志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的： 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org 6.2.1 导数与函数的单调性 课后·训练提升 基础巩固 1.设函数x)在定义域内可导y=x)的图象如图所示，则导函数y=f(x)的图象可能为() y=f(x) 答案：D 2.函数x)=(x-3)e的单调递增区间是( A.(-0,2) B.(0,3) C.(1,4) D.(2,+o) 答案D 解析：fx)=e+(x-3)e=e(x-2). 令fx)>0,即c(x-2)>0,得x>2 因此函数fx)的单调递增区间为(2，+0)， 3.若x)=ar3+bx2+cx+d(a>0)在R上为增函数，则(） A.b2.4ac>0 B.b>0,c>0 C.b=0,c>0 D.b2.3ac≤0 答案D 解析：x)在R上为增函数， ∴.f(x)=3ar2+2br+c≥0在R上恒成立. y
1 6.2.1 导数与函数的单调性 课后· 基础巩固 1.设函数 f(x)在定义域内可导,y=f(x)的图象如图所示,则导函数 y=f'(x)的图象可能为( ) 答案:D 2.函数 f(x)=(x-3)ex的单调递增区间是( ) A.(-∞,2) B.(0,3) C.(1,4) D.(2,+∞) 答案:D 解析:f'(x)=e x+(x-3)ex=e x (x-2). 令 f'(x)>0,即 e x (x-2)>0,得 x>2. 因此函数 f(x)的单调递增区间为(2,+∞). 3.若 f(x)=ax3+bx2+cx+d(a>0)在 R 上为增函数,则( ) A.b 2 -4ac>0 B.b>0,c>0 C.b=0,c>0 D.b 2 -3ac≤0 答案:D 解析:∵f(x)在 R 上为增函数, ∴f'(x)=3ax2+2bx+c≥0 在 R 上恒成立
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的！ 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org .4=4b.12ac≤0.∴.b2-3ac≤0. 4.已知函数x),g(x)满足当x∈R时，fx)g(x)+x)gx)>0,若a>b,则有() A.fa)g(a)=fb)g(b) B.fa)g(a)-fb)g(b) Ca)ga)≤b)g(b) Da)g(a)与b)gb)的大小关系不确定 答案B 解析：由题意知[x)g(x)]>0,从而x)gx)在R上是增函数.又a>b,故a)g(a)Pb)gb) 5.若函数x)=x3-ar2-x+6在区间(0,1)内单调递减，则实数a的取值范围是() A.[1,+oo) B.(1,+oo) C.(-0,1] D.(0,1) 答案：A 解析fx)=3x2-2ar-1 因为x)在区间(0,1)内单调递减，所以不等式3x2-2ax-1≤0在区间(0,1)内恒成立. 所以f0)≤0，f1)≤0. 所以a≥1.故选A 6.函数y=ln(x2-x-2)的单调递减区间为 答案(-0，-1) 解析：函数y=ln(r2-x-2)的定义域为(-o,-l)U(2,+o)y'-2码 x2.x.2 由y'0)的单调递减区间为 答案：(-√万，0)，(0，万) 解析：函数=x+的定义域为40}=1是=之 因为b>0,所以令y'<0, 解得-V万<x<石，且≠0， 所以函数的单调递减区间为(-√万，0)和(0，V万)】 8.设px)=lnx+2x2+r+1在区间(0，+o)内单调递增，qg:m≥-5，则p是q的 条件.（填 “充要“必要不充分*“充分不必要”或“既不充分也不必要”) 答案：充分不必要 23
