第2课时 等差数列的性质 课后训练提升 基础巩固 1.下列说法中正确的是()」 A.若a,b,c成等差数列，则a2,b2,c2成等差数列 B.若a,b,c成等差数列，则log2a,log2b,log2c成等差数列 C.若a,b,c成等差数列，则a+2,b+2,c+2成等差数列 D.若a,b,c成等差数列，则2a,2b,2c成等差数列 答案C 解析：因为a,b,c成等差数列，则2b=a+c, 所以2b+4=a+c+4, 即2(b+2)=(a+2)+(c+2), 所以a+2,b+2,c+2成等差数列. 2.若{an}是等差数列，且a+a4+a7=45,a2+a5+a8=39,则a3+a6+a9等于() A.39 B.20 C.19.5 D.33 答案D 解析：由题意知，a1+a4+a7,a2+a5+a8,a3+a6+a9成等差数列，即 a3+a6+ag=2(a2+a5+a8)(a1+a4+a7)=33 3.(多选题)在等差数列{am}(公差d0)中，下列关系式不成立的是() A.a1+a8=a3+a5B.a2+a7=2a5 C.a1+a9=2a5D.a2-a=a8-9 答案：ABD 4.设公差为-2的等差数列{an}中，如果a1+a4+a7+…+a97=50,那么 a3+a6+a9+…+a99等于() A.-182 B.-78 C.-148 D.-82 答案D 解析：设等差数列{an}的公差为d,则 a3+a6+a9+…+a99=(a1+2d+(a4+2d+(a7+2d0+…+(a97+2d0=(a1+a4+…+a97)+2d× 33=50+2×(-2)×33=-82 5.已知数列{an}为等差数列，且a1+a7+a13=4元，则tan(a2+a12)的值为() A.V3 B.V3 C D.√3 3 答案D 解析：由等差数列的性质，得a1+a+a13=3n=4元即a=罗
第 2 课时 等差数列的性质 课后· 基础巩固 1.下列说法中正确的是( ). A.若 a,b,c 成等差数列,则 a 2 ,b 2 ,c 2 成等差数列 B.若 a,b,c 成等差数列,则 log2a,log2b,log2c 成等差数列 C.若 a,b,c 成等差数列,则 a+2,b+2,c+2 成等差数列 D.若 a,b,c 成等差数列,则 2 a ,2b ,2c 成等差数列 答案:C 解析:因为 a,b,c 成等差数列,则 2b=a+c, 所以 2b+4=a+c+4, 即 2(b+2)=(a+2)+(c+2), 所以 a+2,b+2,c+2 成等差数列. 2.若{an}是等差数列,且 a1+a4+a7=45,a2+a5+a8=39,则 a3+a6+a9等于( ). A.39 B.20 C.19.5 D.33 答案:D 解析:由题意知,a1+a4+a7,a2+a5+a8,a3+a6+a9成等差数列,即 a3+a6+a9=2(a2+a5+a8)-(a1+a4+a7)=33. 3.(多选题)在等差数列{an}(公差 d≠0)中,下列关系式不成立的是( ). A.a1+a8=a3+a5 B.a2+a7=2a5 C.a1+a9=2a5 D.a2-a1=a8-a9 答案:ABD 4.设公差为-2 的等差数列{an}中,如果 a1+a4+a7+…+a97=50,那么 a3+a6+a9+…+a99等于( ). A.-182 B.-78 C.-148 D.-82 答案:D 解析:设等差数列{an}的公差为 d,则 a3+a6+a9+…+a99=(a1+2d)+(a4+2d)+(a7+2d)+…+(a97+2d)=(a1+a4+…+a97)+2d× 33=50+2×(-2)×33=-82. 5.已知数列{an}为等差数列,且 a1+a7+a13=4π,则 tan(a2+a12)的值为( ). A.√3 B.±√3 C.- √3 3 D.-√3 答案:D 解析:由等差数列的性质,得 a1+a7+a13=3a7=4π,即 a7= 4π 3
