志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的： 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org 综合测评(A) (时间：120分钟满分：150分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的 1.已知在等比数列{am}中，a+as=l0,a4+as-5则该数列的公比g为() A.2 B.1 c D吃 答案：D 解析：在等比数列{an}中， ,a1+a3=10, ∴a4+a6-a1tas)g-5 “q得“q之故选D 2.已知正弦曲线y=six上有一点P,在点P处的切线为直线1，则直线1的倾斜角的取值范围是(） .. B.[0,π) c Do,u别 答案：A 解析：，y=(sinx)'=cosx, .直线I的斜率=cosx,-1≤k≤1 故直线1的倾斜角的取值范围是[0，习引U 故选A 3已知等比数列{a}的前n项和为S,且am+a号a+a-导则2) an A4- B.4-1 C.2m- D.2-1 y
1 综合测评(A) (时间:120 分钟 满分:150 分) 一、选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的. 1.已知在等比数列{an}中,a1+a3=10,a4+a6= 5 4 ,则该数列的公比 q 为( ) A.2 B.1 C. 1 4 D. 1 2 答案:D 解析:在等比数列{an}中, ∵a1+a3=10, ∴a4+a6=(a1+a3)q 3= 5 4 , ∴q 3= 1 8 ,∴q= 1 2 .故选 D. 2.已知正弦曲线 y=sin x 上有一点 P,在点 P 处的切线为直线 l,则直线 l的倾斜角的取值范围是( ) A.[0, π 4 ] ∪ [ 3π 4 ,π) B.[0,π) C. π 4 , 3π 4 D.[0, π 4 ] ∪ [ π 2 , 3π 4 ] 答案:A 解析:∵y'=(sin x)'=cos x, ∴直线 l 的斜率 kl=cos x,∴-1≤kl≤1. 故直线 l 的倾斜角的取值范围是[0, π 4 ] ∪ [ 3π 4 ,π). 故选 A. 3.已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 a1+a3= 5 2 ,a2+a4= 5 4 ,则 𝑆𝑛 𝑎𝑛 =( ) A.4 n-1 B.4 n -1 C.2 n-1 D.2 n -1
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网永远提供更新的！ 丛书主编任志河。 http://www.zhyh.org 答案D 解析设{am的公比为g,则am+aa1tag,即g-之故am+a-a1+ag-0亭即a-2 a1+a3 2×1品 故= 17 an 2201故造D 4.己知定义在R上的函数x)的导函数fx)的大致图象如图所示，则下列结论一定正确的是( 4 A.fb)-fc)-f(d) B.fb)-fa)-fe) Cfc)=Ab)=fa) DAc)-fe)=fd) 答案C 解析：由图可知在区间(-o,c)和(e,+oo)内fx)>0,在区间(c,e)内fx)<0,故x)在区间(-o,c)和(e,+oo)内单 调递增，在区间(c,e)内单调递减。 因为a<b<c,所以a)<b)<c).故选C 5.在等差数列{a}中，若a1,a407是函数x)字3-4r2+6r-1的极值点，则log22o19(） A.2 B.3 C.4 D.5 答案：A 解析：因为fx)=x2-8x+6,且a1,a4037是函数几x)的极值点，所以a,a4037是方程x2-8x+6=0的两个实数 根，所以a1+a4037=8. 又{am}为等差数列，所以2a2019=Q1+a4037=8,即a2019=4. 所以10g2a2019=2.故选A. 6在数学归纳法的递推性证明中，由假设n=k成立推导n=+1成立时m)=1+…增加的项 数是() A.1 B.2+1 C.21 D.2 23
