第七章过关检测(A卷) (时间：120分钟满分：150分) 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分 1.已知某一随机变量X的分布列如下表所示，且EX)=6.3,则a的值为( 4 9 P 0.5 A.5 B.6 C.7 D.8 答案：C 解析：由题意和分布列的性质得0.5+0.1+b=1,且E()=4×0.5+0.1a+9b=6.3,解得 b=0.4,a=7 2.设由01”组成的三位数组中，若用A表示“第二位数字为‘0’的事件”，用B表 示“第一位数字为‘0’的事件”，则P(AB)等于() A号 B 4 D 答案：C 解析：PB)2g=PMB)-器=PAB-e= P(B) 3.某工程施工在很大程度上受当地年降水量的影响，施工期间的年降水量X单 位：mm)对工期延误天数Y的影响及相应的概率P如下表所示 年降水量X X<100 100≤X<200 200≤X<300 X≥300 工期延误 15 30 天数Y 概率P 0.4 0.2 0.3 在年降水量X至少是100mm的条件下，工期延误小于30天的概率为( A.0.7 B.0.5 C.0.3 D.0.2 答案B 解析：设事件A为“年降水量X至少是100mm”,事件B为“工期延误小于30天”， 则P8A0-=20-05故选B P(A) 4.设随机变量X服从正态分布N(3,4),则PX<1-3a)=PXa2+7)成立的一个必要 不充分条件是( A.a=1或2 B.a=±1或2 C.a=2 D.q=3-V5 2 答案B 解析：X~N(3,4),PX<1-3a)=PXa2+7)
第七章过关检测(A 卷) (时间:120 分钟 满分:150 分) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 1.已知某一随机变量 X 的分布列如下表所示,且 E(X)=6.3,则 a 的值为( ) X 4 a 9 P 0.5 0.1 b A.5 B.6 C.7 D.8 答案:C 解析:由题意和分布列的性质得 0.5+0.1+b=1,且 E(X)=4×0.5+0.1a+9b=6.3,解得 b=0.4,a=7. 2.设由“0”“1”组成的三位数组中,若用 A 表示“第二位数字为‘0’的事件”,用 B 表 示“第一位数字为‘0’的事件”,则 P(A|B)等于( ) A. 2 5 B. 3 4 C. 1 2 D. 1 8 答案:C 解析:∵P(B)= 1×2×2 2×2×2 = 1 2 ,P(AB)= 1×1×2 2×2×2 = 1 4 ,∴P(A|B)= 𝑃(𝐴𝐵) 𝑃(𝐵) = 1 2 . 3.某工程施工在很大程度上受当地年降水量的影响,施工期间的年降水量 X(单 位:mm)对工期延误天数 Y 的影响及相应的概率 P 如下表所示. 年降水量 X Xa2+7)成立的一个必要 不充分条件是( ) A.a=1 或 2 B.a=±1 或 2 C.a=2 D.a= 3-√5 2 答案:B 解析:∵X~N(3,4),P(Xa2+7)
∴.(1-3a)+(a2+7)=2×3,解得a=1或2 ∴.所求的一个必要不充分条件是a=士1或2. 故选B 5.投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中 的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为( A.0.648 B.0.432 C.0.36 D.0.312 答案：A 解析：根据独立重复试验公式得，该同学通过测试的概率为 C0.62×0.4+C30.63=0.648 6.命题r:随机变量~N(3,c2),若P(≤2)=0.4，则P(≤4)=0.6.命题q:随机变量 -B(n,p),且E()=200,D)=100,则p=0.5,故( Ar为真命题，g为假命题 B.r为假命题，g为真命题 C.r为假命题，g为假命题 D.r为真命题，g为真命题 答案D 解析：因为随机变量N(3,σ2)，所以正态曲线关于直线x=3对称，又P(≤2)=0.4， 则P(4)=P(≤2)=0.4，所以P(≤4)=0.6，所以r为真命题；随机变量-B(n,p),且 E)=np=200,D0)=np1-p)=100,所以200(1-p)=100,解得p=0.5,所以g为真命题 故选D 7.