第五章过关检测(A卷) (时间：120分钟满分：150分) 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分 1.若函数x)=2-cosx,则fa等于(). A.sin a B.cos a C.2a+sin a D.2a-sin a 答案：A 解析：fx)=(a2-cosx)=sinx,当x=a时fa)=sina 2.设曲线y=ax2在点(1，a)处的切线与直线2xy-6=0平行，则a=(). A.1 B时 c D.-1 答案：A 解析y'=2ax,于是切线斜率k=2a,由题意知2a=2,解得a=1, 3.观察(x2)=2x,(x)=4x3,(cosx)'=-sinx,归纳可得：若定义在R上的函数x)满足- x)=x),记gx)为x)的导函数，则g(-x)=() A.Ax) B.-/x) C.g(x) D.-g(x) 答案D 解析：观察可知，偶函数x)的导函数gx)是奇函数，所以g(-x)=-gx) 4.函数x)=(x-3)er的单调递增区间是( A.(-0,2) B.0,3) C.(1,4) D.(2,+0) 答案D 解析fx)=(x-2)e,由fx)>0,得x>2,所以函数x)的单调递增区间是(2，+oo) 5若函数x)=之x3f1)x2x,则f1)的值为( A.0 B.2 C.1 D.-1 答案：A 解析fx)=x2-2f1)x-1,则f1)=12-2f1)-1,解得f(1)=0, 6.(多选题)下列四个函数中，既有极小值又有最小值的是( A.y=x B.y=e*-x-l C.y=xln x-5 D.y=x-sin x 答案：ABC 解析：函数y=x,当x=0时，函数取得极小值也是最小值
第五章过关检测(A 卷) (时间:120 分钟 满分:150 分) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 1.若函数 f(x)=α 2 -cos x,则 f'(α)等于( ). A.sin α B.cos α C.2α+sin α D.2α-sin α 答案:A 解析:f'(x)=(α 2 -cos x)'=sin x,当 x=α 时,f'(α)=sin α. 2.设曲线 y=ax2 在点(1,a)处的切线与直线 2x-y-6=0 平行,则 a=( ). A.1 B. 1 2 C.- 1 2 D.-1 答案:A 解析:y'=2ax,于是切线斜率 k=2a,由题意知 2a=2,解得 a=1. 3.观察(x 2 )'=2x,(x 4 )'=4x 3 ,(cos x)'=-sin x,归纳可得:若定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(- x)=f(x),记 g(x)为 f(x)的导函数,则 g(-x)=( ). A.f(x) B.-f(x) C.g(x) D.-g(x) 答案:D 解析:观察可知,偶函数 f(x)的导函数 g(x)是奇函数,所以 g(-x)=-g(x). 4.函数 f(x)=(x-3)ex 的单调递增区间是( ). A.(-∞,2) B.(0,3) C.(1,4) D.(2,+∞) 答案:D 解析:f'(x)=(x-2)ex ,由 f'(x)>0,得 x>2,所以函数 f(x)的单调递增区间是(2,+∞). 5.若函数 f(x)= 1 3 x 3 -f'(1)x 2 -x,则 f'(1)的值为( ). A.0 B.2 C.1 D.-1 答案:A 解析:f'(x)=x2 -2f'(1)x-1,则 f'(1)=1 2 -2f'(1)-1,解得 f'(1)=0. 6.(多选题)下列四个函数中,既有极小值又有最小值的是( ). A.y=|x| B.y=e x -x-1 C.y=xln x-5 D.y=x-sin x 答案:ABC 解析:函数 y=|x|,当 x=0 时,函数取得极小值也是最小值
