《高中数学》全程设计训练题库（A版选修第三册，课后习题，含答案）综合检测（A卷）

综合检测(A卷) (时间：120分钟满分：150分) 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分 1.6个学校的师生轮流去某个电影院观看某电影，每个学校包一场，则不同的包场 顺序的种数是( A.720 B.480 C.540 D.120 答案A 解析：因为是轮流放映，所以不同的包场顺序的种数为A=720.故选A 2.某社区为了解本社区居民的受教育程度与年收入的关系，随机调查了105户居 民，得到的2×2列联表（单位：人）如下表所示： 单位：户 年收入 文化程度 年收入 年收入 合计 5万元以下 5万元及以上 高中文化以上 10 45 55 高中文化及以下 20 30 50 合计 Bo 75 105 若推断“受教育程度与年收入有关系”，则这种推断犯错误的概率不超过( A.2.5% B.2% C.1.5% D.1% 答案D 解析：由列联表中的数据可得2-105x10x3020x456.788>6.635=001,因此推断 55×45×30×75 “受教育程度与年收入有关系”，且犯错误的概率不超过1% 3.若随机变量X-B(n,0.6),且E)=3,则PX=1)的值是() A.2×0.44 B.2×0.45 C.3×0.44 D.3×0.64 答案：C 解析：因为X-B(n,0.6),所以E()=p=0.6n=3,所以n=5,所以 PX=1)=C×0.61×0.44=3×0.44 4若（女+）”展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为 A.10 B.20 C.30 D.120 答案B 解析：C%+C1+…+C=2m=64,n=6. T+1=Cgx6-xr=Cgx6-2,令6-2r=0,得r=3

综合检测(A 卷) (时间:120 分钟 满分:150 分) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 1.6 个学校的师生轮流去某个电影院观看某电影,每个学校包一场,则不同的包场 顺序的种数是( ) A.720 B.480 C.540 D.120 答案:A 解析:因为是轮流放映,所以不同的包场顺序的种数为A6 6=720.故选 A. 2.某社区为了解本社区居民的受教育程度与年收入的关系,随机调查了 105 户居 民,得到的 2×2 列联表(单位:人)如下表所示: 单位:户 文化程度 年收入 年收入 合计 5 万元以下 年收入 5 万元及以上 高中文化以上 10 45 55 高中文化及以下 20 30 50 合计 30 75 105 若推断“受教育程度与年收入有关系”,则这种推断犯错误的概率不超过( ) A.2.5% B.2% C.1.5% D.1% 答案:D 解析:由列联表中的数据可得 χ 2= 105×(10×30-20×45 ) 2 55×45×30×75 ≈6.788>6.635=x0.01,因此推断 “受教育程度与年收入有关系”,且犯错误的概率不超过 1%. 3.若随机变量 X~B(n,0.6),且 E(X)=3,则 P(X=1)的值是( ) A.2×0.4 4 B.2×0.4 5 C.3×0.4 4 D.3×0.6 4 答案:C 解析:因为 X~B(n,0.6),所以 E(X)=np=0.6n=3,所以 n=5,所以 P(X=1)=C5 1×0.6 1×0.4 4=3×0.4 4 . 4.若(𝑥 + 1 𝑥 ) 𝑛 展开式的二项式系数之和为 64,则展开式的常数项为( ) A.10 B.20 C.30 D.120 答案:B 解析:∵C𝑛 0 + C𝑛 1+…+C𝑛 𝑛=2 n=64,∴n=6. Tr+1=C6 𝑟 x 6-rx -r=C6 𝑟 x 6-2r ,令 6-2r=0,得 r=3

常数项T4=C%=20,故选B. 5.若随机变量X-N(3,σ2)，且PX≥5)=0.2，则P(1EX),故甲每天出废品的数量比乙要多， ∴乙的产品质量比甲的产品质量好一些

常数项 T4=C6 3=20,故选 B. 5.若随机变量 X~N(3,σ 2 ),且 P(X≥5)=0.2,则 P(1E(X 乙),故甲每天出废品的数量比乙要多, ∴乙的产品质量比甲的产品质量好一些

