7.3.2 离散型随机变量的方差 课后训练提升 基础巩固 1,A发生， 1.设一随机试验的结果只有A和A,且P(A)=m,定义随机变量= 则 0,A不发生 D()等于() A.m B.2m(1-m) C.m(m-1) D.m(1-m) 答案D 解析：随机变量飞的分布列为 0 P 1-m n 因此E()=0×(1-m)+1×m=m,故D()=(0-m)2×(1-m)+(1-m)2×m=m(1-m). 2.己知随机变量满足P(=1)=0.3,P(=2)=0.7,则E()和D()的值分别为() A.0.6和0.7 B.1.7和0.09 C.0.3和0.7 D.1.7和0.21 答案D 解析：由题意得E()=1×0.3+2×0.7=1.7,D()=(1-1.7)2×0.3+(2-1.7)2×0.7=0.21 3.如果X是离散型随机变量，EX)=6,D)=0.5,X1=2X-5,那么EX)和DX)分别是 () A.EX1)=12,DX1)=1 B.EX)=7,DX1)=1 C.EX1)=12,DX1)=2 D.EX1)=7,DX1)=2 答案D 解析：由题意得EX)=2EX)-5=12-5=7,DX)=4DX0=4×0.5=2. 4.抛掷一枚硬币，规定正面朝上得1分，反面朝上得-1分，则得分X的均值与方差 分别为( A.EX)=0,DX)=1 B.E9=2D)=3 C.E0=0,D0=2 D.E0=3DM=1 答案：A 解析：由题意知，随机变量X的分布列为
7.3.2 离散型随机变量的方差 课后· 基础巩固 1.设一随机试验的结果只有 A 和𝐴,且 P(A)=m,定义随机变量 ξ={ 1,𝐴发生, 0,𝐴不发生, 则 D(ξ)等于( ) A.m B.2m(1-m) C.m(m-1) D.m(1-m) 答案:D 解析:随机变量 ξ 的分布列为 ξ 0 1 P 1-m m 因此 E(ξ)=0×(1-m)+1×m=m,故 D(ξ)=(0-m) 2×(1-m)+(1-m) 2×m=m(1-m). 2.已知随机变量 ξ 满足 P(ξ=1)=0.3,P(ξ=2)=0.7,则 E(ξ)和 D(ξ)的值分别为( ) A.0.6 和 0.7 B.1.7 和 0.09 C.0.3 和 0.7 D.1.7 和 0.21 答案:D 解析:由题意得 E(ξ)=1×0.3+2×0.7=1.7,D(ξ)=(1-1.7)2×0.3+(2-1.7)2×0.7=0.21. 3.如果 X 是离散型随机变量,E(X)=6,D(X)=0.5,X1=2X-5,那么 E(X1)和 D(X1)分别是 ( ) A.E(X1)=12,D(X1)=1 B.E(X1)=7,D(X1)=1 C.E(X1)=12,D(X1)=2 D.E(X1)=7,D(X1)=2 答案:D 解析:由题意得 E(X1)=2E(X)-5=12-5=7,D(X1)=4D(X)=4×0.5=2. 4.抛掷一枚硬币,规定正面朝上得 1 分,反面朝上得-1 分,则得分 X 的均值与方差 分别为( ) A.E(X)=0,D(X)=1 B.E(X)= 1 2 ,D(X)= 1 2 C.E(X)=0,D(X)= 1 2 D.E(X)= 1 2 ,D(X)=1 答案:A 解析:由题意知,随机变量 X 的分布列为
