5.3 ,导数在研究函数中的应用 5.3.1 函数的单调性 课后训练提升 基础巩固 1.己知函数y=x)的图象如图所示，则导函数y=fx)的图象可能是(). y=f(x) 答案D 解析：，函数x)在区间(0，+o),(-oo,0)上都单调递减，∴.当x>0时fx)1 答案A 解析：由fx)=0),故函数x)在区间(-oo,0)上 单调递减，在区间(0，α)上单调递增，在区间(a,+oo)上单调递减，故选C 4.若a>0,且x)=x3-ax在区间[1，+oo)上单调递增，则a的取值范围是(). A.(0,3) B.0,3]
5.3 导数在研究函数中的应用 5.3.1 函数的单调性 课后· 基础巩固 1.已知函数 y=f(x)的图象如图所示,则导函数 y=f'(x)的图象可能是( ). 答案:D 解析:∵函数 f(x)在区间(0,+∞),(-∞,0)上都单调递减,∴当 x>0 时,f'(x)f(b) B.f(a)=f(b) C.f(a)1 答案:A 解析:由 f'(x)= 1-ln𝑥 𝑥 2 e, ∴f(x)在区间(e,+∞)上单调递减. ∵ef(b). 3.已知函数 f(x)的导函数 f'(x)的图象如图所示,则函数 f(x)的图象可能是( ). 答案:C 解析:从 f'(x)的图象可知,令 f'(x)=0,得 x=0 或 x=a(a>0),故函数 f(x)在区间(-∞,0)上 单调递减,在区间(0,a)上单调递增,在区间(a,+∞)上单调递减,故选 C. 4.若 a>0,且 f(x)=x3 -ax 在区间[1,+∞)上单调递增,则 a 的取值范围是( ). A.(0,3) B.(0,3]
C.(3,+∞) D.[3,+o) 答案B 解析：由题意得，fx)=3xr2-a≥0在x∈[1，+oo)时恒成立，所以a≤(3x2)min=3,又a>0, 所以00,故y=xe在区间(0，+oo) 上单调递增 6若函数=ar3-x)在区间(-，上单调递减，则a的取值范围是( ) A.(0,+o B.(-1,0) C.(1,+o) D.(0,1) 答案A 解析y-a3xr2.1)-3a(x写)(x+写)当x0 7.(多选题)对任意x∈(0，)，不等式sinxfx)cosxf()x恒成立，下列说法正确的是 A⑧>Vf() B./)-2cos 1:/1) C/0. g)在区间(0，)内单调递增 由gε() 得cos )cos界 即r(目<要f(图，即f() 故D错误
C.(3,+∞) D.[3,+∞) 答案:B 解析:由题意得,f'(x)=3x 2 -a≥0 在 x∈[1,+∞)时恒成立,所以 a≤(3x 2 )min=3,又 a>0, 所以 00,故 y=xe x 在区间(0,+∞) 上单调递增. 6.若函数 y=a(x 3 -x)在区间(− √3 3 , √3 3 )上单调递减,则 a 的取值范围是( ). A.(0,+∞) B.(-1,0) C.(1,+∞) D.(0,1) 答案:A 解析:y'=a(3x 2 -1)=3a(𝑥- √3 3 ) (𝑥 + √3 3 ),当- √3 3 0. 7.(多选题)对任意 x∈(0, π 2 ),不等式 sin x·f(x) √2𝑓 ( π 4 ) B.f( π 3 )>2cos 1·f(1) C.f( π 4 ) 0. ∴g(x)在区间(0, π 2 )内单调递增. 由 g( π 6 )<g( π 4 ), 得 f( π 6 )cos π 6 <f( π 4 )cos π 4 , 即 √3 2 𝑓 ( π 6 ) < √2 2 𝑓 ( π 4 ),即 √6 2 𝑓 ( π 6 )<f( π 4 ), 故 D 错误