9.已知随机变量X服从正态分布N(u,σ2)，且P(-2o≤X≤u+2o0.9545,P(u o≤X≤u+o0.6827,若=4，o=1,则P(56)=0.15,则P(2≤≤4)等 于0.3 B.已知服从正态分布N(0,σ2)，且P(-2≤≤2)=0.4，则P(>2)=0.3 C(怎x)”的展开式中的常数项是45 D.已知x∈(0,4]，则满足1og2x≤1的概率为0.5 答案：A 解析：已知随机变量服从正态分布N(u,σ2)， 若P(66)=0.15,可得曲线的对称轴为x=4,则P(2≤≤4)=0.5-0.15=0.35 故A错误； 若5服从正态分布N0,g2),且P(-2≤≤2)=0.4，则P(G>2)=22=-04=0.3, 2 故B正确：

9.已知随机变量 X 服从正态分布 N(μ,σ 2 ),且 P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5,P(μ- σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7,若 μ=4,σ=1,则 P(56)=0.15,则 P(2≤ξ≤4)等 于 0.3 B.已知 ξ 服从正态分布 N(0,σ 2 ),且 P(-2≤ξ≤2)=0.4,则 P(ξ>2)=0.3 C.( 1 √𝑥 -𝑥 2 ) 10 的展开式中的常数项是 45 D.已知 x∈(0,4],则满足 log2x≤1 的概率为 0.5 答案:A 解析:已知随机变量 ξ 服从正态分布 N(μ,σ 2 ), 若 P(ξ6)=0.15,可得曲线的对称轴为 x=4,则 P(2≤ξ≤4)=0.5-0.15=0.35, 故 A 错误; 若 ξ 服从正态分布 N(0,σ 2 ),且 P(-2≤ξ≤2)=0.4,则 P(ξ>2)= 1-𝑃(-2≤𝜉≤2) 2 = 1-0.4 2 =0.3, 故 B 正确;

(（债x2)”展开式的道项为7m1=C(货)xy=Co1学，由0-0，得 5-10 r=2,可得常数项是C(-1)2=45,故C正确； 已知x∈(0,4]，则满足10g2x≤1， 即00），若在区间(0,1)内取值 的概率为0.4，则‘在区间0,2)内取值的概率为0.8： ③有一个经验回归方程y=2-3x,当变量x增加一个单位时y平均增加3个单位 其中真命题为 .(只填序号) 答案：①② 解析：①两个随机变量的线性相关性越强，样本相关系数的绝对值越接近于1，是真 命题：②在某项测量中，测量结果服从正态分布N1,σ)（σ>0），则正态曲线关于直 线x=1对称，所以P(0<<1)=P(1<<2),所以 P(0<<2)=P0<<1)+P(1<<2)=0.4+0.4=0.8,②是真命题：③变量x增加一个单 位时y平均减少3个单位，③是假命题.综上所述，①②是真命题 16.已知经验回归方程y=bx+0.6相应于点(3,6.5)的残差为-0.1，则b的值 为 答案2 解析：由经验回归方程y=bx+0.6相应于点(3,6.5)的残差为-0.1，可得当x=3 时，y=6.6,把(3,6.6)代入y=bx+0.6,得6.6=3b+0.6,即b=2. 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17.(10分)男运动员6名，女运动员4名，其中男、女队长各1人，选派5人外出比 赛，在下列情形中各有多少种选派方法