因此E0=(1)×+1×2=0,D0=2x×1-0P+2×1-0P=1, 5.(多选题)已知甲盒中有大小、质地相同的2个红球，1个黄球，乙盒中有1个红 球，2个黄球从甲、乙两个盒中各取1球放入原来为空的丙盒中现从甲、乙、丙 三个盒子中分别取1个球，设红球的个数为X(i=1,2,3)从甲、乙、丙三个盒子取 出分别对应=1,2,3)，则() A.X1,X,X3的所有可能取值均为0,1 B.X,X2,X3服从两点分布 C.E(X1)D(X2)>D(X3) 答案：AB 解析：依题意得，X1的可能取值为0,1， 且P0-0)x=PGK=01+号x手 所以随机变量X的分布列为 0 D 1 2-3 X服从两点分布，所以)号D0)号×=号 同理，名的可能取值为0，L,且P=0)-号×+x1-号P化=I)-号×=青 所以随机变量X的分布列为 3 名服从两点分布，所以E)DW)×号=号 的可能取值为0,1，且P=0)-(（作×号+号×》x+×子x1- P0=)-(G×+×好+×1-克 所以随机变量3的分布列为 X3 2 2 X服从两点分布，所以EX3)D)子×2= 所以EX)>EX3)>EX),DX)=DX)<DX) 故AB正确
X -1 1 P 1 2 1 2 因此 E(X)=(-1)× 1 2 +1× 1 2 =0,D(X)= 1 2 ×(-1-0)2+ 1 2 ×(1-0)2=1. 5.(多选题)已知甲盒中有大小、质地相同的 2 个红球,1 个黄球,乙盒中有 1 个红 球,2 个黄球.从甲、乙两个盒中各取 1 球放入原来为空的丙盒中.现从甲、乙、丙 三个盒子中分别取 1 个球,设红球的个数为 Xi(i=1,2,3)(从甲、乙、丙三个盒子取 出分别对应 i=1,2,3),则( ) A.X1,X2,X3 的所有可能取值均为 0,1 B.X1,X2,X3 服从两点分布 C.E(X1)D(X2)>D(X3) 答案:AB 解析:依题意得,X1 的可能取值为 0,1, 且 P(X1=0)= 2 3 × 1 2 = 1 3 ,P(X1=1)= 1 3 ×1+ 2 3 × 1 2 = 2 3 , 所以随机变量 X1 的分布列为 X1 0 1 P 1 3 2 3 X1 服从两点分布,所以 E(X1)= 2 3 ,D(X1)= 2 3 × 1 3 = 2 9 . 同理,X2 的可能取值为 0,1, 且 P(X2=0)= 2 3 × 1 2 + 1 3 ×1= 2 3 ,P(X2=1)= 2 3 × 1 2 = 1 3 , 所以随机变量 X2 的分布列为 X2 0 1 P 2 3 1 3 X2 服从两点分布,所以 E(X2)= 1 3 ,D(X2)= 1 3 × 2 3 = 2 9 . X3 的可能取值为 0,1,且 P(X3=0)=( 2 3 × 2 3 + 1 3 × 1 3 )× 1 2 + 1 3 × 2 3 ×1= 1 2 , P(X3=1)=( 2 3 × 2 3 + 1 3 × 1 3 )× 1 2 + 2 3 × 1 3 ×1= 1 2 , 所以随机变量 X3 的分布列为 X3 0 1 P 1 2 1 2 X3 服从两点分布,所以 E(X3)= 1 2 ,D(X3)= 1 2 × 1 2 = 1 4 . 所以 E(X1)>E(X3)>E(X2),D(X1)=D(X2)<D(X3). 故 AB 正确
6.甲、乙两个运动员射击命中环数，1的分布列如下表表中射击比较稳定的运 动员是( 环数k 8 9 10 P《=) 0.3 0.2 0.5 P01=) 0.2 0.4 0.4 A.甲 B.乙 C.一样 D.无法比较 答案B 解析：由题中分布列可得，E()=8×0.3+9×0.2+10×0.5=9.2, E()=8×0.2+9×0.4+10×0.4=9.2, D(0=(8-9.22×0.3+(9-9.2)2×0.2+(10-9.2)2×0.5=0.76, D)=(8-9.2)2×0.2+(9-9.2)2×0.4+(10-9.2)2×0.4=0.56 ·E(G)=E0n),D(0>D) ∴.甲、乙两名运动员射击命中环数的平均数相等，而乙的成绩波动性较小，更稳 定 7.