1.1.2 集合的基本关系 课后·训练提升 基础巩固 1.若集合A={2,-1},B={m2-m,-1},且A=B,则实数m=( A.2 B.-1 C.2或-1 D.4 解析：A=B,∴m2-m=2,解得m=-1或2. 答案：C 2.已知集合A={xx2-1=0},则( A.1A B.0∈A C.0CA D.{0}∈A 解析：由已知，得A={1,-1},所以选项A,B,D都错误； 因为⑦是任何非空集合的真子集，所以C正确： 答案：C 3.己知集合N={1,3,5},则集合N的真子集个数为() A.5 B.6 C.7 D.8 解析：集合N中有3个元素， ∴.集合N的真子集个数为23-1=7. 答案：C 4.下列说法： ①空集没有子集：②任何集合至少有两个子集：③空集是任何集合的真子集：④若 ②至A,则A≠0 其中正确的个数是( A.0 B.1 C.2 D.3 解析：①错，空集是任何集合的子集，则⑦二@：②错，如0只有一个子集：③错，空集不是 自身的真子集：④正确，因为空集是任何非空集合的真子集 答案B 5若集合M={xk=+,k∈ZN={xx=k+,kEZ,则( ) A.M=N B.MCN C.NCM D.以上都不对 解析：，集合M中的元素满足： + n+2,k=2n,n∈Z, n+5k=2n+1.nEZ 集合N中的元素满足x=k+=n+k=n,n∈Z 3 .∴.NcM
1.1.2 集合的基本关系 课后· 基础巩固 1.若集合 A={2,-1},B={m2 -m,-1},且 A=B,则实数 m=( ) A.2 B.-1 C.2 或-1 D.4 解析:∵A=B,∴m2 -m=2,解得 m=-1 或 2. 答案:C 2.已知集合 A={x|x2 -1=0},则( ) A.1∉A B.0⊆A C.⌀⊆A D.{0}⊆A 解析:由已知,得 A={1,-1},所以选项 A,B,D 都错误; 因为⌀是任何非空集合的真子集,所以 C 正确. 答案:C 3.已知集合 N={1,3,5},则集合 N 的真子集个数为( ) A.5 B.6 C.7 D.8 解析:∵集合 N 中有 3 个元素, ∴集合 N 的真子集个数为 2 3 -1=7. 答案:C 4.下列说法: ①空集没有子集;②任何集合至少有两个子集;③空集是任何集合的真子集;④若 ⌀⫋A,则 A≠⌀. 其中正确的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 解析:①错,空集是任何集合的子集,则⌀⊆⌀;②错,如⌀只有一个子集;③错,空集不是 自身的真子集;④正确,因为空集是任何非空集合的真子集. 答案:B 5.若集合 M={𝑥 |𝑥 = 𝑘 2 + 1 3 ,𝑘∈Z},N={𝑥 |𝑥 = 𝑘 + 1 3 , 𝑘 ∈ Z},则( ) A.M=N B.M⊆N C.N⊆M D.以上都不对 解析:∵集合 M 中的元素满足: x= 𝑘 2 + 1 3 = { 𝑛 + 1 3 ,𝑘 = 2𝑛,𝑛∈Z, 𝑛 + 5 6 ,𝑘 = 2𝑛 + 1,𝑛∈Z, 集合 N 中的元素满足:x=k+1 3 =n+1 3 ,k=n,n∈Z, ∴N⊆M
答案：C 6.设a,b∈R集合{0，b,={1,a,a+b;,则a+2b= 解析：{0，b,}={1,aa+b},而a0, ∴.a+b=0,b=1,2=a ∴.b=1,a=-1,∴.a+2b=1. 答案1 7.己知集合A={x1<x-1≤4}，B=(-0,a),若ACB,则实数a的取值范围是(c,+∞)，其中 C= 解析：，A={x1<x-1≤4}=(2,5]，ACB,.5<a 又a∈(c,+∞)，∴.c=5. 答案5 8.己知集合A={x1<x<6},B={xr<a}.若A二B,则a的取值范围为」 解析：因为A={x1<x<6},B={xx<a,A二B,所以结合数轴可知a≥6. 答案：{ala≥6} 9.己知A={xx<3},B={xx<a} (I)若B二A,求a的取值范围； (2)若A二B,求a的取值范围， 解(1)因为BCA,B是A的子集，由数轴得a≤3 B▣A (2)因为A二B,A是B的子集，由数轴得a≥3. A☐B 3 d x 10.已知集合A={xx-a=4},集合B={1,2,b}. (1)是否存在实数a,使得对于任意实数b都有A二B?若存在，求出对应的a值：若不 存在，请说明理由 (2)若A二B成立，求出对应的实数对(a,b), 解(1)对于任意实数b都有A二B,当且仅当集合A中的元素为1,2. A={a-4,a+4} :41,或a4三2，解方程组可知无解 la+4=2,1 x(a+4=1, ∴，不存在实数a,使得对于任意实数b都有A二B. a0)%知苯cR别侣44b 844子或84184色2 解得6二9支6=08=子份二日
