二项式系数与第 4 项的二项式系数相等,则 a0-a1+a2+…+(-1)n an=( ) A.32 B.64 C.128 D.256 答案 D 解析 由题意可得C𝑛 1 = C𝑛 3 ,n=4. 令 x=-1,则(3-x) n=(3+1)4=a0-a1+a2-a3+a4=256,故 a0-a1+a2+…+(-1)n an=256. 4.若(3-x) n (n∈N+)中所有项的系数之和为 a,所有项的系数的绝对值之和为 b,则 𝑏 𝑎 + 𝑎 𝑏的最小值 为( ) A.2 B.5 2 C.13 6 D.9 2 答案 B 令 x=1,得 a=2 n ,令 x=-1,得 b=4 n ,所以𝑏 𝑎 + 𝑎 𝑏 =2 n+ 1 2 𝑛,令 t=2 n ,则 t≥2,所以𝑏 𝑎 + 𝑎 𝑏 =t+1 𝑡 ≥2+ 1 2 = 5 2 . 5.若(√2-x) 10=a0+a1x+a2x 2+…+a10x 10 ,则(a0+a2+…+a10) 2 -(a1+a3+…+a9) 2= . 答案 1 解析 令 x=1,得 a0+a1+a2+…+a10=(√2-1)10; 令 x=-1,得 a0-a1+a2-a3+…+a10=(√2+1)10 , 故(a0+a2+…+a10) 2 -(a1+a3+…+a9) 2 =(a0+a1+a2+…+a10)(a0-a1+a2-a3+…+a10) =(√2-1)10(√2+1)10 =1. 6.已知(1+3x) n 的展开式中含有 x 2 项的系数是 54,则 n= . 答案 4 解析 C𝑛 2 (3x) 2=54x 2 ,即 𝑛(𝑛-1) 2 =6,解得 n=4
7.已知(1+mx)7=a0+a1x+a2x2+..+ax2中，且a3=-35 (1)求m的值， (2)求a1+a3+a5+a的值 解☐1)因为=Cm,i-0,1,2,3,7, 依题意，得C号m3-35,所以m3=-1,得m=-1. (2)1-x)7=a0+a1x+a2x2++ax, 令x=1,得a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7=(1-1)7-0; ① 令x=-1,得a0-a1+a2-a6+a4-a5+a6-m=(1+1)7=27 ② 由①-②，得2(a1+a3+a5+a)=-27, 即a1+a3+a5+a7=-26=-64. 挑战创新 已知(x+)”的展开式中，所有二项式系数之和为256 (1)求n的值： (2)若展开式中常数项为2求m的值， (3)若(x+m)”展开式中系数最大项只有第6项和第7项，求m的取值 解☐1)二项式系数之和为2”-256，可得n=8 (2)设常数项为第k+1项， 则展开式的通项为1-C()广=C哈 故8-2k=0,即k=4 则Cr-吾解得m=-号 (3)易知m>0,设第k+1项系数最大. 图体化可品品 m+1 因为只有第6项和第7项系数最大， <器s5即月m≤2 所以 6≤器<7,2sm<号 所以m=2
7.已知(1+mx ) 7=a 0+a 1x+a 2 x 2 + …+a 7 x 7 中 , 且 a 3 = -35. (1) 求 m 的值 ; (2) 求 a 1+a 3+a 5+a 7 的值. 解 (1)因为 ai=C7𝑖mi,i=0,1,2,3, …,7, 依题意 , 得 C 73 m 3 = -35,所以 m 3 = -1, 得 m= - 1. (2)(1 - x ) 7=a 0+a 1x+a 2 x 2 + …+a 7 x 7 , 令 x=1, 得 a 0+a 1+a 2+a 3+a 4+a 5+a 6+a 7 =(1 -1) 7 =0; ① 令 x= -1, 得 a 0 - a 1+a 2 - a3+a 4 - a 5+a 6 - a7 =(1 +1) 7 = 2 7. ② 由 ① - ② , 得 2( a 1+a 3+a 5+a 7 ) = - 2 7 , 即 a 1+a 3+a 5+a 7 = - 2 6 = -64. 挑战创新 已知 ( 𝑥 + 𝑚𝑥 ) 𝑛 的展开式中 ,所有二项式系数之和为 256. (1) 求 n 的值 ; (2)若展开式中常数项为358 , 求 m 的值 ; (3) 若 (x+m ) n 展开式中系数最大项只有第 6 项和第 7 项 , 求 m 的取值. 解 (1)二项式系数之和为 2n=256,可得 n=8. (2)设常数项为第 k+ 1 项 , 则展开式的通项为 Tk+ 1 = C 8𝑘x 8 - k ( 𝑚𝑥 ) 𝑘 = C 8𝑘 m kx 8 - 2 k , 故 8 - 2k=0, 即 k=4, 则 C 84 m 4 = 358 ,解得 m= ± 12. (3)易知 m>0,设第 k+ 1 项系数最大. 则{C8𝑘𝑚𝑘 ≥ C8𝑘-1𝑚𝑘-1, C8𝑘𝑚𝑘 ≥ C8𝑘+1𝑚𝑘+1, 化简可得 8 𝑚 - 1 𝑚 + 1 ≤ k≤ 9 𝑚 𝑚 + 1. 因为只有第 6 项和第 7 项系数最大 , 所以 { 4 < 8 𝑚 - 1 𝑚 + 1 ≤ 5 , 6 ≤ 9 𝑚 𝑚 + 1 < 7 , 即 { 54 < 𝑚 ≤ 2 , 2 ≤ 𝑚 < 72 . 所以 m= 2