2 ∴Δ=4b 2 -12ac≤0.∴b 2 -3ac≤0. 4.已知函数 f(x),g(x)满足当 x∈R 时,f'(x)g(x)+f(x)g'(x)>0,若 a>b,则有( ) A.f(a)g(a)=f(b)g(b) B.f(a)g(a)>f(b)g(b) C.f(a)g(a)0,从而 f(x)g(x)在 R 上是增函数.又 a>b,故 f(a)g(a)>f(b)g(b). 5.若函数 f(x)=x3 -ax2 -x+6 在区间(0,1)内单调递减,则实数 a 的取值范围是( ) A.[1,+∞) B.(1,+∞) C.(-∞,1] D.(0,1) 答案:A 解析:f'(x)=3x 2 -2ax-1. 因为 f(x)在区间(0,1)内单调递减,所以不等式 3x 2 -2ax-1≤0 在区间(0,1)内恒成立. 所以 f'(0)≤0,f'(1)≤0. 所以 a≥1.故选 A. 6.函数 y=ln(x 2 -x-2)的单调递减区间为 . 答案:(-∞,-1) 解析:函数 y=ln(x 2 -x-2)的定义域为(-∞,-1)∪(2,+∞),y'= 2𝑥-1 𝑥 2-𝑥-2 . 由 y'0)的单调递减区间为 . 答案:(-√𝑏,0),(0,√𝑏) 解析:函数 y=x+𝑏 𝑥的定义域为{x|x≠0},y'=1- 𝑏 𝑥 2 = 𝑥 2 -𝑏 𝑥 2 . 因为 b>0,所以令 y'<0, 解得-√𝑏<x<√𝑏,且 x≠0, 所以函数的单调递减区间为(-√𝑏,0)和(0,√𝑏). 8.设 p:f(x)=ln x+2x 2+mx+1 在区间(0,+∞)内单调递增,q:m≥-5,则 p 是 q 的 条件.(填 “充要”“必要不充分”“充分不必要”或“既不充分也不必要”) 答案:充分不必要
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的！ 丛书主编任志河。 http://www.zhyh.org 解析：由题意得fx)-之+4x+m≥0在区间(0，+o)内恒成立，即-m≤+4x在区间(0，+o)内恒成立，而 +4≥4，当且仅当x时等号成立，所以-m≤4，即m≥-4 所以p:m≥-4.又gm≥-5，故p是g的充分不必要条件. 9.己知函数y=r3+bx2+6x+1的单调递增区间为(-2,3)，求a,b的值， 解y'-3ar2+2br+6. 因为函数的单调递增区间为(-2,3)， 所以y'=3ax2+2bx+6>0的解集为-2<x<3, 即-2和3是方程3ar2+2br+6=0的两根， 剥840古千620解 a=-3; b=克 所以a,b的值分别为号是 10.已知函数y=a与y=在区间(0，+o)内都是减函数，试确定函数y=ax3+bx2+5的单调区间. 解：因为函数y=m与=在区间(0，+0)内都是减函数，所以a<0,b<0 由y=ar3+br2+5,得y'-3ar2+2bx 令y0,得3a2+2br20,所以器0 令0，得3am+2br<0,所以x<碧或x0. 故函数-a+bx2+5的单调递增区间为碧0}，单调递减区间为(o,）和(0，+m 拓展提高 1.已知m是实数，函数x)=x2(x-m),若f-1)=-1,则函数x)的单调递增区间是(） A(,0) B(0) C(o,),0,+o) D.(o,U(0,+o) 3
3 解析:由题意得 f'(x)= 1 𝑥 +4x+m≥0 在区间(0,+∞)内恒成立,即-m≤ 1 𝑥 +4x 在区间(0,+∞)内恒成立,而 1 𝑥 +4x≥4,当且仅当 x= 1 2时等号成立,所以-m≤4,即 m≥-4. 所以 p:m≥-4.又 q:m≥-5,故 p 是 q 的充分不必要条件. 9.已知函数 y=ax3+bx2+6x+1 的单调递增区间为(-2,3),求 a,b 的值. 解:y'=3ax2+2bx+6. 因为函数的单调递增区间为(-2,3), 所以 y'=3ax2+2bx+6>0 的解集为-20,得 3ax2+2bx>0,所以- 2𝑏 3𝑎 0. 故函数 y=ax3+bx2+5 的单调递增区间为 - 2𝑏 3𝑎 ,0 ,单调递减区间为(-∞,- 2𝑏 3𝑎 )和(0,+∞). 拓展提高 1.已知 m 是实数,函数 f(x)=x2 (x-m),若 f'(-1)=-1,则函数 f(x)的单调递增区间是( ) A.(- 4 3 ,0) B.(0, 4 3 ) C.(-∞,- 4 3 ),(0,+∞) D.(-∞,- 4 3 )∪(0,+∞)
