4.2等差数列 4.2.1等差数列的概念 第1课时 等差数列的概念及通项公式 课后训练提升 基础巩固 1.已知数列{am}的通项公式为am=2n+5,则此数列是( A.公差为2的等差数列 B.公差为5的等差数列 C.首项为5的等差数列 D.公差为n的等差数列 答案：A 解析：由题意，可知an+1-an=2(n+1)+5-(2n+5)=2,a1=2×1+5=7,故{am}是首项为7，公 差为2的等差数列 2.在等差数列{an}中，若a2=4,a4=2,则a6等于() A.-1 B.0 C.1 D.6 答案B 解析：设等差数列{an}的公差为d, 则有合十手2得侣二数wa+5-0 ld=-1, 3.在数列{an}中，若a1=1,an+1-an=2,则a51的值为() A.99 B.49 C.102 D.101 答案D 解析：由题意可知{an}是首项a1=1,公差d=2的等差数列，故a51=a1+50d=101 4.已知数列{am}满足a1=2,an+1-an+1=0,则数列{an}的通项公式an等于()， A.n2+1 B.n+1 C.1-n D.3-n 答案D 解析：由题意，可得an+1-an=-1,即数列{amn}是公差d为-l的等差数列，故an=a+(n 1)d=2+(n-1)×(-1)=3-n. 5.等差数列20,17,14,11，…中第一个负数项是(). A.第7项 B.第8项 C.第9项 D.第10项 答案B
4.2 等差数列 4.2.1 等差数列的概念 第 1 课时 等差数列的概念及通项公式 课后· 基础巩固 1.已知数列{an}的通项公式为 an=2n+5,则此数列是( ). A.公差为 2 的等差数列 B.公差为 5 的等差数列 C.首项为 5 的等差数列 D.公差为 n 的等差数列 答案:A 解析:由题意,可知 an+1-an=2(n+1)+5-(2n+5)=2,a1=2×1+5=7,故{an}是首项为 7,公 差为 2 的等差数列. 2.在等差数列{an}中,若 a2=4,a4=2,则 a6等于( ). A.-1 B.0 C.1 D.6 答案:B 解析:设等差数列{an}的公差为 d, 则有{ 𝑎1 + 𝑑 = 4, 𝑎1 + 3𝑑 = 2, 得 { 𝑎1 = 5, 𝑑 = -1, 故 a6=a1+5d=0. 3.在数列{an}中,若 a1=1,an+1-an=2,则 a51的值为( ). A.99 B.49 C.102 D.101 答案:D 解析:由题意可知{an}是首项 a1=1,公差 d=2 的等差数列,故 a51=a1+50d=101. 4.已知数列{an}满足 a1=2,an+1-an+1=0,则数列{an}的通项公式 an等于( ). A.n 2+1 B.n+1 C.1-n D.3-n 答案:D 解析:由题意,可得 an+1-an=-1,即数列{an}是公差 d 为-1 的等差数列,故 an=a1+(n- 1)d=2+(n-1)×(-1)=3-n. 5.等差数列 20,17,14,11,…中第一个负数项是( ). A.第 7 项 B.第 8 项 C.第 9 项 D.第 10 项 答案:B
解析：根据题意，可知首项a1=20,公差d=-3,故am=20+(n-1)×(-3)=23-3n,由am华即as<0, 6.若5，x,y,z,21成等差数列，则x+y+z的值为() A.26 B.29 C.39 D.52 答案C 解析：5，xy,z,21成等差数列， ∴y既是5和21的等差中项，也是x和z的等差中项， ∴.5+21=2y,∴.y=13,x+z=2y=26, ∴.x+y+z=39 7.己知一个等差数列的前4项是a,x,b,2x,则等于()片 A好 B.- “2 喝 答案：C 解析：b是x2x的等差中项，b=2=兰 2 又x是a,b的等差中项，2x=a+b,a克 增= 8.√21与√2+1的等差中项是 答案2 解析：设等差中项为a,则有2a=(√2-1)+(WZ+1)=2vZ,得a=V2 9.在等差数列{an}中，若a3=7,a5=a2+6,则a6= 答案：13 解析：设等差数列{am}的公差为d, 则a5-a2=3d=6,则a6=a3+3d=7+6=13 10.