( 1 √𝑥 -𝑥 2 ) 10 展开式的通项为 Tr+1=C10 𝑟 ( 1 √𝑥 ) 10-𝑟 ·(-x 2 ) r=C10 𝑟 (-1)r𝑥 5𝑟-10 2 ,由 5𝑟-10 2 =0,得 r=2,可得常数项是C10 2 (-1)2=45,故 C 正确; 已知 x∈(0,4],则满足 log2x≤1, 即 00),若 ξ 在区间(0,1)内取值 的概率为 0.4,则 ξ 在区间(0,2)内取值的概率为 0.8; ③有一个经验回归方程𝑦 ^ =2-3x,当变量 x 增加一个单位时,y 平均增加 3 个单位. 其中真命题为 .(只填序号) 答案:①② 解析:①两个随机变量的线性相关性越强,样本相关系数的绝对值越接近于 1,是真 命题;②在某项测量中,测量结果 ξ 服从正态分布 N(1,σ 2 )(σ>0),则正态曲线关于直 线 x=1 对称,所以 P(0<ξ<1)=P(1<ξ<2),所以 P(0<ξ<2)=P(0<ξ<1)+P(1<ξ<2)=0.4+0.4=0.8,②是真命题;③变量 x 增加一个单 位时,y 平均减少 3 个单位,③是假命题.综上所述,①②是真命题. 16.已知经验回归方程𝑦 ^ = b ^ x+0.6 相应于点(3,6.5)的残差为-0.1,则𝑏 ^ 的值 为 . 答案:2 解析:由经验回归方程𝑦 ^ = b ^ x+0.6 相应于点(3,6.5)的残差为-0.1,可得当 x=3 时,𝑦 ^ =6.6,把(3,6.6)代入𝑦 ^ = 𝑏 ^ x+0.6,得 6.6=3𝑏 ^ +0.6,即𝑏 ^ =2. 三、解答题:共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(10 分)男运动员 6 名,女运动员 4 名,其中男、女队长各 1 人,选派 5 人外出比 赛,在下列情形中各有多少种选派方法

(1)任选5人： (2)男运动员3名，女运动员2名； (3)至少有1名女运动员： (4)队长至少有一人参加： (⑤)既要有队长，又要有女运动员 解(1)男运动员6名，女运动员4名，共10名， 六任选5人的选法为C。=是 =10x9x8x7X6=252, 5×4×3×2×1 .任选5人，共有252种选法。 (2)分两步：第一步，选3名男运动员，有C种选法： 第二步，再选2名女运动员，有C好种选法 根据分步计数乘法原理，选派男运动员3名，女运动员2名，共有CC=120种选法. (3)至少有1名女运动员包括以下几种情况：1女4男，2女3男，3女2男，4女1男 由分类加法计数原理可得C4C哈+CC?+CC?+C4C=246 故至少有1名女运动员有246种选法. (4)分三类：第1类，只有男队长入选，有C种选法；第2类，只有女队长入选，有C种 选法；第3类，男、女队长都入选，有C种选法 根据分类加法计数原理，共有2C+C=196种选法 (⑤)分两类：第1类，当有女队长，其他人选法任意，共有C。种选法；第2类，不选女队 长时，必选男队长，共有C母种选法，但选男队长且不含女运动员有C种选法 故不选女队长时共有C哈一C4种选法. 根据分类加法计数原理，既有队长又有女运动员共有Cg+Cg一C=191种选法 18(12分)已知(V:)”展开式中第三项的系数比第二项的系数大162，求： (1)n的值： (2)展开式中含x的项 解(1)因为1=C(v-2()”=4Cx学， 五=c(v-(到-2cx号 依题意得4C2+2C1=162 所以2C2+C1=81 所以n2=81,又n≥2，解得n=9. (2)设第(+1)项含x3项 则71=C5(V()=(2yC5x, 所以2”=3， 解得r=1, 所以第二项为含x3的项：T2=-2Cx3=-18x3

