第三章测评 (时间：120分钟满分：150分) 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的， 1某教学大楼共有五层，每层均有两个楼梯，由一层到五层的走法有() A.10种 B.25种 C.52种 D.24种 含案□p 解析每相邻的两层之间各有2种走法，共分4步 由分步乘法计数原理，共有24种不同的走法 2.用数字1,2,3,4,5排成的无重复数字的四位偶数的个数为() A.8 B.24 C.48 D.120 答案☐ 解析份两步：第一步，末位数字排法有A2种；第二步，其他位置排法有A种依据分步乘法计 数原理，共有AA=48种. 3.不等式A始<6A路2的解集为( A[2,8] B.[2,6] C.(7,12) D.{8} 答案D 解析由不等式A<6Ag2,得x2.19x+84<0,解得7<x<12,又2s≤8，x∈N+,故x=8. 4.如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志 愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( A.24 B.18 C.12 D.9 答案B 解析份两步来完成：第一步，从E→F,有6条可以选择的最短路径；第二步，从F→G,有3条 可以选择的最短路径由分步乘法计数原理知，共有6×3=18条可以选择的最短路径故选B. 5已知(x) 的展开式的第5项等于5，则x等于 () A B月 C.7 D.-7 答案9 解析□由-c()‘-5,得x-7 6.从6本不同的书中选出4本，分别发给4名同学，己知其中3本书不能发给甲同学，则不同分 配方法有( A180种 B.220种 C.240种 D.260种 答案A 解析份两步来完成：第一步，因为其中3本书不能发给甲同学，所以甲只能从剩下的3本中 分1本，有A种方法；第二步，再选3本分给3名同学，有A3种方法 依据分步乘法计数原理共有AA=I80种
第三章测评 (时间:120 分钟 满分:150 分) 一、单项选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项 中,只有一项是符合题目要求的. 1.某教学大楼共有五层,每层均有两个楼梯,由一层到五层的走法有( ) A.10 种 B.25 种 C.52 种 D.24 种 答案 D 解析 每相邻的两层之间各有 2 种走法,共分 4 步. 由分步乘法计数原理,共有 2 4 种不同的走法. 2.用数字 1,2,3,4,5 排成的无重复数字的四位偶数的个数为( ) A.8 B.24 C.48 D.120 答案 C 解析 分两步:第一步,末位数字排法有A2 1种;第二步,其他位置排法有A4 3种.依据分步乘法计 数原理,共有A2 1 A4 3=48 种. 3.不等式A8 𝑥<6A8 𝑥-2的解集为( ) A.[2,8] B.[2,6] C.(7,12) D.{8} 答案 D 解析 由不等式A8 𝑥<6A8 𝑥-2 ,得 x 2 -19x+84<0,解得 7<x<12,又 2≤x≤8,x∈N+,故 x=8. 4.如图,小明从街道的 E 处出发,先到 F 处与小红会合,再一起到位于 G 处的老年公寓参加志 愿者活动,则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( ) A.24 B.18 C.12 D.9 答案 B 解析 分两步来完成:第一步,从 E→F,有 6 条可以选择的最短路径;第二步,从 F→G,有 3 条 可以选择的最短路径.由分步乘法计数原理知,共有 6×3=18 条可以选择的最短路径.故选 B. 5.已知(𝑥- 1 𝑥 ) 7 的展开式的第 5 项等于 5,则 x 等于 ( ) A.1 7 B.- 1 7 C.7 D.-7 答案 C 解析 由 T5=C7 4 x 3(- 1 𝑥 ) 4 =5,得 x=7. 6.从 6 本不同的书中选出 4 本,分别发给 4 名同学,已知其中 3 本书不能发给甲同学,则不同分 配方法有( ) A.180 种 B.220 种 C.240 种 D.260 种 答案 A 解析 分两步来完成:第一步,因为其中 3 本书不能发给甲同学,所以甲只能从剩下的 3 本中 分 1 本,有A3 1种方法;第二步,再选 3 本分给 3 名同学,有A5 3种方法. 依据分步乘法计数原理共有A3 1 A5 3=180 种
