志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的！ 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org 综合测评(B) (时间：120分钟满分150分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的 1.在等比数列{am}中，a4,a12是方程x2+3x+1-0的两根，则as=() A.l B.-1 C.±1 D.不能确定 答案B 解析：由题意，得a4+a12=-30, ∴.a4b B.ax2),即a>b.故选A 4.己知实数a,b,c,d成等比数列，且函数y=3x-x3的极大值点为b,极大值为c,则ad=-() A.2 B.1 1
1 综合测评(B) (时间:120 分钟 满分:150 分) 一、选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的. 1.在等比数列{an}中,a4,a12 是方程 x 2+3x+1=0 的两根,则 a8=( ) A.1 B.-1 C.±1 D.不能确定 答案:B 解析:由题意,得 a4+a12=-30, ∴a4b B.af(x2),即 a>b.故选 A. 4.已知实数 a,b,c,d 成等比数列,且函数 y=3x-x 3 的极大值点为 b,极大值为 c,则 ad=( ) A.2 B.1
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的： 丛书主编任志河。 http://www.zhyh.org c.-1 D.-2 答案：A 解析：a,b,c,d成等比数列，∴ad=bc 又函数y=3x-x的极大值点为b,极大值为cy'-3-3x2, 一66州爬}合封 ∴.ad=bc=2. 5.《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人 等问各得几何？”其意思为：“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三 人所得相同，假设甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列.问五人各得多少钱？（钱”是我国古代的 一种质量单位)在这个问题中，甲所得为() A我 B钱 C我 D钱 答案D 解析：设等差数列{am}的首项为a1,公差为d, 2a1+d=3a1+9d, 依题意有 2a1+d=2 解得 d= 故选D 6.设直线x=1与函数x)=x2g(x)=nx的图象分别交于点M,N,则当MM取最小值时，1的值为() A.l B时 c 答案D 解析：因为x)的图象始终在gx)的图象的上方，所以刘MW=)g()=Pn1 设hx)=r2-nx,则hx)=2x.是=2 令)2空0，解得x号 故M在区间0，月)内单调递减，在区间（停，+四内单调造增，故当x时，）取最小值 故1号故逸D 7.如图，将若干个点摆成三角形图案，每条边（包括两个端点）有n(>1,n∈N+)个点，相应的图案中总的 点数记为a则品+品+品…叶 9 a2020a2021
2 C.-1 D.-2 答案:A 解析:∵a,b,c,d 成等比数列,∴ad=bc. 又函数 y=3x-x 3 的极大值点为 b,极大值为 c,y'=3-3x 2 , ∴{ 3𝑏-𝑏 3 = 𝑐, 3-3𝑏 2 = 0, 解得{ 𝑏 = 1, 𝑐 = 2 或{ 𝑏 = -1, 𝑐 = -2 (舍去). ∴ad=bc=2. 5.《九章算术》是我国古代的数学名著,书中有如下问题:“今有五人分五钱,令上二人所得与下三人 等.问各得几何?”其意思为:“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分 5 钱,甲、乙两人所得与丙、丁、戊三 人所得相同,假设甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列.问五人各得多少钱?”(“钱”是我国古代的 一种质量单位)在这个问题中,甲所得为( ) A. 5 4 钱 B. 5 3 钱 C. 3 2 钱 D. 4 3 钱 答案:D 解析:设等差数列{an}的首项为 a1,公差为 d, 依题意有{ 2𝑎1 + 𝑑 = 3𝑎1 + 9𝑑, 2𝑎1 + 𝑑 = 5 2 , 解得{ 𝑎1 = 4 3 , 𝑑 = - 1 6 . 故选 D. 6.设直线 x=t 与函数 f(x)=x2 ,g(x)=ln x 的图象分别交于点 M,N,则当|MN|取最小值时,t 的值为( ) A.1 B. 1 2 C. √5 2 D. √2 2 答案:D 解析:因为 f(x)的图象始终在 g(x)的图象的上方,所以|MN|=f(t)-g(t)=t2 -ln t. 