5.1.2 导数的概念及其几何意义 课后训练提升 基础巩固 1.下列说法正确的是(). A.若fxo)不存在，则曲线y=x)在点(xo,xo)》处就没有切线 B.若曲线y=x)在点(xo,xo)处有切线，则fxo)必存在 C.若fxo)不存在，则曲线y=x)在点(xoxo)处的切线斜率不存在 D.若曲线y=fx)在点(xo,xo)处没有切线，则fxo)有可能存在 答案C 解析：因为切线斜率k=fo),所以fxo)不存在只说明曲线在该，点的切线斜率不存 在，而当斜率不存在时，切线方程也可能存在，其切线方程为x=x0 2.已知y=x)的图象如图所示，则fxA)与fxB)的大小关系是( A.f(xA)f(xB) BfxA)下fxB) C.f(x4)=f(xB) D.不能确定 答案B 解析：由导数的几何意义fx)fxB)分别是曲线在点A,B处的切线的斜率，由图象 可知fx4)fxB) 3.如图，函数y=x)的图象在点P处的切线方程是y=x+8,则5)+f5)等于() V=-X+8 0 A.2 B.3 C.4 D.5 答案：A 解析：易得切点P的坐标为（⑤，3），切线的斜率k=-1, ∴.5)=3f5)=-1. ∴5)+f5)=3-1=2. 4对于函数y=x)=,使其导数值等于函数值的x的值为
5.1.2 导数的概念及其几何意义 课后· 基础巩固 1.下列说法正确的是( ). A.若 f'(x0)不存在,则曲线 y=f(x)在点(x0,f(x0))处就没有切线 B.若曲线 y=f(x)在点(x0,f(x0))处有切线,则 f'(x0)必存在 C.若 f'(x0)不存在,则曲线 y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线斜率不存在 D.若曲线 y=f(x)在点(x0,f(x0))处没有切线,则 f'(x0)有可能存在 答案:C 解析:因为切线斜率 k=f'(x0),所以 f'(x0)不存在只说明曲线在该点的切线斜率不存 在,而当斜率不存在时,切线方程也可能存在,其切线方程为 x=x0. 2.已知 y=f(x)的图象如图所示,则 f'(xA)与 f'(xB)的大小关系是( ). A.f'(xA)>f'(xB) B.f'(xA)<f'(xB) C.f'(xA)=f'(xB) D.不能确定 答案:B 解析:由导数的几何意义,f'(xA),f'(xB)分别是曲线在点 A,B 处的切线的斜率,由图象 可知 f'(xA)<f'(xB). 3.如图,函数 y=f(x)的图象在点 P 处的切线方程是 y=-x+8,则 f(5)+f'(5)等于( ). A.2 B.3 C.4 D.5 答案:A 解析:易得切点 P 的坐标为(5,3),切线的斜率 k=-1, ∴f(5)=3,f'(5)=-1. ∴f(5)+f'(5)=3-1=2. 4.对于函数 y=f(x)= 1 𝑥 2 ,使其导数值等于函数值的 x 的值为
答案-2 1 1 解析fx)=im f(x+4x)-f(x)=lim (x+Ax)2x2 2 △X0 4X→+0 △x 由题意知)，即子= 1 解得x=-2. 5.已知曲线y=2x2+4x在点P处的切线斜率为16，则点P的坐标为 答案(3,30) 解析：设点P(x0,2x+4xo) 则fo)=limo+4x-=lim(2△r+4x0+4)=4xo+4, △x→0 4X+0 令4x0+4=16,得x0=3,故P(3,30)】 6.已知函数y=x)的图象在点M(1,1)处的切线方程是y=x+2,则 1)+f1)= 答案：3 解析：由题意，得)2×1+2-/)2 则)+)+3， 7.函数x)的图象如图所示，试根据函数图象判断0，f1)/3),3@的大小关系. y f3) f(1 01 解：设x=1,x=3时对应曲线上的点分别为A,B,点A处的切线为AT,点B处的切线 为BQ,如图所示 3 o 则③f@=kB,3)=keI)=kMr,由图可知切线BQ的倾斜角小于直线AB的倾斜 角，直线AB的倾斜角小于切线AT的倾斜角，即kBQ<k4B<kAT, 故0<f3)<3f@<f1) 8.曲线y=x2在哪一点处的切线分别满足下列条件？ (1)平行于直线y=4x-5: (2)垂直于直线2x-6y+5=0; (3)倾斜角为135°. 解x)- x+ax)-fx)limx2x Ax △X