己知随机变量的取值为0,12若P(=0)=E)=1,则D()= 答案 解析：设P(G=1)=a,P(=-2)=b, 则+a+b=1解得a= (a+2b=1, = 因此D0=0-1P×+(1-1P×2+(2-1Px=号 &.随机变量的分布列如下，其中a,bc成等差数列若E()=则D()的值 为 2 3 a b 答案月 解析：因为a,b,c成等差数列，所以a+c=2b 又国为a+b+c=l,所以b-字 又因为E(0=a+2b+3c-号 所以ab-c吉 所以飞的分布列为 2 1 3 6
6.甲、乙两个运动员射击命中环数 ξ,η 的分布列如下表.表中射击比较稳定的运 动员是( ) 环数 k 8 9 10 P(ξ=k) 0.3 0.2 0.5 P(η=k) 0.2 0.4 0.4 A.甲 B.乙 C.一样 D.无法比较 答案:B 解析:由题中分布列可得,E(ξ)=8×0.3+9×0.2+10×0.5=9.2, E(η)=8×0.2+9×0.4+10×0.4=9.2, D(ξ)=(8-9.2)2×0.3+(9-9.2)2×0.2+(10-9.2)2×0.5=0.76, D(η)=(8-9.2)2×0.2+(9-9.2)2×0.4+(10-9.2)2×0.4=0.56. ∵E(ξ)=E(η),D(ξ)>D(η), ∴甲、乙两名运动员射击命中环数的平均数相等,而乙的成绩波动性较小,更稳 定. 7.已知随机变量 ξ 的取值为 0,1,2.若 P(ξ=0)= 1 5 ,E(ξ)=1,则 D(ξ)= . 答案: 2 5 解析:设 P(ξ=1)=a,P(ξ=2)=b, 则{ 1 5 + 𝑎 + 𝑏 = 1, 𝑎 + 2𝑏 = 1, 解得{ 𝑎 = 3 5 , 𝑏 = 1 5 , 因此 D(ξ)=(0-1)2× 1 5 +(1-1)2× 3 5 +(2-1)2× 1 5 = 2 5 . 8.随机变量 ξ 的分布列如下,其中 a,b,c 成等差数列.若 E(ξ)= 5 3 ,则 D(ξ)的值 为 . ξ 1 2 3 P a b c 答案: 5 9 解析:因为 a,b,c 成等差数列,所以 a+c=2b. 又因为 a+b+c=1,所以 b=1 3 . 又因为 E(ξ)=a+2b+3c= 5 3 , 所以 a= 1 2 ,b=1 3 ,c= 1 6 , 所以 ξ 的分布列为 ξ 1 2 3 P 1 2 1 3 1 6
所以D(0=(1-}x+(2-}×+(3-}×=哥 9.已知随机变量X的分布列为 1 2 3 若E00-号 (1)求DX)的值： (2)若Y=3X-2,求D(的值 解：+p=l,得p后 又E)=0x+1×+含=子解得x=2 (D0-(0-}×+(1-}×+(2-}×=号=号 (2)因为Y=3X-2,所以D()=D3X-2)=9D)=5. 10.在一轮投篮练习中，每名选手最多可投篮4次，现规定一旦命中即停止该轮练 习，否则一直试投到4次为止.已知一选手的投篮命中率为0.7，求一轮练习中该选 手的实际投篮次数的分布列，并求的期望与方差.（结果精确到0.01） 解：5的可能取值为1,2,3,4. =1表示第一次即投中，则P(=1)=0.7; =2表示第一次未投中，第二次投中，则P(=2)=(1-0.7)×0.7=0.21 =3表示第一、二次未投中，第三次投中，则P(=3)=(1-0.7)×0.7=0.063; =4表示前三次未投中，则P(=4)=(1-0.7)=0.027. 因此的分布列为 2 3 4 0.7 0.21 0.063 0.027 E()=1×0.7+2×0.21+3×0.063+4×0.027=1.417≈1.42 D()=(1-1.417)2×0.7+(2-1.417)2×0.21+(3-1.417)2×0.063+(4-1.417)2×0.0270.53. 