(1)任选 5 人; (2)男运动员 3 名,女运动员 2 名; (3)至少有 1 名女运动员; (4)队长至少有一人参加; (5)既要有队长,又要有女运动员. 解:(1)∵男运动员 6 名,女运动员 4 名,共 10 名, ∴任选 5 人的选法为C10 5 = A10 5 A5 5 = 10×9×8×7×6 5×4×3×2×1 =252, ∴任选 5 人,共有 252 种选法. (2)分两步:第一步,选 3 名男运动员,有C6 3种选法; 第二步,再选 2 名女运动员,有C4 2种选法. 根据分步计数乘法原理,选派男运动员 3 名,女运动员 2 名,共有C6 3C4 2=120 种选法. (3)至少有 1 名女运动员包括以下几种情况:1 女 4 男,2 女 3 男,3 女 2 男,4 女 1 男. 由分类加法计数原理可得C4 1C6 4 + C4 2C6 3 + C4 3C6 2 + C4 4C6 1=246. 故至少有 1 名女运动员有 246 种选法. (4)分三类:第 1 类,只有男队长入选,有C8 4种选法;第 2 类,只有女队长入选,有C8 4种 选法;第 3 类,男、女队长都入选,有C8 3种选法. 根据分类加法计数原理,共有 2C8 4 + C8 3=196 种选法. (5)分两类:第 1 类,当有女队长,其他人选法任意,共有C9 4种选法;第 2 类,不选女队 长时,必选男队长,共有C8 4种选法,但选男队长且不含女运动员有C5 4种选法, 故不选女队长时共有C8 4 − C5 4种选法. 根据分类加法计数原理,既有队长又有女运动员共有C9 4 + C8 4 − C5 4=191 种选法. 18.(12 分)已知(√𝑥- 2 𝑥 ) 𝑛 展开式中第三项的系数比第二项的系数大 162,求: (1)n 的值; (2)展开式中含 x 3 的项. 解:(1)因为 T3=C𝑛 2 (√𝑥) n-2(- 2 𝑥 ) 2 =4C𝑛 2𝑥 𝑛-6 2 , T2=C𝑛 1 (√𝑥) n-1(- 2 𝑥 )=-2C𝑛 1𝑥 𝑛-3 2 , 依题意得 4C𝑛 2+2C𝑛 1=162, 所以 2C𝑛 2 + C𝑛 1=81, 所以 n 2=81,又 n≥2,解得 n=9. (2)设第(r+1)项含 x 3 项, 则 Tr+1=C9 𝑟 (√𝑥) 9-r(- 2 𝑥 ) 𝑟 =(-2)rC9 𝑟𝑥 9-3𝑟 2 , 所以9-3𝑟 2 =3, 解得 r=1, 所以第二项为含 x 3 的项:T2=-2C9 1 x 3=-18x 3

19.(12分)随着科技的发展，网络己逐渐融入了人们的生活.网购是非常方便的购 物方式，为了解网购在甲市的普及情况，某调查机构进行了有关网购的调查问卷， 并从参与调查的市民中随机抽取了男、女各100人进行分析，从而得到列联表如 下表所示： 单位：人 网购情况 性别 经常网购 合计 偶尔或不用网购 男性 50 100 女性 70 100 合计 (1)完成上表，根据小概率值α=0.01的2独立性检验，能否推断甲市市民网购与性 别有关？ (2)①现从所抽取的女市民中利用分层随机抽样的方法抽取10人，再从这10人中 随机选取3人赠送优惠券，求选取的3人中至少有2人经常网购的概率： ②将频率视为概率，从甲市所有参与调查的市民中随机抽取10人赠送礼品，记其 中经常网购的人数为X,求随机变量X的数学期望和方差 解(1)完成列联表 单位：人 网购情况 性别 合计 经常网购 偶尔或不用网购 男性 50 50 100 女性 70 30 100 合计 120 180 200 零假设为H0:甲市市民网购与性别无关， 由列联表，得 2-200x150x3050×702=28.333>6.635=001 100×100×120×80 根据小概率值α=0.01的2独立性检验，有充分证据推断Ho不成立，即甲市市民网 购与性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.01」 (2)①由题意所抽取的10名女市民中，经常网购的有10×0=7人，偶尔或不用网购 100 的有10×品-3人 因此选取的3人中至少有2人经常网购的概率为 p-s=号 Cio ②由2×2列联表可知，抽到经常网购的市民的频率为20=0.6，将频率视为概率， 200 故从甲市市民中任意抽取一人，恰好抽到经常网购市民的概率为0.6