设 h(x)=x2 -ln x,则 h'(x)=2x- 1 𝑥 = 2𝑥 2 -1 𝑥 . 令 h'(x)= 2𝑥 2 -1 𝑥 =0,解得 x= √2 2 . 故 h(x)在区间(0, √2 2 )内单调递减,在区间( √2 2 , + ∞)内单调递增,故当 x= √2 2 时,h(x)取最小值. 故 t= √2 2 .故选 D. 7.如图,将若干个点摆成三角形图案,每条边(包括两个端点)有 n(n>1,n∈N+)个点,相应的图案中总的 点数记为 an,则 9 𝑎2𝑎3 + 9 𝑎3𝑎4 + 9 𝑎4𝑎5 +…+ 9 𝑎2 020 𝑎2 021 =( )
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网永远提供更新的！ 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org ● ● i=2 h=3 A删 B.2019 C2017 D2019 2020 2021 2021 答案B 解析：由题意，可知am=3n-3(n>l,n∈N+),则 -m+阿==青-月 故9十9十9+ 9 a2a3 a3a4 asas a20202021 =(-)+传)+作)+(6)-1=8器 &已知函数x)兰+nxg)与-5，若对任意的x,∈号，2都有)g≥2成立，则a的取值范 围是() A.(0,+0) B.[1,+o） C.(-o,0) D.(-0,-1] 答案：B 解析：g(x)=x3-x2-5,g《x)=3x2-2x 令g)0,得x号函数g)在区间，引上单调通减，在区间服2小单润道增8份=吉-5- 号g2)=845=1 :对任意的，n∈}2])-gm)≥2恒成立，c)≥[g)+2]x,即当x∈，2小时)≥1恒成立，故 是+nx≥1在区间，2小恒成立，即a≥xr1nx在区间[眼，2上恒成立 令h(x)=x-x2lnx,则h(x)=1-2xlnx-x :h”()=-3-21nx0,当x∈(12]时，hx)0,则下列结论正确的是(） A.S10-S9 B.S7S19 D.S9>0 答案：ABD 心
3 A. 2 017 2 020 B. 2 019 2 020 C. 2 017 2 021 D. 2 019 2 021 答案:B 解析:由题意,可知 an=3n-3(n>1,n∈N+),则 9 𝑎𝑛𝑎𝑛+1 = 9 (3𝑛-3)[3(𝑛+1)-3] = 1 (𝑛-1)𝑛 = 1 𝑛-1 − 1 𝑛 . 故 9 𝑎2𝑎3 + 9 𝑎3𝑎4 + 9 𝑎4𝑎5 +…+ 9 𝑎2 020𝑎2 02 1 = (1- 1 2 ) + ( 1 2 - 1 3 ) + ( 1 3 - 1 4 )+…+( 1 2 019 - 1 2 020)=1- 1 2 020 = 2 019 2 020. 8.已知函数 f(x)= 𝑎 𝑥 +xln x,g(x)=x3 -x 2 -5,若对任意的 x1,x2∈[ 1 2 ,2],都有 f(x1)-g(x2)≥2 成立,则 a 的取值范 围是( ) A.(0,+∞) B.[1,+∞) C.(-∞,0) D.(-∞,-1] 答案:B 解析:∵g(x)=x3 -x 2 -5,∴g'(x)=3x 2 -2x. 令 g'(x)=0,得 x= 2 3 ,∴函数 g(x)在区间[ 1 2 , 2 3 ]上单调递减,在区间[ 2 3 ,2]上单调递增,g( 1 2 ) = 1 8 − 1 4 -5=- 41 8 ,g(2)=8-4-5=-1. ∵对任意的 x1,x2∈[ 1 2 ,2],f(x1)-g(x2)≥2 恒成立,∴f(x)≥[g(x)+2]max,即当 x∈[ 1 2 ,2]时,f(x)≥1 恒成立,故 𝑎 𝑥 +xln x≥1 在区间[ 1 2 ,2]上恒成立,即 a≥x-x 2 ln x 在区间[ 1 2 ,2]上恒成立. 令 h(x)=x-x 2 ln x,则 h'(x)=1-2xln x-x. ∵h″(x)=-3-2ln x0,当 x∈(1,2]时,h'(x)0,则下列结论正确的是( ) A.S10>S9 B.S17S19 D.S19>0 答案:ABD