拓展提高 1.一名篮球运动员投篮一次得3分的概率为α，得2分的概率为b,得0分的概率 为c,且a,b,c∈(0,1).已知他投篮一次得分的均值为2，则2+二的最小值为() 3b1 A号 B号 c兰 D片 答案D 解析：由题意，得3a+2b+0×c=2,即3a+2b=2,其中a,b,c∈(0,1)， +品-+3+2+元之+2会品-台 当且仅当碧=品即当a=2b时取等号 a
所以 D(ξ)=(1 − 5 3 ) 2× 1 2 +(2 − 5 3 ) 2× 1 3 +(3 − 5 3 ) 2× 1 6 = 5 9 . 9.已知随机变量 X 的分布列为 X 0 1 x P 1 2 1 3 p 若 E(X)= 2 3 . (1)求 D(X)的值; (2)若 Y=3X-2,求 D(Y)的值. 解:由 1 2 + 1 3 +p=1,得 p= 1 6 . 又 E(X)=0× 1 2 +1× 1 3 + 1 6 x= 2 3 ,解得 x=2. (1)D(X)=(0 − 2 3 ) 2× 1 2 +(1 − 2 3 ) 2× 1 3 +(2 − 2 3 ) 2× 1 6 = 15 27 = 5 9 . (2)因为 Y=3X-2,所以 D(Y)=D(3X-2)=9D(X)=5. 10.在一轮投篮练习中,每名选手最多可投篮 4 次,现规定一旦命中即停止该轮练 习,否则一直试投到 4 次为止.已知一选手的投篮命中率为 0.7,求一轮练习中该选 手的实际投篮次数 ξ 的分布列,并求 ξ 的期望与方差.(结果精确到 0.01) 解:ξ 的可能取值为 1,2,3,4. ξ=1 表示第一次即投中,则 P(ξ=1)=0.7; ξ=2 表示第一次未投中,第二次投中,则 P(ξ=2)=(1-0.7)×0.7=0.21; ξ=3 表示第一、二次未投中,第三次投中,则 P(ξ=3)=(1-0.7)2×0.7=0.063; ξ=4 表示前三次未投中,则 P(ξ=4)=(1-0.7)3=0.027. 因此 ξ 的分布列为 ξ 1 2 3 4 P 0.7 0.21 0.063 0.027 E(ξ)=1×0.7+2×0.21+3×0.063+4×0.027=1.417≈1.42. D(ξ)=(1-1.417)2×0.7+(2-1.417)2×0.21+(3-1.417)2×0.063+(4-1.417)2×0.027≈0.53. 拓展提高 1.一名篮球运动员投篮一次得 3 分的概率为 a,得 2 分的概率为 b,得 0 分的概率 为 c,且 a,b,c∈(0,1).已知他投篮一次得分的均值为 2,则 2 𝑎 + 1 3𝑏的最小值为( ) A. 32 3 B. 28 3 C. 14 3 D. 16 3 答案:D 解析:由题意,得 3a+2b+0×c=2,即 3a+2b=2,其中 a,b,c∈(0,1), 又 2 𝑎 + 1 3𝑏 = 3𝑎+2𝑏 2 ( 2 𝑎 + 1 3𝑏 )=3+ 1 3 + 2𝑏 𝑎 + 𝑎 2𝑏 ≥ 10 3 +2√ 2𝑏 𝑎 · 𝑎 2𝑏 = 16 3 , 当且仅当2𝑏 𝑎 = 𝑎 2𝑏 ,即当 a=2b 时取等号