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的！ 丛书主编任志河。 http://www.zhyh.org 答案：C 解析：x)=3x2-2x,∴八-1)=3+2m=-1,解得m-2.由x)=3x2+4x>0,解得x0故x)的单调 递增区间是(-0，)，(0，+o故选C 2.己知fx)是定义在R上的函数，它的图象上任意一点P0)处的切线方程为y=(x子+xo-2)x+O% x名-x子+2xo),则函数x)的单调递减区间为() A(-2,1) B.(-1,2) C.(-0,-2) D.(1,+o) 答案：A 解析：由题意可知fx)=x2+x-2, 令fx)0 C.当x0 D.当x>1时，(x-1)x)fx), ∴x)+(x-1fx)>0, .[(x-1x]>0, 函数y=(x-I)x)在R上单调递增 又当x=1时y=0, .当x0 当x>1时y>0,此时x)>0, x)>0对任意x∈R成立 4.若函数x)=x3+x2+mx+1是R上的单调函数，则实数m的取值范围为 答案非，+ 解析fx)=3x2+2x+m. 因为x)是R上的单调函数， 4
4 答案:C 解析:∵f'(x)=3x 2 -2mx,∴f'(-1)=3+2m=-1,解得 m=-2.由 f'(x)=3x 2+4x>0,解得 x0.故 f(x)的单调 递增区间是(-∞,- 4 3 ),(0,+∞).故选 C. 2.已知 f(x)是定义在 R 上的函数,它的图象上任意一点 P(x0,y0)处的切线方程为 y=(𝑥0 2+x0-2)x+(y0- 𝑥0 3 − 𝑥0 2+2x0),则函数 f(x)的单调递减区间为( ) A.(-2,1) B.(-1,2) C.(-∞,-2) D.(1,+∞) 答案:A 解析:由题意可知 f'(x)=x2+x-2, 令 f'(x)0 C.当 x0 D.当 x>1 时,(x-1)f(x)f'(x), ∴f(x)+(x-1)f'(x)>0, ∴[(x-1)f(x)]'>0, ∴函数 y=(x-1)f(x)在 R 上单调递增. 又当 x=1 时,y=0, ∴当 x0. 当 x>1 时,y>0,此时 f(x)>0, ∴f(x)>0 对任意 x∈R 成立. 4.若函数 f(x)=x3+x2+mx+1 是 R 上的单调函数,则实数 m 的取值范围为 . 答案:[ 1 3 , + ∞) 解析:f'(x)=3x 2+2x+m. 因为 f(x)是 R 上的单调函数
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的！ 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org 所以f(x)≥0恒成立或f(x)≤0恒成立. 因为导函数的二次项系数3>0， 所以只能有f(x)≥0恒成立 所以4=4-12m≤0，解得m≥等 故实数m的取值范国是服+) 5.若函数y=+acx有三个单调区间，则a的取值范围是。 答案：(0，+o) 解析y'=-4x2+a,由题意知关于x的方程-4x2+a=0有两个不相等的实根，故a>0, 6若函数x)2-alnx在其定义域内的一个子区间(a-2,a+2)内不单调，则实数a的取值范围 是 答案：[2,4) 解析：函数x)的定义域是(0，+oo), 故a-2≥0，解得a≥2 而)=x号 令fx)=r0,解得xVa 由题意得a-2<ya<a+2,解得0≤a<4 又a≥2，故2≤a<4 7.己知函数x)=a4+br2+c的图象经过点(0,1)，且在x=1处的切线方程是y=x-2. (1)求y=x)的解析式： (2)求y=x)的单调递增区间. 解：(1)由题意得0)=1，f(1)=l1)=l/x)=4ax+2br. (c=1, a-g :40+2b=1,解得b=-号 9 (a+b+c=-1, c=1. )22+1 (2)由（①可得f)=10r2.9x,由10x.9x0,得x3四支3匝x<0, 10 10 )的单调递增区间为（四0）3西+】 10 10 5