19.(12 分)随着科技的发展,网络已逐渐融入了人们的生活.网购是非常方便的购 物方式,为了解网购在甲市的普及情况,某调查机构进行了有关网购的调查问卷, 并从参与调查的市民中随机抽取了男、女各 100 人进行分析,从而得到列联表如 下表所示: 单位:人 性别 网购情况 合计 经常网购 偶尔或不用网购 男性 50 100 女性 70 100 合计 (1)完成上表,根据小概率值 α=0.01 的 χ 2 独立性检验,能否推断甲市市民网购与性 别有关? (2)①现从所抽取的女市民中利用分层随机抽样的方法抽取 10 人,再从这 10 人中 随机选取 3 人赠送优惠券,求选取的 3 人中至少有 2 人经常网购的概率; ②将频率视为概率,从甲市所有参与调查的市民中随机抽取 10 人赠送礼品,记其 中经常网购的人数为 X,求随机变量 X 的数学期望和方差. 解:(1)完成列联表: 单位:人 性别 网购情况 合计 经常网购 偶尔或不用网购 男性 50 50 100 女性 70 30 100 合计 120 80 200 零假设为 H0:甲市市民网购与性别无关. 由列联表,得 χ 2= 200 ×(50×30-50 ×70) 2 100 ×100×120 ×80 = 25 3 ≈8.333>6.635=x0.01, 根据小概率值 α=0.01 的 χ 2 独立性检验,有充分证据推断 H0 不成立,即甲市市民网 购与性别有关,此推断犯错误的概率不大于 0.01. (2)①由题意所抽取的 10 名女市民中,经常网购的有 10× 70 100 =7 人,偶尔或不用网购 的有 10× 30 100 =3 人. 因此选取的 3 人中至少有 2 人经常网购的概率为 P=C7 2C3 1+C7 3 C10 3 = 49 60 . ②由 2×2 列联表可知,抽到经常网购的市民的频率为120 200 =0.6,将频率视为概率, 故从甲市市民中任意抽取一人,恰好抽到经常网购市民的概率为 0.6

由题意得X-B(10,0.6), 可求得随机变量X的数学期望E)=10×0.6=6, 方差DX0=10×0.6×0.4=2.4. 20.(12分)某创业者计划在某旅游景区附近租赁一套农房发展成特色“农家乐”，为 了确定未来发展方向，此创业者对该景区附近五家“农家乐”跟踪调查了100天，这 五家“农家乐”的收费标准互不相同，得到的统计数据如下表所示x为收费标准（单 位：元/日)，1为入住天数（单位：天），以频率作为各自的入住率”，收费标准x与“入住 率”y的散点图如图所示 100 150 200 300 450 190 65 45 30 20 ↑人住率 0.8H 8 0. 。收费标准 .06 100 200 300 400500 (1)若从以上五家“农家乐”中随机抽取两家深入调查，记‘为“入住率”超过0.6的 农家乐的个数，求的概率分布列： (2)z=lnx,由散点图判断y=bx+a与y=bz+a哪个更合适于此模型（给出判断即可 不必说明理由)？并根据你的判断结果求经验回归方程.(a,b的结果精确到0.1) (3)根据第(2)问所求的经验回归方程，试求收费标准为多少时，100天销售额L最 大？(L=100×入住率×收费标准) 参考公式及数据：b= 2x-版丁A ,a=万-b元=240，含x好=365 =1 000,2x0y=457.5,5.35,z2≈28.57,2z≈144.24,2-0r12.72,e150,e54220. i=1 解：(1)由题图可知的所有可能取值为0,1,2 剥P(5-0)是=品PG=I答=品=PG=2)=0 故飞的分布列是 D 10 -5 品 (2)由散，点图可知y=bz+a更适合于此模型 依题意=0.9+0.65+0.45+0.3+0.2)=0.5， 则b=1272-5x535x050.47=-0.5, 144.24-5×28.57 a=y-b·z=0.5+0.47×5.35≈3.0 故所求的经验回归方程为y=-0.5lnx+3.0

