志鸿优化系列丛书 志鸿优化网永远提供更新的！ 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org 第六章测评 (时间：120分钟满分150分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的 1.曲线y=x3-2x+4在点(1,3)处的切线的倾斜角为() A30° B.45° C.60° D.120° 答案B 解析：∵y-3x2-2 ..所求切线的斜率为3×12.2=1 ∴.倾斜角为45° 2.己知函数x)=x3+ar2+3x-9在x=-3处取得极值，则a=() A.2 B.3 C.4 D.5 答案D 解析：fx)=3x2+2ar+3. 由已知得f八-3)=0，即3×(-3)2+2a×(-3)+3=0,解得a=5. 3函数y=lnx-x在区间(0，e上的最大值为() A.e B.1 C.-1 D.-e 答案：C 解析：函数y=lnx-x的定义域为(0，+oo). 又y1令-0，得x1, 故当x∈(0,1)时，y>0,函数单调递增； 当x∈(1，e时y'<0,函数单调递减 故当x=1时，函数取得最大值-1.故选C 4.已知函数x)=x2+3x-2lnx,则函数x)的单调递减区间为() A(2) B(G,+0) C.(-0,-2) D(,) 答案D 解析：函数fx)=x2+3x-2lnx的定义域为(0，+o), 1
1 第六章测评 (时间:120 分钟 满分:150 分) 一、选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的. 1.曲线 y=x3 -2x+4 在点(1,3)处的切线的倾斜角为( ) A.30° B.45° C.60° D.120° 答案:B 解析:∵y'=3x 2 -2, ∴所求切线的斜率为 3×1 2 -2=1, ∴倾斜角为 45°. 2.已知函数 f(x)=x3+ax2+3x-9 在 x=-3 处取得极值,则 a=( ) A.2 B.3 C.4 D.5 答案:D 解析:f'(x)=3x 2+2ax+3. 由已知得 f'(-3)=0,即 3×(-3)2+2a×(-3)+3=0,解得 a=5. 3.函数 y=ln x-x 在区间(0,e]上的最大值为( ) A.e B.1 C.-1 D.-e 答案:C 解析:函数 y=ln x-x 的定义域为(0,+∞). 又 y'=1 𝑥 -1= 1-𝑥 𝑥 ,令 y'=0,得 x=1, 故当 x∈(0,1)时,y'>0,函数单调递增; 当 x∈(1,e]时,y'<0,函数单调递减. 故当 x=1 时,函数取得最大值-1.故选 C. 4.已知函数 f(x)=x2+3x-2ln x,则函数 f(x)的单调递减区间为( ) A.(-2, 1 2 ) B.( 1 2 , + ∞) C.(-∞,-2) D.(0, 1 2 ) 答案:D 解析:函数 f(x)=x2+3x-2ln x 的定义域为(0,+∞)
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的： 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org fx)-2x+3.2令2x+3-20,所以00,函数x)单调递增，故排除C.故选D. 6已知函数)r+知r2-2ax+1的图象经过四个象限，则实数a的取值范围是( A(器引 B(号) c() D.(o,高)u(9,+) 答案：D 解析：fx)=ar2+ax-2a=a(x+2)x-l) 要使函数x)的图象经过四个象限，则-2)0，即（侣a+1)(名a+10,解得a号故选 D 7.已知函数x)=x3-px2-gr的图象与x轴相切于点(1,0)，则x)的极小值为) A.0 B c号 D.1 答案：A 2
2 f'(x)=2x+3- 2 𝑥 ,令 2x+3- 2 𝑥 0,所以 00,函数 f(x)单调递增,故排除 C.故选 D. 6.已知函数 f(x)= 1 3 ax3+ 1 2 ax2 -2ax+1 的图象经过四个象限,则实数 a 的取值范围是( ) A.(- 3 10 , 6 7 ) B.(- 8 5 ,- 3 16) C.(- 8 3 ,- 1 16) D.(-∞,- 3 10)∪ ( 6 7 , + ∞) 答案:D 解析:f'(x)=ax2+ax-2a=a(x+2)(x-1). 要使函数 f(x)的图象经过四个象限,则 f(-2)f(1) 6 7 .故选 D. 7.已知函数 f(x)=x3 -px2 -qx 的图象与 x 轴相切于点(1,0),则 f(x)的极小值为( ) A.0 B.- 4 27 C.- 5 27 D.1 答案:A
