第四章测评 (时间：120分钟满分：150分) 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的 1已知P(BMR4)则RLAB( A B品 c是 D品 案☐c 133 解析☐P(MB)=P(B4)P4)-2×亏=o 2.某同学通过计算机测试的概率为他连续测试3次，其中恰有1次通过的概率为 ) A B明 c先 D号 案☐A 解析☐连续测试3次，其中恰有1次通过的概率为P=-C××()=台 3.在某项测量中，测量结果X服从正态分布N(1,G2)(σ>0)，若X在区间[0,2]上取值的概率为 0.8,则X在区间[0，+o)内取值的概率为() A.0.9 B.0.8 C.0.3 D.0.1 答案A 解析因为X服从正态分布N(1,)(>0),所以正态曲线关于直线x=1对称又因为X在区间 [0,2]上取值的概率为0.8，所以X在区间[0,1]上取值的概率为0.4，所以X在区间[0，+o)内取值 的概率为0.4+0.5=0.9. 4.抽样调查表明，某校高三学生的成绩（总分750分）X近似服从正态分布，平均成绩为500分 己知P(400<X<450)=0.3,则P(550<X<600)=() A.0.1 B.0.2 c.0.3 D.0.5 答案 解析由题意可知，P(550<X<600)=P(400<X<450)=0.3. 5.有三箱粉笔，每箱中有100盒，其中有一盒是次品，从这三箱粉笔中各抽出一盒，则这三盒中 至少有一盒是次品的概率是() A.0.01×0.992 B.0.012×0.99 C.C3×0.01×0.992 D.1-0.99 答案p 解析设A=“三盒中至少有一盒是次品”，则五-“三盒中没有次品”因为在一箱中取出的一盒 是次品的概率为00.01，不是次品的概率为0.9，所以Pa-0.99,所以P4)=1-099 6把一枚质地均匀的硬币任意抛掷两次，记第一次出现正面为事件A,第二次出现正面为事件 B则P(B4)= () A月 B时 c D 答案d 解析由题意可知P)-片P1中剥PA)0=克 7.若随机变量B(n,p),且E()=6,D()=3,则P=1)的值为( A.3×22 B.3×2-10 C.24 D.28 答案☐B
第四章测评 (时间:120 分钟 满分:150 分) 一、单项选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项 中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知 P(B|A)= 1 2 ,P(A)= 3 5 ,则 P(AB)=( ) A.5 6 B. 9 10 C. 3 10 D. 1 10 答案 C 解析 P(AB)=P(B|A)P(A)= 1 2 × 3 5 = 3 10. 2.某同学通过计算机测试的概率为1 3 ,他连续测试 3 次,其中恰有 1 次通过的概率为( ) A.4 9 B.2 9 C. 4 27 D. 2 27 答案 A 解析 连续测试 3 次,其中恰有 1 次通过的概率为 P=C3 1 × 1 3 × ( 2 3 ) 2 = 4 9 . 3.在某项测量中,测量结果 X 服从正态分布 N(1,σ 2 )(σ>0),若 X 在区间[0,2]上取值的概率为 0.8,则 X 在区间[0,+∞)内取值的概率为( ) A.0.9 B.0.8 C.0.3 D.0.1 答案 A 解析 因为 X 服从正态分布 N(1,σ 2 )(σ>0),所以正态曲线关于直线 x=1 对称.又因为 X 在区间 [0,2]上取值的概率为 0.8,所以 X 在区间[0,1]上取值的概率为 0.4,所以 X 在区间[0,+∞)内取值 的概率为 0.4+0.5=0.9. 4.抽样调查表明,某校高三学生的成绩(总分 750 分)X 近似服从正态分布,平均成绩为 500 分. 已知 P(400<X<450)=0.3,则 P(550<X<600)=( ) A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.5 答案 C 解析 由题意可知,P(550<X<600)=P(400<X<450)=0.3. 5.有三箱粉笔,每箱中有 100 盒,其中有一盒是次品,从这三箱粉笔中各抽出一盒,则这三盒中 至少有一盒是次品的概率是( ) A.0.01×0.992 B.0.012×0.99 C.C3 1×0.01×0.992 D.1-0.993 答案 D 解析 设 A=“三盒中至少有一盒是次品”,则𝐴=“三盒中没有次品”.