由题意得 X~B(10,0.6), 可求得随机变量 X 的数学期望 E(X)=10×0.6=6, 方差 D(X)=10×0.6×0.4=2.4. 20.(12 分)某创业者计划在某旅游景区附近租赁一套农房发展成特色“农家乐”,为 了确定未来发展方向,此创业者对该景区附近五家“农家乐”跟踪调查了 100 天,这 五家“农家乐”的收费标准互不相同,得到的统计数据如下表所示.x 为收费标准(单 位:元/日),t 为入住天数(单位:天),以频率作为各自的“入住率”,收费标准 x 与“入住 率”y 的散点图如图所示. x 100 150 200 300 450 t 90 65 45 30 20 (1)若从以上五家“农家乐”中随机抽取两家深入调查,记 ξ 为“入住率”超过 0.6 的 农家乐的个数,求 ξ 的概率分布列; (2)z=ln x,由散点图判断𝑦 ^ = b ^ x+𝑎 ^ 与𝑦 ^ = 𝑏 ^ z+𝑎 ^ 哪个更合适于此模型(给出判断即可 不必说明理由)?并根据你的判断结果求经验回归方程.(𝑎 ^ , 𝑏 ^ 的结果精确到 0.1) (3)根据第(2)问所求的经验回归方程,试求收费标准为多少时,100 天销售额 L 最 大?(L=100×入住率×收费标准) 参考公式及数据:𝑏 ^ = ∑ 𝑖=1 𝑛 𝑥𝑖𝑦𝑖 -𝑛𝑥 𝑦 ∑ 𝑖=1 𝑛 𝑥𝑖 2 -𝑛𝑥 2 , 𝑎 ^ = 𝑦 − 𝑏 ^ 𝑥,𝑥=240, ∑ 𝑖=1 𝑛 𝑥𝑖 2=365 000, ∑ 𝑖=1 𝑛 xiyi=457.5,𝑧≈5.35,𝑧 2 ≈28.57, ∑ 𝑖=1 5 𝑧 2 ≈144.24, ∑ 𝑖=1 5 ziyi≈12.72,e5≈150,e5.4≈220. 解:(1)由题图可知 ξ 的所有可能取值为 0,1,2, 则 P(ξ=0)= C3 2 C5 2 = 3 10 ,P(ξ=1)= C2 1C3 1 C5 2 = 6 10 = 3 5 ,P(ξ=2)= C2 2 C5 2 = 1 10 , 故 ξ 的分布列是 ξ 0 1 2 P 3 10 3 5 1 10 (2)由散点图可知𝑦 ^ = b ^ z+𝑎 ^更适合于此模型. 依题意,𝑦 = 1 5 (0.9+0.65+0.45+0.3+0.2)=0.5, 则𝑏 ^ = 12.72-5×5.35 ×0.5 144.24-5×28.57 ≈-0.47=-0.5, 𝑎 ^ = 𝑦 − 𝑏 ^ · 𝑧=0.5+0.47×5.35≈3.0, 故所求的经验回归方程为𝑦 ^ =-0.5ln x+3.0

(3)依题意，L(x)=100(-0.5lnx+3.0)x=-50xnx+300x,则L(x)=-50lnx+250 由L(x)>0,得lnx5,x>e5, 故L(x)在区间(0，e5)内单调递增，在区间(e,+oo)内单调递减， 当x=e5≈150时，Lx)取最大值， 因此当收费标准约为150元/日时，100天销售额L最大. 21.(12分)某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，每次 抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱 中，各随机摸出1个球.在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖：若只有1个红 球，则获二等奖；若没有红球，则未获奖 (1)求顾客抽奖1次能获奖的概率； (2)若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X,求X 的分布列和均值 解(1)记事件A={从甲箱中摸出的1个球是红球}，A2={从乙箱中摸出的1个球是 红球}，B1={顾客抽奖1次获一等奖}，B2={顾客抽奖1次获二等奖}，C={顾客抽奖 1次能获奖}. 由题意，A1与A2相互独立，4A1A2与A142互斥，B1与B2互斥，且B1=A42,B2=A1A2十 A142,C=B1+B2. 因为P4)广品=P4)品= 所以PB)=P4A2)=PA)P42)-×E= P(B2)=P(AiA2+AA2)=P(AiA)+P(AA2)=P(A1)P(A2)+P(A)P(A2)=P(A1)(1- P4+(I-P4)P42)-×(1-)+(1-)×= 故所求概率为PC)=PB1+B2)=PB)+PB)+=品 (2)顾客抽奖3次可视为3次独立重复试验，由(1)知，顾客抽奖1次获一等奖的概 率为由题意得获一等奖的次数X可以为0,1,2,3， 所以KB(3,》 于是P=0=c目°（目= PX=I)=Cg(（ = 125 rx-2-c目'目 2 125 Px=3)=c(目)（目° = 125 故X的分布列为 3 64 48 12 1 125 125 125 125