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的！ 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org 解析fx)=3x2-2px-q,由题意知f1)=3-2p-q=0. 又1)=1-p-q=0,联立方程组，解得p=2,9=-1. 所以fx)=x3-2xr2+xfx)=3x2-4x+1. 由x)-3-4x+1-0,解得x=l或x孕可知x=l是函数的极小值点 所以儿x)版小值=1)=0. 8.己知在R上的可导函数x)的导函数为fx),满足fx)>x,且x+5)为偶函数10)=1，则不等式 x)>c的解集为() A.(0,+o) B.(1,+oo) C.(5,+o) D.(10,+o) 答案：A 解析：令gf码，则gm)四 ax ex fx)>x),…g'(x)>0. ∴·gx)在R上单调递增. ,函数x+5)是偶函数， ∴.函数x+5)的图象关于直线x=0对称， .函数x)的图象关于直线x=5对称 0)=10)=1. .Ax)>e,..g(x)>1. 又g0)9-1, ∴.gx)>g0). 又g(x)在R上单调递增，x>0 .不等式x)>c的解集为(0，+o).故选A 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选 对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分 9.给出下列说法，其中正确的是() A若h2,则y号 B若是则当x3时号 C.若y=2,则y'=21n2 3
3 解析:f'(x)=3x 2 -2px-q,由题意知 f'(1)=3-2p-q=0. 又 f(1)=1-p-q=0,联立方程组,解得 p=2,q=-1. 所以 f(x)=x3 -2x 2+x,f'(x)=3x 2 -4x+1. 由 f'(x)=3x 2 -4x+1=0,解得 x=1 或 x= 1 3 ,可知 x=1 是函数的极小值点. 所以 f(x)极小值=f(1)=0. 8.已知在 R 上的可导函数 f(x)的导函数为 f'(x),满足 f'(x)>f(x),且 f(x+5)为偶函数,f(10)=1,则不等式 f(x)>e x的解集为( ) A.(0,+∞) B.(1,+∞) C.(5,+∞) D.(10,+∞) 答案:A 解析:令 g(x)= 𝑓(𝑥) e 𝑥 ,则 g'(x)= 𝑓'(𝑥)-𝑓(𝑥) e 𝑥 . ∵f'(x)>f(x),∴g'(x)>0. ∴g(x)在 R 上单调递增. ∵函数 f(x+5)是偶函数, ∴函数 f(x+5)的图象关于直线 x=0 对称, ∴函数 f(x)的图象关于直线 x=5 对称, ∴f(0)=f(10)=1. ∵f(x)>e x ,∴g(x)>1. 又 g(0)= 𝑓(0) e 0 =1, ∴g(x)>g(0). 又 g(x)在 R 上单调递增,∴x>0. ∴不等式 f(x)>e x的解集为(0,+∞).故选 A. 二、选择题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选 对的得 5 分,部分选对的得 2 分,有选错的得 0 分. 9.给出下列说法,其中正确的是( ) A.若 y=ln 2,则 y'=1 2 B.若 y= 1 𝑥 2 ,则当 x=3 时,y'=- 2 27 C.若 y=2 x ,则 y'=2 x ln 2