因为在一箱中取出的一盒 是次品的概率为 1 100=0.01,不是次品的概率为 0.99,所以 P(𝐴)=0.993 ,所以 P(A)=1-0.993 . 6.把一枚质地均匀的硬币任意抛掷两次,记第一次出现正面为事件 A,第二次出现正面为事件 B,则 P(B|A)= ( ) A.1 4 B.1 3 C.1 2 D.3 4 答案 C 解析 由题意可知,P(A)= 1 2 ,P(AB)= 1 4 ,则 P(B|A)= 𝑃(𝐴𝐵) 𝑃(𝐴) = 1 2 . 7.若随机变量 ξ~B(n,p),且 E(ξ)=6,D(ξ)=3,则 P(ξ=1)的值为( ) A.3×2-2 B.3×2-10 C.2-4 D.2-8 答案 B
np=6, =12 解析□由题意可知，(1p)=3,解得 p= 11 故P6-l)-=C2×2×(月-3×20 10 10 8.已知变量xy之间具有线性相关关系，其回归直线方程为y-3+bx,若∑x=17,∑=4，则b的 =1 =1 值为( A.2 B.1 C.-2 D.-1 案☐A 解析☐依题意元-品-17万=六04 又直线y=-3+bx一定经过点（元，）， A 故-3+b×1.7=0.4,解得b-2 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有 多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分 9.下列关系中，具有相关关系的是() A.人的年龄与自身身高的关系 B.曲线上的点与该点的坐标之间的关系 C.苹果的产量与气候之间的关系 D.森林中的同一种树木，其横断面直径与高度之间的关系 答案]ACD 10.己知随机变量X的分布列如下 X 1 2 y 若E0号，则( Ax月 Bxt月 CD器 DD0票 含案BD 解析☐由 1×2+2x+3y= 8’解得 8 2+x+y=1, 故A不正确，B正确。 0-1}×+么}×+(3)×君-票故c不正璃，D正境 11.下列说法正确的是( ) A将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差不变 B.己知回归直线方程y=3-5x,当变量x增加1个单位时，y平均增加5个单位 C.回归直线y=bx+a必过点（元，） D.正方形的周长与面积之间具有相关关系 答案AC 12.己知离散型随机变量X的分布列为
解析 由题意可知,{ 𝑛𝑝 = 6, 𝑛𝑝(1-𝑝) = 3, 解得{ 𝑛 = 12, 𝑝 = 1 2 . 故 P(ξ=1)=C12 1 × 1 2 × ( 1 2 ) 11 =3×2-10 . 8.已知变量 x,y 之间具有线性相关关系,其回归直线方程为𝑦 ^ =-3+b ^ x,若 ∑ 𝑖=1 10 xi=17, ∑ 𝑖=1 10 yi=4,则𝑏 ^ 的 值为( ) A.2 B.1 C.-2 D.-1 答案 A 解析 依题意,𝑥 = 17 10=1.7,𝑦 = 4 10=0.4. 又直线𝑦 ^ =-3+b ^ x 一定经过点(𝑥, 𝑦), 故-3+𝑏 ^ ×1.7=0.4,解得𝑏 ^ =2. 二、多项选择题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.在每小题给出的选项中,有 多项符合题目要求.全部选对的得 5 分,部分选对的得 2 分,有选错的得 0 分. 9.下列关系中,具有相关关系的是( ) A.人的年龄与自身身高的关系 B.曲线上的点与该点的坐标之间的关系 C.苹果的产量与气候之间的关系 D.森林中的同一种树木,其横断面直径与高度之间的关系 答案 ACD 10.已知随机变量 X 的分布列如下. X 1 2 3 P 1 2 x y 若 E(X)= 15 8 ,则( ) A.x= 1 4 B. x+y=1 2 C.D(X)= 33 64 D.D(X)= 55 64 答案 BD 解析 由{ 1 × 1 2 + 2𝑥 + 3𝑦 = 15 8 , 1 2 + 𝑥 + 𝑦 = 1, 解得{ 𝑥 = 1 8 , 𝑦 = 3 8 . 故 A 不正确,B 正确. D(X)=(1- 15 8 ) 2 × 1 2 + (2- 15 8 ) 2 × 1 8 + (3- 15 8 ) 2 × 3 8 = 55 64,故 C 不正确,D 正确. 11.下列说法正确的是( ) A.将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后,方差不变 B.已知回归直线方程𝑦 ^ =3-5x,当变量 x 增加 1 个单位时,y 平均增加 5 个单位 C.回归直线y ^ = 𝑏 ^ x+𝑎 ^ 必过点(𝑥, 𝑦) D.正方形的周长与面积之间具有相关关系 答案 AC 12.已知离散型随机变量 X 的分布列为