2 答案:D 解析:设{an}的公比为 q,则 a2+a4=(a1+a3)q,即 q= 𝑎2+𝑎4 𝑎1+𝑎3 = 1 2 .故 a1+a3=a1+a1q 2= 5 4 a1= 5 2 ,即 a1=2. 故 𝑆𝑛 𝑎𝑛 = 2×(1- 1 2 𝑛 ) 1- 1 2 2×( 1 2 ) 𝑛-1 =2 n -1.故选 D. 4.已知定义在 R 上的函数 f(x)的导函数 f'(x)的大致图象如图所示,则下列结论一定正确的是( ) A.f(b)>f(c)>f(d) B.f(b)>f(a)>f(e) C.f(c)>f(b)>f(a) D.f(c)>f(e)>f(d) 答案:C 解析:由图可知在区间(-∞,c)和(e,+∞)内 f'(x)>0,在区间(c,e)内 f'(x)<0,故 f(x)在区间(-∞,c)和(e,+∞)内单 调递增,在区间(c,e)内单调递减. 因为 a<b<c,所以 f(a)<f(b)<f(c).故选 C. 5.在等差数列{an}中,若 a1,a4 037 是函数 f(x)= 1 3 x 3 -4x 2+6x-1 的极值点,则 log2a2 019=( ) A.2 B.3 C.4 D.5 答案:A 解析:因为 f'(x)=x2 -8x+6,且 a1,a4 037 是函数 f(x)的极值点,所以 a1,a4 037 是方程 x 2 -8x+6=0 的两个实数 根,所以 a1+a4 037=8. 又{an}为等差数列,所以 2a2 019=a1+a4 037=8,即 a2 019=4. 所以 log2a2 019=2.故选 A. 6.在数学归纳法的递推性证明中,由假设 n=k 成立推导 n=k+1 成立时,f(n)=1+ 1 2 + 1 3 +…+ 1 2 𝑛 -1增加的项 数是( ) A.1 B.2 k+1 C.2 k -1 D.2 k
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的！ 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org 答案D 解析：肉-1+号…安 +1)1+…2 .从)到fk+1)增加的项数是(211)-(21)=2 7.已知函数x)=2-2cosx则2v2)/og2)1og23)的大小关系是( ) A./log:2)0在区间(0,2π)内恒成立，所以函数x)在区间(0,2π)内单调递增. 又0<|log2|=-log:2<1<1og23<2<2z<2元 所以f1og12)1og23)<2v②).故选A 8已知函数x)2-bxr2+c(b,c为常数)，当x=2时，函数x)取得极值若函数x)只有三个零点，则实数 c的取值范围为( ) A(传+0） B(0) C.(-0,0) D.(0,2) 答案：B 解析x)宁-bx2+c ..f(x)=x2-2bx ,当x=2时，x)取得极值 f2)=22.4b=0,解得b=1 令fx)=0,解得x=0或x=2 3
3 答案:D 解析:∵f(k)=1+ 1 2 + 1 3 +…+ 1 2 𝑘 -1 , f(k+1)=1+ 1 2 + 1 3 +…+ 1 2 𝑘+1 -1 . ∴从 f(k)到 f(k+1)增加的项数是(2k+1 -1)-(2k -1)=2 k . 7.已知函数 f(x)=x2 -2cos x,则 f(2 √2 ),f(log1 3 2),f(log23)的大小关系是( ) A.f(log1 3 2)0 在区间(0,2π)内恒成立,所以函数 f(x)在区间(0,2π)内单调递增. 又 0<|log1 3 2|=log32<1<log23<2<2 √2<2π, 所以 f(log1 3 2)<f(log23)<f(2 √2 ).故选 A. 8.已知函数 f(x)= 1 3 x 3 -bx2+c(b,c 为常数),当 x=2 时,函数 f(x)取得极值.若函数 f(x)只有三个零点,则实数 c 的取值范围为( ) A.( 4 3 , + ∞) B.(0, 4 3 ) C.(-∞,0) D.(0,2) 答案:B 解析:∵f(x)= 1 3 x 3 -bx2+c, ∴f'(x)=x2 -2bx. ∵当 x=2 时,f(x)取得极值, ∴f'(2)=2 2 -4b=0,解得 b=1. 令 f'(x)=0,解得 x=0 或 x=2