又3a+2b=2,故当a-b-时后+六取得最小值，最小值为曾故选D 2.若X是离散型随机变量，PK=x)=三PX=2)=且x1<2,若E)-D)=号则 x1+2的值为( ) A B. C.3 D号 案：C 解析：00=1+=手 2=4-2,DW=(名1-}2×+(x2-}x=号 18货2m+加= 3.已知A1,A2为两所高校举行的自主招生考试，某同学参加每所高校的考试获得通 过的概率均为该同学一旦通过某所高校的考试，就不再参加其他高校的考试，设 该同学通过高校考试的个数为随机变量X,则D)=() A号 B c院 号 答案：A 解析：因为X的取值为0,1，PX=0)=(1-》(1-》)PX=1)+(1-》X3= 所以E0=0x+1×足=寻D0=品×+×？=话 故选A. 4.随机变量的分布列如下表，且E()=1.1,则D()=( 3 5 10 A.0.36 B.0.52 C.0.49 D.0.68 答案：C 解析：先由随机变量分布列的性质求得 由E(0=0×+1×+品=1.1，得x=2 因此D(0=(0-1.1P×3+(1-1.1Px+2-1.1P×品=0.49， 5.根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X(单位：mm)对工期的影响如下表所 示 降水量X X<300 300≤X<700 700≤X<900 X≥900 工期延误 10 天数Y
又 3a+2b=2,故当 a= 1 2 ,b=1 4时, 2 𝑎 + 1 3𝑏取得最小值,最小值为16 3 .故选 D. 2.若 X 是离散型随机变量,P(X=x1)= 2 3 ,P(X=x2)= 1 3 ,且 x1<x2,若 E(X)= 4 3 ,D(X)= 2 9 ,则 x1+x2 的值为( ) A. 5 3 B. 7 3 C.3 D. 11 3 答案:C 解析:∵E(X)= 2 3 x1+ 1 3 x2= 4 3 , ∴x2=4-2x1,D(X)=(𝑥1 − 4 3 ) 2× 2 3 +(𝑥2 − 4 3 ) 2× 1 3 = 2 9 . ∵x1<x2,∴{ 𝑥1 = 1, 𝑥2 = 2, ∴x1+x2=3. 3.已知 A1,A2 为两所高校举行的自主招生考试,某同学参加每所高校的考试获得通 过的概率均为1 2 ,该同学一旦通过某所高校的考试,就不再参加其他高校的考试,设 该同学通过高校考试的个数为随机变量 X,则 D(X)=( ) A. 3 16 B. 5 4 C. 25 64 D. 19 64 答案:A 解析:因为 X 的取值为 0,1,P(X=0)=(1 − 1 2 )×(1 − 1 2 )= 1 4 ,P(X=1)= 1 2 +(1 − 1 2 )× 1 2 = 3 4 , 所以 E(X)=0× 1 4 +1× 3 4 = 3 4 ,D(X)= 9 16 × 1 4 + 1 16 × 3 4 = 3 16 . 故选 A. 4.随机变量 ξ 的分布列如下表,且 E(ξ)=1.1,则 D(ξ)=( ) ξ 0 1 x P 1 5 p 3 10 A.0.36 B.0.52 C.0.49 D.0.68 答案:C 解析:先由随机变量分布列的性质求得 p= 1 2 . 由 E(ξ)=0× 1 5 +1× 1 2 + 3 10 x=1.1,得 x=2. 因此 D(ξ)=(0-1.1)2× 1 5 +(1-1.1)2× 1 2 +(2-1.1)2× 3 10 =0.49. 5.根据以往的经验,某工程施工期间的降水量 X(单位:mm)对工期的影响如下表所 示. 降水量 X X<300 300≤X<700 700≤X<900 X≥900 工期延误 天数 Y 0 2 6 10