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网永远提供更新的！ 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org D若)oex则广品 答案：BCD 10.已知曲线Cy=√元，则下列说法正确的是() A.曲线C在点P(1,1)处的切线方程为x-2y+1=0 B.过点M(0,1),且与曲线C相切的切线方程为x4y+4=0 C.与直线y=2x-4平行，且与曲线C相切的切线方程为16x-8y+1=0 D.与直线y=2x-4垂直，且与曲线C相切的切线方程为16x-8y+1=0 答案：ABC 解析：因为)=V匠，所以y2及所以当x=l时y是 所以曲线C在点P(1,1)处的切线方程为x-2y+10.故A正确。 设切点P1(1,Vx1),则切线斜率为， 2 切线方程为√x=2后 因为切线过点M(0,1), 所以1国=房 解得=4 所以切线方程为2x-4), 即x-4y+4=0. 故B正确， 设切点P2(22),因为切线与直线y=2x-4平行， 所以病子 所以品必寻 所以所求切线方程为-2(x) 即16x-8y+1=0. 故C正确，D错误. 11.已知函数g)+2x+1,则下列说法正确的是(）
4 D.若 y=log2x,则 y'= 1 𝑥ln2 答案:BCD 10.已知曲线 C:y=√𝑥,则下列说法正确的是( ) A.曲线 C 在点 P(1,1)处的切线方程为 x-2y+1=0 B.过点 M(0,1),且与曲线 C 相切的切线方程为 x-4y+4=0 C.与直线 y=2x-4 平行,且与曲线 C 相切的切线方程为 16x-8y+1=0 D.与直线 y=2x-4 垂直,且与曲线 C 相切的切线方程为 16x-8y+1=0 答案:ABC 解析:因为 y=√𝑥,所以 y'= 1 2√𝑥 ,所以当 x=1 时,y'=1 2 , 所以曲线 C 在点 P(1,1)处的切线方程为 x-2y+1=0.故 A 正确. 设切点 P1(x1,√𝑥1 ),则切线斜率为 1 2√𝑥1 , 切线方程为 y-√𝑥1 = 1 2√𝑥1 (x-x1). 因为切线过点 M(0,1), 所以 1-√𝑥1 = 1 2√𝑥1 (-x1), 解得 x1=4. 所以切线方程为 y-2= 1 4 (x-4), 即 x-4y+4=0. 故 B 正确. 设切点 P2(x2,y2),因为切线与直线 y=2x-4 平行, 所以 1 2√𝑥2 =2, 所以 x2= 1 16,y2= 1 4 , 所以所求切线方程为 y- 1 4 =2(𝑥- 1 16), 即 16x-8y+1=0. 故 C 正确,D 错误. 11.已知函数 g(x)= 1 3 x 3 - 𝑎 2 x 2+2x+1,则下列说法正确的是( )
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网永远提供更新的！ 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org A.若g(x)在区间(-2，-1)内存在单调递减区间，则实数a的取值范围为(-0，-2V2) B.若g(x)在区间(-2，-1)内单调递减，则实数a的取值范围为(-0，-3] C.若g(x)的单调递减区间为(-2，-1)，则a的值为-3 D.若gx)在区间(-2，-1)内不单调，则a的取值范围为(-3，-2√2) 答案：ABCD 解析：g(x)=x2-+2 对于A,依题意，存在x∈(-2，-1)，使不等式g《x)=x2-ar+2<0成立， 故当x∈(2，-1)时，a<(x+)nx二2Z 当且仅当x子即x=V2时，等号成立 故a的取值范围为(-0，-2√2)，故A正确. 对于B,,gx)在区间(-2，-1)内单调递减， …g(x)=x2-ax+2≤0在区间(-2，-1)内恒成立， ÷8即任+24280得a 故实数a的取值范围为(-0，-3].故B正确 对于C,,gx)的单调递减区间为(-2，-1)， .x1=-2,2=-1是g(x)=0的两个根 ∴.(-2)+(-1)=a,即a=-3.故C正确. 对于D,若gx)在区间(-2，-1)内单调递增， 则a≥x+2在区间(-2，-1)内恒成立 “=x+的值域为-3，-2V2), .a≥-2V2 又当a≤-3时，g(x)在区间(-2，-1)内单调递减， ∴.当函数g(x)在区间(-2，-1)内单调时，a的取值范围为(0，-3]U[-2V2,+o0). 故当gx)在区间(-2，-1)内不单调时，实数a的取值范围为(-3，-2V2)故D正确. 12.对于函数)一受，下列说法正确的是( Ax)在x=VE处取得极大值号 Bx)有两个不同的零点