己知数列{an}中，a1=1,am-l-n=anam-l(n≥2)，则a10= 答案品 解析：由题意，可知an0,由于数列{an}满足am-l-an=anan-l(n≥2)， 则片-=1（≥2，故数列侣}是等差数列，公差为1，首项为1，即。=1+9=10， an an-i a10 故a10=品 11.在数列{an}中，a1=l,an+1=2an+2”,设bm=22 (1)证明：数列{bm}是等差数列； (2)求数列{an}的通项公式. （证明由已知a1=2a+2,得b1-兰=22之=兴+1=b+1.由于b1=a1=l, 2n 因此{bm}是首项为1，公差为1的等差数列
解析:根据题意,可知首项 a1=20,公差 d=-3,故 an=20+(n-1)×(-3)=23-3n,由 an24 3 ,即 a8<0. 6.若 5,x,y,z,21 成等差数列,则 x+y+z 的值为( ). A.26 B.29 C.39 D.52 答案:C 解析:∵5,x,y,z,21 成等差数列, ∴y 既是 5 和 21 的等差中项,也是 x 和 z 的等差中项, ∴5+21=2y,∴y=13,x+z=2y=26, ∴x+y+z=39. 7.已知一个等差数列的前 4 项是 a,x,b,2x,则 𝑎 𝑏等于( ). A. 1 4 B. 1 2 C. 1 3 D. 2 3 答案:C 解析:∵b 是 x,2x 的等差中项,∴b=𝑥+2𝑥 2 = 3𝑥 2 , 又 x 是 a,b 的等差中项,∴2x=a+b,∴a= 𝑥 2 , ∴ 𝑎 𝑏 = 1 3 . 8.√2-1 与√2+1 的等差中项是 . 答案:√2 解析:设等差中项为 a,则有 2a=(√2-1)+(√2+1)=2√2,得 a=√2. 9.在等差数列{an}中,若 a3=7,a5=a2+6,则 a6= . 答案:13 解析:设等差数列{an}的公差为 d, 则 a5-a2=3d=6,则 a6=a3+3d=7+6=13. 10.已知数列{an}中,a1=1,an-1-an=an·an-1(n≥2),则 a10= . 答案: 1 10 解析:由题意,可知 an≠0,由于数列{an}满足 an-1-an=an·an-1(n≥2), 则 1 𝑎𝑛 − 1 𝑎𝑛-1 =1(n≥2),故数列{ 1 𝑎𝑛 }是等差数列,公差为 1,首项为 1,即 1 𝑎10 =1+9=10, 故 a10= 1 10 . 11.在数列{an}中,a1=1,an+1=2an+2 n ,设 bn= 𝑎𝑛 2 𝑛-1 . (1)证明:数列{bn}是等差数列; (2)求数列{an}的通项公式. (1)证明:由已知 an+1=2an+2 n ,得 bn+1= 𝑎𝑛+1 2 𝑛 = 2𝑎𝑛+2 𝑛 2 𝑛 = 𝑎𝑛 2 𝑛-1+1=bn+1.由于 b1=a1=1, 因此{bn}是首项为 1,公差为 1 的等差数列
(2)解：由(1)知数列{bm}的通项公式为bn=n, 因为bm=2÷,所以数列{am}的通项公式为an=n2叫 拓展提高 1.(多选题)下列通项公式所表示的数列中，是等差数列的是( A.an=2 B.an=8-3n C.an=log37m D.an=n2-3n 答案：ABC 解析：由等差数列的定义可知，A项中的数列是公差为0的等差数列：B项中的数 列是公差为-3的等差数列；C项中的数列是公差为10g37的等差数列：D项中的数 列，由通项公式知，a1=-2,a2=-2,a3=0,而a2-a1≠a3-2,所以该数列不是等差数列. 2在数列a冲若a=1品=+则该数列的通项公式 ) an an+2 A.an=1 B.an=2 n+1 C.a=2 3 n+2 D.an= 答案：A 解析：由2=1+1，得1一工=1一1 an+i an an+2 anti an ant2 an+i 则数列侣}是首项为士1，公差为士--21=1的等差载列故士儿即a片 a2 a 3.现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升， 下面3节的容积共4升，则第5节的容积为 升 答案恕 解析：设此等差数列为{an},首项为al,公差为d, 剥8+十8±经：-3得传：+2134前 22, (a7+a8+ag=4, d= 7 故as=a1+4d品是+4×品=号 22 4.