由g)g假9)得Icos12cos11),故B正确 由g》g(用)得oso 即()>Vf(9故A正确 由gl>g(日)，得1cos1>os 即VI)cosI>),故C正确故选ABC 8.若y=sinx+ax在R上是增函数，则a的取值范围是 答案[1，+o) 解析：由已知得y'=cosx+a≥0对x∈R恒成立，即a≥-cosx对x∈R恒成立 所以a≥1 9.己知函数x)=2x3+ar2+1(a为常数)在区间(-o,0),(2,+o)上单调递增，且在区间 (0,2)上单调递减，则a的值为. 答案6 解析：由题意得fx)=6xr2+2ax=0的两根为0和2，可得a=-6 10.若函数y=ar32ax2-2ax(a0)在区间(-1,2)上单调递增，则a的取值范围 是 答案(0,0) 解析：由已知得，当x∈(-1,2)时y'=ar2-ax-2a=a(x+1)x-2)>0, 当x∈(-1,2)时，(x+1)x-2)2x-1的解集 为 答案(0,1) 解析：令gx)=x)2x+1,则gx)=fx2g(1)=0时x0,即x)>2x-1的解集为(-o,1) 12.己知函数x)=x3+br2+cx+d的图象经过点P(0,2),且在点M-1-1)处的切线 方程为6x-y+7=0. (1)求函数x)的解析式， (2)求函数x)的单调区间 解(1)由x)的图象经过，点P(0,2),知d=2, 所以fx)=x3+bx2+cx+2,fx)=3x2+2bx+c 由x)的图象在，点M-1,-1)处的切线方程为6x-y+7=0,知-6f-1)+7=0 即-1)=1 又f-1)=6,所以有} 3-2b+c=6 -1+b-c+2=1, 解得b=c=-3
由 g(1)2cos 1·f(1),故 B 正确. 由 g( π 3 )>g( π 4 ),得 f( π 3 )cos π 3 >f( π 4 )cos π 4 , 即 f( π 3 ) > √2𝑓 ( π 4 ),故 A 正确. 由 g(1)>g( π 4 ),得 f(1)cos 1>f( π 4 )cos π 4 , 即√2f(1)cos 1>f( π 4 ),故 C 正确.故选 ABC. 8.若 y=sin x+ax 在 R 上是增函数,则 a 的取值范围是 . 答案:[1,+∞) 解析:由已知得 y'=cos x+a≥0 对 x∈R 恒成立,即 a≥-cos x 对 x∈R 恒成立. 所以 a≥1. 9.已知函数 f(x)=2x 3+ax2+1(a 为常数)在区间(-∞,0),(2,+∞)上单调递增,且在区间 (0,2)上单调递减,则 a 的值为 . 答案:-6 解析:由题意得 f'(x)=6x 2+2ax=0 的两根为 0 和 2,可得 a=-6. 10.若函数 y= 1 3 ax3 - 1 2 ax2 -2ax(a≠0)在区间(-1,2)上单调递增,则 a 的取值范围 是 . 答案:(-∞,0) 解析:由已知得,当 x∈(-1,2)时,y'=ax2 -ax-2a=a(x+1)(x-2)>0, ∵当 x∈(-1,2)时,(x+1)(x-2)2x-1 的解集 为 . 答案:(-∞,1) 解析:令 g(x)=f(x)-2x+1,则 g'(x)=f'(x)-2g(1)=0 时,x0,即 f(x)>2x-1 的解集为(-∞,1). 12.已知函数 f(x)=x3+bx2+cx+d 的图象经过点 P(0,2),且在点 M(-1,f(-1))处的切线 方程为 6x-y+7=0. (1)求函数 f(x)的解析式; (2)求函数 f(x)的单调区间. 解:(1)由 f(x)的图象经过点 P(0,2),知 d=2, 所以 f(x)=x3+bx2+cx+2,f'(x)=3x 2+2bx+c. 由 f(x)的图象在点 M(-1,f(-1))处的切线方程为 6x-y+7=0,知-6-f(-1)+7=0, 即 f(-1)=1. 又 f'(-1)=6,所以有{ 3-2𝑏 + 𝑐 = 6, -1 + 𝑏-𝑐 + 2 = 1, 解得 b=c=-3
故所求函数解析式为x)=x3-3x2-3x+2. (2)由(1)知fx)=3x2-6x-3. 令fx)>0,得x1+V2; 令fx)-l1, 九w字+ 当fx)>0时，解得-11. 故函数x)的单调递增区间是(-1,1)，单调递减区间是(1，+∞)， (2)因为函数x)在区间[1，+o)上单调递减， 所以-2amr+≤0对任意x∈l,+m点成立，即a≤2对任意x∈[l,+四) 恒成立 令86)F2x+2x+92 易知当x∈[l,+o)时gx)mm=g)=子则a≤故实数a的取值范围为(o,) 拓展提高 1.己知函数x)的导函数fx)的图象如图所示，若△ABC为锐角三角形，则下列不等 式一定成立的是( A.f(cos A)≤cosB) B.Asin A)fsin B) D.fsin A)>Acos B) 答案D 解析：根据题中图象知，当00, x)在区间0,1)上单调递增 ,△ABC为锐角三角形 ∴4，B都是锐角，且A+B>