答案:C 6.设 a,b∈R,集合{0,𝑏, 𝑏 𝑎 }={1,a,a+b},则 a+2b= . 解析:∵{0,𝑏, 𝑏 𝑎 }={1,a,a+b},而 a≠0, ∴a+b=0,b=1,𝑏 𝑎 =a, ∴b=1,a=-1,∴a+2b=1. 答案:1 7.已知集合 A={x|1<x-1≤4},B=(-∞,a),若 A⊆B,则实数 a 的取值范围是(c,+∞),其中 c= . 解析:∵A={x|1<x-1≤4}=(2,5],A⊆B,∴5<a. 又 a∈(c,+∞),∴c=5. 答案:5 8.已知集合 A={x|1<x<6},B={x|x<a}.若 A⊆B,则 a 的取值范围为 . 解析:因为 A={x|1<x<6},B={x|x<a},A⊆B,所以结合数轴可知 a≥6. 答案:{a|a≥6} 9.已知 A={x|x<3},B={x|x<a}. (1)若 B⊆A,求 a 的取值范围; (2)若 A⊆B,求 a 的取值范围. 解:(1)因为 B⊆A,B 是 A 的子集,由数轴得 a≤3. (2)因为 A⊆B,A 是 B 的子集,由数轴得 a≥3. 10.已知集合 A={x||x-a|=4},集合 B={1,2,b}. (1)是否存在实数 a,使得对于任意实数 b 都有 A⊆B?若存在,求出对应的 a 值;若不 存在,请说明理由. (2)若 A⊆B 成立,求出对应的实数对(a,b). 解:(1)对于任意实数 b 都有 A⊆B,当且仅当集合 A 中的元素为 1,2. ∵A={a-4,a+4}, ∴{ 𝑎-4 = 1, 𝑎 + 4 = 2, 或{ 𝑎-4 = 2, 𝑎 + 4 = 1, 解方程组可知无解. ∴不存在实数 a,使得对于任意实数 b 都有 A⊆B. (2)由(1)易知若 A⊆B,则{ 𝑎-4 = 1, 𝑎 + 4 = 𝑏 或{ 𝑎-4 = 2, 𝑎 + 4 = 𝑏 或 { 𝑎-4 = 𝑏, 𝑎 + 4 = 1 或{ 𝑎-4 = 𝑏, 𝑎 + 4 = 2, 解得{ 𝑎 = 5, 𝑏 = 9 或 { 𝑎 = 6, 𝑏 = 10或 { 𝑎 = -3, 𝑏 = -7 或{ 𝑎 = -2, 𝑏 = -6
故所求实数对为(5,9)或(6,10)或(-3，-7)或(-2，-6) 拓展提高 1.已知集合A满足{1,2}二A二{1,2,3,4}，则集合A的个数为() A.8 B.2 C.3 D.4 解析：由题意，得集合A可以是{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4} 答案D 2.设集合P={xy=x2},Q={xy)y=x2},则P与Q的关系是( A.PCO B.P20 C.P=O D.以上都不对 解析：P为函数y=x2的自变量x的集合，这是一个数集 Q为函数y=x2的图象上的点的集合，这是一个点集，所以两个集合没有关系，故选 D 答案D 3.己知集合A={xar2+2x+a=0,a∈R},若集合A有且仅有2个子集，则实数a的取 值是( ) A.1 B.-1 C.0,1 D.-1,0,1 解析：因为集合A有且仅有2个子集，所以A仅有一个元素，即方程ar2+2x+a=0(a ∈R)仅有一个根 当a=0时，方程化为2x=0,此时A={0},符合题意；当a≠0时，由=22.4aa=0,即 a2=1,解得a=±1. 此时A={-1}或A={1},符合题意 故a=0或a=±1. 答案D 4.设集合M={2,0,x},集合N={0,1},若NCM,则x=」 解析：因为集合M={2,0,x;,N={0,1},所以若NcM,则集合N中的元素均在集合M 中，所以x=1. 答案1 5.已知集合A={by=x2-2x-6,x∈R},B={x|4x-7>5},则集合A与B的关系 为 解析：因为对于二次函数y=x2-2r-6,x∈Rmn=4x:64-7,所以A=y≥-7}： 又B={xx>3},由数轴知BA 答案：B至A 6.若三个非零且互不相等的实数a,b,c满足上+上=三则称a,b,c是调和的：若满足 a+c=2b,则称a,b,c是等差的.若集合P中的元素a,b,c既是调和的，又是等差的，则 称集合P为好集”.若集合M={xx≤2016，x∈Z},集合P={a,b,c}二M,则