7,从4名男同学和3名女同学中选出3名同学参加某项活动，则男女生都有的选法种数是 () A.18 B.24 C.30 D.36 答案☐ 解析方法一分两类：第一类，选出的3人中有2名男同学1名女同学的方法有CC种；第 二类，选出的3人中有1名男同学2名女同学的方法有CC好种 依据分类加法计数原理，3名同学中男女生都有的选法有CC+CC好=30种. 方法二从7名同学中任选3名同学的方法数是C房，所选3名同学全是男生的方法数是C子， 全是女生的方法数是C浮.因此男女生都有的选法种数是C号-C屏-C=30, 8.(1-3x)5=ao+ax+azx2+axx+asx+asx,aol+la+laz+lasl+lasl+las=() A.1024 B.243 C.32 D.24 答案☐A 解析☐令x=-l,得a0-a1+a2-a3+a4-a5. 由(1-3x)5的通项T+1=C(-3)x知a1,a3,a5为负值，因此|aol+a+la2+as+la4+a5=a0a1+a2- a3+a4-a5=[1-(-3)]5=45-1024. 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有 多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分 9.已知(1+x)”的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则() A.n=10 B.n=11 C.奇数项的二项式系数和为21 D.奇数项的二项式系数和为29 答案AD 解析由题意，C员=C7,解得n=10.则奇数项的二项式系数和为2-1-2.故选AD 10.下列关于（反+）°的说法正确的是() A常数项为5 B通项公式为C华 C.所有项的系数和为32 D.所有项的系数和为16 答案☐ABC 解析☐展开式的通项公式为1x-C皆x费，故B选项正确 令】-变0，解得k=l,故展开式中的常数项为-C华5，A选项正确： 令x=1,得到所有项的系数和为25=32，C选项正确，D选项错误 综上所述，ABC说法正确. 11.下列关于求(a+1)(a+2)(a+3)(a+4)(a+5)展开式中c3的系数的说法错误的是( ) A.在1,2,3,4,5中所有任取两个不同的数的乘积之和 B.在1,2,3,4,5中所有任取三个不同的数的乘积之和 C.在1,2,3,4,5中所有任取四个不同的数的乘积之和 D.以上结论都不对 答案☐BCD 解析展开(a+1)(a+2)(a+3)(a+4)(a+5),则展开式中a的系数可以看成一个因式取a,其余的 两个因式是从5个因式中任意取.故A说法正确，BCD说法错误」
7.从 4 名男同学和 3 名女同学中选出 3 名同学参加某项活动,则男女生都有的选法种数是 ( ) A.18 B.24 C.30 D.36 答案 C 解析 方法一 分两类:第一类,选出的 3 人中有 2 名男同学 1 名女同学的方法有C4 2C3 1种;第 二类,选出的 3 人中有 1 名男同学 2 名女同学的方法有C4 1C3 2种. 依据分类加法计数原理,3 名同学中男女生都有的选法有C4 2C3 1 + C4 1C3 2=30 种. 方法二 从 7 名同学中任选 3 名同学的方法数是C7 3 ,所选 3 名同学全是男生的方法数是C4 3 , 全是女生的方法数是C3 3 .因此男女生都有的选法种数是C7 3 − C4 3 − C3 3=30. 8.已知(1-3x) 5=a0+a1x+a2x 2+a3x 3+a4x 4+a5x 5 ,则|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|=( ) A.1 024 B.243 C.32 D.24 答案 A 解析 令 x=-1,得 a0-a1+a2-a3+a4-a5. 由(1-3x) 5 的通项 Tk+1=C5 𝑘 (-3)k·x k知 a1,a3,a5 为负值,因此|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|=a0-a1+a2- a3+a4-a5=[1-(-3)]5=4 5=1 024. 二、多项选择题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.