(3)依题意,L(x)=100(-0.5ln x+3.0)x=-50xln x+300x,则 L'(x)=-50ln x+250, 由 L'(x)>0,得 ln x5,x>e 5 , 故 L(x)在区间(0,e5 )内单调递增,在区间(e5 ,+∞)内单调递减. 当 x=e 5≈150 时,L(x)取最大值, 因此当收费标准约为 150 元/日时,100 天销售额 L 最大. 21.(12 分)某商场举行有奖促销活动,顾客购买一定金额的商品后即可抽奖,每次 抽奖都是从装有 4 个红球、6 个白球的甲箱和装有 5 个红球、5 个白球的乙箱 中,各随机摸出 1 个球.在摸出的 2 个球中,若都是红球,则获一等奖;若只有 1 个红 球,则获二等奖;若没有红球,则未获奖. (1)求顾客抽奖 1 次能获奖的概率; (2)若某顾客有 3 次抽奖机会,记该顾客在 3 次抽奖中获一等奖的次数为 X,求 X 的分布列和均值. 解:(1)记事件 A1={从甲箱中摸出的 1 个球是红球},A2={从乙箱中摸出的 1 个球是 红球},B1={顾客抽奖 1 次获一等奖},B2={顾客抽奖 1 次获二等奖},C={顾客抽奖 1 次能获奖}. 由题意,A1 与 A2 相互独立,A1𝐴2与𝐴1A2互斥,B1与 B2互斥,且 B1=A1A2,B2=A1𝐴2 + 𝐴1A2,C=B1+B2. 因为 P(A1)= 4 10 = 2 5 ,P(A2)= 5 10 = 1 2 , 所以 P(B1)=P(A1A2)=P(A1)P(A2)= 2 5 × 1 2 = 1 5 , P(B2)=P(A1𝐴2 + 𝐴1A2)=P(A1𝐴2 )+P(𝐴1A2)=P(A1)P(𝐴2 )+P(𝐴1 )P(A2)=P(A1)·(1- P(A2))+(1-P(A1))P(A2)= 2 5 × (1- 1 2 ) + (1- 2 5 ) × 1 2 = 1 2 . 故所求概率为 P(C)=P(B1+B2)=P(B1)+P(B2)= 1 5 + 1 2 = 7 10 . (2)顾客抽奖 3 次可视为 3 次独立重复试验,由(1)知,顾客抽奖 1 次获一等奖的概 率为1 5 ,由题意得获一等奖的次数 X 可以为 0,1,2,3, 所以 X~B(3, 1 5 ). 于是 P(X=0)=C3 0 ( 1 5 ) 0 ( 4 5 ) 3 = 64 125 , P(X=1)=C3 1 ( 1 5 ) 1 ( 4 5 ) 2 = 48 125 , P(X=2)=C3 2 ( 1 5 ) 2 ( 4 5 ) 1 = 12 125 , P(X=3)=C3 3 ( 1 5 ) 3 ( 4 5 ) 0 = 1 125 . 故 X 的分布列为 X 0 1 2 3 P 64 125 48 125 12 125 1 125

X的均值为E00=3×=号 5 22.(12分)某生产企业研发了一款新产品，该新产品在某网店上市一段时间后得到 销售单价x(单位：元)和月销售量（单位：万件）之间的一组数据，如下表所示 销售单价x元 9 9.5 10 10.5 月销售量y万件 11 10 8 0 (1)根据统计数据，求出y关于x的经验回归方程，并预测月销售量不低于12万件 时销售单价的最大值； (2)生产企业与网店约定：若该新产品的月销售量不低于10万件，则生产企业奖励 网店1万元：若月销售量不低于8万件且不足10万件，则生产企业奖励网店5000 元；若月销售量低于8万件，则没有奖励现用样本估计总体，从上述5个销售单价 中任选2个销售单价，下个月分别在两个不同的网店进行销售，求这两个网店下个 月获得奖励的总额X(单位：万元)的分布列及其数学期望 参考公式对于一组数据x1,y),x22),…,xnm),其经验回归方程y=bx+a的斜率 xy1-n版了 含rn2,a=-b皖 A 和截距的最小二乘估计分别为b= 5 5 参考数据：∑x=392,∑x子=502.5， i=1 解：(1)：元=9+9.5+10+10.5+11)=10， 夕=11+10+8+6+5)=8， b=392-5x10x8-3.2, 502.5-5×102 a=8-(-3.2)×10=40 y关于x的经验回归方程为 y=-3.2x+40. 要使月销售量不低于12万件，则有-3.2x+40≥12， 解得x≤8.75 ∴.销售单价的最大值为8.75元 (2)由题意得销售单价共有5个，其中使得月销售量不低于10万件有2个，记为 a1,2 月销售量不低于8万元且不足10万元的有1个，记为b, 月销售量低于8万元的有2个，记为c1,c2, 从中任取2件，用数组表示可能的结果，则样本空间 2={(a1,a2),(a1,b),(a1,c1)(a1,c2),(a2,b),(a2,c1),(a2,c2,(b,c1),(b,c2),(c1,c2)},n(2)=10. X的可能取值为2,1.5,1,0.5,0 PX=2)-0