故所求实数对为(5,9)或(6,10)或(-3,-7)或(-2,-6). 拓展提高 1.已知集合 A 满足{1,2}⊆A⊆{1,2,3,4},则集合 A 的个数为( ) A.8 B.2 C.3 D.4 解析:由题意,得集合 A 可以是{1,2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,3,4}. 答案:D 2.设集合 P={x|y=x2},Q={(x,y)|y=x2},则 P 与 Q 的关系是( ) A.P⊆Q B.P⊇Q C.P=Q D.以上都不对 解析:P 为函数 y=x2 的自变量 x 的集合,这是一个数集. Q 为函数 y=x2 的图象上的点的集合,这是一个点集,所以两个集合没有关系,故选 D. 答案:D 3.已知集合 A={x|ax2+2x+a=0,a∈R},若集合 A 有且仅有 2 个子集,则实数 a 的取 值是( ) A.1 B.-1 C.0,1 D.-1,0,1 解析:因为集合 A 有且仅有 2 个子集,所以 A 仅有一个元素,即方程 ax2+2x+a=0(a ∈R)仅有一个根. 当 a=0 时,方程化为 2x=0,此时 A={0},符合题意;当 a≠0 时,由 Δ=2 2 -4·a·a=0,即 a 2=1,解得 a=±1. 此时 A={-1}或 A={1},符合题意. 故 a=0 或 a=±1. 答案:D 4.设集合 M={2,0,x},集合 N={0,1},若 N⊆M,则 x= . 解析:因为集合 M={2,0,x},N={0,1},所以若 N⊆M,则集合 N 中的元素均在集合 M 中,所以 x=1. 答案:1 5.已知集合 A={y|y=x2 -2x-6,x∈R},B={x|4x-7>5},则集合 A 与 B 的关系 为 . 解析:因为对于二次函数 y=x2 -2x-6,x∈R,ymin= 4×(-6)-4 4 =-7,所以 A={y|y≥-7}. 又 B={x|x>3},由数轴知 B⫋A. 答案:B⫋A 6.若三个非零且互不相等的实数 a,b,c 满足1 𝑎 + 1 𝑏 = 2 𝑐 ,则称 a,b,c 是调和的;若满足 a+c=2b,则称 a,b,c 是等差的.若集合 P 中的元素 a,b,c 既是调和的,又是等差的,则 称集合 P 为“好集”.若集合 M={x||x|≤2 016,x∈Z},集合 P={a,b,c}⊆M,则
(1)“好集”P中的元素的最大值为 (2)好集”P的个数为 解析()：片+片=总且a+c=26, ∴.(a-b)(a+2b)=0, ∴.a=b(舍去)或a=-2b ∴.c=4b. 令-2016≤4b≤2016，得-504≤b≤504 .P中最大的元素为4b=4×504=2016 (2)由(1)知P={-2b,b,4b},且-504≤b≤504，故“好集”P的个数为2×504=1008. 答案：(1)2016(2)1008 7.已知集合A={2,4,6,8,9},B={1,2,3,5,8},是否存在集合C,使C中每一个元素都加 上2变成A的一个子集，且C中每个元素都减去2就变成了B的一个子集？若存 在，求出集合C,若不存在，请说明理由 解：假设存在满足条件的集合C A中元素都减去2，得集合E={0,2,4,6,7} B中元素都加上2，得集合F={3,4,5,7,10} 则集合C中的元素均在E,F中，因此满足条件的C为{4}或{7}或{4,7}： 挑战创新 己知集合A={xar2-3x-4=0},若B={-1,4},且A二B,求实数a的取值范围. 解：由ACB,且B={-1,4},得 当a=0时，A=(}￥B,不合题意 当0时，若4=9+16a0,即a>6则方程a2-3x4=0的两根为-1和4 所以-1+4=三解得a=L,符合题意。 综上，a的取值范国为a<品或a=l
(1)“好集”P 中的元素的最大值为 ; (2)“好集”P 的个数为 . 解析:(1)∵ 1 𝑎 + 1 𝑏 = 2 𝑐 ,且 a+c=2b, ∴(a-b)(a+2b)=0, ∴a=b(舍去)或 a=-2b, ∴c=4b. 令-2 016≤4b≤2 016,得-504≤b≤504, ∴P 中最大的元素为 4b=4×504=2 016. (2)由(1)知 P={-2b,b,4b},且-504≤b≤504,故“好集”P 的个数为 2×504=1 008. 答案:(1)2 016 (2)1 008 7.已知集合 A={2,4,6,8,9},B={1,2,3,5,8},是否存在集合 C,使 C 中每一个元素都加 上 2 变成 A 的一个子集,且 C 中每个元素都减去 2 就变成了 B 的一个子集?若存 在,求出集合 C;若不存在,请说明理由. 解:假设存在满足条件的集合 C. A 中元素都减去 2,得集合 E={0,2,4,6,7}. B 中元素都加上 2,得集合 F={3,4,5,7,10}. 则集合 C 中的元素均在 E,F 中,因此满足条件的 C 为{4}或{7}或{4,7}. 挑战创新 已知集合 A={x|ax2 -3x-4=0},若 B={-1,4},且 A⊆B,求实数 a 的取值范围. 解:由 A⊆B,且 B={-1,4},得 当 a=0 时,A={- 4 3 }⊈B,不合题意. 当 a≠0 时,若 Δ=9+16a0,即 a>- 9 16 ,则方程 ax2 -3x-4=0 的两根为-1 和 4, 所以-1+4= 3 𝑎 ,解得 a=1,符合题意. 综上,a 的取值范围为 a<- 9 16 或 a=1