在每小题给出的选项中,有 多项符合题目要求.全部选对的得 5 分,部分选对的得 2 分,有选错的得 0 分. 9.已知(1+x) n 的展开式中第 4 项与第 8 项的二项式系数相等,则( ) A.n=10 B.n=11 C.奇数项的二项式系数和为 2 11 D.奇数项的二项式系数和为 2 9 答案 AD 解析 由题意,C𝑛 3 = C𝑛 7 ,解得 n=10.则奇数项的二项式系数和为 2 n-1=2 9 .故选 AD. 10.下列关于(√𝑥 + 1 𝑥 2 ) 5 的说法正确的是( ) A.常数项为 5 B.通项公式为C5 𝑘𝑥 5 2 - 5 2 𝑘 C.所有项的系数和为 32 D.所有项的系数和为 16 答案 ABC 解析 展开式的通项公式为 Tk+1=(√𝑥) 5-k (𝑥 1 2) k=C5 𝑘𝑥 5 2 - 5𝑘 2 ,故 B 选项正确; 令 5 2 − 5𝑘 2 =0,解得 k=1,故展开式中的常数项为 T2=C5 1=5,A 选项正确; 令 x=1,得到所有项的系数和为 2 5=32,C 选项正确,D 选项错误. 综上所述,ABC 说法正确. 11.下列关于求(a+1)(a+2)(a+3)(a+4)(a+5)展开式中 a 3 的系数的说法错误的是( ) A.在 1,2,3,4,5 中所有任取两个不同的数的乘积之和 B.在 1,2,3,4,5 中所有任取三个不同的数的乘积之和 C.在 1,2,3,4,5 中所有任取四个不同的数的乘积之和 D.以上结论都不对 答案 BCD 解析 展开(a+1)(a+2)(a+3)(a+4)(a+5),则展开式中 a 3 的系数可以看成一个因式取 a,其余的 两个因式是从 5 个因式中任意取.故 A 说法正确,BCD 说法错误
12.设(2-x)5=ao+a1x+a2x2+..+a5x5,则下列结论正确的是() A.a0+a2+a4=122 B.a0+a1+a2+a3+a4+a5=1 C.a1+a3+a5=-121 D.a1+a3=20 答案]ABC 解析令x=1,可得a0+a1+a2+a+a4+a5=l;令x=-l,可得a0-a1+a2-a+a4-a5=35 两式相加除以2，得a0+a2+a4=122,两式相减除以2，得a1+a3+a5=-121. 又由条件可知a5=-1,故a1+a3=-120. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分 13.某运动队有5对老搭档运动员，现抽派4名运动员参加比赛，则这4人都不是老搭档的抽 派方法有」 种 答案80 解析☐先抽派4对老搭档运动员，再从每对老搭档运动员中各抽派1人，故有CCCCZC-80 种抽派方法。 14.已知C9+2C1+22C+23C+..+2"C=729,则C1+C2+C员+..+CR等于 答案☐53 解析逆用二项式定理得C9+2C1+22C2+23C品+.…+2CR(1+2)”-3”-729,即3”-36，得n=6. 因此C1+C2+C7+..+C=26.C%=64-1=-63. 15.男、女学生共有8人，从男生中选取2人，从女生中选取1人，共有30种不同的选法，其中 女生有 人 答案☐上或3 解析☐设女生有x人，则男生有(8-x)人，因此CxC以30，即⑧x7四x=30,解得x=2或3 2 16.高三(3)班学生要安排毕业晚会的3个音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺 序，要求2个舞蹈节目不连排，3个音乐节目恰有2个节目连排，则不同排法的种数 是 含案☐288 解析☐先从3个音乐节目中选取2个排好后作为1个节日，有A种排法，这样共有5个节目， 其中2个音乐节目不连排，2个舞蹈节目不连排如图，若曲艺节目排在5号（或1号）位置，则有 4A3A3=16种排法，若曲艺节目排在2号（或4号）位置，则有4A3A3=16种排法；若曲艺节目排 在3号位置，则有2×2A经A经=16种排法 故共有不同排法A3×(16×3)=288种. 2345 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17.(10分)已知A={x1<log2x<3,x∈N+},B={xlx-6<3,x∈N+}.试间 (1)从集合A和B中各取一个元素作直角坐标系中点的坐标，共可得到多少个不同的点？ (2)从AUB中取出3个不同的元素组成三位数，从左到右的数字要逐渐增大，这样的三位数有 多少个？ 解☐由1<log2r<3,x∈N+,得2<x<8,x∈N.由x-6<3,x∈N+,得3<x<9,x∈N+,则 A={3,4,5,6,7},B={4,5,6,7,8}
