第2课时 数列的递推公式及前n项和 课后训练提升 基础巩固 已知数列fa}满足a1-宁a-l>)则a:等于( A B时 D 答案：C 解析：由题意可知m=1片-5as=1片=a=1古号 034 2.已知数列{am}的前n项和Sn=2,则（人 A.an=2n+1 B.an=-2n+1 C.an=-2n-1 D.an=2n-1 答案B 解析：由an=Sm-Sm-1(n≥2)，得an=1-2n,当n=1时，S=a1=-l,符合上式 故an=-2n+1. 3.己知数列{an}对任意的p,q∈N*满足ap+g-ap+ag,且a2=-6,那么a1o等于() A.-165 B.-33 C.-30 D.-21 答案：C 解析：由已知得a2=a1+a1=2a1=-6,即a1=-3.故 a10=2a5=2(a2+a3)=2a2+2(a1+a2)=4a2+2a1=4×(-6)+2×(-3)=-30. 4.在数列{an}中，an-1=man+1(n>1),且a2=3,a3=5,则实数m等于() A号 B C. D.3 答案：A 解析：由题意得a2=ma3+1,即3=5m+1, 故m导 5.已知数列{an}满足a1=1,am+1= an+3,n为奇数，则a6等于( 2am+1,n为偶数， A.16 B.25 C.28 D.33 答案：C 解析：当n=1时，a2=1+3=4 当n=2时，a3=2×4+1=9; 当n=3时，a4=9+3=12; 当n=4时，a5=2×12+1=25
第 2 课时 数列的递推公式及前 n 项和 课后· 基础巩固 1.已知数列{an}满足 a1=- 1 4 ,an=1- 1 𝑎𝑛-1 (n>1),则 a4 等于( ). A. 4 5 B. 1 4 C.- 1 4 D. 1 5 答案:C 解析:由题意可知 a2=1- 1 𝑎1 =5,a3=1- 1 𝑎2 = 4 5 ,a4=1- 1 𝑎3 =- 1 4 . 2.已知数列{an}的前 n 项和 Sn=-n 2 ,则( ). A.an=2n+1 B.an=-2n+1 C.an=-2n-1 D.an=2n-1 答案:B 解析:由 an=Sn-Sn-1(n≥2),得 an=1-2n,当 n=1 时,S1=a1=-1,符合上式. 故 an=-2n+1. 3.已知数列{an}对任意的 p,q∈N*满足 ap+q=ap+aq,且 a2=-6,那么 a10等于( ). A.-165 B.-33 C.-30 D.-21 答案:C 解析:由已知得 a2=a1+a1=2a1=-6,即 a1=-3.故 a10=2a5=2(a2+a3)=2a2+2(a1+a2)=4a2+2a1=4×(-6)+2×(-3)=-30. 4.在数列{an}中,an-1=man+1(n>1),且 a2=3,a3=5,则实数 m 等于( ). A. 2 5 B. 2 3 C.2 D.3 答案:A 解析:由题意得 a2=ma3+1,即 3=5m+1, 故 m= 2 5 . 5.已知数列{an}满足 a1=1,an+1={ 𝑎𝑛 + 3,𝑛为奇数, 2𝑎𝑛 + 1,𝑛为偶数, 则 a6等于( ). A.16 B.25 C.28 D.33 答案:C 解析:当 n=1 时,a2=1+3=4; 当 n=2 时,a3=2×4+1=9; 当 n=3 时,a4=9+3=12; 当 n=4 时,a5=2×12+1=25;