5 A.若 g(x)在区间(-2,-1)内存在单调递减区间,则实数 a 的取值范围为(-∞,-2√2) B.若 g(x)在区间(-2,-1)内单调递减,则实数 a 的取值范围为(-∞,-3] C.若 g(x)的单调递减区间为(-2,-1),则 a 的值为-3 D.若 g(x)在区间(-2,-1)内不单调,则 a 的取值范围为(-3,-2√2) 答案:ABCD 解析:g'(x)=x2 -ax+2. 对于 A,依题意,存在 x∈(-2,-1),使不等式 g'(x)=x2 -ax+2<0 成立, 故当 x∈(-2,-1)时,a<(𝑥 + 2 𝑥 ) max =-2√2, 当且仅当 x= 2 𝑥 ,即 x=-√2时,等号成立. 故 a 的取值范围为(-∞,-2√2).故 A正确. 对于 B,∵g(x)在区间(-2,-1)内单调递减, ∴g'(x)=x2 -ax+2≤0 在区间(-2,-1)内恒成立, ∴{ 𝑔'(-2) ≤ 0, 𝑔'(-1) ≤ 0, 即{ 4 + 2𝑎 + 2 ≤ 0, 1 + 𝑎 + 2 ≤ 0, 解得 a≤-3. 故实数 a 的取值范围为(-∞,-3].故 B 正确. 对于 C,∵g(x)的单调递减区间为(-2,-1), ∴x1=-2,x2=-1 是 g'(x)=0 的两个根, ∴(-2)+(-1)=a,即 a=-3.故 C 正确. 对于 D,若 g(x)在区间(-2,-1)内单调递增, 则 a≥x+2 𝑥 在区间(-2,-1)内恒成立. ∵y=x+2 𝑥的值域为(-3,-2√2), ∴a≥-2√2. 又当 a≤-3 时,g(x)在区间(-2,-1)内单调递减, ∴当函数 g(x)在区间(-2,-1)内单调时,a 的取值范围为(-∞,-3]∪[-2√2,+∞). 故当 g(x)在区间(-2,-1)内不单调时,实数 a 的取值范围为(-3,-2√2).故 D 正确. 12.对于函数 f(x)= ln𝑥 𝑥 2 ,下列说法正确的是( ) A.f(x)在 x=√e处取得极大值 1 2e B.f(x)有两个不同的零点
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网永远提供更新的！ 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org C3)>v元)>2) D.若)0,x)在区间(0，VE)内单调递增；当x∈(VE,+o)时，fx)而)>2).故C正确 设画数g))+克=去x∈(0，+o,则g)2兰令g)0得x是 故当x∈(0，)时，g《x)>0,g)在区间(0，)内单调递增；当x∈（后+0）时gx)0，得0<x<1, 6
6 C.f(√3)>f(√π)>f(2) D.若 f(x)e 2 答案:ACD 解析:函数 f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)= 1 𝑥 ·𝑥 2 -ln𝑥·2𝑥 (𝑥 2) 2 = 1-2ln𝑥 𝑥 3 ,令 f'(x)=0,得 x=√e. 故当 x∈(0,√e)时,f'(x)>0,f(x)在区间(0,√e)内单调递增;当 x∈(√e,+∞)时,f'(x)f(√π)>f(2).故 C 正确. 设函数 g(x)=f(x)+ 1 𝑥 2 = ln𝑥+1 𝑥 2 ,x∈(0,+∞),则 g'(x)= -2ln𝑥-1 𝑥 3 ,令 g'(x)=0,得 x= 1 √e . 故当 x∈(0, 1 √e )时,g'(x)>0,g(x)在区间(0, 1 √e )内单调递增;当 x∈( 1 √e , + ∞)时,g'(x)e 2 .故 D 正确. 三、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.若 f(x)=x3 -f'(1)x 2+x+5,则 f'(1)= . 答案: 4 3 解析:f'(x)=3x 2 -2f'(1)x+1,令 x=1,得 f'(1)= 4 3 . 14.已知在定义域上的可导函数 f(x)满足 f(ex )=x-e x ,则函数 f(x)的解析式为 f(x)= ,它的单调 递增区间为 .(本题第一空 2 分,第二空 3 分) 答案:ln x-x (0,1) 解析:设 t=e x ,则 x=ln t, 故 f(t)=ln t-t, 即 f(x)=ln x-x,函数的定义域为(0,+∞). 由 f'(x)= 1 𝑥 -1>0,得 0<x<1