12.设(2-x) 5=a0+a1x+a2x 2+…+a5x 5 ,则下列结论正确的是( ) A.a0+a2+a4=122 B.a0+a1+a2+a3+a4+a5=1 C.a1+a3+a5=-121 D.a1+a3=20 答案 ABC 解析 令 x=1,可得 a0+a1+a2+a3+a4+a5=1;令 x=-1,可得 a0-a1+a2-a3+a4-a5=3 5 . 两式相加除以 2,得 a0+a2+a4=122,两式相减除以 2,得 a1+a3+a5=-121. 又由条件可知 a5=-1,故 a1+a3=-120. 三、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.某运动队有 5 对老搭档运动员,现抽派 4 名运动员参加比赛,则这 4 人都不是老搭档的抽 派方法有 种. 答案 80 解析 先抽派 4 对老搭档运动员,再从每对老搭档运动员中各抽派 1 人,故有C5 4C2 1C2 1C2 1C2 1=80 种抽派方法. 14.已知C𝑛 0+2C𝑛 1+2 2C𝑛 2+2 3C𝑛 3+…+2 n C𝑛 𝑛=729,则C𝑛 1 + C𝑛 2 + C𝑛 3+…+C𝑛 𝑛等于 . 答案 63 解析 逆用二项式定理得C𝑛 0+2C𝑛 1+2 2C𝑛 2+2 3C𝑛 3+…+2 n C𝑛 𝑛=(1+2)n=3 n=729,即 3 n=3 6 ,得 n=6. 因此C𝑛 1 + C𝑛 2 + C𝑛 3+…+C𝑛 𝑛=2 6 -C𝑛 0=64-1=63. 15.男、女学生共有 8 人,从男生中选取 2 人,从女生中选取 1 人,共有 30 种不同的选法,其中 女生有 人. 答案 2 或 3 解析 设女生有 x 人,则男生有(8-x)人,因此C8-𝑥 2 C𝑥 1=30,即 (8-𝑥)(7-𝑥) 2 ·x=30,解得 x=2 或 3. 16.高三(3)班学生要安排毕业晚会的 3 个音乐节目,2 个舞蹈节目和 1 个曲艺节目的演出顺 序,要求 2 个舞蹈节目不连排,3 个音乐节目恰有 2 个节目连排,则不同排法的种数 是 . 答案 288 解析 先从 3 个音乐节目中选取 2 个排好后作为 1 个节目,有A3 2种排法,这样共有 5 个节目, 其中 2 个音乐节目不连排,2 个舞蹈节目不连排.如图,若曲艺节目排在 5 号(或 1 号)位置,则有 4A2 2 A2 2=16 种排法;若曲艺节目排在 2 号(或 4 号)位置,则有 4A2 2 A2 2=16 种排法;若曲艺节目排 在 3 号位置,则有 2×2A2 2 A2 2=16 种排法. 故共有不同排法A3 2×(16×3)=288 种. 1 2 3 4 5 四、解答题:本题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(10 分)已知 A={x|1<log2x<3,x∈N+},B={x||x-6|<3,x∈N+}.试问: (1)从集合 A 和 B 中各取一个元素作直角坐标系中点的坐标,共可得到多少个不同的点? (2)从 A∪B 中取出 3 个不同的元素组成三位数,从左到右的数字要逐渐增大,这样的三位数有 多少个? 解 由 1<log2x<3,x∈N+,得 2<x<8,x∈N+.由|x-6|<3,x∈N+,得 3<x<9,x∈N+,则 A={3,4,5,6,7},B={4,5,6,7,8}
(1)分三类：第一类，从A中取一个数作为横坐标，从B中取一个数作为纵坐标，有5x5=25个；第 二类，8作为横坐标的情况有5种；第三类，3作为纵坐标的情况有4种.根据分类加法计数原理 共有5×5+5+4=34个不同的点. (2)AUB={3,4,5,6,7,8},则这样的三位数共有C-20个 18.(12分)有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座，规定前排中间的3个 座位不能坐，并且这2人不左右相邻，共有多少种不同排法？ 解☐：前排中间3个座位不能坐 ∴.