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的！ 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org 解析：根据题意，可知数列{am}为递增数列. ,a90, .S10-S9=a10>0,∴.S10>S9,故A正确. S17-a1ta17x1卫 2 2a9×12-17a90, 2 2 故D正确. .a19>0,.S19-S18=a19>0, ∴.S180在区间(2,4)内恒成立，故x)在区间(2,4)内单调递增.故A错误，B正确由极 值点的定义，可知C错误，D正确 11.设数列{an}的前n项和为S(n∈N+),则下列四个说法正确的是() A.若an+1=an(n∈N+),则{an}既是等差数列又是等比数列 B.若Sn=ar+bn(a,b∈R),则{an}是等差数列 C.若Sn=l-(-1)”,则{an}是等比数列 D.若{an}是等差数列，则Sn,S2rSm,S3rS2(n∈N+)也成等差数列 答案：BCD 解析：当an+1=an0时，{an}既是等差数列又是等比数列，否则不成立，故A错误 当Sn=amr2+bn时，Sn+1=a(n+l)2+b(n+1), :.an+1=Sn+1-Sn=2an+a+b. ∴.an=2an-a+b(n≥2). 4
4 解析:根据题意,可知数列{an}为递增数列. ∵a90, ∴S10-S9=a10>0,∴S10>S9,故 A 正确. S17= (𝑎1+𝑎17)×17 2 = 2𝑎9×17 2 =17a90, 故 D 正确. ∵a19>0,∴S19-S18=a19>0, ∴S180 在区间(2,4)内恒成立,故 f(x)在区间(2,4)内单调递增.故 A 错误,B 正确.由极 值点的定义,可知 C 错误,D 正确. 11.设数列{an}的前 n 项和为 Sn(n∈N+),则下列四个说法正确的是( ) A.若 an+1=an(n∈N+),则{an}既是等差数列又是等比数列 B.若 Sn=an2+bn(a,b∈R),则{an}是等差数列 C.若 Sn=1-(-1)n ,则{an}是等比数列 D.若{an}是等差数列,则 Sn,S2n-Sn,S3n-S2n(n∈N+)也成等差数列 答案:BCD 解析:当 an+1=an≠0 时,{an}既是等差数列又是等比数列,否则不成立,故 A 错误. 当 Sn=an2+bn 时,Sn+1=a(n+1)2+b(n+1), ∴an+1=Sn+1-Sn=2an+a+b, ∴an=2an-a+b(n≥2)
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的！ 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org 又a1=S1=a+b符合上式，∴an=2an-a+b 又an+1-an=2a为常数， ∴{an}是等差数列，故B正确. 当Sn=1-1)”时，S1=1-1m+1, ∴.an+1=Sn+1-Sn=2(-l)”, ∴.an=2(-1)m-(n≥2). 又a1=S1-2符合上式，∴.an-2(-1)"- 又n出-1为常数，∴{an}是等比数列，故C正确 an 当{aa}是等差数列时，S。=na1+n-l)d S2n-Sn=nan+1+n(n-1)d, S3n-S2n=nazn+1+n(n-1)d, ∴.(S3m-S2n）-(S2m-Sn)=n(a2m+1-an+1)=n2d, (S2n-Sn）-Sn=n(an+1-a1）=n2d, .(S3n-S2n)-(S2n-Sn)=(S2n-Sn)-Sn, 即Sn,2m-Sm,S3rS2n成等差数列， 故D正确.故选BCD 2.对于函数x)产，下列说法正确的是() Ax)在x=e处取得极大值妇 Bx)有两个不同的零点 C2)1 答案：ACD 解析：由已知得)气x>0 令fx)=0,得x=e,故当00,x)单调递增； 当x>e时fx)<0,x)单调递减 故当x=心时x)取得极大值，极大值为e)三故A正确. 5
5 又 a1=S1=a+b 符合上式,∴an=2an-a+b. 又 an+1-an=2a 为常数, ∴{an}是等差数列,故 B 正确. 当 Sn=1-(-1)n 时,Sn+1=1-(-1) 𝑛+1 , ∴an+1=Sn+1-Sn=2·(-1)n , ∴an=2·(-1)n-1 (n≥2). 又 a1=S1=2 符合上式,∴an=2·(-1)n-1 . 又 𝑎𝑛+1 𝑎𝑛 =-1 为常数,∴{an}是等比数列,故 C 正确. 当{an}是等差数列时,Sn=na1+ 1 2 n(n-1)d, S2n-Sn=nan+1+ 1 2 n(n-1)d, S3n-S2n=na2n+1+ 1 2 n(n-1)d, ∴(S3n-S2n)-(S2n-Sn)=n(a2n+1-an+1)=n2d, (S2n-Sn)-Sn=n(an+1-a1)=n2d, ∴(S3n-S2n)-(S2n-Sn)=(S2n-Sn)-Sn, 即 Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等差数列, 故 D 正确.故选 BCD. 12.对于函数 f(x)= ln𝑥 𝑥 ,下列说法正确的是( ) A.f(x)在 x=e 处取得极大值1 e B.f(x)有两个不同的零点 C.f(2)1 答案:ACD 解析:由已知得 f'(x)= 1-ln𝑥 𝑥 2 (x>0). 令 f'(x)=0,得 x=e,故当 00,f(x)单调递增; 当 x>e 时,f'(x)<0,f(x)单调递减. 故当 x=e 时,f(x)取得极大值,极大值为 f(e)= 1 e .故 A 正确