3 p 0.2 0.1 0.1 0.3 设随机变量Y=X-2引，则下列结论正确的是( A.m=0.3 B.EX0=2.1 C.P(Y=2)=0.5 D.P(Xe2)=0.7 答案ACD 解析由题意可知， 0.2+0.1+0.1+0.3+m=1,解得m=0.3. 故P(X2)=0.1+0.3+0.3=-0.7,EX0=2.4 由Y=2,即X-2=2,得X=4或X=0, 故P(Y-2)=P(X-4或X-0)=P(X-4)+P(X-0)=0.3+0.2-0.5. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分 13.若施肥量x(单位：kg)与小麦产量（单位：kg)之间的回归直线方程为y=250+4x,当施肥量为 50kg时，预计小麦产量为 kg. 答案☐450 解析当x=50时，y=250+4×50=450, 14.己知随机变量的分布列如下 -1 a 其中a+c=2b.若E(③3则D(0- 含案☐ atc-j. a-i 解析☐由题意，得 a+b+c=1,解得b= a+c=2b. (c=j 故0-(1-}x+(0-》x+(1-}x号 15.从装有3个红球、2个白球的袋中随机取出2个球，用表示取到白球的个数，则 P(=1)= 答案.6 解析☐P(G=1)9-0.6 16.某射手对某目标进行射击，直到第一次命中目标或子弹用完为止，每次射击的命中率为0.6， 现共有子弹4颗，则停止射击后剩余子弹数的均值是_一 答案2.376 解析☐设为停止射击后剩余子弹数，则 P(=3)=0.6,P(=2)=0.4×0.6=0.24,P(=1)=0.4×0.4×0.6=0.096,P=0)=0.4×0.4×0.4=0.064,故 E()=3×0.6+2×0.24+0.096=2.376. 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17.(10分)袋中有7个球，其中3个黑球、4个红球从袋中任取3个球，求取出的红球数X的 分布列，并求至少有一个红球的概率
X 0 1 2 3 4 P 0.2 0.1 0.1 0.3 m 设随机变量 Y=|X-2|,则下列结论正确的是( ) A.m=0.3 B.E(X)=2.1 C.P(Y=2)=0.5 D.P(X≥2)=0.7 答案 ACD 解析 由题意可知, 0.2+0.1+0.1+0.3+m=1,解得 m=0.3. 故 P(X≥2)=0.1+0.3+0.3=0.7,E(X)=2.4, 由 Y=2,即|X-2|=2,得 X=4 或 X=0, 故 P(Y=2)=P(X=4 或 X=0)=P(X=4)+P(X=0)=0.3+0.2=0.5. 三、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.若施肥量 x(单位:kg)与小麦产量 y(单位:kg)之间的回归直线方程为𝑦 ^ =250+4x,当施肥量为 50 kg 时,预计小麦产量为 kg. 答案 450 解析 当 x=50 时,𝑦 ^ =250+4×50=450. 14.已知随机变量 ξ 的分布列如下, ξ -1 0 1 P a b c 其中 a+c=2b.若 E(ξ)= 1 3 ,则 D(ξ)= . 答案 5 9 解析 由题意,得{ -𝑎 + 𝑐 = 1 3 , 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 1, 𝑎 + 𝑐 = 2𝑏, 解得 { 𝑎 = 1 6 , 𝑏 = 1 3 , 𝑐 = 1 2 . 故 D(ξ)=(-1- 1 3 ) 2 × 1 6 + (0- 1 3 ) 2 × 1 3 + (1- 1 3 ) 2 × 1 2 = 5 9 . 15.从装有 3 个红球、2 个白球的袋中随机取出 2 个球,用 ξ 表示取到白球的个数,则 P(ξ=1)= . 答案 0.6 解析 P(ξ=1)= C2 1 C3 1 C5 2 =0.6. 16.某射手对某目标进行射击,直到第一次命中目标或子弹用完为止,每次射击的命中率为 0.6, 现共有子弹 4 颗,则停止射击后剩余子弹数的均值是 . 答案 2.376 解析 设 ξ 为停止射击后剩余子弹数,则 P(ξ=3)=0.6,P(ξ=2)=0.4×0.6=0.24,P(ξ=1)=0.4×0.4×0.6=0.096,P(ξ=0)=0.4×0.4×0.4=0.064,故 E(ξ)=3×0.6+2×0.24+0.096=2.376. 四、解答题:本题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(10 分)袋中有 7 个球,其中 3 个黑球、4 个红球.从袋中任取 3 个球,求取出的红球数 X 的 分布列,并求至少有一个红球的概率