故所求函数解析式为 f(x)=x3 -3x 2 -3x+2. (2)由(1)知 f'(x)=3x 2 -6x-3. 令 f'(x)>0,得 x1+√2; 令 f'(x)-1), f'(x)=- 1 2 x+ 1 𝑥+1 =- (𝑥+2)(𝑥-1) 2(𝑥+1) (x>-1). 当 f'(x)>0 时,解得-11. 故函数 f(x)的单调递增区间是(-1,1),单调递减区间是(1,+∞). (2)因为函数 f(x)在区间[1,+∞)上单调递减, 所以 f'(x)=2ax+ 1 𝑥+1 ≤0 对任意 x∈[1,+∞)恒成立,即 a≤- 1 2𝑥(𝑥+1)对任意 x∈[1,+∞) 恒成立. 令 g(x)=- 1 2𝑥(𝑥+1) =- 1 2(𝑥+ 1 2 ) 2- 1 2 , 易知当 x∈[1,+∞)时,g(x)min=g(1)=- 1 4 ,则 a≤- 1 4 .故实数 a 的取值范围为(-∞,- 1 4 ). 拓展提高 1.已知函数 f(x)的导函数 f'(x)的图象如图所示,若△ABC 为锐角三角形,则下列不等 式一定成立的是( ). A.f(cos A)f(sin B) D.f(sin A)>f(cos B) 答案:D 解析:根据题中图象知,当 00, ∴f(x)在区间(0,1)上单调递增. ∵△ABC 为锐角三角形, ∴A,B 都是锐角,且 A+B>π 2
∴.0cosB), 2.若函数x)=2x2nx在定义域内的一个子区间(k1,k+1)上不是单调函数，则实数 k的取值范围是( A[1) B(1引 C.(1,2] D.[1,2) 答案：A 解析：显然函数)的定义域为0，+o)=4x生=空由>0，得函数)的单 调递增区间为（侵，+0）由fx)g'(x),则当ag(x) B./(x)g(x)+Ab) 答案：C 解析：设hx)=术x)g(x),fx)g《x)>0,.h(x)>0,.hx)在区间[a,b]上单调递增 .当aha,∴x)gx)Pa)g(a 即x)+g(a)Pgx)+a) 4.已知函数x)=x2+2cosx,若fx)是x)的导函数，则fx)的大致图象是( tf(x) tf(x) t(x) f(x) 答案：A 解析：设gx)=fx)=2x-2sinx, 则g(x)=2-2cosx≥0，所以函数gx)在R上单调递增，即f八x)在R上单调递增.故选 A 5.已知在R上可导的函数x)的图象如图所示，则关于x的不等式xx)<0的解集 为
∴0f(cos B). 2.若函数 f(x)=2x 2 -ln x 在定义域内的一个子区间(k-1,k+1)上不是单调函数,则实数 k 的取值范围是( ). A.[1, 3 2 ) B.(1, 3 2 ] C.(1,2] D.[1,2) 答案:A 解析:显然函数 f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=4x- 1 𝑥 = 4𝑥 2 -1 𝑥 .由 f'(x)>0,得函数 f(x)的单 调递增区间为( 1 2 , + ∞);由 f'(x)g'(x),则当 ag(x) B.f(x)g(x)+f(a) D.f(x)+g(b)>g(x)+f(b) 答案:C 解析:设 h(x)=f(x)-g(x),∵f'(x)-g'(x)>0,∴h'(x)>0,∴h(x)在区间[a,b]上单调递增, ∴当 ah(a),∴f(x)-g(x)>f(a)-g(a), 即 f(x)+g(a)>g(x)+f(a). 4.已知函数 f(x)=x2+2cos x,若 f'(x)是 f(x)的导函数,则 f'(x)的大致图象是( ). 答案:A 解析:设 g(x)=f'(x)=2x-2sin x, 则 g'(x)=2-2cos x≥0,所以函数 g(x)在 R 上单调递增,即 f'(x)在 R 上单调递增.故选 A. 5.已知在 R 上可导的函数 f(x)的图象如图所示,则关于 x 的不等式 xf'(x)<0 的解集 为