当n=5时，a6=25+3=28. 6.在数列{an}中，如果a1=1,anam+1=-2,那么a8等于(). A.-2 B月 C.1 D.2 答案A 解析：由a1=1,anam+1=-2可得 a2=-2,a3=1,a4=-2,故数列{an}是以2为周期的周期数列，即a8=-2. 7.已知数列{an}满足a+1(1-an)=l,且a1=2则a202w等于( A.3 B c D.1345 2 案B 解析：an+1(1-am)=l,且a1=之 ∴a2=子3=3，a4=数列{am}是周期数列，且周期7=3. :2020=673×3+1,2020=a1=号 8.数列{am}:1,1,2,3,5,8,13,21,34,…称为斐波那契数列，是由意大利数学家莱昂纳 多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”该数列从第三项开 始，每项等于其前相邻两项之和.即an+2=am+1+am.若该数列{am}的前n项和为Sm,则 下列结论正确的是( A.S2019=a2020+2 B.S2019=a2021+2 C.S2019=a2020-1 D.S2019=a2021-1 答案D 解析：因为an+2=an+1+am,所以an=an+2-an+l,所以Sn=a1+a2+a3+…+am=(a3-a2)+(a4- a3)+(a5-a4)+…+(an+2-an+1)=an+2-a2=am+2-1,所以2019=a2021-1,故选D. 9.用火柴棒按下图的方法搭三角形 按图示的规律搭下去，则所用火柴棒数a,与所搭三角形的个数n之间的关系式可 以是 答案：an=2n+1 解析：a1=3,a2=3+2=5,a3=3+2+2=7,a4=3+2+2+2=9,…,故4n=2n+1. 10.若数列{an}满足(n-1)a=(n+1)an-1(n≥2)，且a1=1,则a=」 100= 0n-1 答案+出 n-1 5050 解析：由(n-l)am=(n+1)am-l, 得2=n≥2，则a10=a122…8=1×2××…×号-=5050. an-1 2 99 11.已知数列{an}满足a1=1,an+1=pam+qn,其中p,g均为正数，且a2=3,a4=13
当 n=5 时,a6=25+3=28. 6.在数列{an}中,如果 a1=1,an·an+1=-2,那么 a8 等于( ). A.-2 B.- 1 2 C.1 D.2 答案:A 解析:由 a1=1,an·an+1=-2 可得, a2=-2,a3=1,a4=-2,故数列{an}是以 2 为周期的周期数列,即 a8=-2. 7.已知数列{an}满足 an+1·(1-an)=1,且 a1=- 1 2 ,则 a2 020等于( ). A.3 B.- 1 2 C. 2 3 D. 1 345 2 答案:B 解析:∵an+1·(1-an)=1,且 a1=- 1 2 , ∴a2= 2 3 ,a3=3,a4=- 1 2 ,∴数列{an}是周期数列,且周期 T=3. ∵2 020=673×3+1,∴a2 020=a1=- 1 2 . 8.数列{an}:1,1,2,3,5,8,13,21,34,…称为斐波那契数列,是由意大利数学家莱昂纳 多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入,故又称为“兔子数列”.该数列从第三项开 始,每项等于其前相邻两项之和.即 an+2=an+1+an.若该数列{an}的前 n 项和为 Sn,则 下列结论正确的是( ). A.S2 019=a2 020+2 B.S2 019=a2 021+2 C.S2 019=a2 020-1 D.S2 019=a2 021-1 答案:D 解析:因为 an+2=an+1+an,所以 an=an+2-an+1,所以 Sn=a1+a2+a3+…+an=(a3-a2)+(a4- a3)+(a5-a4)+…+(an+2-an+1)=an+2-a2=an+2-1,所以 S2 019=a2 021-1,故选 D. 9.用火柴棒按下图的方法搭三角形: 按图示的规律搭下去,则所用火柴棒数 an 与所搭三角形的个数 n 之间的关系式可 以是 . 答案:an=2n+1 解析:a1=3,a2=3+2=5,a3=3+2+2=7,a4=3+2+2+2=9,…,故 an=2n+1. 10.若数列{an}满足(n-1)an=(n+1)an-1(n≥2),且 a1=1,则 𝑎𝑛 𝑎𝑛-1 = ;a100= . 答案: 𝑛+1 𝑛-1 5 050 解析:由(n-1)an=(n+1)an-1, 得 𝑎𝑛 𝑎𝑛-1 = 𝑛+1 𝑛-1 (n≥2),则 a100=a1· 𝑎2 𝑎1 · 𝑎3 𝑎2 ·…· 𝑎100 𝑎99 =1× 3 1 × 4 2 ×…× 101 99 =5 050. 11.已知数列{an}满足 a1=1,an+1=pan+qn,其中 p,q 均为正数,且 a2=3,a4=13