解由题意可知，X-7,3,4),则PK-0)= C3 C3 故X的分布列为 0 2 3 1 12 18 35 35 35 35 故至少有-个红球的概率为P2I)l-P心X-0)-l宗=碧 1 18.(12分)某同学参加科普知识竞赛，需回答三个问题竞赛规则规定：答对第一、第二、第三 个问题分别得100分、100分、200分，答错得零分.假设这名同学答对第一、第二、第三个 问题的概率分别为0.8,0.7,0.6，且各题答对与否相互之间没有影响. (1)求这名同学得300分的概率： (2)求这名同学至少得300分的概率 解☐记“这名同学答对第i个问题”为事件A(i=1,2,3), 则P(41)=0.8,P42)=0.7,P4)=0.6 (1)这名同学得300分的概率P1=P(41A24)+P(A144) =P(A1)P(A2)P(4)+PA1)PA2)P4A) =0.8×0.3×0.6+0.2×0.7×0.6 =0.228. (2)这名同学至少得300分的概率 P2=P1+P(41A24A3)=0.228+P(41)P()P4)=0.228+0.8×0.7×0.6=0.564. 19.(12分)某单位餐厅的固定餐椅经常有损坏，于是该单位领导决定在餐厅墙壁上张贴文明标 语看是否有效果，并对文明标语张贴前后餐椅的损坏情况做了一个统计，具体数据如下表所 示 餐椅数 文明标语张贴前后 总计 损坏餐椅数 未损坏餐椅数 文明标语张贴前 39 157 196 文明标语张贴后 29 167 196 总计 68 324 392 请你判断在餐厅墙壁上张贴文明标语对减少餐椅损坏数是否有效果 解☐由题意可知， t-3920X16157291.78 196×196×68×324 因为1.78<2.706，所以没有理由说明在餐厅墙壁上张贴文明标语对减少餐椅损坏数有效果，即 效果不明显 20.(12分)如图，用甲、乙、丙三类不同的元件连接成两个系统N1,N2,当元件甲、乙、丙都正 常工作时，系统N1正常工作；当元件甲正常工作且元件乙、丙至少有一个正常工作时，系统 正常工作.已知元件甲、乙、丙正常工作的概率依次为0.8,0.9,0.9，分别求系统N1,N2正常工 作的概率p1,P2
解 由题意可知,X~H(7,3,4),则 P(X=0)= C4 0 C3 3 C7 3 = 1 35,P(X=1)= C4 1 C3 2 C7 3 = 12 35,P(X=2)= C4 2 C3 1 C7 3 = 18 35,P(X=3)= C4 3 C3 0 C7 3 = 4 35. 故 X 的分布列为 X 0 1 2 3 P 1 35 12 35 18 35 4 35 故至少有一个红球的概率为 P(X≥1)=1-P(X=0)=1- 1 35 = 34 35. 18.(12 分)某同学参加科普知识竞赛,需回答三个问题.竞赛规则规定:答对第一、第二、第三 个问题分别得 100 分、100 分、200 分,答错得零分.假设这名同学答对第一、第二、第三个 问题的概率分别为 0.8,0.7,0.6,且各题答对与否相互之间没有影响. (1)求这名同学得 300 分的概率; (2)求这名同学至少得 300 分的概率. 解 记“这名同学答对第 i 个问题”为事件 Ai(i=1,2,3), 则 P(A1)=0.8,P(A2)=0.7,P(A3)=0.6. (1)这名同学得 300 分的概率 P1=P(A1𝐴2A3)+P(𝐴1A2A3) =P(A1)P(𝐴2 )P(A3)+P(𝐴1 )P(A2)P(A3) =0.8×0.3×0.6+0.2×0.7×0.6 =0.228. (2)这名同学至少得 300 分的概率 P2=P1+P(A1A2A3)=0.228+P(A1)P(A2)P(A3)=0.228+0.8×0.7×0.6=0.564. 19.(12 分)某单位餐厅的固定餐椅经常有损坏,于是该单位领导决定在餐厅墙壁上张贴文明标 语看是否有效果,并对文明标语张贴前后餐椅的损坏情况做了一个统计,具体数据如下表所 示. 文明标语张贴前后 餐椅数 总计 损坏餐椅数 未损坏餐椅数 文明标语张贴前 39 157 196 文明标语张贴后 29 167 196 总计 68 324 392 请你判断在餐厅墙壁上张贴文明标语对减少餐椅损坏数是否有效果. 