答案(-0，-1)U(0,1) 解折由0可得形00仔0 由题图可知当-11时fx)>0, 则1 (x0,∴.a>0. 7.若函数x)=三x2+bln(x+2)在区间(-1，+oo)上单调递减，则b的取值范围 是 答案(0，-1] 解析fx)=x+b +21 由题意知w)=x+≤0在区间(l,+0)上恒成立， 即b≤x在区间(1，+0)上恒成立， x+2 x>-1,.x+2>1>0, .b≤x(x+2)在区间(-1，+o)上恒成立 设y=x(x+2),则y=x2+2x=(x+1)2-1, x>-1,y>-1, ∴.要使b≤x(x+2)在区间(-1，+oo)上恒成立，则有b≤-1 8.已知函数x)=elx+2化为常数)，曲线y=x)在点(0,0)处的切线与x轴平 行，则x)的单调递增区间为 答案(0，+0) 解析fx)=ke-ll+x :曲线y=x)在点(0,0)处的切线与x轴平行， ∴f0)=el-l=0,解得k=e, ∴.fx)=er+x-l. 令fx)>0,解得x>0 x)的单调递增区间为(0，+oo) 9.若x)=r∈R)在区间1,1]上单调递增，则a的取值范围是 x2+2 答案[1,1]
答案:(-∞,-1)∪(0,1) 解析:由 xf'(x) 0, 𝑓'(𝑥) 0, 由题图可知当-11 时,f'(x)>0, 则{ 𝑥 > 0, -1 1, 解得 00,∴a>0. 7.若函数 f(x)=- 1 2 x 2+bln(x+2)在区间(-1,+∞)上单调递减,则 b 的取值范围 是 . 答案:(-∞,-1] 解析:f'(x)=-x+ 𝑏 𝑥+2 , 由题意知 f'(x)=-x+ 𝑏 𝑥+2 ≤0 在区间(-1,+∞)上恒成立, 即 𝑏 𝑥+2 ≤x 在区间(-1,+∞)上恒成立, ∵x>-1,∴x+2>1>0, ∴b≤x(x+2)在区间(-1,+∞)上恒成立. 设 y=x(x+2),则 y=x2+2x=(x+1)2 -1, ∵x>-1,∴y>-1, ∴要使 b≤x(x+2)在区间(-1,+∞)上恒成立,则有 b≤-1. 8.已知函数 f(x)=ke x-1 -x+1 2 x 2 (k 为常数),曲线 y=f(x)在点(0,f(0))处的切线与 x 轴平 行,则 f(x)的单调递增区间为 . 答案:(0,+∞) 解析:f'(x)=ke x-1 -1+x, ∵曲线 y=f(x)在点(0,f(0))处的切线与 x 轴平行, ∴f'(0)=ke -1 -1=0,解得 k=e, ∴f'(x)=e x+x-1. 令 f'(x)>0,解得 x>0, ∴f(x)的单调递增区间为(0,+∞). 9.若 f(x)= 2𝑥-𝑎 𝑥 2 +2 (x∈R)在区间[-1,1]上单调递增,则 a 的取值范围是 . 答案:[-1,1]
解析fx)=2.+ax+ (x2+2)2 x)在区间[l,1上单调递增 =-2≥0在区间，]止恒减立 (x2+2)2>0, ∴.x2-ax-2≤0对x∈[-1,1]恒成立. 令gx)=x2-ax-2 则g0+f 1+a-2≤0， 1-a-2≤0， -1≤a≤1.故a的取值范围是[-1,1] 10.设函数fx)是奇函数x)x∈R)的导函数-1)=0，当x>0时，xfx)x)O成立的x的取值范围是 答案(-0，-1)U(0,1) 解析：因为x∈R)为奇函数-1)=0，所以1)=-1)=0.当x0时，令gx)=国，则 gx)为偶函数，且g1)=g(-1)=0.又当x>0时fx)x)0台x)>0,当x0. 综上所述，使x)>0成立的x的取值范围是(0，-1)U(0,1), 11.设函数x)=xe(k0), (1)求函数x)的单调区间： 2)若函数x)在区间(-1,1)上单调递增，求k的取值范围。 解：(1)由fx)=(1+ax)e=0,得x=0) 若k>0,则当x∈(0)时，/0，函数)单调递减 当x∈（是，+∞时心x)>0,函数）弹调递增 若k0,函数)单调递增； 当x∈(，+0时fx)0,函数x)单调递减 综上所述，当心0时)的单调递增区间为(，+0)，单调递减区间为(0，) 当k0，则当且仅当长1，即0<k≤1时，函数)在区间(1,1)上单调递 增 若0，则当且仅当之1，即1≤k<0时，函数)在区间(1,1)上单调递增. 综上可知，当函数x)在区间(-1,1)上单调递增时，k的取值范围是[1,0)U(0,1]