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网永远提供更新的！ 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org 故函数的单调递增区间为(0,1). 15.已知函数x)满足x)=π-x,且当x∈（受)时w)=x+sinx,设a=1),b=2),c=3),则ab,c的大 小关系是 答案：c1>-3>0， 所以π-2)>1)>π-3)，即c0) (1)求x)的单调区间： (2)若e-1≤x)≤e2在区间1，e上恒成立，求a的值， 解(1)因为fx)=2lnx-x2+ar,x>0, 7
7 故函数的单调递增区间为(0,1). 15.已知函数 f(x)满足 f(x)=f(π-x),且当 x∈(- π 2 , π 2 )时,f(x)=x+sin x,设 a=f(1),b=f(2),c=f(3),则 a,b,c 的大 小关系是 . 答案:cπ-2>1>π-3>0, 所以 f(π-2)>f(1)>f(π-3),即 c0,得-10). (1)求 f(x)的单调区间; (2)若 e-1≤f(x)≤e 2 在区间[1,e]上恒成立,求 a 的值. 解:(1)因为 f(x)=a2 ln x-x 2+ax,x>0
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网永远提供更新的！ 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org 所以fx)-2r+a=aM2x+@ 又a>0,所以当00,当x>a时fx)0,x-20,当-1<x<1时fx)<0, 所以x=1是fx)的极大值，点 (2)依题意，fx)≥0在区间[-3，-2]上恒成立， 即2ax品≥0在区间-3，-2]上恒成立 即a≤在区间-3，-2]上恒成立 因为-x2+x∈[-12，-6] 所以4e引所以a≤君 故a的取值范国为(m引 20.(12分)某公司为获得更大的收益，每年要投入一定的资金用于该公司产品的广告促销.经调查，每年 投入广告费（单位：百万元），可增加销售额约为-P+5(单位：百万元)(0≤1≤3) (1)若该公司将当年的广告费控制在300万元之内，则应投入多少广告费，才能使该公司获得的收益最 大？ 8
8 所以 f'(x)= 𝑎 2 𝑥 -2x+a=- (𝑥-𝑎)(2𝑥+𝑎) 𝑥 . 又 a>0,所以当 00,当 x>a 时,f'(x)0,x-20,当-1<x<1 时,f'(x)<0, 所以 x=-1 是 f(x)的极大值点. (2)依题意,f'(x)≥0 在区间[-3,-2]上恒成立, 即 2ax- 2 1-𝑥≥0 在区间[-3,-2]上恒成立, 即 a≤ 1 -𝑥 2+𝑥在区间[-3,-2]上恒成立. 因为-x 2+x∈[-12,-6], 所以 1 -𝑥 2+𝑥 ∈ [- 1 6 ,- 1 12 ],所以 a≤- 1 6 . 故 a 的取值范围为(-∞,- 1 6 ]. 20.(12 分)某公司为获得更大的收益,每年要投入一定的资金用于该公司产品的广告促销.经调查,每年 投入广告费 t(单位:百万元),可增加销售额约为-t 2+5t(单位:百万元)(0≤t≤3). (1)若该公司将当年的广告费控制在 300 万元之内,则应投入多少广告费,才能使该公司获得的收益最 大?
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的！ 丛书主编任志河。 http://www.zhyh.org (2)现该公司准备共投入300万元，分别用于广告促销和技术改造经预测，每投入技术改造费（单位： 百万元)，可增加销售额为+x2+3x州单位：百万元，请设计一个资金分配方案，使该公司获得的收益最 大（注：收益-销售额投入资金） 解：(1)设投入（单位：百万元）的广告费后增加的收益为t)(单位：百万元)，则)=(-P+5)-1=-2+41=-(t 2)2+4(0≤1≤3)，故当1=2时，)取得最大值4，即投入200万元的广告费时，该公司获得的收益最大. (2)设用于技术改造的资金为x(单位：百万元)，则用于广告促销的资金为(3-x)(单位：百万元)，获得收益 为8x单位：百万元，则gx)=（+2+3+[-(3-x+5(3-x-3-+4x+30≤x≤3)， 所以g《x)=-x2+4. 令g(x)=0,解得x=-2(舍去)或x=2 又当0≤x0 当20e)士-=装 .当00 当x>2时fx)≥0)， 8到=2+是=24 x2 9