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的！ 丛书主编任志河。 http://www.zhyh.org 故当02时，x)单调递增. 故当x=0时，几x)取得极大值，当x=2时x)取得极小值 由题意，可知x)=0有3个实根， 则ff0=cs0 气f2)=号-4+c2时，对任意的x>2,且x≠a,恒有x)>a)tfa)(xa) D.函数x)有且只有一个零点 答案：BCD 解析：由题意可知fx)=3x2-4x-4. 令f)0,解得x=子载x=2 故当x2时fx)>0,x)单调递增； 当子x<2时/x)<0,x)单调递减 故当x=2时，x)取极小值，极小值为2)=-15 当x=时)取板大值，极大值为人)=盟 4
4 故当 02 时,f(x)单调递增. 故当 x=0 时,f(x)取得极大值,当 x=2 时,f(x)取得极小值. 由题意,可知 f(x)=0 有 3 个实根, 则{ 𝑓(0) = 𝑐 > 0, 𝑓(2) = 8 3 -4 + 𝑐 2 时,对任意的 x>2,且 x≠a,恒有 f(x)>f(a)+f'(a)(x-a) D.函数 f(x)有且只有一个零点 答案:BCD 解析:由题意可知 f'(x)=3x 2 -4x-4. 令 f'(x)=0,解得 x=- 2 3或 x=2. 故当 x2 时,f'(x)>0,f(x)单调递增; 当- 2 3 <x<2 时,f'(x)<0,f(x)单调递减. 故当 x=2 时,f(x)取极小值,极小值为 f(2)=-15; 当 x=- 2 3 时,f(x)取极大值,极大值为 f(- 2 3 )=- 149 27
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的！ 丛书主编任志河。 http://www.zhyh.org 故x)只有一个零点故A错误，B,D正确 由导数的几何意义，易知当x≥a时，ff@fa,即>+far-a x-a 当2a+fax-a. x-a 故当a>2时，对任意的x>2,且≠a,恒有x)>八a+f(ax-a 故C正确.故选BCD 11.设Sn是数列{an}的前n项和，且a1=-l,am+1=SmSn+1,则(） Aa-月 -1,n=1, Ba点n22 C数列侣}为等差数列 D宁++5050 S100 答案：BCD 解析：因为Sn是数列{an}的前n项和，且a1=-l,a1=SmSn+l, 所以SS=SS,整理得l. 所以数列侣}是以宁1为首项1为公差的等差数列，所以一1-=nS-号 所以当n≥2时a=Ss启月 又a=1不符合上式， -1.n=1. 所以an= 上n2. -1n m所以+…5-1+2+3…+10-0-5050，故选BcD 因为 S100 2 12.已知函数x)之r2+a)的图象在点Pnm)Xn∈N)处的切线a的斜率为k,直线a分别交x轴、y 轴于点A(xm,0),B0m),且M=-1.以下结论中，正确的有(） Aa=-1 B.设函数gn)=x(n∈N+),则函数gn)先减后增，且最小值为1 C.当n∈N,时，h+k+ln(1+ka)
5 故 f(x)只有一个零点.故 A 错误,B,D 正确. 由导数的几何意义,易知当 x>a 时, 𝑓(𝑥)-𝑓(𝑎) 𝑥-𝑎 >f'(a),即 f(x)>f(x)+f'(a)(x-a); 当 2f(a)+f'(a)(x-a). 故当 a>2 时,对任意的 x>2,且 x≠a,恒有 f(x)>f(a)+f'(a)(x-a). 故 C 正确.故选 BCD. 11.设 Sn 是数列{an}的前 n 项和,且 a1=-1,an+1=SnSn+1,则( ) A.an= 1 𝑛-1 − 1 𝑛 B.an={ -1,𝑛 = 1, 1 𝑛-1 - 1 𝑛 ,𝑛 ≥ 2 C.数列{ 1 𝑆𝑛 }为等差数列 D. 1 𝑆1 + 1 𝑆2 +…+ 1 𝑆100 =-5 050 答案:BCD 解析:因为 Sn 是数列{an}的前 n 项和,且 a1=-1,an+1=SnSn+1, 所以 Sn+1-Sn=SnSn+1,整理得 1 𝑆𝑛+1 − 1 𝑆𝑛 =-1. 所以数列{ 1 𝑆𝑛 }是以 1 𝑆1 =-1 为首项,-1 为公差的等差数列,所以 1 𝑆𝑛 =-1-(n-1)=-n,Sn=- 1 𝑛 . 