(1)求P,9的值； (2)求an+3与an的递推公式. 解(1)由题意可得a2=pa1+q, 即p+q=3,a4=pa3+3q=p(pa2+2q)+3q=p2a2+2pg+3q,即3p2+2pq+3q=13 电P+q=3, g42p+3=13.符日=于侣= 因为P,9均为正数，所以p=1,9=2 (2)由(1)知am+1=an+2n,则an+2=an+1+2(n+1)=(an+2n)+2(n+1)=an+4n+2 故an+3=am+2+2(n+2)=am+6n+6. 拓展提高 1.已知数列{an}满足anan+1=3n,且a=1,则数列{an}的前9项和Sg等于() A.160 B.241 C.243 D.484 答案B 解析：因为anan+1=3m,所以当n≥2时，am-ran=3l,两式相除得n+=3,因为a1=1,所 an-1 以a3=3,a5=9,a7=27,a9=81,由amam+1=3”,得a1a2=3,则a2=3,a4=9,a6=27,a8=81,故 S=1+2×(3+9+27+81)=241. 2.九连环是中国的一种古老的智力游戏，环环相扣，以解开为胜，趣味无穷.它主要 由九个圆环及框架组成，每个圆环都连有一个直杆，各直杆在后一个圆环内穿过， 九个直杆的另一端用平板或者圆环相对固定，圆环在框架上可以解下或者套上九 连环游戏是按某种规则将九个环全部从框架上解下或者全部套上将第个圆环 解下最少需要移动的次数记为n)(n≤9，且n∈N),已知1)=1,2)=1，且通过该 规则可得n)=n-1)+2n-2)+1,则解下第5个圆环最少需要移动的次数为)。 A.7 B.16 C.19 D.21 答案B 解析：由题意可知3)=2)+21)+1=1+2+1=44)=3)+22)+1=4+2+1=7 5)=4)+23)+1=7+8+1=16 3.由1,3,5，…，2n-l,…构成数列{an,数列{bn}满足b1=2,当n≥2时，bm=abn,则b6 的值是( A.9 B.17 C.33 D.65 答案：C 解析：bn=ab …b2=ab,=a2=3,b3=ab2=a3=5,b4=0h,=a5=9,b5=ab4=a9=l7,b6=abg=a17=33. 4.已知数列{am}中，a1a2an=2,则a9=_ 答案器
(1)求 p,q 的值; (2)求 an+3 与 an 的递推公式. 解:(1)由题意可得 a2=pa1+q, 即 p+q=3,a4=pa3+3q=p(pa2+2q)+3q=p2a2+2pq+3q,即 3p 2+2pq+3q=13, 由{ 𝑝 + 𝑞 = 3, 3𝑝 2 + 2𝑝𝑞 + 3𝑞 = 13, 得{ 𝑝 = -4, 𝑞 = 7 或 { 𝑝 = 1, 𝑞 = 2. 因为 p,q 均为正数,所以 p=1,q=2. (2)由(1)知 an+1=an+2n,则 an+2=an+1+2(n+1)=(an+2n)+2(n+1)=an+4n+2. 故 an+3=an+2+2(n+2)=an+6n+6. 拓展提高 1.