函数y=e-x-l,求导得y'=e-l.令y'=0,解得x=0.当x0时，y>0,x)在区间(0，+oo)上单调递增 所以当x=0时，函数取得极小值也是最小值 函数y=xnx-5,y'=lnx+1. 令y-0,解得x是 根据函数的单调性，可得 当x=时，函数y取得极小值也是最小值 函数y=x-sinx,因为x∈(-o,+o),sinx∈[-1,1]，所以y=x-sinx没有最小值.故选 ABC 7.函数x)=x3+3x2+3x-a的极值点的个数是() A.2 B.1 C.0 D.由a确定 答案：C 解析fx)=3x2+6x+3=3(x2+2x+1)=3x+1)2≥0， 函数x)在R上单调递增，无极值故选C 8.若函数x)=-x3+3x2+9x+a在区间[-2，-1]上的最大值为2，则它在该区间上的最 小值为( A.-5 B.7 C.10 D.-19 答案：A 解析fx)=-3x2+6x+9=-3(x+1)x-3), 令fx)=0,解得x=-1或x=3 则当x∈[-2，-1]时fx)≤0 所以函数x)在区间[-2，-1]上单调递减， 所以x)的最大值为-2)=2+a=2,解得a=0, 则x)在区间[-2，-1]上的最小值为几-1)=a-5=-5. 9.下列图象中，有一个是函数x)=r3+ar2+(a2-1)x+1(a∈R,a0)的导数fx)的图 象，则-1)的值为( A B. D或 答案B
函数 y=e x -x-1,求导得 y'=e x -1.令 y'=0,解得 x=0.当 x0 时,y'>0,f(x)在区间(0,+∞)上单调递增. 所以当 x=0 时,函数取得极小值也是最小值. 函数 y=xln x-5,y'=ln x+1. 令 y'=0,解得 x= 1 e . 根据函数的单调性,可得 当 x= 1 e时,函数 y 取得极小值也是最小值. 函数 y=x-sin x,因为 x∈(-∞,+∞),sin x∈[-1,1],所以 y=x-sin x 没有最小值.故选 ABC. 7.函数 f(x)=x3+3x 2+3x-a 的极值点的个数是( ). A.2 B.1 C.0 D.由 a 确定 答案:C 解析:f'(x)=3x 2+6x+3=3(x 2+2x+1)=3(x+1)2≥0, ∴函数 f(x)在 R 上单调递增,无极值.故选 C. 8.若函数 f(x)=-x 3+3x 2+9x+a 在区间[-2,-1]上的最大值为 2,则它在该区间上的最 小值为( ). A.-5 B.7 C.10 D.-19 答案:A 解析:f'(x)=-3x 2+6x+9=-3(x+1)(x-3), 令 f'(x)=0,解得 x=-1 或 x=3. 则当 x∈[-2,-1]时,f'(x)≤0. 所以函数 f(x)在区间[-2,-1]上单调递减, 所以 f(x)的最大值为 f(-2)=2+a=2,解得 a=0, 则 f(x)在区间[-2,-1]上的最小值为 f(-1)=a-5=-5. 9.下列图象中,有一个是函数 f(x)= 1 3 x 3+ax2+(a 2 -1)·x+1(a∈R,a≠0)的导数 f'(x)的图 象,则 f(-1)的值为( ). A. 1 3 B.- 1 3 C. 7 3 D.- 1 3或 5 3 答案:B
解析fx)=x2+2ax+a2-1,其图象为开口向上的抛物线，故不是题图(1)，题图(2) 中，a=0,fx)=x21,与已知矛盾，故fx)的图象为题图(3) f0)=0,即a2-1=0,解得a=士1，又其图象的对称轴在y轴右边，故a=-1 )字32+1，-1)= 10.己知y=fx)是定义在R上的函数，且1)=1fx)>1,则x)>x的解集是( A.(0,1) B.(-1,0)U(0,1) C.(1,+o) D.(-0,-1)U(1,+o) 答案C 解析：不等式x)>x可化为x)x>0,设gx)=x)x,则gx)=fx)1, 由题意g《(x)=fx)1>0, ∴.函数g(x)在R上单调递增，又g(1)=1)1=0,∴x)>x→g(x)>0台g(x)>g(1) .x>1.故选C 11.(多选题)若函数ex)在x)的定义域上单调递增，则称函数x)具有M性质.给 出下列函数，不具有M性质的为()， A.f(x)=In x Bx)=x2+1 C.fx)=sin x D.fx)=x3 答案：CD 解析：对于Ax)=lnx,令gx)=elnx,则gx)=e(nx+习)，令hx)=hx+则 hx)--是=号则h)在区间(0,1)内单调递减，在区间(1，+0)上单调递增，故 h(x)≥h(1)=1,所以g《x)>0,从而gx)在x)的定义域(0，+oo)上单调递增，故x)=lnx 具有M性质； 对于B,x)=x2+1,令g(x)=ex)=e'(x2+1),则g(x)=e'(x2+1)+2xer=e'(x+1)2≥0在R 上恒成立，因此gx)=x)在x)的定义域R上单调递增，则x)=x2+1具有M性 质； 对于Cx)=sinx,令g6x)=e'sinx,则g(x)=e'(sinx+cosx)=VZe'simx+,显然gx) 在x)的定义域R上不单调，故x)=sinx不具有M性质； 对于Dx)=x3,令gx)=ex)=ex3,则g《x)=ex3+3ex2=exr2x+3),当x0,且对于任意实数x,有 x)≥0，则但的最小值为( f(0) A.3 B C.2 D