所以当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1= 1 𝑛-1 − 1 𝑛 . 又 a1=-1 不符合上式, 所以 an={ -1,𝑛 = 1, 1 𝑛-1 - 1 𝑛 ,𝑛 ≥ 2. 因为 1 𝑆𝑛 =-n,所以 1 𝑆1 + 1 𝑆2 +…+ 1 𝑆100 =-(1+2+3+…+100)=- 100×101 2 =-5 050.故选 BCD. 12.已知函数 f(x)= 1 2 (x 2+a)的图象在点 Pn(n,f(n))(n∈N+)处的切线 ln的斜率为 kn,直线 ln 分别交 x 轴、y 轴于点 An(xn,0),Bn(0,yn),且 y1=-1.以下结论中,正确的有( ) A.a=-1 B.设函数 g(n)=xn(n∈N+),则函数 g(n)先减后增,且最小值为 1 C.当 n∈N+时,yn+kn+ 1 2 <ln(1+kn)
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网永远提供更新的！ 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org D.当n∈N,时，设数列 的前n项和为Sn,则Sn⑦21 n 答案：ACD 解析：由x)x2+a),得fx)=x,则fnm)=n,即k=n,故曲线在点Pn,n)处的切线n的方程为y 之㎡+a)=xn又直线a与y轴交于点Bn(0,w,则wr+a)㎡=r+a又n=-l,解得a=l,故A正 确. 国为直线a与x轴交于点A(x,0),所以x受+六即gm)受+元则gm)- 当n≥1时，g(n)≥0，g(n)）单调递增，故g(nmm=g1)=1.故B错误 因为%+忆宁n+宁之r+n,所以当n1时n+片=之当m≥2，且neN.时w+k分0， 又当n=l时，ln(1+k)=in2>lnvE=2h+k+2当n≥2，且n∈N,时，ln(1+k,)=n(1+n)>ln 1=0≥a+k+2所以当n∈N,时，场+k+之n(1+k).故C正确. 因为1 所以S1时最<=-是 所以<2L1+(1,(g-+{怎-]VZ2日=②2型故D正确故途AcD 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分 13.己知点P(-1,1),Q2,4)是曲线y=2上的两点，则与直线PQ平行，且与曲线y=x2相切的直线的方程 为 答案：4x-41=0 解析：依题意y'-=2x,设切点为(0%)，则切线的斜率为2x0 又PQ的斜率为01，切线与PQ平行， 故20=1，即知则0寻故所求的直线方程为)x号即44少1-0， 6
6 D.当 n∈N+时,设数列{ 1 √|𝑦 𝑛 |·𝑘𝑛 }的前 n 项和为 Sn,则 Snln√e = 1 2 =y1+k1+ 1 2 ,当 n≥2,且 n∈N+时,ln(1+kn)=ln(1+n)>ln 1=0≥yn+kn+ 1 2 ,所以当 n∈N+时,yn+kn+ 1 2 1 时, 1 𝑛2 < 1 𝑛(𝑛-1) = 1 𝑛-1 − 1 𝑛 , 所以 Sn<√2 1+ 1- 1 2 + 1 2 − 1 3 +…+ 1 𝑛-1 − 1 𝑛 =√2 (2- 1 𝑛 ) = √2(2𝑛-1) 𝑛 .故 D 正确.故选 ACD. 三、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.已知点 P(-1,1),Q(2,4)是曲线 y=x2 上的两点,则与直线 PQ 平行,且与曲线 y=x2 相切的直线的方程 为 . 答案:4x-4y-1=0 解析:依题意,y'=2x,设切点为(x0,y0),则切线的斜率为 2x0. 又 PQ 的斜率为4-1 2+1 =1,切线与 PQ 平行, 故 2x0=1,即 x0= 1 2 ,则 y0= 1 4 .故所求的直线方程为 y- 1 4 =x- 1 2 ,即 4x-4y-1=0