已知首项为-24的等差数列{an},从第10项开始为正数，则公差d的取值范围 是 答案(3] 解析an=-24+(n-1)d 则收n2+50解时长 5.已知数列{an}是首项为2，公差为3的等差数列，数列{bm}是首项为-2，公差为4 的等差数列.若an=bm,则n的值为 答案：5 解析：根据题意，可知an=2+(n-1)×3=3m-1,bm=-2+(n-1)×4=4n-6, 令an=bm,得3n-1=4n-6,故n=5
(2)解:由(1)知数列{bn}的通项公式为 bn=n, 因为 bn= 𝑎𝑛 2 𝑛-1 ,所以数列{an}的通项公式为 an=n·2 n-1 . 拓展提高 1.(多选题)下列通项公式所表示的数列中,是等差数列的是( ). A.an=2 B.an=8-3n C.an=log37 n D.an=n2 -3n 答案:ABC 解析:由等差数列的定义可知,A 项中的数列是公差为 0 的等差数列;B 项中的数 列是公差为-3 的等差数列;C 项中的数列是公差为 log37 的等差数列;D 项中的数 列,由通项公式知,a1=-2,a2=-2,a3=0,而 a2-a1≠a3-a2,所以该数列不是等差数列. 2.在数列{an}中,若 a1=1,a2= 1 2 , 2 𝑎𝑛+1 = 1 𝑎𝑛 + 1 𝑎𝑛+2 ,则该数列的通项公式为( ). A.an= 1 𝑛 B.an= 2 𝑛+1 C.an= 2 𝑛+2 D.an= 3 𝑛 答案:A 解析:由 2 𝑎𝑛+1 = 1 𝑎𝑛 + 1 𝑎𝑛+2 ,得 1 𝑎𝑛+1 − 1 𝑎𝑛 = 1 𝑎𝑛+2 − 1 𝑎𝑛+1 , 则数列{ 1 𝑎𝑛 }是首项为 1 𝑎1 =1,公差为 1 𝑎2 − 1 𝑎1 =2-1=1 的等差数列,故 1 𝑎𝑛 =n,即 an= 1 𝑛 . 3.现有一根 9 节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,上面 4 节的容积共 3 升, 下面 3 节的容积共 4 升,则第 5 节的容积为 升. 答案: 67 66 解析:设此等差数列为{an},首项为 a1,公差为 d, 则{ 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + 𝑎4 = 3, 𝑎7 + 𝑎8 + 𝑎9 = 4, 得 { 4𝑎1 + 6𝑑 = 3, 3𝑎1 + 21𝑑 = 4, 解得{ 𝑎1 = 13 22 , 𝑑 = 7 66 , 故 a5=a1+4d=13 22 +4× 7 66 = 67 66 . 4.已知首项为-24 的等差数列{an},从第 10 项开始为正数,则公差 d 的取值范围 是 . 答案:( 8 3 ,3] 解析:an=-24+(n-1)d, 则{ 𝑎9 = -24 + 8𝑑 ≤ 0, 𝑎10 = -24 + 9𝑑 > 0, 解得8 3 <d≤3. 5.已知数列{an}是首项为 2,公差为 3 的等差数列,数列{bn}是首项为-2,公差为 4 的等差数列.若 an=bn,则 n 的值为 . 答案:5 解析:根据题意,可知 an=2+(n-1)×3=3n-1,bn=-2+(n-1)×4=4n-6, 令 an=bn,得 3n-1=4n-6,故 n=5
6.已知等差数列{am}:3,7,11,15,… (1)135,4m+19(m∈N是数列{an}中的项吗？请说明理由； (2)若ap,agp,g∈N)是数列{an}中的项，则2ap+3ag是数列{an}中的项吗？请说明理 由 解：由题意，可知等差数列{an}的首项a1=3,公差d=4,则an=a1+(n-l1)d=4n-1. (1)令am=4n-1=135,得n=34, 故135是数列{an}的第34项. 令an=4n-1=4m+19,则n=m+5, 所以4m+19是数列{an}的第m+5项. (2)因为ap,ag是数列{an}中的项， 所以ap=4p-1,ag=4g-1. 