某种酸奶进货价是每瓶2.5元，销售价是每瓶5元：当天卖不出去的酸奶以每瓶 1.6元价格当天全部处理掉根据以往销售情况预测，这种酸奶的需求量X服从分 布列如表所示 200 300 400 500 0.20 0.35 0.30 0.15 若进这种酸奶500瓶，则利润的均值为( A.706 B.690 C.754 D.720 答案：A 解析：因为E(0=200×0.20+300×0.35+400×0.30+500×0.15=340,所以利润的均值 为340×(5-2.5)-(500-340)×(2.5-1.6)=706，故选A. 8.(多选题)甲、乙两类西瓜的质量（单位kg)分别服从正态分布N(1,o2),N(2,o2) 其正态密度曲线如图所示，则下列说法中正确的是()
∴(1-3a)+(a 2+7)=2×3,解得 a=1 或 2. ∴所求的一个必要不充分条件是 a=±1 或 2. 故选 B. 5.投篮测试中,每人投 3 次,至少投中 2 次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中 的概率为 0.6,且各次投篮是否投中相互独立,则该同学通过测试的概率为( ) A.0.648 B.0.432 C.0.36 D.0.312 答案:A 解析:根据独立重复试验公式得,该同学通过测试的概率为 C3 20.6 2×0.4+C3 30.6 3=0.648. 6.命题 r:随机变量 ξ~N(3,σ 2 ),若 P(ξ≤2)=0.4,则 P(ξ≤4)=0.6.命题 q:随机变量 η~B(n,p),且 E(η)=200,D(η)=100,则 p=0.5,故( ) A.r 为真命题,q 为假命题 B.r 为假命题,q 为真命题 C.r 为假命题,q 为假命题 D.r 为真命题,q 为真命题 答案:D 解析:因为随机变量 ξ~N(3,σ 2 ),所以正态曲线关于直线 x=3 对称,又 P(ξ≤2)=0.4, 则 P(ξ>4)=P(ξ≤2)=0.4,所以 P(ξ≤4)=0.6,所以 r 为真命题;随机变量 η~B(n,p),且 E(η)=np=200,D(η)=np(1-p)=100,所以 200(1-p)=100,解得 p=0.5,所以 q 为真命题. 故选 D. 7.某种酸奶进货价是每瓶 2.5 元,销售价是每瓶 5 元;当天卖不出去的酸奶以每瓶 1.6 元价格当天全部处理掉.根据以往销售情况预测,这种酸奶的需求量 X 服从分 布列如表所示. X 200 300 400 500 P 0.20 0.35 0.30 0.15 若进这种酸奶 500 瓶,则利润的均值为( ) A.706 B.690 C.754 D.720 答案:A 解析:因为 E(X)=200×0.20+300×0.35+400×0.30+500×0.15=340,所以利润的均值 为 340×(5-2.5)-(500-340)×(2.5-1.6)=706,故选 A. 8.(多选题)甲、乙两类西瓜的质量(单位:kg)分别服从正态分布 N(μ1,𝜎1 2 ),N(μ2,𝜎2 2 ), 其正态密度曲线如图所示,则下列说法中正确的是( )
甲 ↑y 3.99 0.61.2 A.甲类西瓜的平均质量1=0.6 B.甲类西瓜的平均质量比乙类西瓜的平均质量小 C.甲类西瓜的质量比乙类西瓜的质量更集中于平均值附近 D.乙类西瓜的质量比甲类西瓜的质量更集中于平均值附近 答案：ABC 解析：由图象可知甲类西瓜的平均质量1=0.6，乙类西瓜的平均质量2=1.2,10,b>0,(ax+b)的展开式中x3项的系数为20，则ab=1 C若随机变量X服从二项分布XB(4,),则E)=1 D.有8件产品，其中3件是次品，从中任取3件，若X表示取得次品的件数，则 PX≤I)- 答案：ABC 解析：对于A,已知随机变量X服从正态分布N(1,σ2)，PX≤4)=0.79，则正态曲线关 于直线x=1对称，可得P(X>4)=1-0.79=0.21,P(X≤-2)=P(X>4)=0.21,故A正确： 对于B,由二项展开式可得ab=1,故B正确： 对于C,由于随机变量X服从二项分布XB(4,) 则E0=4×好=1，故C正确； 对于D,根据题意得PK≤I)=Px-0+PX=I)-+智=品+品=号故D错误 C3