tan(dz+an)-tan(2a7)-tan-tan-3 6.在等差数列{an}中，若a2+a4+a6+as+a10=80,则a7as的值为 答案：8 解析：根据题意，由a2+a4+a6+a8+a10=5a6=80,可得a6=16, a7-as-+(2a7-as)-i(d6+as-as)-ta6-8. 7.在等差数列{an}中，已知a1,a99是函数x)=x2-10x+16的两个零点，则 2050+a20+a80= 答案翌 解析：由题意，知a1,a99是方程x2-10x+16=0的两根，则a1+a9=10. 因为{an}是等差数列，所以a50=+a2=5, 故2as0+a20+as0-2as0-2×5-2 8.已知等差数列{am}为递减数列，且a2+a4=16,a1a5=28,则数列{an}的通项公式 为 答案：an=17-3n 解析：根据题意，知a2+a4=a1+a5=16, 则8+a5=16 '(a1a5=28, 且a1>a5,解得a1=14,a5=2 故公差d=-3,an=14-3(n-1)=17-3n, 9.在等差数列{an}中，若a1+a2+…+a5=30,a6+a7+…+a10=80,求a11+a12+…+a15, 解（方法一）由等差数列的性质，得 a1+a11=2a6,a2+a12=2a7,",a5+a15=2a10. 则(a+a2+…+a5)+(a11+a12+…+a15)=2(a6+a7+…+a10). 故a11+a12+…+a15=2(a6+a7+…+a10)H(a1+a2+…+a5)=2×80-30=130 (方法二)由于数列{an}是等差数列，则a1+a2+…+a5,a6+a7+…+a10,a11+a12+…+a15 也成等差数列，即30,80，a1+a12+…+a15成等差数列，可得 30+(a11+a12+…+a15)=2×80,故a11+a12+…+a15=130 10.某公司经销一种数码产品，第一年可获利200万元，从第二年起由于市场竞争 方面的原因，其利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律，如果公司不开发新 产品，也不调整经营策略，那么从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？ 解：设从第一年起，第n年的利润为am万元 则a1=200,am+1-an=-20(n∈N*)2 即每年的利润构成一个等差数列{am},公差为d, 从而anm=a1+(n-1)d=200+(n-1)×(-20)=220-20n 若am11, 即从第12年起，该公司经销此产品将亏损
则 tan(a2+a12)=tan(2a7)=tan8π 3 =tan2π 3 =-√3. 6.在等差数列{an}中,若 a2+a4+a6+a8+a10=80,则 a7- 1 2 a8 的值为 . 答案:8 解析:根据题意,由 a2+a4+a6+a8+a10=5a6=80,可得 a6=16, 故 a7- 1 2 a8= 1 2 (2a7-a8)= 1 2 (a6+a8-a8)= 1 2 a6=8. 7.在等差数列{an}中,已知 a1,a99是函数 f(x)=x2 -10x+16 的两个零点,则 1 2 a50+a20+a80= . 答案: 25 2 解析:由题意,知 a1,a99 是方程 x 2 -10x+16=0 的两根,则 a1+a99=10. 因为{an}是等差数列,所以 a50= 𝑎1+𝑎99 2 =5, 故 1 2 a50+a20+a80= 5 2 a50= 5 2 ×5= 25 2 . 8.已知等差数列{an}为递减数列,且 a2+a4=16,a1a5=28,则数列{an}的通项公式 为 . 答案:an=17-3n 解析:根据题意,知 a2+a4=a1+a5=16, 则{ 𝑎1 + 𝑎5 = 16, 𝑎1𝑎5 = 28, 且 a1>a5,解得 a1=14,a5=2, 故公差 d=-3,an=14-3(n-1)=17-3n. 9.在等差数列{an}中,若 a1+a2+…+a5=30,a6+a7+…+a10=80,求 a11+a12+…+a15. 解:(方法一)由等差数列的性质,得 a1+a11=2a6,a2+a12=2a7,…,a5+a15=2a10. 则(a1+a2+…+a5)+(a11+a12+…+a15)=2(a6+a7+…+a10). 