答案:-2 解析:f'(x)= lim Δ𝑥→0 f(x+𝛥x)-f(x) 𝛥x = 𝑙𝑖𝑚 𝛥x→0 1 (𝑥+Δ𝑥) 2 - 1 𝑥 2 Δ𝑥 =- 2 𝑥 3 . 由题意知,f'(x)=f(x),即- 2 𝑥 3 = 1 𝑥 2 , 解得 x=-2. 5.已知曲线 y=2x 2+4x 在点 P 处的切线斜率为 16,则点 P 的坐标为 . 答案:(3,30) 解析:设点 P(x0,2𝑥0 2+4x0), 则 f'(x0)= lim Δ𝑥→0 f(x0+𝛥x)-f(x0 ) 𝛥x = 𝑙𝑖𝑚 𝛥x→0 (2Δx+4x0+4)=4x0+4, 令 4x0+4=16,得 x0=3,故 P(3,30). 6.已知函数 y=f(x)的图象在点 M(1,f(1))处的切线方程是 y= 1 2 x+2,则 f(1)+f'(1)= . 答案:3 解析:由题意,得 f(1)= 1 2 ×1+2= 5 2 ,f'(1)= 1 2 , 则 f(1)+f'(1)= 5 2 + 1 2 =3. 7.函数 f(x)的图象如图所示,试根据函数图象判断 0,f'(1),f'(3),𝑓(3)-𝑓(1) 2 的大小关系. 解:设 x=1,x=3 时对应曲线上的点分别为 A,B,点 A 处的切线为 AT,点 B 处的切线 为 BQ,如图所示. 则 𝑓(3)-𝑓(1) 2 =kAB,f'(3)=kBQ,f'(1)=kAT,由图可知切线 BQ 的倾斜角小于直线 AB 的倾斜 角,直线 AB 的倾斜角小于切线 AT 的倾斜角,即 kBQ<kAB<kAT, 故 0<f'(3)< 𝑓(3)-𝑓(1) 2 <f'(1). 8.曲线 y=x2 在哪一点处的切线分别满足下列条件? (1)平行于直线 y=4x-5; (2)垂直于直线 2x-6y+5=0; (3)倾斜角为 135°. 解:f'(x)= lim Δ𝑥→0 f(x+𝛥x)-f(x) 𝛥x = 𝑙𝑖𝑚 𝛥x→0 (𝑥+Δ𝑥) 2 -𝑥 2 Δ𝑥 =2x
设P(xoo)是满足条件的点 (1).切线与直线y=4x-5平行，.2x0=4 x0=20=4,即P(2,4)是满足条件的点。 (2)切线与直线2x-6y+5=0垂直， 2w-1,得知=0号 即P(,)是满足条件的点 (3)切线的倾斜角为135°，∴.其斜率为-1， 即20=1，得x0=20 1 即P()是满足条件的点 9.己知曲线Cy=x3-x+2,求曲线过点P(1,2)的切线方程 解：设切，点为(x0,x-x0+2), 则1-o,s232-marP+3Ar+3x好-P3x6-l Ax 所以切线方程为y-(x-x0+2)=(3x-1)(x-x0), 将点P(1,2)的坐标代入，得2-(x3-x0+2)=(3x-1)1-xo), 即(o-1P20+1)=0,所以0=1或0=号 所以切点坐标为1,2)或（生，昌） 所以当切点为(1,2)时，切线方程为y-2=2(x-1),即y=2x 当切点为（经昌）时，切线方程为吕=(x+》即x+4少9=0， 所以切线方程为y=2x或x+4y-9=0. 拓展提高 1.下列点中，在曲线y=x)=x2上，且曲线在该点处的切线的倾斜角为的是( A.(0,0) B.(2,4) c(任) D(作) 答案D 解析：设所求点的坐标为xo,x),则fxo)=imo+Axf= △+0 △x 。(2o+△r)-2xo=tan=l,可得0=2故所求点为（侵）故选D, 2.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=V3xy=0,x=(>0)围成的△OAB的面积 为S(0,则S()在=2时的瞬时变化率是 y X=1 B/y=3x