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网永远提供更新的！ 丛书主编任志河。 http://www.zhyh.org 当x=1时x)=0,当x>1时x)>0,当0π)>4)，即2)0， 则hx)=,当00,当x>1时h(x)0,故当x=l时，h)m=hM1)=l,故心1.故D正确故 选ACD. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分 13.己知x)是偶函数，若曲线y=x)在点(11)处的切线的斜率为1，则该曲线在点(1几-1)处的切线 的斜率为 答案：-1 14.已知数列{xn}满足gxn+1=1+lgxm(x∈N+),且x1+xn+…+x1o0=100,则1g(x1o1+x102++x200)=_ 答案：102 解析：由题意得xm+1=10x,故数列{xn}是公比为10的等比数列， 故x101+x102+…+x200=(x1+x2+…+x100）10100=10102,故lg0101+x102+…+x200)=102. 15己知函数)器数列a}的通项公式为a,=(zn∈N,)则=- ;此数列前2 022项的和为 .(本题第一空2分，第二空3分) 答案：22023 解析：依题意，an 2×202 2n 2022×2 2×202z1 2m-2022,故m0222022x2-2022-2 设此数列前2022项的和为2022， 2n 2×(2022-n) 2n 4044-2n 因为am+m02n2n202z+2x202-m-202z=2m-202z-2m-202 =0脱-2， 所以S2022=Q1+a2+…+a2021+a2022 2021×(a1+a202L+2-2021×2+2-2023. 2 2 16.己知函数fx)=-x3+3x+a,若方程x)=0恰有两个实数根，则实数a的值为 答案：-2或2 解析：由已知得fx)=-3x2+3. 由fx)>0,得-11 故当x=-1时x)取极小值几-1)=a-2: 6
6 当 x=1 时,f(x)=0,当 x>1 时,f(x)>0,当 0f(π)>f(4),即 f(2)ln𝑥 𝑥 + 1 𝑥在区间(0,+∞)内恒成立. 设 h(x)= ln𝑥 𝑥 + 1 𝑥 (x>0), 则 h'(x)=- ln𝑥 𝑥 2 ,当 00,当 x>1 时,h'(x)1.故 D 正确.故 选 ACD. 三、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.已知 f(x)是偶函数,若曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率为 1,则该曲线在点(-1,f(-1))处的切线 的斜率为 . 答案:-1 14.已知数列{xn}满足 lg xn+1=1+lg xn(x∈N+),且 x1+x2+…+x100=100,则 lg(x101+x102+…+x200)= . 答案:102 解析:由题意得 xn+1=10xn,故数列{xn}是公比为 10 的等比数列, 故 x101+x102+…+x200=(x1+x2+…+x100)·10100=10102 ,故 lg(x101+x102+…+x200)=102. 15.已知函数 f(x)= 2𝑥 2𝑥-1 ,数列{an}的通项公式为 an=f( 𝑛 2 022)(n∈N+),则 a2 022= ;此数列前 2 022 项的和为 .(本题第一空 2 分,第二空 3 分) 答案:2 2 023 解析:依题意,an= 2× 𝑛 2 022 2× 𝑛 2 022-1 = 2𝑛 2𝑛-2 022,故 a2 022= 2 022×2 2 022×2-2 022=2. 设此数列前 2 022 项的和为 S2 022, 因为 an+a2 022-n= 2𝑛 2𝑛-2 022 + 2×(2 022-𝑛) 2×(2 022-𝑛)-2 022 = 2𝑛 2𝑛-2 022 − 4 044-2𝑛 2𝑛-2 022 = 4𝑛-4 044 2𝑛-2 022=2, 所以 S2 022=a1+a2+…+a2 021+a2 022= 2 021×(𝑎1+𝑎2 021) 2 +2= 2 021×2 2 +2=2 023. 16.已知函数 f(x)=-x 3+3x+a,若方程 f(x)=0 恰有两个实数根,则实数 a 的值为 . 答案:-2 或 2 解析:由已知得 f'(x)=-3x 2+3. 由 f'(x)>0,得-11. 故当 x=-1 时,f(x)取极小值 f(-1)=a-2;