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的！ 丛书主编任志河。 http://www.zhyh.org 14.在正项等比数列{an}中，若a1=1,a1+a3+a5=21,则q= ,a3十a5+a7= ,(本题第一 空2分，第二空3分) 答案284 解析：设公比为q,9>0,则由a1=1,a1+a+a5=21,可得q+g-20=0,解得q2=4 因为q>0,所以q=2.所以a3+a5+a=q2(a1+a3+a5)=4×21=84 15.若函数x)=x3-在区间(-3，-1)内不单调，则实数k的取值范围为】 答案(3,27) 解析：由已知得fx)=3x2-k 当k≤0时(x)≥0，不合题意，舍去. 故>0. 令fx)=0,则x=士 3 因为x)在区间(-3，-1)内不单调， 所以3<要.1，即3k27 16.设x=1是函数fx)=an+1x3-amx2-am+2x+1(n∈N+)的极值点，数列{am}满足a1=l,a2=2,bn=logzam1.若x)] 表示不超过x的最大整数，则2020+2020 +十 2020 b1b2 b2b3 b2020b2021 答案：2019 解析：fx)=3am+12-2amr-am+2. ∵x=1是函数fx)=an+1x-amx2-am+2x+1(n∈N+)的极值，点， ∴.f1)=3am+1-2am-am+2=0, ∴.an+2-an+l=2(am+1-an）. 又a2-a1=1, .数列{an+1-an}是首项为1，公比为2的等比数列. .am+1-an=2n-1 .an+1=an+1-an+am-an-1+…+a2-a1+a1=2m1+2n-2+…+1+1=2”. ∴.bn=l0g2an+1=n, 1 1 b1b2 b2b3 b2020b2021 四、解答题本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17.(10分)已知等差数列{am}的公差不为0，a1=25,且a1,a11,a13成等比数列. 7
7 14.在正项等比数列{an}中,若 a1=1,a1+a3+a5=21,则 q= ,a3+a5+a7= .(本题第一 空 2 分,第二空 3 分) 答案:2 84 解析:设公比为 q,q>0,则由 a1=1,a1+a3+a5=21,可得 q 4+q2 -20=0,解得 q 2=4. 因为 q>0,所以 q=2.所以 a3+a5+a7=q2 (a1+a3+a5)=4×21=84. 15.若函数 f(x)=x3 -kx 在区间(-3,-1)内不单调,则实数 k 的取值范围为 . 答案:(3,27) 解析:由已知得 f'(x)=3x 2 -k. 当 k≤0 时,f'(x)≥0,不合题意,舍去. 故 k>0. 令 f'(x)=0,则 x=± √3𝑘 3 . 因为 f(x)在区间(-3,-1)内不单调, 所以-3<- √3𝑘 3 <-1,即 3<k<27. 16.设 x=1 是函数 f(x)=an+1x 3 -anx 2 -an+2x+1(n∈N+)的极值点,数列{an}满足 a1=1,a2=2,bn=log2an+1.若[x] 表示不超过 x 的最大整数,则 2 020 𝑏1𝑏2 + 2 020 𝑏2𝑏3 +…+ 2 020 𝑏2 020 𝑏2 021 = . 答案:2 019 解析:f'(x)=3an+1x 2 -2anx-an+2. ∵x=1 是函数 f(x)=an+1x 3 -anx 2 -an+2x+1(n∈N+)的极值点, ∴f'(1)=3an+1-2an-an+2=0, ∴an+2-an+1=2(an+1-an). 又 a2-a1=1, ∴数列{an+1-an}是首项为 1,公比为 2 的等比数列. ∴an+1-an=2 𝑛-1 , ∴an+1=an+1-an+an-an-1+…+a2-a1+a1=2 n-1+2 n-2+…+1+1=2 n . ∴bn=log2an+1=n, ∴ 1 𝑏𝑛𝑏𝑛+1 = 1 𝑛(𝑛+1) = 1 𝑛 − 1 𝑛+1 . ∴ 2 020 𝑏1𝑏2 + 2 020 𝑏2𝑏3 +…+ 2 020 𝑏2 020 𝑏2 021 = 2 020 1- 1 2 + 1 2 − 1 3 +…+ 1 2 020 − 1 2 021 = 2 019+ 1 2 021 =2 019. 四、解答题:本题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(10 分)已知等差数列{an}的公差不为 0,a1=25,且 a1,a11,a13成等比数列
