第四章数列 4.1数列的概念 第1课时 数列的基本概念与通项公式 课后训练提升 基础巩固 1.下列说法正确的是( A.数列1,3,5,7与数集{1,3,5,7}是一样的 B.数列1,2,3与数列32,1是相同的 C数列1+}是递增数列 D数列1+}是递减数列 答案D 解析：数列是有序的，而数集是无序的，故选项A,B不正确：选项C中的数列是递减 数列：选项D中的数列是递减数列 2.在数列1,1,2,3,5,8x,21,34,55中x等于() A.11 B.12 C.13 D.14 答案：C 解析：观察可知，该数列从第3项开始每一项都等于它前面相邻两项的和，故 x=5+8=13 3.已知数列{an}的通项公式为an=m2-n-50,则-8是该数列的() A.第5项 B.第6项 C第7项 D.非任何一项 答案：C 解析：由n2-n-50=-8,得n=7或n=-6(舍去)】 4数列呢号，号…的第10项是( ) 当 B.18 19 c D喘 答案C 解析：由数列的前4项可知，数列的一个通项公式为a当n=10 时a0-204=器 5.数列0.3,0.33,0.333,0.3333，…的一个通项公式am等于() A3(10-1) B10-1)
第四章 数列 4.1 数列的概念 第 1 课时 数列的基本概念与通项公式 课后· 基础巩固 1.下列说法正确的是( ). A.数列 1,3,5,7 与数集{1,3,5,7}是一样的 B.数列 1,2,3 与数列 3,2,1 是相同的 C.数列{1 + 1 𝑛 }是递增数列 D.数列{1 + 1 𝑛 2 }是递减数列 答案:D 解析:数列是有序的,而数集是无序的,故选项 A,B 不正确;选项 C 中的数列是递减 数列;选项 D 中的数列是递减数列. 2.在数列 1,1,2,3,5,8,x,21,34,55 中,x 等于( ). A.11 B.12 C.13 D.14 答案:C 解析:观察可知,该数列从第 3 项开始每一项都等于它前面相邻两项的和,故 x=5+8=13. 3.已知数列{an}的通项公式为 an=n2 -n-50,则-8 是该数列的( ). A.第 5 项 B.第 6 项 C.第 7 项 D.非任何一项 答案:C 解析:由 n 2 -n-50=-8,得 n=7 或 n=-6(舍去). 4.数列2 3 , 4 5 , 6 7 , 8 9 ,…的第 10 项是( ). A. 16 17 B. 18 19 C. 20 21 D. 22 23 答案:C 解析:由数列的前 4 项可知,数列的一个通项公式为 an= 2𝑛 2𝑛+1 ,当 n=10 时,a10= 2×10 2×10+1 = 20 21 . 5.数列 0.3,0.33,0.333,0.333 3,…的一个通项公式 an 等于( ). A. 1 9 (10n -1) B. 1 3 (10n -1)
c1) D101 答案：C 解析：代入n=1检验，排除选项A,B,D,故选C 6.数列-1,3，-7,15，…的一个通项公式可以是( A.am=(-1y(2m-1) B.am=(-1y(2n-1) C.an=(-1y7+1.(2m-1) D.an=(-1yn+1.(2n-1) 答案：A 解析：数列各项正、负交替，故可用(-1y”来调节，又1=211,3=221,7=231,15=24 1,…,故通项公式为an=(-1y(2n-1)》 7.己知数列{am}的通项公式是am=-1那么这个数列是()】 n+1 A.递增数列 B.递减数列 C.常数列 D.以上说法均不正确 答案：A 解析aw=l系当n≥2时awa=1品-（1)=异品=20故数 n+1 列{an}是递增数列 8.观察数列的特点，用一个适当的数填空：1，√3，√5，√7 ,√11，… 答案：3 解析：因为数列的前几项中根号下的数都是由小到大的奇数，所以需要填空的数为 v9=3. 9.323是数列{n(n+2)}的第 项 答案：17 解析：由an=n2+2n=323,解得n=17或n=-19(舍去)】 故323是数列{n(n+2)}的第17项 10.若数列{an}的通项公式是an=3-2”,则a2m= 03 答案3-4” 解析：根据通项公式可以求出这个数列的任意一项 因为=3-20，所以=3-22=34号=器=月 11.在数列{an}中，an=n(n-8)20,请回答下列问题： (1)这个数列共有几项为负数？ (2)这个数列从第几项开始递增？ (3)这个数列中有没有最小值？若有，求出最小值；若没有，请说明理由. 解(1)因为an=n(n-8)-20=(n+2)(n-10),所以当0<n<10时，an<0