若历史气象资料表明，该工程施工期间降水量X小于300mm,700mm,900mm的 概率分别为0.3,0.7,0.9，则工期延误天数Y的方差为 答案9.8 解析：由已知可得，PX<300)=0.3, P(300≤X<700)=P(X<700)-PX<300)=0.7-0.3=0.4, P(700≤X<900)=PX<900)-PX<700)=0.9-0.7=0.2, PX≥900)=1-PX<900)=1-0.9=0.1. 所以随机变量Y的分布列为 10 0.3 0.4 0.2 0.1 故E(Y)=0×0.3+2×0.4+6×0.2+10×0.1=3, D(0=(0-3)2×0.3+(2-32×0.4+(6-3)2×0.2+(10-32×0.1=9.8 故工期延误天数Y的方差为9.8 6.最近，李师傅一家三口就如何将手中的10万元钱进行投资理财，提出了三种方 案 第一种方案： 李师傅的儿子认为：根据股市收益大的特点，应该将10万元全部用来买股票据分 析预测：投资股市一年后可以获利40%，也可能亏损20%（假设只有这两种可能），且 获利的概率为 第二种方案： 李师傅认为：现在股市风险大，基金风险较小，应将10万元全部用来买基金.据分析 预测投资基金一年后可能获利20%，可能损失10%，也可能不赔不赚，且这三种情 况发生的概率分别为，行 第三种方案： 李师傅的妻子认为：投资股市、基金均有风险，应该将10万元全部存入银行一年 现在存款年利率为3% 针对以上三种投资方案，请你为李师傅家选择一种合理的理财方案，并说明理由： 解：若按方案一执行，设收益为万元，则其分布列为 1 -2 D 2 5的数学期望E()=4×2+(-2)×2=1. 若按方案二执行，设收益为n万元，则其分布列为 2 0 5 5 5 ”的数学期望E0)=2×2+0x2+(1)×=1
若历史气象资料表明,该工程施工期间降水量 X 小于 300 mm,700 mm,900 mm 的 概率分别为 0.3,0.7,0.9,则工期延误天数 Y 的方差为 . 答案:9.8 解析:由已知可得,P(X<300)=0.3, P(300≤X<700)=P(X<700)-P(X<300)=0.7-0.3=0.4, P(700≤X<900)=P(X<900)-P(X<700)=0.9-0.7=0.2, P(X≥900)=1-P(X<900)=1-0.9=0.1. 所以随机变量 Y 的分布列为 Y 0 2 6 10 P 0.3 0.4 0.2 0.1 故 E(Y)=0×0.3+2×0.4+6×0.2+10×0.1=3, D(Y)=(0-3)2×0.3+(2-3)2×0.4+(6-3)2×0.2+(10-3)2×0.1=9.8. 故工期延误天数 Y 的方差为 9.8. 6.最近,李师傅一家三口就如何将手中的 10 万元钱进行投资理财,提出了三种方 案. 第一种方案: 李师傅的儿子认为:根据股市收益大的特点,应该将 10 万元全部用来买股票.据分 析预测:投资股市一年后可以获利 40%,也可能亏损 20%(假设只有这两种可能),且 获利的概率为1 2 ; 第二种方案: 李师傅认为:现在股市风险大,基金风险较小,应将 10 万元全部用来买基金.据分析 预测:投资基金一年后可能获利 20%,可能损失 10%,也可能不赔不赚,且这三种情 况发生的概率分别为3 5 , 1 5 , 1 5 ; 第三种方案: 李师傅的妻子认为:投资股市、基金均有风险,应该将 10 万元全部存入银行一年, 现在存款年利率为 3%. 针对以上三种投资方案,请你为李师傅家选择一种合理的理财方案,并说明理由. 解:若按方案一执行,设收益为 ξ 万元,则其分布列为 ξ 4 -2 P 1 2 1 2 ξ 的数学期望 E(ξ)=4× 1 2 +(-2)× 1 2 =1. 若按方案二执行,设收益为 η 万元,则其分布列为 η 2 0 -1 P 3 5 1 5 1 5 η 的数学期望 E(η)=2× 3 5 +0× 1 5 +(-1)× 1 5 =1