故 a11+a12+…+a15=2(a6+a7+…+a10)-(a1+a2+…+a5)=2×80-30=130. (方法二)由于数列{an}是等差数列,则 a1+a2+…+a5,a6+a7+…+a10,a11+a12+…+a15 也成等差数列,即 30,80,a11+a12+…+a15成等差数列,可得 30+(a11+a12+…+a15)=2×80,故 a11+a12+…+a15=130. 10.某公司经销一种数码产品,第一年可获利 200 万元,从第二年起由于市场竞争 方面的原因,其利润每年比上一年减少 20 万元,按照这一规律,如果公司不开发新 产品,也不调整经营策略,那么从哪一年起,该公司经销这一产品将亏损? 解:设从第一年起,第 n 年的利润为 an 万元, 则 a1=200,an+1-an=-20(n∈N* ), 即每年的利润构成一个等差数列{an},公差为 d, 从而 an=a1+(n-1)d=200+(n-1)×(-20)=220-20n. 若 an11, 即从第 12 年起,该公司经销此产品将亏损
拓展提高 1.已知等差数列{an}满足a1+a2+a3+…+a01=0,则有() A.a1+a101>0B.a2+a101<0 C.a3+a99=0 D.a51=51 答案：C 解析：根据等差数列的性质，得a1+a101=2+a100=…=a50+a52=2a51,因为 a1+42+a3+…+a101=0,所以a51=0. 即a3+a99=2a51=0,故选C 2.若方程(r2-2x+mx2-2x+n)=0的四个根组成一个首项为2的等差数列，则m-n川等 于( A.1 B月 c 答案：C 解析：设方程的四个根a1,a2,a3,a4依次成等差数列，则a1+a4=a2+a3=2, 设此等差数列的公差为d,则2a1+3d=2,由a1=得d= 即a2-+=a+1-4-+3= 24 4 4 4241 故m-n小=la1au0asl2x7-2×-是 3.在数列{an}中，a1=3,且对任意大于1的正整数n,点（√an,√an1)在直线xy-V3=0 上，则数列{an}的通项公式为an= 答案3m2 解析：由题意知√an-√anc1=V3n≥2)， 即{√an}是首项为V3,公差为√3的等差数列 得√an=V3+(n-l)W3=mW3,故a=32 4.已知数列{a满足a1=l,若点(，元)在直线xy+1=0上，则an= 答案n2 解析：由题意可得=-1+1=0，即%士-=1，即数列}是以1为公差的等差数 n+1 n+1 列，且首项为1，故该数列的通项公式为红=n,得an=n. 5.若等差数列{an}满足an+1+an=4n-3,则数列{an}的通项公式 为 答案am-2n月 解析：由题意得am+1+an=4n-3,① an+2+am+1=4n+1,② 由②-①，得an+2-an=4 由于{an}是等差数列，设公差为d,即d=2
拓展提高 1.已知等差数列{an}满足 a1+a2+a3+…+a101=0,则有( ). A.a1+a101>0 B.a2+a101<0 C.a3+a99=0 D.a51=51 答案:C 解析:根据等差数列的性质,得 a1+a101=a2+a100=…=a50+a52=2a51,因为 a1+a2+a3+…+a101=0,所以 a51=0. 即 a3+a99=2a51=0,故选 C. 2.若方程(x 2 -2x+m)(x 2 -2x+n)=0 的四个根组成一个首项为1 4 的等差数列,则|m-n|等 于( ). A.1 B. 3 4 C. 1 2 D. 3 8 答案:C 解析:设方程的四个根 a1,a2,a3,a4 依次成等差数列,则 a1+a4=a2+a3=2, 设此等差数列的公差为 d,则 2a1+3d=2,由 a1= 1 4 ,得 d=1 2 , 即 a2= 1 4 + 1 2 = 3 4 ,a3= 1 4 +1= 5 4 ,a4= 1 4 + 3 2 = 7 4 , 故|m-n|=|a1a4-a2a3|= 1 4 × 7 4 − 3 4 × 5 4 = 1 2 . 3.在数列{an}中,a1=3,且对任意大于 1 的正整数 n,点(√𝑎𝑛 , √𝑎𝑛-1 )在直线 x-y-√3=0 上,则数列{an}的通项公式为 an= . 答案:3n 2 解析:由题意知√𝑎𝑛 − √𝑎𝑛-1 = √3(n≥2), 即{√𝑎𝑛 }是首项为√3,公差为√3的等差数列. 