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网永远提供更新的！ 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org (I)求{an}的通项公式， (2)求a1+a4+a+…+a3m-2. 解：(1)设{am}的公差为d.由题意，a1=a1a13, 即(a1+10d)2=a1(a1+12d0,于是d2a+25d=0.又a1=25,d#0,故d=-2. 故an=-2n+27. (2)令Sn=a1+a4ta7+…+a3n-2. 由(1)知a3m-2=-6n+31,故{a3m-2}是首项为25，公差为-6的等差数列. 故Sn2气a1+a3m2)2-6n+56)=-3r+28n. 18.(12分)已知函数x)=(x+a)e,a∈R. (1)若函数x)在区间[-3，+o)内单调递增，求实数a的取值范围： (2)若x)≥e2在区间[0,2]上恒成立，求实数a的取值范围. 解：(1fx)=(x+a+1)e,x∈R 因为函数x)在区间[-3，+∞)内单调递增， 所以fx)≥0，即x+a+1≥0在区间[-3，+o)内恒成立. 因为y=x+a+1是增函数 所以只需-3+a+1≥0，即a≥2 (2)依题意，fx)=(x+a)e≥e2,即a≥e2--x在区间[0,2]上恒成立，即a≥(e2-x)max 令gx)=e2-xx,x∈[0,2]， 则g《x)=-e2--1 因为g(x)=-e2-x1<0在区间[0,2]上恒成立， 所以g(x)在区间[0,2]上单调递减， 所以gx)mar=g0)=e2.所以a≥e2. 19.(12分)已知正项数列{am}的前n项和Sn满足S子-(n2+n-1)Sw(r2+m)=0, (1)求数列{an}的通项公式am; (②冷6数列，}的前n项和为1.证明：对于任意的n∈N都有1合 (1)解：由S7-(r2+n-1)Sm-(2+n)=0,得[Sn-(2+nm)](Sn+1)=0. 因为{an}是正项数列，所以Sm=r2+n. 所以a1=S1=2 当n≥2时，an=Sm-Sm-1=r2+n-(n-1)2-(n-1)=2n 因为a1=2符合上式，所以am=2n. 所以数列{an}的通项公式为an=2n 8
8 (1)求{an}的通项公式; (2)求 a1+a4+a7+…+a3n-2. 解:(1)设{an}的公差为 d.由题意,𝑎11 2 =a1a13, 即(a1+10d) 2=a1(a1+12d),于是 d(2a1+25d)=0.又 a1=25,d≠0,故 d=-2. 故 an=-2n+27. (2)令 Sn=a1+a4+a7+…+a3n-2. 由(1)知 a3n-2=-6n+31,故{a3n-2}是首项为 25,公差为-6 的等差数列. 故 Sn= 𝑛 2 (a1+a3n-2)= 𝑛 2 (-6n+56)=-3n 2+28n. 18.(12 分)已知函数 f(x)=(x+a)ex ,a∈R. (1)若函数 f(x)在区间[-3,+∞)内单调递增,求实数 a 的取值范围; (2)若 f(x)≥e 2 在区间[0,2]上恒成立,求实数 a 的取值范围. 解:(1)f'(x)=(x+a+1)ex ,x∈R. 因为函数 f(x)在区间[-3,+∞)内单调递增, 所以 f'(x)≥0,即 x+a+1≥0 在区间[-3,+∞)内恒成立. 因为 y=x+a+1 是增函数, 所以只需-3+a+1≥0,即 a≥2. (2)依题意,f(x)=(x+a)ex≥e 2 ,即 a≥e 2-x -x 在区间[0,2]上恒成立,即 a≥(e2-x -x)max. 令 g(x)=e 2-x -x,x∈[0,2], 则 g'(x)=-e 2-x -1. 因为 g'(x)=-e 2-x -1<0 在区间[0,2]上恒成立, 所以 g(x)在区间[0,2]上单调递减, 所以 g(x)max=g(0)=e 2 .所以 a≥e 2 . 19.(12 分)已知正项数列{an}的前 n 项和 Sn满足𝑆𝑛 2 -(n 2+n-1)·Sn-(n 2+n)=0. (1)求数列{an}的通项公式 an; (2)令 bn= 𝑛+1 (𝑛+2) 2 𝑎𝑛 2 ,数列{bn}的前 n 项和为 Tn.证明:对于任意的 n∈N,都有 Tn< 5 64. (1)解:由𝑆𝑛 2 -(n 2+n-1)Sn-(n 2+n)=0,得[Sn-(n 2+n)](Sn+1)=0. 因为{an}是正项数列,所以 Sn=n2+n. 所以 a1=S1=2. 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=n2+n-(n-1)2 -(n-1)=2n. 因为 a1=2 符合上式,所以 an=2n. 所以数列{an}的通项公式为 an=2n
