6.2排列与组合 第1课时排列与排列数 课后·训练提升 基础巩固 1.己知下列问题：①从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别参加数学、物理兴趣 小组；②从甲、乙、丙三名同学中选出两人参加一项活动：③从a,b,c,d中选出3 个字母：④从1,2,3,4,5这五个数字中取出2个数字组成一个两位数.其中是排列问 题的有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 答案B 解析：由排列的定义知①④是排列问题 2.甲、乙、丙三人排成一排 照相，甲不站在排头的所有排列种数为() A.6 B.4 C.8 D.10 答案B 解析：列树形图如下： 丙甲 故组成的排列为乙甲丙，乙丙甲，丙甲乙，丙乙甲，共4种 3.4×5×6×…×(n-1)×n等于() A.A B.An-4 C.(n-4)！ D.A%-3 答案D 解析：4×5×6×…×(n-1)×n中共有n-4+1=n-3个因式，最大数为n,最小数为4， 故4×5×6×…×(n-1)×n=A2-3 4.从2,3,5,7四个数中任选两个分别相除，则得到的不同结果有() A.6个 B.10个 C.12个 D.16个 答案：C 解析：不同结果有A经=4×3=12个 5.(多选题)下列各式中与排列数Am不相等的是() A时 B.n(n-1)n-2)…(n-m)
6.2 排列与组合 第 1 课时 排列与排列数 课后· 基础巩固 1.已知下列问题:①从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别参加数学、物理兴趣 小组;②从甲、乙、丙三名同学中选出两人参加一项活动;③从 a,b,c,d 中选出 3 个字母;④从 1,2,3,4,5 这五个数字中取出 2 个数字组成一个两位数.其中是排列问 题的有( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 答案:B 解析:由排列的定义知①④是排列问题. 2.甲、乙、丙三人排成一排 照相,甲不站在排头的所有排列种数为( ) A.6 B.4 C.8 D.10 答案:B 解析:列树形图如下: 故组成的排列为乙甲丙,乙丙甲,丙甲乙,丙乙甲,共 4 种. 3.4×5×6×…×(n-1)×n 等于( ) A.A𝑛 4 B.A𝑛 𝑛-4 C.(n-4)! D.A𝑛 𝑛-3 答案:D 解析:4×5×6×…×(n-1)×n 中共有 n-4+1=n-3 个因式,最大数为 n,最小数为 4, 故 4×5×6×…×(n-1)×n=A𝑛 𝑛-3 . 4.从 2,3,5,7 四个数中任选两个分别相除,则得到的不同结果有( ) A.6 个 B.10 个 C.12 个 D.16 个 答案:C 解析:不同结果有A4 2=4×3=12 个. 5.(多选题)下列各式中与排列数A𝑛 𝑚不相等的是( ) A. 𝑛! (𝑛-𝑚+1)! B.n(n-1)(n-2)…(n-m)
C.nA n-m+1 D.A号A% 答案：ABC 解析：因为A=测 m而AA=nxC=所以AA0=A故选ABC n-m)！(n-m)！ 6满足不等式端2的刀的最小值为 答案：10 n 解析：由题意知是-产=12，得m-5)m-6>12, A (n-7)！ (n-51 解得n>9或n<2,又n≥5，n≥7，因此最小正整数n的值为10 7.某车展期间，某调研机构准备从5人中选3人去调查E1馆、E3馆、E4馆的参 观人数，不同的安排方法种数为 答案：60 解析：由题意可知，问题为从5个元素中选3个元素的排列问题，故安排方法有 A3=5×4×3=60种. 8.从5本不同的书中选出2本送给2名同学，每人一本，共有 种方法 答案20 解析：由排列数定义知，共有A?=5×4=20种. 9.由1,4,5，x四个数字组成没有重复数字的四位数，所有这些四位数的各数位上的 数字之和为288，则x= 答案2 解析：当x≠0时，有A4=24个四位数，每个四位数的数字之和为1+4+5+x, 故24(1+4+5+x)=288,解得x=2; 当x=0时，每个四位数的数字之和为1+4+5=10，而288不能被10整除，即x=0不 符合题意.综上可知，x=2 10.一条铁路线原有n个车站，为了适应客运需要，新增加了2个车站，客运车票增 加了58种，问原有多少个车站？现有多少个车站？ 解：由题意可得A3+2-A号=58 即(n+2)n+1)n(n-1)=58,解得n=14 故原有车站14个，现有车站16个 11.甲、乙、丙三人相互传球，由甲开始发球，经过5次传球，球仍回到甲手中，不同 的传球方法共有多少种？ 解：由甲开始发球，可发给乙，也可发给丙 若甲发球给乙，其传球方法的树形图如图所示