若按方案三执行，收益y=10×3%=0.3, 因此E()=E()Py 又D⑤0=(4-1P×+(2-1P×9,D0)=2-1P×2+0-1Px+1-lPxg=号 由以上可知D()>D(): 这说明虽然方案一、二收益均相等，但方案二更稳妥所以建议李师傅家选择方案 二投资较为合理 挑战创新 投资A,B两个项目的利润率分别为随机变量X1和X2.根据市场分析X1和X2的 分布列分别为： 投资A项目的利润率分布列 5% 10% 0.8 0.2 投资B项目的利润率分布列 2% 8% 12% P b.2 0.5 0.3 (1)若在A,B两个项目上各投资100万元，Y1(单位：万元)和Y2(单位：万元)分别表示 投资项目A和B所获得的利润，求方差D(Y),D(Y2 (2)将x(0≤x≤100)万元投资A项目，(100-x)万元投资B项目x)表示投资A项目 所得利润的方差与投资B项目所得利润的方差的和求x)的最小值，并指出当x 为何值时x)取得最小值 解(1)由题意知，Y1和Y2的分布列分别为 Y 5 10 0.8 0.2 2 8 12 P 0.2 0.5 0.3 E(Y1)=5×0.8+10×0.2=6,D(Y1)=(5-6)2×0.8+(10-6)2×0.2=4; E(Y2)=2×0.2+8×0.5+12×0.3=8,D(Y2)=(2-8)2×0.2+(8-8)2×0.5+(12-82×0.3=12. 2)=D(品y)+D()=(信)‘Dm)+()D)0+3100 xP]=02(4r2-600x+3x102) 所以，当x。75时取得最小值3
若按方案三执行,收益 y=10×3%=0.3, 因此 E(ξ)=E(η)>y. 又 D(ξ)=(4-1)2× 1 2 +(-2-1)2× 1 2 =9,D(η)=(2-1)2× 3 5 +(0-1)2× 1 5 +(-1-1)2× 1 5 = 8 5 . 由以上可知 D(ξ)>D(η). 这说明虽然方案一、二收益均相等,但方案二更稳妥.所以建议李师傅家选择方案 二投资较为合理. 挑战创新 投资 A,B 两个项目的利润率分别为随机变量 X1 和 X2.根据市场分析,X1和 X2的 分布列分别为: 投资 A 项目的利润率分布列 X1 5% 10% P 0.8 0.2 投资 B 项目的利润率分布列 X2 2% 8% 12% P 0.2 0.5 0.3 (1)若在 A,B 两个项目上各投资 100 万元,Y1(单位:万元)和 Y2(单位:万元)分别表示 投资项目 A 和 B 所获得的利润,求方差 D(Y1),D(Y2); (2)将 x(0≤x≤100)万元投资 A 项目,(100-x)万元投资 B 项目,f(x)表示投资 A 项目 所得利润的方差与投资 B 项目所得利润的方差的和.求 f(x)的最小值,并指出当 x 为何值时,f(x)取得最小值. 解:(1)由题意知,Y1 和 Y2 的分布列分别为 Y1 5 10 P 0.8 0.2 Y2 2 8 12 P 0.2 0.5 0.3 E(Y1)=5×0.8+10×0.2=6,D(Y1)=(5-6)2×0.8+(10-6)2×0.2=4; E(Y2)=2×0.2+8×0.5+12×0.3=8,D(Y2)=(2-8)2×0.2+(8-8)2×0.5+(12-8)2×0.3=12. (2)f(x)=D( 𝑥 100 ·𝑌1 )+D( 100-𝑥 100 ·𝑌2 ) = ( 𝑥 100 ) 2 D(Y1)+( 100-𝑥 100 ) 2 D(Y2)= 4 10 0 2 [x 2+3(100- x) 2 ]= 4 100 2 (4x 2 -600x+3×1002 ). 所以,当 x= 600 2×4 =75 时,f(x)取得最小值 3