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的！ 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org (2)证明：因为an=2n, 所以bn= n+1 n+1 +2)a 1 11 品×(1+)= 20.(12分)某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量单位：千克)与销售价格x(单位：万 元/千克)满足关系式y。+x-6,其中3<<6，a为常数，已知销售价格为5万元/千克时，每日可售出 该商品2千克 (1)求a的值： (2)若该商品的成本为3万元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最 大 解：(1)当=5时是(5-6-2，解得a-2 (2)(山)可知，忌x6,故商场每日销售该商品所获得的利润)-x3引[居+(x-6]-2+3x 6)2,其中3<x<6. 从而fx)=3(x-4)(x-6) 当x变化时x),x)的变化情况如下表 3.4) 4,6) x 极大值6 故当x=4时x)max=6 故当销售价格为4万元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大 21.(12分)已知成等差数列的三个正数的和等于15，且这三个数分别加上2,5,13后成为等比数列bm} 中的b3,b4,bs. (I)求数列{bm}的通项公式， (2)设数列{b}的前n项和为S求证数列Sn+}是等比数列， (I)解：设成等差数列的三个正数分别为a-d,a,a+d 依题意，a-d+a+a+d=15,解得a=5.则b3-7-d,b4=10,b5-18+d. 依题意，(7-d(18+d山=100，解得d=2或d=13(舍去) 因为}为等比数列，所以公比gg-2,b1导=月 9
9 (2)证明:因为 an=2n, 所以 bn= 𝑛+1 (𝑛+2) 2 𝑎𝑛 2 = 𝑛+1 4𝑛2(𝑛+2) 2 = 1 16 1 𝑛2 − 1 (𝑛+2) 2 . 所以 Tn= 1 16 1- 1 3 2 + 1 2 2 − 1 4 2 + 1 3 2 − 1 5 2+…+ 1 (𝑛-1) 2 − 1 (𝑛+1) 2 + 1 𝑛2 − 1 (𝑛+2) 2 = 1 16 1+ 1 2 2 − 1 (𝑛+1) 2 − 1 (𝑛+2) 2 < 1 16 × (1 + 1 2 2 ) = 5 64. 20.(12 分)某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量 y(单位:千克)与销售价格 x(单位:万 元/千克)满足关系式 y= 𝑎 𝑥-3 +(x-6)2 ,其中 3<x<6,a 为常数,已知销售价格为 5 万元/千克时,每日可售出 该商品 2 千克. (1)求 a 的值; (2)若该商品的成本为 3 万元/千克,试确定销售价格 x 的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最 大. 解:(1)当 x=5 时,y= 𝑎 5-3 +(5-6)2=2,解得 a=2. (2)由(1)可知,y= 2 𝑥-3 +(x-6)2 ,故商场每日销售该商品所获得的利润 f(x)=(x-3)·[ 2 𝑥-3 + (𝑥-6) 2 ]=2+(x-3)(x- 6)2 ,其中 3<x<6. 从而 f'(x)=3(x-4)(x-6). 当 x 变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表. x (3,4) 4 (4,6) f'(x) + 0 - f(x) ↗ 极大值 6 ↘ 故当 x=4 时,f(x)max=6. 