C. 𝑛A𝑛-1 𝑚 𝑛-𝑚+1 D.A𝑛 1 A𝑛-1 𝑚-1 答案:ABC 解析:因为A𝑛 𝑚 = 𝑛! (𝑛-𝑚)! ,而A𝑛 1 A𝑛-1 𝑚-1=n× (𝑛-1)! (𝑛-𝑚)! = 𝑛! (𝑛-𝑚)! ,所以A𝑛 1 A𝑛-1 𝑚-1 = A𝑛 𝑚.故选 ABC. 6.满足不等式A𝑛 7 A𝑛 5>12 的 n 的最小值为 . 答案:10 解析:由题意知A𝑛 7 A𝑛 5 = 𝑛! (𝑛-7)! 𝑛! (𝑛-5)! = (𝑛-5)! (𝑛-7)! >12,得(n-5)·(n-6)>12, 解得 n>9 或 n<2,又 n≥5,n≥7,因此最小正整数 n 的值为 10. 7.某车展期间,某调研机构准备从 5 人中选 3 人去调查 E1 馆、E3 馆、E4 馆的参 观人数,不同的安排方法种数为 . 答案:60 解析:由题意可知,问题为从 5 个元素中选 3 个元素的排列问题,故安排方法有 A5 3=5×4×3=60 种. 8.从 5 本不同的书中选出 2 本送给 2 名同学,每人一本,共有 种方法. 答案:20 解析:由排列数定义知,共有A5 2=5×4=20 种. 9.由 1,4,5,x 四个数字组成没有重复数字的四位数,所有这些四位数的各数位上的 数字之和为 288,则 x= . 答案:2 解析:当 x≠0 时,有A4 4=24 个四位数,每个四位数的数字之和为 1+4+5+x, 故 24(1+4+5+x)=288,解得 x=2; 当 x=0 时,每个四位数的数字之和为 1+4+5=10,而 288 不能被 10 整除,即 x=0 不 符合题意.综上可知,x=2. 10.一条铁路线原有 n 个车站,为了适应客运需要,新增加了 2 个车站,客运车票增 加了 58 种,问原有多少个车站?现有多少个车站? 解:由题意可得A𝑛+2 2 − A𝑛 2=58, 即(n+2)(n+1)-n(n-1)=58,解得 n=14. 故原有车站 14 个,现有车站 16 个. 11.甲、乙、丙三人相互传球,由甲开始发球,经过 5 次传球,球仍回到甲手中,不同 的传球方法共有多少种? 解:由甲开始发球,可发给乙,也可发给丙. 若甲发球给乙,其传球方法的树形图如图所示
,甲<乙一→丙甲 丙→乙→甲 甲+乙 ,甲<乙→甲 丙→甲 乙→丙+甲 共5种. 同样甲第一次发球给丙，也有5种情况 依据分类加法计数原理，共有5+5=10种不同的传球方法 拓展提高 1.从1,2,3,4中，任取两个不同数字组成平面直角坐标系中一个点的坐标，则组成不 同点的个数为( A.2 B.4 C.12 D.24 答案：C 解析：本题相当于从4个元素中取2个元素的排列，即A?=12 2.四张卡片上分别标有数字“20“11”，则由这四张卡片可组成不同的四位数的 个数为( A.6 B.9 C.12 D.24 答案B 解析：构成四位数，可从特殊元素0进行分类：第一类，0在个位有2110,1210,1120， 共3个；第二类，0在十位有2101,1201,1102，共3个：第三类，0在百位有2011,1 021,1012,共3个，故由这四张卡片可组成不同的四位数的个数为9. 3.(多选题)下列4个等式正确的是( A.n!=(n+1)! n+1 B.Am-nAm: C.A7= (n-m)月 D.AT=(-1) (m-n)! 答案：ABC 解桥兴=a=A正确A:==动=AB正骑，C正绮 n+1 n+1 A%1= (n-1)！ [(-1)-(m (n-m) m-(分母为(n-m)1,而不是(m-n)0,D不正确 4若S=A1+A号+A号+A4++A88,则S的个位数字是( ) A.8 B.5 C.3 D.0 答案：C 解析：因为11=1,21=2,31=6,41=24,51=120，而 61=6×51,71=7×6×51,…1001=100×99×…×6×51,所以从51开始到1001，个位数字均 为0，所以S的个位数字为3. 5.A品+1与A品的大小关系是(