已知数列{an}满足 an·an+1=3 n ,且 a1=1,则数列{an}的前 9 项和 S9等于( ). A.160 B.241 C.243 D.484 答案:B 解析:因为 an·an+1=3 n ,所以当 n≥2 时,an-1·an=3 n-1 ,两式相除得𝑎𝑛+1 𝑎𝑛-1 =3,因为 a1=1,所 以 a3=3,a5=9,a7=27,a9=81,由 an·an+1=3 n ,得 a1·a2=3,则 a2=3,a4=9,a6=27,a8=81,故 S9=1+2×(3+9+27+81)=241. 2.九连环是中国的一种古老的智力游戏,环环相扣,以解开为胜,趣味无穷.它主要 由九个圆环及框架组成,每个圆环都连有一个直杆,各直杆在后一个圆环内穿过, 九个直杆的另一端用平板或者圆环相对固定,圆环在框架上可以解下或者套上.九 连环游戏是按某种规则将九个环全部从框架上解下或者全部套上.将第 n 个圆环 解下最少需要移动的次数记为 f(n)(n≤9,且 n∈N* ),已知 f(1)=1,f(2)=1,且通过该 规则可得 f(n)=f(n-1)+2f(n-2)+1,则解下第 5 个圆环最少需要移动的次数为( ). A.7 B.16 C.19 D.21 答案:B 解析:由题意可知 f(3)=f(2)+2f(1)+1=1+2+1=4,f(4)=f(3)+2f(2)+1=4+2+1=7, f(5)=f(4)+2f(3)+1=7+8+1=16. 3.由 1,3,5,…,2n-1,…构成数列{an},数列{bn}满足 b1=2,当 n≥2 时,bn=𝑎𝑏𝑛-1 ,则 b6 的值是( ). A.9 B.17 C.33 D.65 答案:C 解析:∵bn=𝑎𝑏𝑛-1 , ∴b2=𝑎𝑏1 =a2=3,b3=𝑎𝑏2 =a3=5,b4=𝑎𝑏3 =a5=9,b5=𝑎𝑏4 =a9=17,b6=𝑎𝑏5 =a17=33. 4.已知数列{an}中,a1a2·…·an=n2 ,则 a9= . 答案: 81 64
解析a1a2a3…a8=82,① a1a2a3ag=92,② ②÷0，得w苦 64 5.设数列{am}满足a1+am+ 323+…+ 3an=R,则an= 答案：(2n-1)×3m-1 解析：由题意，数列{an}满足a1+a2+ 23+…+ n-ran=n2 当n≥2时，a++京ag+…+a(n-lP 两式相减，得，高n=-n-1P=2n-1, 解得an=(2n-1)×3-l(n≥2)，当n=1时，a1=1符合上式，故an=(2n-1)×3m- 6.己知Sm是数列{an}的前n项和，且log3(Sm+1)=n+l,则数列{an}的通项公式 为 答案an= 8,n=1, 2×3n,n≥2 解析：由log3(Sm+1)=n+1, 得Sn+1=3n+1 当n=1时，a1+1=9,解得a1=8; 当n≥2时，an=Sm-Sm-1=3tl-1-3m+1=2×3” 当n=1时，上式不成立，故am-2×3",n≥2. (8,n=1, 7.已知数列{an}满足a1=3,an+1=2an+1,写出数列的前6项并归纳出数列{an}的通 项公式 解：由于a1=3,am+1=2an+1, 则a2=2×3+1=7,a3=2×7+1=15 a4=2×15+1=31,a5=2×31+1=63 a6=2×63+1=127. 由a1=3,a2=7,a3=15,a4=31,a5=63,a6=127, 可以看出，给每一项均加上1，就变成了 a1+1=22,a2+1=23,a3+1=24 a4+1=25,a5+1=26,a6+1=27, 故可猜想出am+1=2n+1,即an=2m+1-1. 挑战创新 己知数列{anm}满足a=m(m为正整数)，an+1= 受，an为偶数 若a4=4,求m所有 (3an+1,am为奇数 可能的取值 解：①若a3为偶数，则9=a4=4,a3=8; 若a3为奇数，则3a3+1=a4=4,a3=1