A.甲类西瓜的平均质量 μ1=0.6 B.甲类西瓜的平均质量比乙类西瓜的平均质量小 C.甲类西瓜的质量比乙类西瓜的质量更集中于平均值附近 D.乙类西瓜的质量比甲类西瓜的质量更集中于平均值附近 答案:ABC 解析:由图象可知甲类西瓜的平均质量 μ1=0.6,乙类西瓜的平均质量 μ2=1.2,μ10,b>0,(ax+b) 6 的展开式中 x 3 项的系数为 20,则 ab=1 C.若随机变量 X 服从二项分布 X~B(4, 1 4 ),则 E(X)=1 D.有 8 件产品,其中 3 件是次品,从中任取 3 件,若 X 表示取得次品的件数,则 P(X≤1)= 3 5 答案:ABC 解析:对于 A,已知随机变量 X 服从正态分布 N(1,σ 2 ),P(X≤4)=0.79,则正态曲线关 于直线 x=1 对称,可得 P(X>4)=1-0.79=0.21,P(X≤-2)=P(X>4)=0.21,故 A 正确; 对于 B,由二项展开式可得 ab=1,故 B 正确; 对于 C,由于随机变量 X 服从二项分布:X~B(4, 1 4 ). 则 E(X)=4× 1 4 =1,故 C 正确; 对于 D,根据题意得 P(X≤1)=P(X=0)+P(X=1)= C5 3 C8 3 + C5 2C3 1 C8 3 = 10 56 + 30 56 = 5 7 ,故 D 错误
11.如图，已知面积为1的等边三角形ABC三边的中点分别为D,E,F,从 A,B,C,D,E,F六个点中任取三个不同的点，所构成的三角形的面积为X(三点共线 时，规定X=0)则EX)=() A号 B号 c另 答案B 解析由题意知X可取0,1， PKX-0)-=是=品 P(X=)=是= P(X=)=总=品 PK=I)总=六 则0=×+×品+=号 12.某班50名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组 区间是[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100].从样本成绩不低于80分的 学生中随机选取2人，这2人中成绩在90分以上（含90分）的人数为5，则飞的均 值为() ↑频率/组距 0.054 0.01 0.006 405060708090100成绩/分 号 c D 答案B 解析：由频率分布直方图知，3×0.006×10+0.01×10+0.054×10+10x=1,解得x=0.018, ∴.成绩不低于80分的学生人数为(0.018+0.006)×10×50=12，成绩在90分以上（含 90分)的学生人数为0.006×10×50=3
11.如图,已知面积为 1 的等边三角形 ABC 三边的中点分别为 D,E,F,从 A,B,C,D,E,F 六个点中任取三个不同的点,所构成的三角形的面积为 X(三点共线 时,规定 X=0).则 E(X)=( ) A. 11 40 B. 13 40 C. 7 20 D. 9 20 答案:B 解析:由题意知 X 可取 0,1 4 , 1 2 ,1, P(X=0)= 3 C6 3 = 3 20 , P(𝑋 = 1 4 ) = 10 C6 3 = 1 2 , P(𝑋 = 1 2 ) = 6 C6 3 = 3 10 , P(X=1)= 1 C6 3 = 1 20 . 则 E(X)= 1 4 × 1 2 + 1 2 × 3 10 + 1 20 = 13 40 . 12.某班 50 名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示,其中成绩分组 区间是[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100].从样本成绩不低于 80 分的 学生中随机选取 2 人,这 2 人中成绩在 90 分以上(含 90 分)的人数为 ξ,则 ξ 的均 值为( ) A. 1 3 B. 1 2 C. 2 3 D. 3 4 答案:B 解析:由频率分布直方图知,3×0.006×10+0.01×10+0.054×10+10x=1,解得 x=0.018, ∴成绩不低于 80 分的学生人数为(0.018+0.006)×10×50=12,成绩在 90 分以上(含 90 分)的学生人数为 0.006×10×50=3