解析:f'(x)=x2+2ax+a2 -1,其图象为开口向上的抛物线,故不是题图(1),题图(2) 中,a=0,f'(x)=x2 -1,与已知矛盾,故 f'(x)的图象为题图(3). ∴f'(0)=0,即 a 2 -1=0,解得 a=±1,又其图象的对称轴在 y 轴右边,故 a=-1, ∴f(x)= 1 3 x 3 -x 2+1,∴f(-1)=- 1 3 . 10.已知 y=f(x)是定义在 R 上的函数,且 f(1)=1,f'(x)>1,则 f(x)>x 的解集是( ). A.(0,1) B.(-1,0)∪(0,1) C.(1,+∞) D.(-∞,-1)∪(1,+∞) 答案:C 解析:不等式 f(x)>x 可化为 f(x)-x>0,设 g(x)=f(x)-x,则 g'(x)=f'(x)-1, 由题意 g'(x)=f'(x)-1>0, ∴函数 g(x)在 R 上单调递增,又 g(1)=f(1)-1=0,∴f(x)>x⇔g(x)>0⇔g(x)>g(1). ∴x>1.故选 C. 11.(多选题)若函数 e x f(x)在 f(x)的定义域上单调递增,则称函数 f(x)具有 M 性质.给 出下列函数,不具有 M 性质的为( ). A.f(x)=ln x B.f(x)=x2+1 C.f(x)=sin x D.f(x)=x3 答案:CD 解析:对于 A,f(x)=ln x,令 g(x)=e x ln x,则 g'(x)=e x(ln𝑥 + 1 𝑥 ),令 h(x)=ln x+1 𝑥 ,则 h'(x)= 1 𝑥 − 1 𝑥 2 = 𝑥-1 𝑥 2 ,则 h(x)在区间(0,1)内单调递减,在区间(1,+∞)上单调递增,故 h(x)≥h(1)=1,所以 g'(x)>0,从而 g(x)在 f(x)的定义域(0,+∞)上单调递增,故 f(x)=ln x 具有 M 性质; 对于 B,f(x)=x2+1,令 g(x)=e x f(x)=e x (x 2+1),则 g'(x)=e x (x 2+1)+2xe x=e x (x+1)2≥0 在 R 上恒成立,因此 g(x)=e x f(x)在 f(x)的定义域 R 上单调递增,则 f(x)=x2+1 具有 M 性 质; 对于 C,f(x)=sin x,令 g(x)=e x sin x,则 g'(x)=e x (sin x+cos x)=√2e x sin(𝑥 + π 4 ),显然 g(x) 在 f(x)的定义域 R 上不单调,故 f(x)=sin x 不具有 M 性质; 对于 D,f(x)=x3 ,令 g(x)=e x f(x)=e xx 3 ,则 g'(x)=e xx 3+3exx 2=e xx 2 (x+3),当 x0,且对于任意实数 x,有 f(x)≥0,则 𝑓(1) 𝑓'(0)的最小值为( ). A.3 B. 5 2 C.2 D. 3 2
答案：C 解析：由题意，得fx)=2ax+b. 由对任意实数x,有x)≥0，知函数x)的图象开口向上，所以a>0,且=b24ac≤0 所以ac≥ 因为f0)>0,所以b>0,所以aC≥0，又a>0,所以c>0. 所以巴=≥+2匹≥2臣=2， f'(0) h b b 当且仅当a=c=时，取等号 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分 13.函数x)=lnx-x的单调递增区间为 答案：(0,1) 解析：令fx)=1>0,解不等式得x0,所以当 a)=0时，a∈(0,1)
答案:C 解析:由题意,得 f'(x)=2ax+b. 由对任意实数 x,有 f(x)≥0,知函数 f(x)的图象开口向上,所以 a>0,且 Δ=b2 -4ac≤0, 所以 ac≥ 𝑏 2 4 . 因为 f'(0)>0,所以 b>0,所以 ac≥ 𝑏 2 4 >0,又 a>0,所以 c>0. 所以𝑓(1) 𝑓'(0) = 𝑎+𝑏+𝑐 𝑏 ≥ 𝑏+2√𝑎𝑐 𝑏 ≥ 𝑏+2√ 𝑏 2 4 𝑏 =2, 当且仅当 a=c= 𝑏 2时,取等号. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.函数 f(x)=ln x-x 的单调递增区间为 . 答案:(0,1) 解析:令 f'(x)= 1 𝑥 -1>0,解不等式得 x0,所以当 f(a)=0 时,a∈(0,1)