9 (2)现该公司准备共投入 300 万元,分别用于广告促销和技术改造.经预测,每投入技术改造费 x(单位: 百万元),可增加销售额为- 1 3 x 3+x2+3x(单位:百万元).请设计一个资金分配方案,使该公司获得的收益最 大.(注:收益=销售额-投入资金) 解:(1)设投入 t(单位:百万元)的广告费后增加的收益为 f(t)(单位:百万元),则 f(t)=(-t 2+5t)-t=-t 2+4t=-(t- 2)2+4(0≤t≤3),故当 t=2 时,f(t)取得最大值 4,即投入 200 万元的广告费时,该公司获得的收益最大. (2)设用于技术改造的资金为 x(单位:百万元),则用于广告促销的资金为(3-x)(单位:百万元),获得收益 为 g(x)(单位:百万元),则 g(x)= - 1 3 x 3+x2+3x +[-(3-x) 2+5(3-x)]-3=- 1 3 x 3+4x+3(0≤x≤3), 所以 g'(x)=-x 2+4. 令 g'(x)=0,解得 x=-2(舍去)或 x=2. 又当 0≤x0; 当 20),f'(x)= 1 𝑥 − 1 2 = 2-𝑥 2𝑥 . ∴当 00; 当 x>2 时,f'(x)0), ∴g'(x)=2- 1 𝑥 + 2 𝑥 2 = 2𝑥 2 -𝑥+2 𝑥 2
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的！ 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org 又2r-x+2-2(c}+日0， ∴.g(x)>0, ∴.函数gx)在区间(0,1]上单调递增。 ·gx)ma=g(1)=ln2-1. 由题意，可知g(x)max≥hx)max. ,h(x)在区间[1,2]上的最大值为h(2)=2+m, ∴.ln2-1≥2+m,∴.m≤ln2-3 ∴.实数m的取值范围为(-o,ln2-3] 22.(12分)已知函数x)=(x-2)e+a(x-1)2有两个零点. (1)求a的取值范围； (2)设x1,2是几x)的两个零点，证明x1+x20,则当x∈(-o,1)时x)0,故x)在区间(o,1)内单调递减，在区间(1，+o)内单调递增 又f1)=-e2)=a, 取b满足b0, 故几x)存在两个零点」 ③若a0,x)在区间(1，+o)内单调递增. 又当x≤1时x)1, 故当x∈(1，ln(-2a)时f(x水0； 当x∈(ln(-2a),+o)或x∈(-o,1)时fx)>0. 因此fx)在区间(1，ln(-2a)内单调递减，在区间(ln(-2a),+o)和(-o,1)内单调递增. 又当x≤1时x)<0,故几)不存在两个零点 综上，a的取值范围为(0，+0)， (2)证明：不妨设x1<x2,由(1)知，x1∈(-0,1)2∈(1，+o),2-x2∈(-0,1). 因为fx)在区间(-0,1)内单调递减， 10
10 又 2x 2 -x+2=2(𝑥- 1 4 ) 2 + 15 8 >0, ∴g'(x)>0, ∴函数 g(x)在区间(0,1]上单调递增. ∴g(x)max=g(1)=ln 2-1. 由题意,可知 g(x)max≥h(x)max. ∵h(x)在区间[1,2]上的最大值为 h(2)=2+m, ∴ln 2-1≥2+m,∴m≤ln 2-3. ∴实数 m 的取值范围为(-∞,ln 2-3]. 22.(12 分)已知函数 f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2 有两个零点. (1)求 a 的取值范围; (2)设 x1,x2 是 f(x)的两个零点,证明:x1+x20,则当 x∈(-∞,1)时,f'(x)0,故 f(x)在区间(-∞,1)内单调递减,在区间(1,+∞)内单调递增. 又 f(1)=-e,f(2)=a, 取 b 满足 b 𝑎 2 (b-2)+a(b-1)2=a(𝑏 2 - 3 2 𝑏)>0, 故 f(x)存在两个零点. ③若 a0,f(x)在区间(1,+∞)内单调递增. 又当 x≤1 时,f(x)1, 故当 x∈(1,ln(-2a))时,f'(x)0. 因此 f(x)在区间(1,ln(-2a))内单调递减,在区间(ln(-2a),+∞)和(-∞,1)内单调递增. 又当 x≤1 时,f(x)<0,故 f(x)不存在两个零点. 综上,a 的取值范围为(0,+∞). (2)证明:不妨设 x1<x2,由(1)知,x1∈(-∞,1),x2∈(1,+∞),2-x2∈(-∞,1). 因为 f(x)在区间(-∞,1)内单调递减