故当销售价格为 4 万元/千克时,商场每日销售该商品所获得的利润最大. 21.(12 分)已知成等差数列的三个正数的和等于 15,且这三个数分别加上 2,5,13 后成为等比数列{bn} 中的 b3,b4,b5. (1)求数列{bn}的通项公式; (2)设数列{bn}的前 n 项和为 Sn,求证:数列{𝑆𝑛 + 5 4 }是等比数列. (1)解:设成等差数列的三个正数分别为 a-d,a,a+d. 依题意,a-d+a+a+d=15,解得 a=5.则 b3=7-d,b4=10,b5=18+d. 依题意,(7-d)(18+d)=100,解得 d=2 或 d=-13(舍去). 因为{bn}为等比数列,所以公比 q= 𝑏4 𝑏3 =2,b1= 𝑏3 𝑞 2 = 5 4
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的！ 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org 所以bn=52-3 ②)证明：依题意S1--52n2-故S+52故S+=+1t7 _52n-1 2' Sn+i 5222 因此5+}是以为首项，2为公比的等比数列 22.(12分)已知函数x)=x2-mlnx,h(x)=x2-x+a. (1)当a=0时x)≥hx)在区间(1，+o)内恒成立，求实数m的取值范围； (2)当m=2时，若函数kx)=x)-x)在区间(1,3)内恰有两个零点，求实数a的取值范围. 解(1)由x)≥hx)在区间(1，+o)内恒成立， 可知m≤益在区间(L,+o)内恒成立 令)点则g- (Inx) 当x∈(1，e)时，g(x)0,故g(x)在区间(1，e)内单调递减，在区间(e,+o)内单调递增. 故当r=e时，g(x)min=ge)=e. 故m≤e.故m的取值范围是(-o,c] (2)由已知，得x)=x-2nx-a 因为函数x)在区间(1,3)内恰有两个零点， 所以函数p(x)=x-2lnx的图象与直线y=a有两个交点 又p=12=受 所以当x∈(1,2)时，p'(x)0,p(x)单调递增. 又p(1)=1,p(2)=2-2ln2,p(3)=3-2ln3, 所以要使直线y=a与函数p(x)=x-2lnx的图象有两个交点，只需2-2ln2<a<3-2ln3. 故a的取值范围是(2-2ln2,3-2ln3). 10
10 所以 bn=5·2 n-3 . (2)证明:依题意,Sn= 5 4 (1-2 𝑛 ) 1-2 =5·2 𝑛-2 − 5 4 ,故 Sn+ 5 4 =5·2 n-2 .故 S1+ 5 4 = 5 2 , 𝑆𝑛+1+ 5 4 𝑆𝑛+ 5 4 = 5·2 𝑛-1 5·2 𝑛-2=2. 因此{𝑆𝑛 + 5 4 }是以5 2 为首项,2 为公比的等比数列. 22.(12 分)已知函数 f(x)=x2 -mln x,h(x)=x2 -x+a. (1)当 a=0 时,f(x)≥h(x)在区间(1,+∞)内恒成立,求实数 m 的取值范围; (2)当 m=2 时,若函数 k(x)=f(x)-h(x)在区间(1,3)内恰有两个零点,求实数 a 的取值范围. 解:(1)由 f(x)≥h(x)在区间(1,+∞)内恒成立, 可知 m≤ 𝑥 ln𝑥 在区间(1,+∞)内恒成立. 令 g(x)= 𝑥 ln𝑥 ,则 g'(x)= ln𝑥-1 (ln𝑥) 2 . 当 x∈(1,e)时,g'(x)0,故 g(x)在区间(1,e)内单调递减,在区间(e,+∞)内单调递增. 故当 x=e 时,g(x)min=g(e)=e. 故 m≤e.故 m 的取值范围是(-∞,e]. (2)由已知,得 k(x)=x-2ln x-a. 因为函数 k(x)在区间(1,3)内恰有两个零点, 所以函数 φ(x)=x-2ln x 的图象与直线 y=a 有两个交点. 又 φ'(x)=1- 2 𝑥 = 𝑥-2 𝑥 , 所以当 x∈(1,2)时,φ'(x)0,φ(x)单调递增. 又 φ(1)=1,φ(2)=2-2ln 2,φ(3)=3-2ln 3, 所以要使直线 y=a 与函数 φ(x)=x-2ln x 的图象有两个交点,只需 2-2ln 2<a<3-2ln 3. 故 a 的取值范围是(2-2ln 2,3-2ln 3)