共 5 种. 同样甲第一次发球给丙,也有 5 种情况. 依据分类加法计数原理,共有 5+5=10 种不同的传球方法. 拓展提高 1.从 1,2,3,4 中,任取两个不同数字组成平面直角坐标系中一个点的坐标,则组成不 同点的个数为( ) A.2 B.4 C.12 D.24 答案:C 解析:本题相当于从 4 个元素中取 2 个元素的排列,即A4 2=12. 2.四张卡片上分别标有数字“2”“0”“1”“1”,则由这四张卡片可组成不同的四位数的 个数为( ) A.6 B.9 C.12 D.24 答案:B 解析:构成四位数,可从特殊元素 0 进行分类:第一类,0 在个位有 2 110,1 210,1 120, 共 3 个;第二类,0 在十位有 2 101,1 201,1 102,共 3 个;第三类,0 在百位有 2 011,1 021,1 012,共 3 个,故由这四张卡片可组成不同的四位数的个数为 9. 3.(多选题)下列 4 个等式正确的是( ) A.n!= (𝑛+1)! 𝑛+1 B.A𝑛 𝑚 =nA𝑛-1 𝑚-1 C.A𝑛 𝑚 = 𝑛! (𝑛-𝑚)! D.A𝑛-1 𝑚-1 = (𝑛-1)! (𝑚-𝑛)! 答案:ABC 解析: (𝑛+1)! 𝑛+1 = (𝑛+1)×𝑛! 𝑛+1 =n!,A 正确;nA𝑛-1 𝑚-1 = 𝑛×(𝑛-1)! [(𝑛-1)-(𝑚-1)]! = 𝑛! (𝑛-𝑚)! = A𝑛 𝑚,B 正确;C 正确; A𝑛-1 𝑚-1 = (𝑛-1)! [(𝑛-1)-(𝑚-1)]! = (𝑛-1)! (𝑛-𝑚)! (分母为(n-m)!,而不是(m-n)!),D 不正确. 4.若 S=A1 1 + A2 2 + A3 3 + A4 4+…+A100 100 ,则 S 的个位数字是( ) A.8 B.5 C.3 D.0 答案:C 解析:因为 1!=1,2!=2,3!=6,4!=24,5!=120,而 6!=6×5!,7!=7×6×5!,……100!=100×99×…×6×5!,所以从 5!开始到 100!,个位数字均 为 0,所以 S 的个位数字为 3. 5.A𝑛+1 2 与A𝑛 3 的大小关系是( )
A.A3+1>A B.A+10，得A品+1>A品：当n≥4时，A品+1-A品6A52. 3x(x-1)x-2)=2(x+1)x+6x(x-1),① 解(1)由排列数公式，得{ x≥3，x∈N*.② 由①，得3x2-17x+10=0, 解得x=5或x号 结合②可知x=5是所求方程的根 91 > 6×9! (2)原不等式可化为 (9-x1 (9+2,① (26, 即x2-21x+104>0,即(x-8)x-13)）>0, 解得x13. 结合②得2<x<8,x∈N*, 故所求不等式的解集为{3,4,5,6,7} 挑战创新 京沪高速铁路自北京南站至上海虹桥站，双线铁路全长1318千米，途经北京、天 津、河北、山东、安徽、江苏、上海7个省市，设立包括北京南、天津西、济南 西、南京南、苏州北、上海虹桥等在内的24个车站，计算铁路部门要为这24个 车站准备多少种不同的火车票？
A.A𝑛+1 2 > A𝑛 3 B.A𝑛+1 2 0,得A𝑛+1 2 > A𝑛 3 ;当 n≥4 时,A𝑛+1 2 − A𝑛 3 6A9 𝑥-2 . 解:(1)由排列数公式,得{ 3𝑥(𝑥-1)(𝑥-2) = 2(𝑥 + 1)𝑥 + 6𝑥(𝑥-1),① 𝑥 ≥ 3,𝑥∈N * .② 由①,得 3x 2 -17x+10=0, 解得 x=5 或 x= 2 3 , 结合②可知 x=5 是所求方程的根. (2)原不等式可化为{ 9! (9-𝑥)! > 6×9! (9-𝑥+2)! ,① 2 6, 即 x 2 -21x+104>0,即(x-8)(x-13)>0, 解得 x13. 结合②得 2<x<8,x∈N* , 故所求不等式的解集为{3,4,5,6,7}. 挑战创新 京沪高速铁路自北京南站至上海虹桥站,双线铁路全长 1 318 千米,途经北京、天 津、河北、山东、安徽、江苏、上海 7 个省市,设立包括北京南、天津西、济南 西、南京南、苏州北、上海虹桥等在内的 24 个车站,计算铁路部门要为这 24 个 车站准备多少种不同的火车票?
解：两个火车站A和B,因为每张票对应一个起点站和一个终点站，所以从A到B 的火车票与从B到A的火车票不同.因此，结果应为从24个不同元素中，每次取 出2个不同元素的排列数，共有A34=24×23=552种.因此一共需要为这24个车站 准备552种不同的火车票
解:两个火车站 A 和 B,因为每张票对应一个起点站和一个终点站,所以从 A 到 B 的火车票与从 B 到 A 的火车票不同.因此,结果应为从 24 个不同元素中,每次取 出 2 个不同元素的排列数,共有A24 2 =24×23=552 种.因此一共需要为这 24 个车站 准备 552 种不同的火车票