解 由题意可知, χ 2= 392×(39×167-157×29) 2 196×196×68×324 ≈1.78. 因为 1.78<2.706,所以没有理由说明在餐厅墙壁上张贴文明标语对减少餐椅损坏数有效果,即 效果不明显. 20.(12 分)如图,用甲、乙、丙三类不同的元件连接成两个系统 N1,N2,当元件甲、乙、丙都正 常工作时,系统 N1 正常工作;当元件甲正常工作且元件乙、丙至少有一个正常工作时,系统 N2 正常工作.已知元件甲、乙、丙正常工作的概率依次为 0.8,0.9,0.9,分别求系统 N1,N2 正常工 作的概率 p1,p2
甲②丙 (N.) N2) 解☐记元件甲、乙、丙正常工作的事件分别为A,B,C,由已知条件 P(A)=0.8,P(B)=0.9,PC)=0.9. (1)因为事件A,B,C是相互独立的， 所以系统N1正常工作的概率p1=P(ABC)=P(4)P(B)P(C)=0.648,故系统N1正常工作的概率为 0.648. (2)系统N2正常工作的概率p2=P(4)[1-P(EC)】=P(4[1-P(E)PC)]=0.8×[1-(1-0.9)×(1- 0.9)]=0.792.故系统N2正常工作的概率为0.792. 21.(12分)有一种密码，明文是由三个字符组成，密码是由明文对应的五个数字组成，编码规则 如下表：明文由表中每一排取一个字符组成，且第一排取的字符放在第一位，第二排取的字符 放在第二位，第三排取的字符放在第三位，对应的密码由明文对应的数字按相同的次序排成一 组组成 明文字符 B 排 密码字符 12 明文字符 E 公 第二排 密码字符 21 22 23 24 明文字符 M 第三排 密码字符 设随机变量表示密码中所含不同数字的个数. (1)求P(-2): (2)求随机变量：的分布列和均值 解☐)密码中所含不同数字的个数为2的事件为密码中只有两个数字，则由题意及表格可 知， Pg-2-号- (2)由题意可知，：所有可能的取值为2,3,4， 则1)知P=2月 P-)22-品 43 P54)=1-P5-2-PG-)是 故的分布列为 2 3 19 9 32 32 故E(0-2×始+3×员+4×7=元 19 101 22.(12分)某电视台推出一档游戏益智节目.游戏规则为：选手面对4扇大门，依次按响门上的 门铃，门铃会播放一段音乐，选手需根据音乐正确回答出一首歌的名字，方可获得该扇门对应 的奖金.正确回答每一扇门后，选手可自由选择带着奖金离开比赛或继续挑战后面的门以获得
解 记元件甲、乙、丙正常工作的事件分别为 A,B,C,由已知条件 P(A)=0.8,P(B)=0.9,P(C)=0.9. (1)因为事件 A,B,C 是相互独立的, 所以系统 N1 正常工作的概率 p1=P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=0.648,故系统 N1 正常工作的概率为 0.648. (2)系统 N2 正常工作的概率 p2=P(A)[1-P(𝐵 𝐶)]=P(A)[1-P(𝐵)P(𝐶)]=0.8×[1-(1-0.9)×(1- 0.9)]=0.792.故系统 N2 正常工作的概率为 0.792. 21.(12 分)有一种密码,明文是由三个字符组成,密码是由明文对应的五个数字组成,编码规则 如下表:明文由表中每一排取一个字符组成,且第一排取的字符放在第一位,第二排取的字符 放在第二位,第三排取的字符放在第三位,对应的密码由明文对应的数字按相同的次序排成一 组组成. 第一排 明文字符 A B C D 密码字符 11 12 13 14 第二排 明文字符 E F G H 密码字符 21 22 23 24 第三排 明文字符 M N P Q 密码字符 1 2 3 4 设随机变量 ξ 表示密码中所含不同数字的个数. (1)求 P(ξ=2); (2)求随机变量 ξ 的分布列和均值. 解 (1)密码中所含不同数字的个数为 2 的事件为密码中只有两个数字,则由题意及表格可 知, P(ξ=2)= 2 3 4 3 = 1 8 . (2)由题意可知,ξ 所有可能的取值为 2,3,4, 则由(1)知 P(ξ=2)= 1 8 , P(ξ=3)= 2×(3 3 -2 3 ) 4 3 = 19 32, P(ξ=4)=1-P(ξ=2)-P(ξ=3)= 9 32. 故 ξ 的分布列为 ξ 2 3 4 P 1 8 19 32 9 32 故 E(ξ)=2×1 8 +3×19 32 +4×9 32 = 101 32 . 22.(12 分)某电视台推出一档游戏益智节目.游戏规则为:选手面对 4 扇大门,依次按响门上的 门铃,门铃会播放一段音乐,选手需根据音乐正确回答出一首歌的名字,方可获得该扇门对应 的奖金.正确回答每一扇门后,选手可自由选择带着奖金离开比赛或继续挑战后面的门以获得