又gx)=lnx+x2-3在区间(0，+o)内单调递增，且g(1)=-20,g(b)=0,得b∈(1,2). 又1)=e-1>0,且x)=er+x-2在R上单调递增，所以b)>0,所以g(a)0) (1)求函数y=x)的图象在点(0O)处的切线方程 (2)当a>1时，求函数y=x)的单调区间和极值 解山由已知可得0)=1)+a=出则/0)-0，所以函数)的图象 x+1 在点(0,0)处的切线方程为y=1. (2)函数x)的定义域为(1，+o,令fx)=0,即Mxa+=0,解得x=0或x=a-l. x+1 当a>1时x)fx)随x变化的变化情况如下表： -1,0) 0,a-1) a-l (a-1,+o) f(x) 0 x) 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 可知x)的单调递减区间是(0，a-1),单调递增区间是(-1,0)和(a-l,+o,极大值为 0)=l,极小值为a-l)=alna22+号 19.(12分)已知函数x)=x2-mlnx,h(x)=x2-x+a. (1)当a=0时x)≥h(x)在区间(1，+oo)内恒成立，求实数m的取值范围； (2)当m=2时，若函数x)=x)-h(x)在区间[1,3]上恰有两个不同的零点，求实数a 的取值范围. 解：)由a=0,且x)≥x)在区间1，+0)内恒成立，得m≤品在区间(1，+o0)内恒成 立，令g点则gt故gte=0,当x∈(L,e时gw0xe(e+m时gP0 故g(x)在区间(I,e)内单调递减，在区间(e,+o)内单调递增 故当x=e时g(x)取得极小值，也为最小值，为g(e)=e.所以m≤e
又 g(x)=ln x+x2 -3 在区间(0,+∞)内单调递增,且 g(1)=-20,g(b)=0,得 b∈(1,2). 又 f(1)=e-1>0,且 f(x)=e x+x-2 在 R 上单调递增,所以 f(b)>0,所以 g(a)0). (1)求函数 y=f(x)的图象在点(0,f(0))处的切线方程; (2)当 a>1 时,求函数 y=f(x)的单调区间和极值. 解:(1)由已知可得 f(0)=1,f'(x)= 𝑎 𝑥+1 +x-a= 𝑥(𝑥-𝑎 +1) 𝑥+1 ,则 f'(0)=0,所以函数 y=f(x)的图象 在点(0,f(0))处的切线方程为 y=1. (2)函数 f(x)的定义域为(-1,+∞),令 f'(x)=0,即 𝑥(𝑥-𝑎+1) 𝑥+1 =0,解得 x=0 或 x=a-1. 当 a>1 时,f(x),f'(x)随 x 变化的变化情况如下表: x (-1,0) 0 (0,a-1) a-1 (a-1,+∞) f'(x) + 0 - 0 + f(x) 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 可知 f(x)的单调递减区间是(0,a-1),单调递增区间是(-1,0)和(a-1,+∞),极大值为 f(0)=1,极小值为 f(a-1)=aln a- 1 2 a 2+ 3 2 . 19.(12 分)已知函数 f(x)=x2 -mln x,h(x)=x2 -x+a. (1)当 a=0 时,f(x)≥h(x)在区间(1,+∞)内恒成立,求实数 m 的取值范围; (2)当 m=2 时,若函数 k(x)=f(x)-h(x)在区间[1,3]上恰有两个不同的零点,求实数 a 的取值范围. 解:(1)由 a=0,且 f(x)≥h(x)在区间(1,+∞)内恒成立,得 m≤ 𝑥 ln𝑥在区间(1,+∞)内恒成 立,令 g(x)= 𝑥 ln𝑥 ,则 g'(x)= ln𝑥-1 (ln𝑥) 2 ,故 g'(e)=0,当 x∈(1,e)时,g'(x)0. 故 g(x)在区间(1,e)内单调递减,在区间(e,+∞)内单调递增. 故当 x=e 时,g(x)取得极小值,也为最小值,为 g(e)=e.所以 m≤e
(2)由已知可知x)=x-2lnx-a,函数x)在区间[1,3]上恰有两个不同的零点，相当于 函数p(x)=x-2nx的图象与直线y=a有两个不同的交点，px)=12=三，故 p(2)=0,所以当x∈[1,2)时，p《x)0,px)单调递 增 又p(1)=1,p(3)=3-2ln3,0(2)=2-2ln2,且p(1)>p(3)>o(2)>0,所以当2-2n20,y)单调递增； 当100,且1时x器