∴.飞的可能取值为0,1,2. 由题知P(-0)是=品 P-1)-c PG-2)毫=会 (0=-0x+1品+2×2= 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分 13.盒中有10支螺丝钉，其中3支是坏的，如果现在从盒中不放回地依次抽取两支， 那么在第一支抽取为好的条件下，第二支是坏的概率为 答案号 解析：记事件A为“第一支抽取的螺丝钉是好的”，事件B为“第二支抽取的螺丝钉 是坏的”，则 PM品 P4B)=×2= 109 301 因光PE00-专 14.一台机器生产某种产品，生产一件甲等品可获利50元，生产一件乙等品可获利 30元，生产一件次品，要赔20元.已知这台机器生产出甲等品、乙等品和次品的概 率分别为0.6,0.3和0.1，则这台机器每生产一件产品平均预期获利 元 答案：37 解析：设生产一件该产品可获利钱数为X,则随机变量X的取值可以是-20,30,50.依 题意X的分布列为 -20 30 50 0.1 0.3 0.6 故E0=-20×0.1+30×0.3+50×0.6=37元 15.某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位的二进制数A=a1a2a3a4a5,其中 A的各位数中a1=1,a(k=23,4,5)出现0的概率为出现1的概率为号，且ak出现数 字0,1的结果是相互独立的.记X=a2+a3+a4+a5,当程序运行一次时，X的数学期望 EX)=」 答案号 解析：由题意知X的可能取值为0,12,34，且XB(4,)因此E0=4×子=号 16.一批玉米种子的发芽率是0.8，每穴只要有一粒发芽，就不需补种，否则需要补 种则每穴至少种 粒，才能保证每穴不需补种的概率大于98%.(g 2≈0.3010)
∴ξ 的可能取值为 0,1,2. 由题知,P(ξ=0)= C9 2 C12 2 = 6 11 , P(ξ=1)= C3 1×C9 1 C12 2 = 9 22 , P(ξ=2)= C3 2 C12 2 = 1 22 , ∴E(ξ)=0× 6 11 +1× 9 22 +2× 1 22 = 1 2 . 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.盒中有 10 支螺丝钉,其中 3 支是坏的,如果现在从盒中不放回地依次抽取两支, 那么在第一支抽取为好的条件下,第二支是坏的概率为 . 答案: 1 3 解析:记事件 A 为“第一支抽取的螺丝钉是好的”,事件 B 为“第二支抽取的螺丝钉 是坏的”,则 P(A)= 7 10 , P(AB)= 7 10 × 3 9 = 7 30 , 因此 P(B|A)= 𝑃(𝐴𝐵) 𝑃(𝐴) = 1 3 . 14.一台机器生产某种产品,生产一件甲等品可获利 50 元,生产一件乙等品可获利 30 元,生产一件次品,要赔 20 元.已知这台机器生产出甲等品、乙等品和次品的概 率分别为 0.6,0.3 和 0.1,则这台机器每生产一件产品平均预期获利 元. 答案:37 解析:设生产一件该产品可获利钱数为 X,则随机变量 X 的取值可以是-20,30,50.依 题意,X 的分布列为 X -20 30 50 P 0.1 0.3 0.6 故 E(X)=-20×0.1+30×0.3+50×0.6=37 元. 15.某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位的二进制数 A=a1a2a3a4a5,其中 A 的各位数中 a1=1,ak(k=2,3,4,5)出现 0 的概率为1 3 ,出现 1 的概率为2 3 ,且 ak 出现数 字 0,1 的结果是相互独立的.记 X=a2+a3+a4+a5,当程序运行一次时,X 的数学期望 E(X)= . 答案: 8 3 解析:由题意知 X 的可能取值为 0,1,2,3,4,且 X~B(4, 2 3 ),因此 E(X)=4× 2 3 = 8 3 . 16.一批玉米种子的发芽率是 0.8,每穴只要有一粒发芽,就不需补种,否则需要补 种.则每穴至少种 粒,才能保证每穴不需补种的概率大于 98%.(lg 2≈0.301 0)