设 P(x0,y0)是满足条件的点. (1)∵切线与直线 y=4x-5 平行,∴2x0=4, ∴x0=2,y0=4,即 P(2,4)是满足条件的点. (2)∵切线与直线 2x-6y+5=0 垂直, ∴2x0· 1 3 =-1,得 x0=- 3 2 ,y0= 9 4 , 即 P(- 3 2 , 9 4 )是满足条件的点. (3)∵切线的倾斜角为 135°,∴其斜率为-1, 即 2x0=-1,得 x0=- 1 2 ,y0= 1 4 , 即 P(- 1 2 , 1 4 )是满足条件的点. 9.已知曲线 C:y=x3 -x+2,求曲线过点 P(1,2)的切线方程. 解:设切点为(x0,𝑥0 3 -x0+2), 则 y'| 𝑥=𝑥0 = lim Δ𝑥→0 [(x0+𝛥x) 3 -(x0+𝛥x)+2]-(x0 3 -x0+2) 𝛥x = 𝑙𝑖𝑚 𝛥x→0 [(Δx) 2+3x0Δx+3𝑥0 2 -1]=3𝑥0 2 -1. 所以切线方程为 y-(𝑥0 3 -x0+2)=(3𝑥0 2 -1)·(x-x0). 将点 P(1,2)的坐标代入,得 2-(𝑥0 3 -x0+2)=(3𝑥0 2 -1)(1-x0), 即(x0-1)2 (2x0+1)=0,所以 x0=1 或 x0=- 1 2 , 所以切点坐标为(1,2)或(- 1 2 , 19 8 ), 所以当切点为(1,2)时,切线方程为 y-2=2(x-1),即 y=2x; 当切点为(- 1 2 , 19 8 )时,切线方程为 y- 19 8 =- 1 4 (𝑥 + 1 2 ),即 x+4y-9=0. 所以切线方程为 y=2x 或 x+4y-9=0. 拓展提高 1.下列点中,在曲线 y=f(x)=x2 上,且曲线在该点处的切线的倾斜角为π 4的是( ). A.(0,0) B.(2,4) C.( 1 4 , 1 16) D.( 1 2 , 1 4 ) 答案:D 解析:设所求点的坐标为(x0,𝑥0 2 ),则 f'(x0)= lim Δ𝑥→0 𝑓(𝑥0+Δ𝑥)-𝑓(𝑥0 ) Δ𝑥 = 𝑙𝑖𝑚 𝛥x→0 (2x0+Δx)=2x0=tanπ 4 =1,可得 x0= 1 2 ,故所求点为( 1 2 , 1 4 ).故选 D. 2.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,直线 y=√3x,y=0,x=t(t>0)围成的△OAB 的面积 为 S(t),则 S(t)在 t=2 时的瞬时变化率是
答案2V3 解析：由题意知点B的坐标为（亿，V3, 则AB=V31,IOA=1, S0-21oAAB=V3=92 S2-,2如-趣 2+a.2 =2V3. 4t-0 △t 3.设函数x)=x3+ax2-9x-1(a<0),若曲线y=x)的斜率最小的切线与直线12x+y=6 平行，则a的值为 答案：3 解析：.△y=fx+△x)x)=(x+△x)3+a(x+△x)2-9x+△x)1-(x3+ar2.9x-1)》 =(3x2+2ax-9)△r+(3x+a)(△x)2+(△x)3 ∴.Ay=3x2+2ax-9+(3x+a)△x+(△x2, △x w032+2a9-3(+}9号≥.9号 △x→04x 由题意知fx)的最小值是-12 9号-12a=9 a<0,.a=-3. 4.已知曲线y=2x2+a在点P处的切线方程为8x-y-15=0,则切点P的坐标 为 实数a的值为 答案(2,1)-7 解析：设切，点P(xoJo),切线斜率为k 由y'=img=lim2x+ax+a-2+@=lim(4x+2△r)=4x, Ax0AxX→0 △x △x→+0 得kyz=o=40, 根据题意4x0=8,0=2, 则0=8×2-15=1，a=1-2×22=-7 故切点P的坐标为(2,1)，a=-7. 5.己知x)=x2,gx)=x3,则符合fxo)+2=g(xo)的x0的值 为 答案7或+7 3 解析：由导数的定义知 (xo)=lim +4w2-近=2x0 △x0 go)=lm+2.品-3x6 AX→0△x 因为fxo)+2=g(xo), 所以2x0+2=3x6,即3x6-2x0-2=0