则2ap+3ag=2(4p-1)+3(4q-1)=8p+12q-5=4(2p+3q-1)1,其中2p+3q-1∈N, 故2ap+3ag是数列{an}的第2p+3q-1项. 7.己知数列{an}满足a1=10,a2=5,arran+2=2,求数列{an}的通项公式. 解由an-an+2=2知，数列{an}的奇数项和偶数项分别构成公差为-2的等差数列. 当n=2k-1(k∈N*)时，2k=n+1,a2k-1=a1+(k-1)(-2)=12-2k 故an=12-(n+1)=11-n(n为奇数). 当n=2k∈N)时，a2k=a2+(k-1)(-2)=5-2k+2=7-2k,故an=7-n为偶数)， 7-n,n为偶数 即adn= (11-n,n为奇数 挑战创新 在数列{an}中，已知a1=5,且an=2am-1+2m-1(n≥2). (1)求a2,a3的值； (2)是否存在实数2使得数列出为等差数列？若存在，求出入的值；若不存在，请 说明理由 解(1)因为a1=5,所以a2=2a1+22-1=13,a3=2a2+23-1=33 2)假设存在实数九，使得数列的为等差数列， 则，2,2成等差数列， 故2×2兴=些+即型=安+解得 2 2 8 当l时，2-=a1-l2ar1刃 2a+1-2aw+l)2l【2aa+2m1.l2am+]F2-×21=l. 综上可知，存在实数=山，使得数列为等差数列
6.已知等差数列{an}:3,7,11,15,…. (1)135,4m+19(m∈N* )是数列{an}中的项吗?请说明理由; (2)若 ap,aq(p,q∈N* )是数列{an}中的项,则 2ap+3aq是数列{an}中的项吗?请说明理 由. 解:由题意,可知等差数列{an}的首项 a1=3,公差 d=4,则 an=a1+(n-1)d=4n-1. (1)令 an=4n-1=135,得 n=34, 故 135 是数列{an}的第 34 项. 令 an=4n-1=4m+19,则 n=m+5, 所以 4m+19 是数列{an}的第 m+5 项. (2)因为 ap,aq 是数列{an}中的项, 所以 ap=4p-1,aq=4q-1. 则 2ap+3aq=2(4p-1)+3(4q-1)=8p+12q-5=4(2p+3q-1)-1,其中 2p+3q-1∈N* , 故 2ap+3aq 是数列{an}的第 2p+3q-1 项. 7.已知数列{an}满足 a1=10,a2=5,an-an+2=2,求数列{an}的通项公式. 解由 an-an+2=2 知,数列{an}的奇数项和偶数项分别构成公差为-2 的等差数列. 当 n=2k-1(k∈N* )时,2k=n+1,a2k-1=a1+(k-1)·(-2)=12-2k, 故 an=12-(n+1)=11-n(n 为奇数). 当 n=2k(k∈N* )时,a2k=a2+(k-1)·(-2)=5-2k+2=7-2k,故 an=7-n(n 为偶数). 即 an={ 7-𝑛,𝑛为偶数, 11-𝑛,𝑛为奇数. 挑战创新 在数列{an}中,已知 a1=5,且 an=2an-1+2 n -1(n≥2). (1)求 a2,a3 的值; (2)是否存在实数 λ,使得数列{ 𝑎𝑛+𝜆 2 𝑛 }为等差数列?若存在,求出 λ 的值;若不存在,请 说明理由. 解(1)因为 a1=5,所以 a2=2a1+2 2 -1=13,a3=2a2+2 3 -1=33. (2)假设存在实数 λ,使得数列{ 𝑎𝑛+𝜆 2 𝑛 }为等差数列, 则 𝑎1+𝜆 2 , 𝑎2+𝜆 2 2 , 𝑎3 +𝜆 2 3 成等差数列, 故 2× 𝑎2+𝜆 2 2 = 𝑎1+𝜆 2 + 𝑎3+𝜆 2 3 ,即 13+𝜆 2 = 5+𝜆 2 + 33+𝜆 8 ,解得 λ=-1. 当 λ=-1 时, 𝑎𝑛+1 -1 2 𝑛 +1 − 𝑎𝑛-1 2 𝑛 = 1 2 𝑛 +1 [(an+1-1)-2(an-1)] = 1 2 𝑛+1 (an+1-2an+1)= 1 2 𝑛+1 [(2an+2 n+1 -1)-2an+1]= 1 2 𝑛+1×2 n+1=1. 综上可知,存在实数 λ=-1,使得数列{ 𝑎𝑛+𝜆 2 𝑛 }为等差数列