5 所以 f'(x)≥0 恒成立或 f'(x)≤0 恒成立. 因为导函数的二次项系数 3>0, 所以只能有 f'(x)≥0 恒成立. 所以 Δ=4-12m≤0,解得 m≥ 1 3 . 故实数 m 的取值范围是[ 1 3 , + ∞). 5.若函数 y=- 4 3 x 3+ax 有三个单调区间,则 a 的取值范围是 . 答案:(0,+∞) 解析:y'=-4x 2+a,由题意知关于 x 的方程-4x 2+a=0 有两个不相等的实根,故 a>0. 6.若函数 f(x)= 1 2 x 2 -aln x 在其定义域内的一个子区间(a-2,a+2)内不单调,则实数 a 的取值范围 是 . 答案:[2,4) 解析:函数 f(x)的定义域是(0,+∞), 故 a-2≥0,解得 a≥2. 而 f'(x)=x- 𝑎 𝑥 , 令 f'(x)=x- 𝑎 𝑥 =0,解得 x=√𝑎. 由题意得 a-20,得 x> 3√10 10 或- 3√10 10 <x<0, ∴f(x)的单调递增区间为(- 3√10 10 ,0), 3√10 10 ,+∞
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网永远提供更新的！ 丛书主编任志河。 http://www.zhyh.org 挑战创新 设函数fx)=ar2-a-lnx,其中a∈R (1)讨论x)的单调性； (2)确定a的所有可能取值，使得x)e*在区间(1，+o)内恒成立(e-2.718…为自然对数的底数) 解(1-2ar片a2a0 当a≤0时，fx)0时，由x)>0,得x元 由fx)0时)在区间（云+∞）内单调道增，在区间 (0,)内单调递减 (2)令g)是-a)-e1x 则s(x)=e1-1. 而当x>1时，s'(x)>0, 所以sx)在区间(1，+o)内单调递增. 又s1)=0,故当x>1时，sx)>0,即e1>x,从而当x>1时gx)>0. 当a≤0，x>1时x)=a(x2-1)-Hnxgx)在区间(1，+o)内恒成立时，必有a>0. 当00，所以此时x)>gx)在区间(1，+0)内不恒成立 当a≥时，令hx)=x)gx(x>I). 当1时，h0-2a+京cx+克-生型>20 x2 x2 因此，h(x)在区间(1，+o)内单调递增 6
6 挑战创新 设函数 f(x)=ax2 -a-ln x,其中 a∈R. (1)讨论 f(x)的单调性; (2)确定 a 的所有可能取值,使得 f(x)> 1 𝑥 -e 1-x在区间(1,+∞)内恒成立(e=2.718…为自然对数的底数). 解:(1)f'(x)=2ax- 1 𝑥 = 2𝑎𝑥 2 -1 𝑥 (x>0). 当 a≤0 时,f'(x)0 时,由 f'(x)>0,得 x> 1 √2𝑎 , 由 f'(x)0 时,f(x)在区间( 1 √2𝑎 , + ∞)内单调递增,在区间 (0, 1 √2𝑎 )内单调递减. (2)令 g(x)= 1 𝑥 − 1 e 𝑥-1 ,s(x)=e x-1 -x. 则 s'(x)=e x-1 -1. 而当 x>1 时,s'(x)>0, 所以 s(x)在区间(1,+∞)内单调递增. 又 s(1)=0,故当 x>1 时,s(x)>0,即 e x-1>x,从而当 x>1 时,g(x)>0. 当 a≤0,x>1 时,f(x)=a(x 2 -1)-ln xg(x)在区间(1,+∞)内恒成立时,必有 a>0. 当 01. 由(1)有 f( 1 √2𝑎 )0,所以此时 f(x)>g(x)在区间(1,+∞)内不恒成立. 当 a≥ 1 2时,令 h(x)=f(x)-g(x)(x>1). 当 x>1 时,h'(x)=2ax- 1 𝑥 + 1 𝑥 2 -e 1-x>x- 1 𝑥 + 1 𝑥 2 − 1 𝑥 = 𝑥 3 -2𝑥+1 𝑥 2 > 𝑥 2 -2𝑥+1 𝑥 2 >0. 因此,h(x)在区间(1,+∞)内单调递增
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的！ 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org 又因为h(1)=0, 所以当x>1时，hx)=x)g(x)>0, 即x)>gx)恒成立 综上，a∈且，+ >
7 又因为 h(1)=0, 所以当 x>1 时,h(x)=f(x)-g(x)>0, 即 f(x)>g(x)恒成立. 综上,a∈[ 1 2 , + ∞)