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的！ 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org 当x=1时x)取极大值1)=a+2. 因为方程几x)=0恰有两个实数根， 所以支2.0或{侣22.0解得2或a2 Ca-20), )=-5+=2 令f(x)=0,解得x=2或x=3. 当03时，fx)>0,故fx)在区间(0,2)，(3，+o)内单调递增： 当2<x<3时fx)<0,故x)在区间(2,3)内单调递减. 故x)在x=2处取得极大值2)号+6ln2 在x=3处取得极小值3)=2+6ln3. 18.(12分)统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶的过程中，每小时耗油量（单位L)关于行驶速度x(单 位：km的函数解析式可以表示为)280品+80<x≤120，已知甲、乙两地相距1O0km (1)当汽车以40km/h的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？ (2)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？ 解()当x=40时，汽车从甲地到乙地行驶了0-25，要耗油(80×403品×40+ 8×2.5=17.5). 所以，当汽车以40km/h的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5L 7
7 当 x=1 时,f(x)取极大值 f(1)=a+2. 因为方程 f(x)=0 恰有两个实数根, 所以{ 𝑎 + 2 = 0, 𝑎-2 0, 𝑎-2 = 0, 解得 a=-2 或 a=2. 四、解答题:本题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(10 分)设 f(x)=a(x-5)2+6ln x,其中 a∈R,曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与 y 轴相交于点(0,6). (1)求 a 的值; (2)求函数 f(x)的单调区间与极值. 解:(1)因为 f(x)=a(x-5)2+6ln x, 所以 f'(x)=2a(x-5)+ 6 𝑥 . 当 x=1 时,f(1)=16a,f'(1)=6-8a, 所以曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为 y-16a=(6-8a)(x-1). 由点(0,6)在切线上,可得 6-16a=8a-6,故 a= 1 2 . (2)由(1)知,f(x)= 1 2 (x-5)2+6ln x(x>0), f'(x)=x-5+ 6 𝑥 = (𝑥-2)(𝑥-3) 𝑥 , 令 f'(x)=0,解得 x=2 或 x=3. 当 03 时,f'(x)>0,故 f(x)在区间(0,2),(3,+∞)内单调递增; 当 2<x<3 时,f'(x)<0,故 f(x)在区间(2,3)内单调递减. 故 f(x)在 x=2 处取得极大值 f(2)= 9 2 +6ln 2, 在 x=3 处取得极小值 f(3)=2+6ln 3. 18.(12 分)统计表明,某种型号的汽车在匀速行驶的过程中,每小时耗油量 y(单位:L)关于行驶速度 x(单 位:km/h)的函数解析式可以表示为 y= 1 128 000x 3 - 3 80x+8(0<x≤120).已知甲、乙两地相距 100 km. (1)当汽车以 40 km/h 的速度匀速行驶时,从甲地到乙地要耗油多少升? (2)当汽车以多大的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少?最少为多少升? 解:(1)当 x=40 时,汽车从甲地到乙地行驶了100 40 =2.5(h),要耗油( 1 128 000 × 40 3 - 3 80 × 40 + 8)×2.5=17.5(L). 所以,当汽车以 40 km/h 的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油 17.5 L