实际可坐的位置前排8个，后排12个 (1)两人一个前排，一个后排，方法数为CC12A经种： (2)两人均在后排左右不相邻，方法数为A2一A经A11=A经1种： (3)两人均在前排，又分两类： ①两人一左一右，方法数为CCA3种 ②两人同左或同右，方法数为2(A好-A站A)种 综上所述，不同排法种数为CC2A+A1+C1C4A3+2(A经-A号A)=346. 19.(12分)已知甲、乙、丙、丁、戊、己6人.（以下问题用数字作答） (1)邀请这6人去参加一项活动，必须有人去，去几人自行决定，共有多少种不同的安排方法？ (2)将这6人作为辅导员全部安排到3项不同的活动中，求每项活动至少安排1名辅导员的 方法总数是多少 解☐1)Cg+C哈+.…+Cg-26-1=63,故共有63种不同的去法. (2)该问题共分为三类： 第一类，6人中恰有4人分配到其中一项活动中，另外两项活动各分一人，共有C种； 第二类，6人中恰有3人分配到其中一项活动中，共有CCA种 第三类，6人平均分配到三项活动中，共有CCC种。 依据分类加法计数原理，每项活动至少安排1名辅导员的方法总数为CA修+CCA+ C名CC2=90+360+90=540种 20.(12分已知（层同）的展开式的各项系数之和等于(46高)”的展开式中的常数项求 (1)展开式的二项式系数和 (2)展开式中含a项的二项式系数 解□依题意，令a-1,得（信间展开式中各项系数和为3-1-2(46扁）》°辰开式中的通 项为11=c46()-1c545学 若11为常教项则。-0，即-2 故常数项为T3(-1)2C451=27,于是有2”-27，得n=7. ((径V同)展开式的二项式系数和为2”-2=128 2(得-a回的通项为1-c(月*(a-c3婴，合2-l,得，即所求 6 项的二项式系数为C=35 21.(12分)从1,3,5,7,9中任取3个数字，从0,2,4,6,8中任取2个数字，一共可以排成多少个没 有重复数字的五位偶数？ 解☐分两类来完成即五位数中不含数字0和五位数中含有数字0. 第一类，五位数中不含数字0.可以分两步来完成： 第一步，选出5个数字，共有CC种选法. 第二步，排成偶数，先排末位数，有A种排法，再排其他四位数字，有A4种排法
(1)分三类:第一类,从 A 中取一个数作为横坐标,从 B 中取一个数作为纵坐标,有 5×5=25 个;第 二类,8 作为横坐标的情况有 5 种;第三类,3 作为纵坐标的情况有 4 种.根据分类加法计数原理 共有 5×5+5+4=34 个不同的点. (2)A∪B={3,4,5,6,7,8},则这样的三位数共有C6 3=20 个. 18.(12 分)有两排座位,前排 11 个座位,后排 12 个座位,现安排 2 人就座,规定前排中间的 3 个 座位不能坐,并且这 2 人不左右相邻,共有多少种不同排法? 解 ∵前排中间 3 个座位不能坐, ∴实际可坐的位置前排 8 个,后排 12 个. (1)两人一个前排,一个后排,方法数为C8 1C12 1 A2 2种; (2)两人均在后排左右不相邻,方法数为A12 2 − A2 2 A11 1 = A11 2 种; (3)两人均在前排,又分两类: ①两人一左一右,方法数为C4 1C4 1A2 2种; ②两人同左或同右,方法数为 2(A4 2 − A3 1 A2 2 )种. 综上所述,不同排法种数为C8 1C12 1 A2 2 + A11 2 + C4 1C4 1A2 2+2(A4 2 − A3 1 A2 2 )=346. 19.(12 分)已知甲、乙、丙、丁、戊、己 6 人.(以下问题用数字作答) (1)邀请这 6 人去参加一项活动,必须有人去,去几人自行决定,共有多少种不同的安排方法? (2)将这 6 人作为辅导员全部安排到 3 项不同的活动中,求每项活动至少安排 1 名 辅导员的 方法总数是多少. 解 (1)C6 1 + C6 2+…+C6 6=2 6 -1=63,故共有 63 种不同的去法. (2)该问题共分为三类: 第一类,6 人中恰有 4 人分配到其中一项活动中,另外两项活动各分一人,共有C6 4A3 3种; 第二类,6 人中恰有 3 人分配到其中一项活动中,共有C6 3C3 2A3 3种; 第三类,6 人平均分配到三项活动中,共有C6 2C4 2C2 2种. 依据分类加法计数原理,每项活动至少安排 1 名辅导员的方法总数为C6 4A3 3 + C6 3C3 2A3 3 + C6 2C4 2C2 2=90+360+90=540 种. 20.(12 分)已知( 3 √𝑎 - √a 3 ) n 的展开式的各项系数之和等于(4√𝑏 3 - 1 √5𝑏 ) 5 的展开式中的常数项,求: (1)展开式的二项式系数和; (2)展开式中含 a -1 项的二项式系数. 