答案:2√3 解析:由题意知点 B 的坐标为(t,√3t), 则|AB|=√3t,|OA|=t, ∴S(t)= 1 2 ·|OA|·|AB|=1 2 t·√3t=√3 2 t 2 , ∴S'(2)= lim Δ𝑡→0 S(2+𝛥t)-S(2) 𝛥t =𝑙𝑖𝑚 𝛥t→0 √3 2 (2+Δ𝑡) 2 -2√3 Δ𝑡 =2√3. 3.设函数 f(x)=x3+ax2 -9x-1(a<0),若曲线 y=f(x)的斜率最小的切线与直线 12x+y=6 平行,则 a 的值为 . 答案:-3 解析:∵Δy=f(x+Δx)-f(x)=(x+Δx) 3+a(x+Δx) 2 -9(x+Δx)-1-(x 3+ax2 -9x-1) =(3x 2+2ax-9)Δx+(3x+a)(Δx) 2+(Δx) 3 , ∴ Δ𝑦 Δ𝑥 =3x 2+2ax-9+(3x+a)Δx+(Δx) 2 , ∴f'(x)= lim Δ𝑥→0 𝛥y 𝛥x =3x 2+2ax-9=3(x + a 3 ) 2 -9- a 2 3 ≥-9- a 2 3 . 由题意知 f'(x)的最小值是-12, ∴-9- a 2 3 =-12,a 2=9, ∵a<0,∴a=-3. 4.已知曲线 y=2x 2+a 在点 P 处的切线方程为 8x-y-15=0,则切点 P 的坐标 为 ,实数 a 的值为 . 答案:(2,1) -7 解析:设切点 P(x0,y0),切线斜率为 k. 由 y'= lim Δ𝑥→0 𝛥y 𝛥x = 𝑙𝑖𝑚 𝛥x→0 [2(𝑥+Δ𝑥) 2+𝑎]-(2𝑥 2 +𝑎) Δ𝑥 = lim Δ𝑥→0 (4x+2Δx)=4x, 得 k=y'| 𝑥=𝑥0 =4x0, 根据题意 4x0=8,x0=2, 则 y0=8×2-15=1,a=1-2×2 2=-7. 故切点 P 的坐标为(2,1),a=-7. 5.已知 f(x)=x2 ,g(x)=x3 ,则符合 f'(x0)+2=g'(x0)的 x0 的值 为 . 答案: 1-√7 3 或 1+√7 3 解析:由导数的定义知, f'(x0)= lim Δ𝑥→0 (x0+𝛥x) 2 -x0 2 𝛥x =2x0, g'(x0)= 𝑙𝑖𝑚 𝛥x→0 (𝑥0 +Δ𝑥) 3 -𝑥0 3 Δ𝑥 =3𝑥0 2 . 因为 f'(x0)+2=g'(x0), 所以 2x0+2=3𝑥0 2 ,即 3𝑥0 2 -2x0-2=0
解得0或和= 3 3 6.曲线y=x2在点(1,1)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为 答案号 解析：由导数的定义可得yx=1=2, .曲线y=x2在点(1,1)处的切线方程为y-1=2(x-1),即y=2x-1,它与两坐标轴的交点 分别为A(0,-1),B2,0∴SaA0B=1OAOB= 7.己知抛物线y=x2和直线xy-2=0,求抛物线上一点到该直线的最短距离. 解（方法一）设P(x,x2)为抛物线上任意一点，则点P到直线xy-2=0的距离为 d=(x)引=(x}+所以当x封d最小，最小值为 (方法二)由题意设直线xy+b=0与抛物线y=2相切，则x2x-b=0,由4=0得b=子 所以直线x片0与2=0的距离为兰=舌=三所以抛物线=上的 √2 8 点到直线x少2=0的最短距离为巨 (方法三)由题意可知，与直线xy-2=0平行的抛物线y=x2的切线对应的切点到直 线2=0的距离最短，设切点坐标为o,则儿。=m鸟-20=1， △→0 所以如所以切点垒拆为侣》切点到直筑2=0的距高为学-三所 以抛物线y=x2上的点到直线y-2=0的最短距离为三 挑战创新 己知直线1为曲线y=x2+x-2在点(1,0)处的切线，h为该曲线的另一条切线，且1⊥ B (1)求直线h的方程； (2)求由直线1，h和x轴所围成的三角形的面积 解(1)y'=limg △x→04x lim (x+△x)2+(x+Ax)-2-(x2+x2 4x→0 △x =2x+1, ∴…yx=1=3 ∴.直线h的方程为y=3x-1), 即y=3x-3 设直线h与曲线y=x2+x-2相切于点P(x0,x+0-2), 则直线h的方程为y-(x+x0-2)=(2x0+1)x-x0), h⊥h ÷32x0+1)=-10=号