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网永远提供更新的！ 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org (2)当速度为xkmh时，汽车从甲地到乙地行驶了0h,设耗油量为)L 依题意得x)-(0x3品x+89=而2+婴-只00,h(x)单调递增. 所以当x=80时，hx)取到极小值h80)=11.25 因为h(x)在区间(0,120]上只有一个极值，所以它是最小值 故当汽车以80km/h的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25L 19.(12分)已知数列{am}的前n项和为S且Sa=l-六数列{}为等差数列，且ab+2)=l,ab1之 (I)求数列{an}和{bn}的通项公式， (2)求数列{anbn}的前n项和Tm 解(1a=S1=l= 当n≥2时，a=S-S1-（1动)-(（1)=是-六=员a符合上式，故aw克 由a1b12得b1=L,由a2(b2+2)=l,得b2+2)=1,解得b2=2 因为{bm}为等差数列，所以公差d=1, 所以bm=1+(n-1)1=n, (2)因为ab只所以7+是+是+…+是① 所以是+是+是+…+兴+品② 0@特++…京六 份明 17 品=1品故7-2兴 20.(12分)已知函数fx)=7ar2-(1+a)x+lnx(a≥0). (I)讨论函数x)的单调性 (2)当a=0时，方程x)=mx在区间[1，c]上有唯一实数解，求实数m的取值范围. 8
8 (2)当速度为 x km/h 时,汽车从甲地到乙地行驶了100 𝑥 h,设耗油量为 h(x) L, 依题意,得 h(x)=( 1 128 000 𝑥 3 - 3 80 𝑥 + 8) · 100 𝑥 = 1 1 280x 2+ 800 𝑥 − 15 4 (00,h(x)单调递增. 所以当 x=80 时,h(x)取到极小值 h(80)=11.25. 因为 h(x)在区间(0,120]上只有一个极值,所以它是最小值. 故当汽车以 80 km/h 的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少,最少为 11.25 L. 19.(12 分)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn=1- 1 2 𝑛,数列{bn}为等差数列,且 a2(b2+2)=1,a1b1= 1 2 . (1)求数列{an}和{bn}的通项公式; (2)求数列{anbn}的前 n 项和 Tn. 解:(1)a1=S1=1- 1 2 = 1 2 , 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=(1- 1 2 𝑛) − (1- 1 2 𝑛-1 ) = 1 2 𝑛-1 − 1 2 𝑛 = 1 2 𝑛,a1= 1 2 符合上式,故 an= 1 2 𝑛. 由 a1b1= 1 2 ,得 b1=1,由 a2(b2+2)=1,得 1 4 (b2+2)=1,解得 b2=2. 因为{bn}为等差数列,所以公差 d=1, 所以 bn=1+(n-1)·1=n. (2)因为 anbn= 𝑛 2 𝑛,所以 Tn= 1 2 + 2 2 2 + 3 2 3+…+ 𝑛 2 𝑛,① 所以1 2 Tn= 1 2 2 + 2 2 3 + 3 2 4+…+ 𝑛-1 2 𝑛 + 𝑛 2 𝑛+1 .② ①-②,得 1 2 Tn= 1 2 + 1 2 2 + 1 2 3+…+ 1 2 𝑛 − 𝑛 2 𝑛+1 = 1 2 [1-( 1 2 ) 𝑛 ] 1- 1 2 − 𝑛 2 𝑛+1=1- 𝑛+2 2 𝑛+1 ,故 Tn=2- 𝑛+2 2 𝑛 . 20.(12 分)已知函数 f(x)= 1 2 ax2 -(1+a)x+ln x(a≥0). (1)讨论函数 f(x)的单调性; (2)当 a=0 时,方程 f(x)=mx 在区间[1,e2 ]上有唯一实数解,求实数 m 的取值范围
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网永远提供更新的！ 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org 解(1/x-ac1-x>0. 当a-0时，=￥令f>0,得00,得01时，00,得01,令fx)1时，函数x)的单调递增区间为(0，)和(1，+0)，单调递减区间为（侣，1） (2)当a=0时x)=-x+lnx 由fx)=x,得-x+lnx=r. 因为x心0，所以m1 要使方程)=r在区间[1，]上有唯一实数解，只需m严1在区间[1，的上有唯一尖数解。 令g)些1(1≤x≤e2,则g)g 令g(x)>0,得1≤x1a1aa∈N (1)若{an}为常数列，求a的值， (2)判断a与2的大小，并证明你的结论 解(1)若{an}为常数列，则an=a 9