C. 1 3 (1- 1 10 𝑛 ) D. 3 10 (10n -1) 答案:C 解析:代入 n=1 检验,排除选项 A,B,D,故选 C. 6.数列-1,3,-7,15,…的一个通项公式可以是( ). A.an=(-1)n·(2n -1) B.an=(-1)n·(2n-1) C.an=(-1)n+1·(2n -1) D.an=(-1)n+1·(2n-1) 答案:A 解析:数列各项正、负交替,故可用(-1)n 来调节,又 1=2 1 -1,3=2 2 -1,7=2 3 -1,15=2 4 - 1,…,故通项公式为 an=(-1)n·(2n -1). 7.已知数列{an}的通项公式是 an= 𝑛-1 𝑛+1 ,那么这个数列是( ). A.递增数列 B.递减数列 C.常数列 D.以上说法均不正确 答案:A 解析:an= 𝑛-1 𝑛+1 =1- 2 𝑛+1 ,当 n≥2 时,an-an-1=1- 2 𝑛+1 − (1- 2 𝑛 ) = 2 𝑛 − 2 𝑛+1 = 2 𝑛(𝑛+1) >0,故数 列{an}是递增数列. 8.观察数列的特点,用一个适当的数填空:1,√3, √5,√7, ,√11,…. 答案:3 解析:因为数列的前几项中根号下的数都是由小到大的奇数,所以需要填空的数为 √9=3. 9.323 是数列{n(n+2)}的第 项. 答案:17 解析:由 an=n2+2n=323,解得 n=17 或 n=-19(舍去). 故 323 是数列{n(n+2)}的第 17 项. 10.若数列{an}的通项公式是 an=3-2 n ,则 a2n= , 𝑎2 𝑎3 = . 答案:3-4 n 1 5 解析:根据通项公式可以求出这个数列的任意一项. 因为 an=3-2 n ,所以 a2n=3-2 2n=3-4 n , 𝑎2 𝑎3 = 3-2 2 3-2 3 = 1 5 . 11.在数列{an}中,an=n(n-8)-20,请回答下列问题: (1)这个数列共有几项为负数? (2)这个数列从第几项开始递增? (3)这个数列中有没有最小值?若有,求出最小值;若没有,请说明理由. 解:(1)因为 an=n(n-8)-20=(n+2)(n-10),所以当 0<n<10 时,an<0
所以数列{am}共有9项为负数。 (2)因为am+1-an=2n-7,所以当am+1-am>0时n故数列{am}从第4项开始递增。 (3)an=nn-8)-20=(n-4)P-36,根据二次函数的性质知， 当n=4时，am取得最小值-36，即数列中有最小值，最小值为-36. 拓展提高 1.第七届国际数学教育大会（简称ICME-7)的会徽图案如图①所示，会徽的主体图 案是由一连串直角三角形演化而成的，如图②，其中OA1=A1A2=A2A3=…=AA8=1, 如果把图②中的直角三角形依此规律继续作下去，记OA1,OA2,…,OAm,…的长度构 成数列{an},那么此数列的通项公式为( 图① 图② A.an=n B.an=vn+1 C.an=n D.an=n2 答案：C 解析：OA1=1,OA2=VZ,OA3=V3,…,OAm=V元，… ∴.a1=1,am=VZ,a3=V3,…,am=V元 设数列a}的通项公式为a本++本。+坛那么ama等于( A B.1 2n+2 2n+2 2n+12n+2 答案D 解析：an=十王十+…+ n+1n+2n+3 2n 3.设数列{an}的通项公式为an=-2n2+29n+3,则数列{am}的最大项是()】 A.103 B.865 8 C85 .8 D.108 答案D 解析：a=-2()°+2×2g+3, 16 .当n=7时，4n取得最大值，最大值为a=-2×72+29×7+3=108.故选D
所以数列{an}共有 9 项为负数. (2)因为 an+1-an=2n-7,所以当 an+1-an>0 时,n>7 2 ,故数列{an}从第 4 项开始递增. (3)an=n(n-8)-20=(n-4)2 -36,根据二次函数的性质知, 当 n=4 时,an 取得最小值-36,即数列中有最小值,最小值为-36. 拓展提高 1.