解得 x0= 1-√7 3 或 x0= 1+√7 3 . 6.曲线 y=x2 在点(1,1)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为 . 答案: 1 4 解析:由导数的定义可得 y'|x=1=2, ∴曲线 y=x2 在点(1,1)处的切线方程为 y-1=2(x-1),即 y=2x-1,它与两坐标轴的交点 分别为 A(0,-1),B( 1 2 ,0),∴S△AOB= 1 2 |OA||OB|=1 4 . 7.已知抛物线 y=x2 和直线 x-y-2=0,求抛物线上一点到该直线的最短距离. 解:(方法一)设 P(x,x 2 )为抛物线上任意一点,则点 P 到直线 x-y-2=0 的距离为 d=|𝑥-𝑥 2 -2| √2 = √2 2 |- (𝑥- 1 2 ) 2 - 7 4 | = √2 2 (𝑥- 1 2 ) 2 + 7√2 8 ,所以当 x= 1 2时,d 最小,最小值为7√2 8 . (方法二)由题意设直线 x-y+b=0 与抛物线 y=x2 相切,则 x 2 -x-b=0,由 Δ=0 得 b=- 1 4 , 所以直线 x-y- 1 4 =0 与 x-y-2=0 的距离为 d= |- 1 4 +2| √2 = 7 4 √2 = 7√2 8 ,所以抛物线 y=x2 上的 点到直线 x-y-2=0 的最短距离为7√2 8 . (方法三)由题意可知,与直线 x-y-2=0 平行的抛物线 y=x2 的切线对应的切点到直 线 x-y-2=0 的距离最短,设切点坐标为(x0,𝑥0 2 ),则 y'| 𝑥=𝑥0 = lim Δ𝑥→0 (x0+𝛥x) 2 -x0 2 𝛥x =2x0=1, 所以 x0= 1 2 ,所以切点坐标为( 1 2 , 1 4 ),切点到直线 x-y-2=0 的距离为 d= | 1 2 - 1 4 -2| √2 = 7√2 8 ,所 以抛物线 y=x2 上的点到直线 x-y-2=0 的最短距离为7√2 8 . 挑战创新 已知直线 l1 为曲线 y=x2+x-2 在点(1,0)处的切线,l2 为该曲线的另一条切线,且 l1⊥ l2. (1)求直线 l2 的方程; (2)求由直线 l1,l2 和 x 轴所围成的三角形的面积. 解:(1)∵y'= lim Δ𝑥→0 𝛥y 𝛥x = 𝑙𝑖𝑚 𝛥x→0 (𝑥+Δ𝑥) 2+(𝑥+Δ𝑥)-2-(𝑥 2 +𝑥-2) Δ𝑥 =2x+1, ∴y'|x=1=3, ∴直线 l1 的方程为 y=3(x-1), 即 y=3x-3. 设直线 l2 与曲线 y=x2+x-2 相切于点 P(x0,𝑥0 2+x0-2), 则直线 l2 的方程为 y-(𝑥0 2+x0-2)=(2x0+1)(x-x0). ∵l1⊥l2, ∴3(2x0+1)=-1,x0=- 2 3
·直线b的方程为=号 y=3x-3, (2)解方程组{ =号 x= = 又直线h,h与x轴的交点坐标分别为(1,0)，（号，0） “所求三角形的面积S=×引×(1+)=罗
∴直线 l2 的方程为 y=- 1 3 x- 22 9 . (2)解方程组{ 𝑦 = 3𝑥-3, 𝑦 = - 1 3 𝑥- 22 9 , 得 { 𝑥 = 1 6 , 𝑦 = - 5 2 . 又直线 l1,l2 与 x 轴的交点坐标分别为(1,0),(- 22 3 ,0), ∴所求三角形的面积 S=1 2 × |- 5 2 | × (1 + 22 3 ) = 125 12