解析:a1a2a3·…·a8=8 2 ,① a1a2a3·…·a9=9 2 ,② 由②÷①,得 a9= 9 2 8 2 = 81 64 . 5.设数列{an}满足 a1+ 1 3 a2+ 1 3 2 a3+…+ 1 3 𝑛-1 an=n2 ,则 an= . 答案:(2n-1)×3 n-1 解析:由题意,数列{an}满足 a1+ 1 3 a2+ 1 3 2 a3+…+ 1 3 𝑛-1an=n2 , 当 n≥2 时,a1+ 1 3 a2+ 1 3 2 a3+…+ 1 3 𝑛-2an-1=(n-1)2 , 两式相减,得 1 3 𝑛-1 an=n2 -(n-1)2=2n-1, 解得 an=(2n-1)×3 n-1 (n≥2),当 n=1 时,a1=1 符合上式,故 an=(2n-1)×3 n-1 . 6.已知 Sn 是数列{an}的前 n 项和,且 log3(Sn+1)=n+1,则数列{an}的通项公式 为 . 答案:an={ 8,𝑛 = 1, 2 × 3 𝑛 ,𝑛 ≥ 2 解析:由 log3(Sn+1)=n+1, 得 Sn+1=3 n+1 , 当 n=1 时,a1+1=9,解得 a1=8; 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=3 n+1 -1-3 n+1=2×3 n , 当 n=1 时,上式不成立,故 an={ 8,𝑛 = 1, 2 × 3 𝑛 ,𝑛 ≥ 2. 7.已知数列{an}满足 a1=3,an+1=2an+1,写出数列的前 6 项并归纳出数列{an}的通 项公式. 解:由于 a1=3,an+1=2an+1, 则 a2=2×3+1=7,a3=2×7+1=15, a4=2×15+1=31,a5=2×31+1=63, a6=2×63+1=127. 由 a1=3,a2=7,a3=15,a4=31,a5=63,a6=127, 可以看出,给每一项均加上 1,就变成了 a1+1=2 2 ,a2+1=2 3 ,a3+1=2 4 , a4+1=2 5 ,a5+1=2 6 ,a6+1=2 7 , 故可猜想出 an+1=2 n+1 ,即 an=2 n+1 -1. 挑战创新 已知数列{an}满足 a1=m(m 为正整数),an+1={ 𝑎𝑛 2 ,𝑎𝑛为偶数, 3𝑎𝑛 + 1,𝑎𝑛为奇数. 若 a4=4,求 m 所有 可能的取值. 解:①若 a3 为偶数,则 𝑎3 2 =a4=4,a3=8; 若 a3 为奇数,则 3a3+1=a4=4,a3=1
即a3=8或1 ②当a3=8时： 若a2为偶数，则=a3=8,a2=16; 若a2为奇数，则32+1=a=8,a2=子与a为奇数矛盾，故舍去. ③当a3=1时： 若a2为偶数，则2=a3=1,2=2; 若a2为奇数，则3a2+1=a3=1,a2=0,与a2为奇数矛盾，故舍去. 即a2=2或16. ④当a2=2时： 若a1为偶数，则号=a2=2,a1=4; 若a1为奇数，则3a1+1=a2=2,a1导与a1为奇数矛盾，故舍去. ⑤当a2=16时： 若a1为偶数，则=a2=16,a1=32: 若a1为奇数，则3a1+1=a2=16,a1=5. 即a1=4或32或5. 故m所有可能的取值为4,5,32
即 a3=8 或 1. ②当 a3=8 时: 若 a2 为偶数,则 𝑎2 2 =a3=8,a2=16; 若 a2 为奇数,则 3a2+1=a3=8,a2= 7 3 ,与 a2为奇数矛盾,故舍去. ③当 a3=1 时: 若 a2 为偶数,则 𝑎2 2 =a3=1,a2=2; 若 a2 为奇数,则 3a2+1=a3=1,a2=0,与 a2为奇数矛盾,故舍去. 即 a2=2 或 16. ④当 a2=2 时: 若 a1 为偶数,则 𝑎1 2 =a2=2,a1=4; 若 a1 为奇数,则 3a1+1=a2=2,a1= 1 3 ,与 a1为奇数矛盾,故舍去. ⑤当 a2=16 时: 若 a1 为偶数,则 𝑎1 2 =a2=16,a1=32; 若 a1 为奇数,则 3a1+1=a2=16,a1=5. 即 a1=4 或 32 或 5. 故 m 所有可能的取值为 4,5,32