第七届国际数学教育大会(简称 ICME-7)的会徽图案如图①所示,会徽的主体图 案是由一连串直角三角形演化而成的,如图②,其中 OA1=A1A2=A2A3=…=A7A8=1, 如果把图②中的直角三角形依此规律继续作下去,记 OA1,OA2,…,OAn,…的长度构 成数列{an},那么此数列的通项公式为( ). A.an=n B.an=√𝑛 + 1 C.an=√𝑛 D.an=n2 答案:C 解析:∵OA1=1,OA2=√2,OA3=√3,…,OAn=√𝑛,…, ∴a1=1,a2=√2,a3=√3,…,an=√𝑛. 2.设数列{an}的通项公式为 an= 1 𝑛+1 + 1 𝑛+2 + 1 𝑛+3 +…+ 1 2𝑛 ,那么 an+1-an 等于( ). A. 1 2𝑛+1 B. 1 2𝑛+2 C. 1 2𝑛+1 + 1 2𝑛+2 D. 1 2𝑛+1 − 1 2𝑛+2 答案:D 解析:∵an= 1 𝑛+1 + 1 𝑛+2 + 1 𝑛+3 +…+ 1 2𝑛 , ∴an+1= 1 𝑛+2 + 1 𝑛+3 +…+ 1 2𝑛 + 1 2𝑛+1 + 1 2𝑛+2 , ∴an+1-an= 1 2𝑛+1 + 1 2𝑛+2 − 1 𝑛+1 = 1 2𝑛 +1 − 1 2𝑛 +2 . 3.设数列{an}的通项公式为 an=-2n 2+29n+3,则数列{an}的最大项是( ). A.103 B. 865 8 C. 825 8 D.108 答案:D 解析:∵an=-2(𝑛- 29 4 ) 2 +2× 29 2 16 +3, ∴当 n=7 时,an 取得最大值,最大值为 a7=-2×7 2+29×7+3=108.故选 D
4已知数列言…，那么094,0.96,0.98.09中是该数列中某一项值的数有 () A.1个 B.2个 C.3个D.4个 答案：C 解析载列残…的通项公式为a0.94-器=品0,96 0 若098品=铝，099品即尝号品都在数列{}中，故有3个 1003 25'50'100 2n,n是奇数， 5.已知数列{an}的通项公式是an= +2π，n是偶数 1 则a3+己= 答案品 8 2= 解析：由题意，知3=23=4=，1 即号=品故a+片=器 a 6.已知数列{an}中，an=2-km,且数列{an}为递增数列，求实数k的取值范围. 解：因为am+1=(n+1)2-kn+1),an=n2-km 所以am+1-an=(n+1)2-kn+1)n2+k=2n+1-k 由于数列{an}为递增数列，故应有an+1-am>0, 即2n+1-k>0恒成立，分离变量得k0 (3n+1)(3n+4) ∴数列{an}是递增数列 （2解令aw<导 3n+1 到6贸古268r2 s? 即<n<号即当且仅当1=2时，上式成立， n< 6 故在区间（怎，）内有数列{am}中的项，且只有一项，为am手
4.已知数列1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 5 ,…,那么 0.94,0.96,0.98,0.99 中是该数列中某一项值的数有 ( ). A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 答案:C 解析:数列1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 5 ,…的通项公式为 an= 𝑛 𝑛+1 ,0.94= 94 100 = 47 50 ,0.96= 96 100 = 24 25 ,0.98= 98 100 = 49 50 ,0.99= 99 100 ,即 24 25 , 49 50 , 99 100都在数列{ 𝑛 𝑛+1 }中,故有 3 个. 5.已知数列{an}的通项公式是 an={ 2 -𝑛 ,𝑛是奇数, 1 1+2 -𝑛 ,𝑛是偶数, 则 a3+ 1 𝑎4 = . 答案: 19 16 解析:由题意,知 a3=2 -3= 1 8 ,a4= 1 1+2 -4 = 16 17 , 即 1 𝑎4 = 17 16 ,故 a3+ 1 𝑎4 = 19 16 . 6.已知数列{an}中,an=n2 -kn,且数列{an}为递增数列,求实数 k 的取值范围. 解:因为 an+1=(n+1)2 -k(n+1),an=n2 -kn, 所以 an+1-an=(n+1)2 -k(n+1)-n 2+kn=2n+1-k. 由于数列{an}为递增数列,故应有 an+1-an>0, 即 2n+1-k>0 恒成立,分离变量得 k0, ∴数列{an}是递增数列. (2)解:令 1 3 7 6 , 𝑛 < 8 3 , 即 7 6 <n<8 3 ,即当且仅当 n=2 时,上式成立, 故在区间( 1 3 , 2 3 )内有数列{an}中的项,且只有一项,为 a2= 4 7