解 依题意,令 a=1,得( 3 √𝑎 - √a 3 ) n 展开式中各项系数和为(3-1)n=2 n ,(4√𝑏 3 - 1 √5𝑏 ) 5 展开式中的通 项为 Tk+1=C5 𝑘 (4√𝑏 3 ) 5-k (- 1 √5𝑏 ) 𝑘 =(-1)k C5 𝑘4 5-k 5 - 𝑘 2𝑏 10-5𝑘 6 . 若 Tk+1 为常数项,则 10-5𝑘 6 =0,即 k=2, 故常数项为 T3=(-1)2C5 24 35 -1=2 7 ,于是有 2 n=2 7 ,得 n=7. (1)( 3 √𝑎 - √𝑎 3 ) 𝑛 展开式的二项式系数和为 2 n=2 7=128. (2)( 3 √𝑎 - √𝑎 3 ) 7 的通项为 Tk+1=C7 𝑘 ( 3 √𝑎 ) 7-𝑘 ·(- √𝑎 3 ) k=C7 𝑘 (-1)k 3 7-k 𝑎 5𝑘-21 6 ,令 5𝑘-21 6 =-1,得 k=3,即所求 a -1 项的二项式系数为C7 3=35. 21.(12 分)从 1,3,5,7,9 中任取 3 个数字,从 0,2,4,6,8 中任取 2 个数字,一共可以排成多少个没 有重复数字的五位偶数? 解 分两类来完成即五位数中不含数字 0 和五位数中含有数字 0. 第一类,五位数中不含数字 0.可以分两步来完成: 第一步,选出 5 个数字,共有C5 3C4 2种选法. 第二步,排成偶数,先排末位数,有A2 1种排法,再排其他四位数字,有A4 4种排法
依据分步乘法计数原理，共有CCA2A4. 第二类，五位数中含有数字0.可以分两步来完成： 第一步，选出5个数字，共有CC种选法. 第二步，排顺序又可分为两小类： a末位排0，有A1A种排列方法. b.末位不排0.这时末位数有1种选法，而因为0不能排在首位，所以首位有A种排法，其余3 个数字则有A种排法.共有CC4(AA4+A3A)种排法. 依据分类加法计数原理，符合条件的偶数个数为CCA2A年+CC(A1A4+AA)=4560, 22.(12分)把n个正整数全排列后得到的数叫做再生数”，“再生数”中最大的数叫做“最大再 生数”，最小的数叫做“最小再生数” (1)求1,2,3,4的“再生数”的个数，以及其中的“最大再生数”和“最小再生数”： (2)试求任意5个正整数（可相同）的“再生数”的个数 解☐1)1,2,3,4的“再生数”的个数为A-24,其中“最大再生数”为4321，“最小再生数”为1234. (2)需要考查5个数中相同数的个数 若5个数各不相同，有A=120个“再生数”， 若有2个数相同，则有袋=60个“再生数 若有3个数相同，则有怎-20个“再生数” 若有4个数相同，则有=5个再生教 A年 若5个数全相同，则有1个“再生数
依据分步乘法计数原理,共有C5 3C4 2A2 1A4 4 . 第二类,五位数中含有数字 0.可以分两步来完成: 第一步,选出 5 个数字,共有C5 3C4 1种选法. 第二步,排顺序又可分为两小类: a.末位排 0,有A1 1 A4 4种排列方法. b.末位不排 0.这时末位数有 1 种选法,而因为 0 不能排在首位,所以首位有A3 1种排法,其余 3 个数字则有A3 3种排法.共有C5 3C4 1 (A1 1 A4 4 + A3 1 A3 3 )种排法. 依据分类加法计数原理,符合条件的偶数个数为C5 3C4 2A2 1A4 4 + C5 3C4 1 (A1 1A4 4 + A3 1 A3 3 )=4 560. 22.(12 分)把 n 个正整数全排列后得到的数叫做“再生数”,“再生数”中最大的数叫做“最大再 生数”,最小的数叫做“最小再生数”. (1)求 1,2,3,4 的“再生数”的个数,以及其中的“最大再生数”和“最小再生数”; (2)试求任意 5 个正整数(可相同)的“再生数”的个数. 解 (1)1,2,3,4 的“再生数”的个数为A4 4=24,其中“最大再生数”为 4 321,“最小再生数”为 1 234. (2)需要考查 5 个数中相同数的个数. 若 5 个数各不相同,有A5 5=120 个“再生数”; 若有 2 个数相同,则有A5 5 A2 2=60 个“再生数”; 若有 3 个数相同,则有A5 5 A3 3=20 个“再生数”; 若有 4 个数相同,则有A5 5 A4 4=5 个“再生数”; 若 5 个数全相同,则有 1 个“再生数