解析:f'(x)=2· -𝑥 2 +𝑎𝑥+2 (𝑥 2 +2) 2 , ∵f(x)在区间[-1,1]上单调递增, ∴f'(x)=2· -𝑥 2 +𝑎𝑥+2 (𝑥 2 +2) 2 ≥0 在区间[-1,1]上恒成立. ∵(x 2+2)2>0, ∴x 2 -ax-2≤0 对 x∈[-1,1]恒成立. 令 g(x)=x2 -ax-2, 则{ 𝑔(-1) ≤ 0, 𝑔(1) ≤ 0, 即 { 1 + 𝑎-2 ≤ 0, 1-𝑎-2 ≤ 0, ∴-1≤a≤1.故 a 的取值范围是[-1,1]. 10.设函数 f'(x)是奇函数 f(x)(x∈R)的导函数,f(-1)=0,当 x>0 时,xf'(x)-f(x)0 成立的 x 的取值范围是 . 答案:(-∞,-1)∪(0,1) 解析:因为 f(x)(x∈R)为奇函数,f(-1)=0,所以 f(1)=-f(-1)=0.当 x≠0 时,令 g(x)= 𝑓(𝑥) 𝑥 ,则 g(x)为偶函数,且 g(1)=g(-1)=0.又当 x>0 时,xf'(x)-f(x)g(1)=0⇔ 𝑓(𝑥) 𝑥 >0⇔f(x)>0;当 x0. 综上所述,使 f(x)>0 成立的 x 的取值范围是(-∞,-1)∪(0,1). 11.设函数 f(x)=xe kx(k≠0). (1)求函数 f(x)的单调区间; (2)若函数 f(x)在区间(-1,1)上单调递增,求 k 的取值范围. 解:(1)由 f'(x)=(1+kx)ekx=0,得 x=- 1 𝑘 (k≠0). 若 k>0,则当 x∈(-∞,- 1 𝑘 )时,f'(x)0,函数 f(x)单调递增. 若 k0,函数 f(x)单调递增; 当 x∈(- 1 𝑘 , + ∞)时,f'(x)0 时,f(x)的单调递增区间为(- 1 𝑘 , + ∞),单调递减区间为(-∞,- 1 𝑘 ); 当 k0,则当且仅当- 1 𝑘 ≤-1,即 0<k≤1 时,函数 f(x)在区间(-1,1)上单调递 增. 若 k<0,则当且仅当- 1 𝑘 ≥1,即-1≤k<0 时,函数 f(x)在区间(-1,1)上单调递增. 综上可知,当函数 f(x)在区间(-1,1)上单调递增时,k 的取值范围是[-1,0)∪(0,1]
挑战创新 己知函数)=x子+a2-nxwa>0,试讨论)的单调性 解x)的定义域为(0，+o), f)-1+2-是=x x2 令gx)=x2-ax+2,4=a2-8. (1)当0,都有fx)>0,此时x)在区间(0，+o)上单调 递增； (2)当=0，即a=2VZ时，当且仅当x=V2时，有fx)=0,对定义域内其余的x都有 fx)>0,此时x)在区间(0，+oo)上单调递增： (3)当>0，即a>2V2时，方程gx)=0有两个不相等的实 根1=-a8 2-+va0<x1<2 2 3 当x变化时，fx),x)的变化情况如下表所示 0,x1) 1 x1,x2) x2,+0) f(x) 0 几x) 单调递增 x1) 单调递减 x2) 单调递增 故在区问(0，一和区间(（色三，+∞上单调递增 2 在区间-va2a+va8 2 上单调递减 2
挑战创新 已知函数 f(x)=x- 2 𝑥 +a(2-ln x),a>0,试讨论 f(x)的单调性. 解:f(x)的定义域为(0,+∞), f'(x)=1+ 2 𝑥 2 − 𝑎 𝑥 = 𝑥 2 -𝑎𝑥+2 𝑥 2 . 令 g(x)=x2 -ax+2,Δ=a2 -8. (1)当 Δ0,都有 f'(x)>0,此时 f(x)在区间(0,+∞)上单调 递增; (2)当 Δ=0,即 a=2√2时,当且仅当 x=√2时,有 f'(x)=0,对定义域内其余的 x 都有 f'(x)>0,此时 f(x)在区间(0,+∞)上单调递增; (3)当 Δ>0,即 a>2√2时,方程 g(x)=0 有两个不相等的实 根:x1= 𝑎-√𝑎 2 -8 2 ,x2= 𝑎+√𝑎 2 -8 2 ,0<x1<x2. 当 x 变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表所示. x (0,x1) x1 (x1,x2) x2 (x2,+∞) f'(x) + 0 - 0 + f(x) 单调递增 f(x1) 单调递减 f(x2) 单调递增 故 f(x)在区间(0, 𝑎-√𝑎 2 -8 2 )和区间( 𝑎+√𝑎 2 −8 2 , +∞)上单调递增; 在区间( 𝑎-√𝑎 2 -8 2 , 𝑎+√𝑎 2 -8 2 )上单调递减