9 解:(1)f'(x)= (𝑎𝑥-1)(𝑥-1) 𝑥 (x>0). 当 a=0 时,f'(x)= 1-𝑥 𝑥 ,令 f'(x)>0,得 01,故函数 f(x)在区间(0,1)内单调递增,在区间 (1,+∞)内单调递减. 当 01,令 f'(x)>0,得 0 1 𝑎 ,令 f'(x)1 时,00,得 01,令 f'(x)1 时,函数 f(x)的单调递增区间为(0, 1 𝑎 )和(1,+∞),单调递减区间为( 1 𝑎 ,1). (2)当 a=0 时,f(x)=-x+ln x. 由 f(x)=mx,得-x+ln x=mx. 因为 x>0,所以 m= ln𝑥 𝑥 -1. 要使方程 f(x)=mx 在区间[1,e2 ]上有唯一实数解,只需 m= ln𝑥 𝑥 -1 在区间[1,e2 ]上有唯一实数解. 令 g(x)= ln𝑥 𝑥 -1(1≤x≤e 2 ),则 g'(x)= 1-ln𝑥 𝑥 2 . 令 g'(x)>0,得 1≤x1,an+1=f(an)(n∈N+). (1)若{an}为常数列,求 a 的值; (2)判断 an 与 2 的大小,并证明你的结论. 解:(1)若{an}为常数列,则 an=a
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的！ 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org 由an+1=fan),得a=八a) 国为到品所以a品 az 又a>1,所以a=2(a-1),解得a=2 (2)当a=2时，由(1)知an=2. 当u时2时，因为a1=a,a+1=aa)2n a2 所以am2a1-而=2a-面 所以m-2- 2a.元2a34a+4=a-2) a2 2(a-1) 2a70, 所以a2>2. 因为a3-2 2@22222 a 242->0, 所以a3>2.猜想当n≥2时，an>2 下面用数学归纳法证明： ①当n=2时，a2>2成立 ②假设当n=kk≥2)时，猜想成立，即ak>2. 呢 当n=k+1时，a*1a)2a4- 所以ak+1-2-4+4-22 2(ak-1)- 2(ak-1) 因为ak>2,所以ak+1-2>0,所以ak+1>2. 所以当a时2时，对于一切不小于2的正整数n,都有am>2. 综上所述，当a=2时，an=2;当12(n≥2)，当a>2时，an>2. 2.(2分)已知函数)帮，曲线))在点(-1-1)处的切线方程为x+y+3-0 (1)求函数x)的解析式， (2)设g(x)=lnx,求证：g(x)≥x)在区间[1，+o)内恒成立； (3)若02a b-a a2+b2 (1)解：将x=-1代入切线方程得y=-2, 因为x)m+” x2+1 所以f)=mx2.2r+m (x2+1)2 10
10 由 an+1=f(an),得 a=f(a). 因为 f(x)= 𝑥 2 2(𝑥-1) ,所以 a= 𝑎 2 2(𝑎-1) . 又 a>1,所以 a=2(a-1),解得 a=2. (2)当 a=2 时,由(1)知 an=2. 当 a≠2 时,因为 a1=a,an+1=f(an)= 𝑎𝑛 2 2(𝑎𝑛-1) , 所以 a2= 𝑎1 2 2(𝑎1-1) = 𝑎 2 2(𝑎-1) . 所以 a2-2= 𝑎 2 2(𝑎-1) -2= 𝑎 2 -4𝑎+4 2(𝑎-1) = (𝑎-2) 2 2(𝑎-1) >0, 所以 a2>2. 因为 a3-2= 𝑎2 2 2(𝑎2-1) -2= (𝑎2-2) 2 2(𝑎2-1) >0, 所以 a3>2.猜想当 n≥2 时,an>2. 下面用数学归纳法证明: ①当 n=2 时,a2>2 成立. ②假设当 n=k(k≥2)时,猜想成立,即 ak>2. 当 n=k+1 时,ak+1=f(ak)= 𝑎𝑘 2 2(𝑎𝑘 -1) , 所以 ak+1-2= 𝑎𝑘 2 -4𝑎𝑘+4 2(𝑎𝑘 -1) = (𝑎𝑘 -2) 2 2(𝑎𝑘 -1) . 因为 ak>2,所以 ak+1-2>0,所以 ak+1>2. 所以当 a≠2 时,对于一切不小于 2 的正整数 n,都有 an>2. 综上所述,当 a=2 时,an=2;当 12(n≥2);当 a>2 时,an>2. 22.(12 分)已知函数 f(x)= 𝑚𝑥+𝑛 𝑥 2+1 ,曲线 y=f(x)在点(-1,f(-1))处的切线方程为 x+y+3=0. (1)求函数 f(x)的解析式; (2)设 g(x)=ln x,求证:g(x)≥f(x)在区间[1,+∞)内恒成立; (3)若 0 2𝑎 𝑎2+𝑏 2 . (1)解:将 x=-1 代入切线方程得 y=-2, 因为 f(x)= 𝑚𝑥+𝑛 𝑥 2+1 , 所以 f'(x)= -𝑚𝑥 2 -2𝑛𝑥+𝑚 (𝑥 2+1) 2