更多奖金（奖金金额累加），但是回答错误，奖金将清零，选手也会离开比赛在一次场外调查中， 发现参加比赛的选手多数分为两个年龄段：20-30,30-40（单位：岁），其中猜对歌曲名称与否的 人数如下图所示 ↑人数 80 70 60 ☐正确 50 ☐错误 40 30 20 10 020~3030~40年龄段 每扇门对应的奖金（单位：元）如下 第一扇门 第二扇门 第三扇门 第四扇门 1000 2000 3000 5000 (1)列出2×2列联表，判断是否有90%的把握认为猜对歌曲名称与否与年龄有关，说明你的理 由. (2)若某选手能正确回答第一、第二、 第三、第四扇门的概幸分别为，号，正确回答一扇 门后，选择继续回答下一扇门的概率为，且各扇门回答正确与否互不影响设该选手所获奖金 总数为，求的分布列及均值， 参考数据： P≥) 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 5.635 7.879 10.828 解☐1)根据题图，列出2×2列联表如下. 是否正确 年龄 总计 正确 错误 20-30 10 30 40 30-40 70 80 总计 20 100 120 则2 120×(10×70-10×30)2 =3 20×100×40×80 因为3>2.706，所以有90%的把握认为猜对歌曲名称与否与年龄有关 (2)的所有可能取值分别为0,1000,3000,6000,11000， 则P(G=10)片×2= 5 P(G-3000)=× 1 3 A 二20 P600)号x×××号×=六 4 ,1 1 1 1 g-0-1号-品方- 故的分布列为 0 1000 3000 6000 11000 P 23 3 1 1
更多奖金(奖金金额累加),但是回答错误,奖金将清零,选手也会离开比赛.在一次场外调查中, 发现参加比赛的选手多数分为两个年龄段:20~30,30~40(单位:岁),其中猜对歌曲名称与否的 人数如下图所示. 每扇门对应的奖金(单位:元)如下. 第一扇门 第二扇门 第三扇门 第四扇门 1 000 2 000 3 000 5 000 (1)列出 2×2 列联表,判断是否有 90%的把握认为猜对歌曲名称与否与年龄有关,说明你的理 由. (2)若某选手能正确回答第一、第二、第三、第四扇门的概率分别为4 5 , 3 4 , 2 3 , 1 3 ,正确回答一扇 门后,选择继续回答下一扇门的概率为1 2 ,且各扇门回答正确与否互不影响.设该选手所获奖金 总数为 ξ,求 ξ 的分布列及均值. 参考数据: P(χ 2 ≥k) 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 k 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 解 (1)根据题图,列出 2×2 列联表如下. 年龄 是否正确 总计 正确 错误 20~30 10 30 40 30~40 10 70 80 总计 20 100 120 则 χ 2= 120×(10×70-10×30) 2 20×100×40×80 =3. 因为 3>2.706,所以有 90%的把握认为猜对歌曲名称与否与年龄有关. (2)ξ 的所有可能取值分别为 0,1 000,3 000,6 000,11 000, 则 P(ξ=1 000)= 4 5 × 1 2 = 2 5 , P(ξ=3 000)= 4 5 × 1 2 × 3 4 × 1 2 = 3 20, P(ξ=6 000)= 4 5 × 1 2 × 3 4 × 1 2 × 2 3 × 1 2 = 1 20, P(ξ=11 000)= 4 5 × 1 2 × 3 4 × 1 2 × 2 3 × 1 2 × 1 3 = 1 60, P(ξ=0)=1- 2 5 − 3 20 − 1 20 − 1 60 = 23 60. 故 ξ 的分布列为 ξ 0 1 000 3 000 6 000 11 000 P 23 60 2 5 3 20 1 20 1 60
故E(0-0*2号+1000×号+300×品+600×六+1100×品=g90
故 E(ξ)=0×23 60 +1 000×2 5 +3 000×3 20 +6 000×1 20 +11 000×1 60 = 4 000 3