得√𝑎𝑛 = √3+(n-1)√3=n√3,故 an=3n 2 . 4.已知数列{an}满足 a1=1,若点( 𝑎𝑛 𝑛 , 𝑎𝑛+1 𝑛+1 )在直线 x-y+1=0 上,则 an= . 答案:n 2 解析:由题意可得𝑎𝑛 𝑛 − 𝑎𝑛+1 𝑛+1 +1=0,即 𝑎𝑛+1 𝑛+1 − 𝑎𝑛 𝑛 =1,即数列{ 𝑎𝑛 𝑛 }是以 1 为公差的等差数 列,且首项为 1,故该数列的通项公式为𝑎𝑛 𝑛 =n,得 an=n2 . 5.若等差数列{an}满足 an+1+an=4n-3,则数列{an}的通项公式 为 . 答案:an=2n- 5 2 解析:由题意得 an+1+an=4n-3,① an+2+an+1=4n+1,② 由②-①,得 an+2-an=4. 由于{an}是等差数列,设公差为 d,即 d=2
因为a1+am=l,所以a1+a1+d-l,则a=之 故aw-2nm号 6.已知{an}是等差数列，a1=2,a2=3,若在每相邻两项之间插入3个数，使它和原数列 的数构成一个新的等差数列，求 (1)原数列的第12项是新数列的第几项？ (2)新数列的第29项是原数列的第几项？ 解：因为在等差数列{an}中，a1=2,a2=3,公差d=a2-a1=3-2=1, 所以an=a+(n-1)d=2+(n-1)×1=n+1. 设新等差数列为{bm},公差为d根据题意，知b1=2,bs=3,则d-兰=号=京 5-1 即bm=2+0m-l)x好=+子 (1)a12=12+1=13,令2+2-13，得n=45, 4 故原数列的第12项是新数列的第45项. (2)b29=2+7=9,令n+1=9,得n=8, 4 4 故新数列的第29项是原数列的第8项 挑战创新 己知数列{am}的所有项均为正数，且a=l,an+1√an+1=am+√an (1)数列{√an}是否为等差数列？请说明理由： (2)求an. 解(1)数列{√an}是等差数列 理由如下：a+1√an+1=an+√an ∴.an+l-an=√an+i+√an,∴(Wan+i+√an)(Wan+i-√an)=√an+i+√an :数列{an}的所有项均为正数，√an+i+√an0,∴√an+i-√an=l, ∴数列{an}是等差数列，公差为1 (2)由(1)知{√a元}是等差数列，且公差d=1, 则Van=Va+(-l)×d=1+(n-l)×1=n, 即an=n2
因为 a1+a2=1,所以 a1+a1+d=1,则 a1=- 1 2 . 故 an=2n- 5 2 . 6.已知{an}是等差数列,a1=2,a2=3,若在每相邻两项之间插入 3 个数,使它和原数列 的数构成一个新的等差数列,求: (1)原数列的第 12 项是新数列的第几项? (2)新数列的第 29 项是原数列的第几项? 解:因为在等差数列{an}中,a1=2,a2=3,公差 d=a2-a1=3-2=1, 所以 an=a1+(n-1)d=2+(n-1)×1=n+1. 设新等差数列为{bn},公差为 d',根据题意,知 b1=2,b5=3,则 d'=𝑏5 -𝑏1 5-1 = 3-2 4 = 1 4 , 即 bn=2+(n-1)× 1 4 = 𝑛 4 + 7 4 . (1)a12=12+1=13,令 𝑛 4 + 7 4 =13,得 n=45, 故原数列的第 12 项是新数列的第 45 项. (2)b29= 29 4 + 7 4 =9,令 n+1=9,得 n=8, 故新数列的第 29 项是原数列的第 8 项. 挑战创新 已知数列{an}的所有项均为正数,且 a1=1,an+1-√𝑎𝑛+1=an+√𝑎𝑛 . (1)数列{√𝑎𝑛 }是否为等差数列?请说明理由; (2)求 an. 解(1)数列{√𝑎𝑛 }是等差数列. 理由如下:∵an+1-√𝑎𝑛+1=an+√𝑎𝑛 , ∴an+1-an=√𝑎𝑛+1 + √𝑎𝑛 ,∴(√𝑎𝑛+1 + √𝑎𝑛 )·(√𝑎𝑛+1 − √𝑎𝑛 )=√𝑎𝑛+1 + √𝑎𝑛 . ∵数列{an}的所有项均为正数,∴√𝑎𝑛+1 + √𝑎𝑛≠0,∴√𝑎𝑛+1 − √𝑎𝑛=1, ∴数列{√𝑎𝑛 }是等差数列,公差为 1. (2)由(1)知{√𝑎𝑛 }是等差数列,且公差 d=1, 则√𝑎𝑛 = √𝑎1+(n-1)×d=1+(n-1)×1=n, 即 an=n2