X 的均值为 E(X)=3× 1 5 = 3 5 . 22.(12 分)某生产企业研发了一款新产品,该新产品在某网店上市一段时间后得到 销售单价 x(单位:元)和月销售量 y(单位:万件)之间的一组数据,如下表所示. 销售单价 x/元 9 9.5 10 10.5 11 月销售量 y/万件 11 10 8 6 5 (1)根据统计数据,求出 y 关于 x 的经验回归方程,并预测月销售量不低于 12 万件 时销售单价的最大值; (2)生产企业与网店约定:若该新产品的月销售量不低于 10 万件,则生产企业奖励 网店 1 万元;若月销售量不低于 8 万件且不足 10 万件,则生产企业奖励网店 5 000 元;若月销售量低于 8 万件,则没有奖励.现用样本估计总体,从上述 5 个销售单价 中任选 2 个销售单价,下个月分别在两个不同的网店进行销售,求这两个网店下个 月获得奖励的总额 X(单位:万元)的分布列及其数学期望. 参考公式:对于一组数据(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),其经验回归方程𝑦 ^ = b ^ x+𝑎 ^的斜率 和截距的最小二乘估计分别为𝑏 ^ = ∑ 𝑖=1 𝑛 𝑥𝑖𝑦𝑖 -𝑛𝑥 𝑦 ∑ 𝑖=1 𝑛 𝑥𝑖 -𝑛𝑥 2 , 𝑎 ^ = 𝑦 − 𝑏 ^ 𝑥. 参考数据: ∑ 𝑖=1 5 xiyi=392, ∑ 𝑖=1 5 𝑥𝑖 2=502.5. 解:(1)∵𝑥 = 1 5 (9+9.5+10+10.5+11)=10, 𝑦 = 1 5 (11+10+8+6+5)=8, ∴𝑏 ^ = 392-5×10×8 502.5-5×10 2=-3.2, 𝑎 ^ =8-(-3.2)×10=40, ∴y 关于 x 的经验回归方程为 𝑦 ^ =-3.2x+40. 要使月销售量不低于 12 万件,则有-3.2x+40≥12, 解得 x≤8.75, ∴销售单价的最大值为 8.75 元. (2)由题意得销售单价共有 5 个,其中使得月销售量不低于 10 万件有 2 个,记为 a1,a2, 月销售量不低于 8 万元且不足 10 万元的有 1 个,记为 b, 月销售量低于 8 万元的有 2 个,记为 c1,c2, 从中任取 2 件,用数组表示可能的结果,则样本空间 Ω={(a1,a2),(a1,b),(a1,c1)(a1,c2),(a2,b),(a2,c1),(a2,c2),(b,c1),(b,c2),(c1,c2)},n(Ω)=10. X 的可能取值为 2,1.5,1,0.5,0. P(X=2)= 1 10

PX=1.5)品02 PX=I)品 P心X=0.5-品 PX=0)六 所以X的分布列为 X 0 0.5 1 1.5 2 P 0.1 0.2 0.4 b.2 0.1 EX)=0×0.1+0.5×0.2+1×0.4+1.5×0.2+2×0.1=1

P (X= 1.5) = 2 10 = 0.2, P (X=1) = 4 10 , P (X= 0.5) = 2 10 , P (X=0) = 1 10. 所以 X 的分布列为 X 0 0.5 1 1.5 2 P 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1 E (X) = 0 × 0.1 + 0.5 × 0.2 + 1 × 0.4 + 1.5 × 0.2 + 2 × 0.1 = 1