(2)由已知可知 k(x)=x-2ln x-a,函数 k(x)在区间[1,3]上恰有两个不同的零点,相当于 函数 φ(x)=x-2ln x 的图象与直线 y=a 有两个不同的交点,φ'(x)=1- 2 𝑥 = 𝑥-2 𝑥 ,故 φ'(2)=0,所以当 x∈[1,2)时,φ'(x)0,φ(x)单调递 增. 又 φ(1)=1,φ(3)=3-2ln 3,φ(2)=2-2ln 2,且 φ(1)>φ(3)>φ(2)>0,所以当 2-2ln 20,y(t)单调递增; 当 100,且 x≠1 时,f(x)> ln𝑥 𝑥-1
(1)解)=使 (x+1)2 2-会，由于直线x+23=0的斜率为宁且过点(，1 (f1)=1, (b=1, 2i证明：（脚）兴+号 所以贤=(2nx-会) 设画数h)=2nx>0, 则h)是-2：-. x2 x2 所以当x≠1时，hx)0, 所以器 当x∈(（1，+o)时h水0，0,则当x∈(-o,1)时fx)0,所以x)在区间(1，+o)内单调递增，在区间(-o,1)内单调递 减 又1)=-e,2)=a>0,取b满足b0且bb-2)+(b-1P=a(b2-三b)>0,故x)在R上存在两个零点 ③设a0,因此x)在区间(L,+o)内单调递 增 又当x≤1时x)0,所以x)不存在两个零点 若al,故当x∈(1，n(-2a》时，fx)0. 因此x)在区间(1，ln(-2a》内单调递减，在区间(n(-2a),+oo)内单调递增 又当x≤1时，x)<0,所以x)不存在两个零点. 综上，a的取值范围为(0，+0)， (2)证明：不妨设x1<x2,由(1)知，x1∈(-0,1)，x2∈(1，+0)，2-x2∈(-0,1)
(1)解:f'(x)= 𝑎( 𝑥+1 𝑥 -ln𝑥) (𝑥+1) 2 − 𝑏 𝑥 2 ,由于直线 x+2y-3=0 的斜率为- 1 2 ,且过点(1,1), 故{ 𝑓(1) = 1, 𝑓'(1) = - 1 2 , 即 { 𝑏 = 1, 𝑎 2 -𝑏 = - 1 2 , 解得{ 𝑎 = 1, 𝑏 = 1. (2)证明:由(1)知,f(x)= ln𝑥 𝑥+1 + 1 𝑥 , 所以 f(x)- ln𝑥 𝑥-1 = 1 1-𝑥 2 (2ln 𝑥 − 𝑥 2 −1 𝑥 ). 设函数 h(x)=2ln x- 𝑥 2 -1 𝑥 (x>0), 则 h'(x)= 2 𝑥 − 2𝑥 2 -(𝑥 2 -1) 𝑥 2 =- (𝑥-1) 2 𝑥 2 . 所以当 x≠1 时,h'(x)0, 1 1-𝑥 2>0, 所以 f(x)> ln𝑥 𝑥-1 ; 当 x∈(1,+∞)时,h(x) ln𝑥 𝑥-1 . 故当 x>0,且 x≠1 时,f(x)> ln𝑥 𝑥-1 . 22.(12 分)已知函数 f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2 有两个零点. (1)求 a 的取值范围; (2)设 x1,x2 是 f(x)的两个零点,证明:x1+x20,则当 x∈(-∞,1)时,f'(x)0,所以 f(x)在区间(1,+∞)内单调递增,在区间(-∞,1)内单调递 减. 又 f(1)=-e,f(2)=a>0,取 b 满足 b 𝑎 2 (b-2)+a(b-1)2=a(𝑏 2 − 3 2 𝑏) >0,故 f(x)在 R 上存在两个零点. ③设 a0,因此 f(x)在区间(1,+∞)内单调递 增. 又当 x≤1 时,f(x)1,故当 x∈(1,ln(-2a))时,f'(x)0. 因此 f(x)在区间(1,ln(-2a))内单调递减,在区间(ln(-2a),+∞)内单调递增. 又当 x≤1 时,f(x)<0,所以 f(x)不存在两个零点. 综上,a 的取值范围为(0,+∞). (2)证明:不妨设 x1<x2,由(1)知,x1∈(-∞,1),x2∈(1,+∞),2-x2∈(-∞,1)
又x)在区间(-o,1)内单调递减，所以x1+x22-x2),即2-x2)1), 则g(x)=(x-1)e2r-e). 所以当x>1时gx)1时g(x)<0 从而gx2)=2-x2)K0,故x1+x2<2
又 f(x)在区间(-∞,1)内单调递减,所以 x1+x2f(2-x2),即 f(2-x2)1), 则 g'(x)=(x-1)(e2-x -e x ). 所以当 x>1 时,g'(x)1 时,g(x)<0. 从而 g(x2)=f(2-x2)<0,故 x1+x2<2