答案3 解析：记事件A为“种一粒种子，发芽” 则P(A)=0.8,P(A=1-0.8=0.2 因为每穴种n粒相当于做了n次独立重复试验，记事件B为“每穴至少有一粒种 子发芽” 则P(B)=C9×0.80×(1-0.8”=0.2" 所以P(B)=1-P(B)=1-0.2n 根据题意，得P(B)>98%, 即0.2m<0.02. 两边同时取以10为底的对数，得 nlg0.2<lg0.02,即n(lg2-1)lg2-2, 所以n≥2-2=169902.43 lg2-1-0.6990 因为n∈N*,所以n的最小正整数值为3 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17.(10分)一盒中装有9张各写有一个数字的卡片，其中4张卡片上的数字是1,3 张卡片上的数字是2,2张卡片上的数字是3.从盒中任取3张卡片 (1)求所取3张卡片上的数字完全相同的概率； (2)用X表示所取3张卡片上的数字的中位数，求X的分布列与均值！ (注：若三个数a,b,c满足a≤b≤c,则称b为这三个数的中位数) 解山)由古臭概型的概率计算公式知所求概率P栏=品 (2)X的所有可能取值为1,2,3 则PK=1)=c经xC+C=马 c-42 P(X=2)-GiXCixC+Cixc+C=3 c 84 P=智= 故X的分布列为 2 17 43 1 2 84 从而均值E0=1号+2×号+3×位=器 42 84 18.(12分)某食品企业一个月内被消费者投诉的次数用表示，据统计，随机变量 的分布列如下表所示 0 1 2 0.3 2a (1)求a的值和的均值；
答案:3 解析:记事件 A 为“种一粒种子,发芽”, 则 P(A)=0.8,P(𝐴)=1-0.8=0.2. 因为每穴种 n 粒相当于做了 n 次独立重复试验,记事件 B 为“每穴至少有一粒种 子发芽”, 则 P(𝐵)=C𝑛 0×0.8 0×(1-0.8)n=0.2 n , 所以 P(B)=1-P(𝐵)=1-0.2 n . 根据题意,得 P(B)>98%, 即 0.2 nlg2-2 lg2-1 = -1.699 0 -0.699 0 ≈2.43. 因为 n∈N* ,所以 n 的最小正整数值为 3. 三、解答题:共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(10 分)一盒中装有 9 张各写有一个数字的卡片,其中 4 张卡片上的数字是 1,3 张卡片上的数字是 2,2 张卡片上的数字是 3.从盒中任取 3 张卡片. (1)求所取 3 张卡片上的数字完全相同的概率; (2)用 X 表示所取 3 张卡片上的数字的中位数,求 X 的分布列与均值. (注:若三个数 a,b,c 满足 a≤b≤c,则称 b 为这三个数的中位数) 解:(1)由古典概型的概率计算公式知所求概率 P=C4 3+C3 3 C9 3 = 5 84 . (2)X 的所有可能取值为 1,2,3, 则 P(X=1)= C4 2×C5 1+C4 3 C9 3 = 17 42 , P(X=2)= C3 1×C4 1×C2 1+C3 2×C6 1+C3 3 C9 3 = 43 84 , P(X=3)= C2 2×C7 1 C9 3 = 1 12 . 故 X 的分布列为 X 1 2 3 P 17 42 43 84 1 12 从而均值 E(X)=1× 17 42 +2× 43 84 +3× 1 12 = 47 28 . 18.(12 分)某食品企业一个月内被消费者投诉的次数用 ξ 表示,据统计,随机变量 ξ 的分布列如下表所示: ξ 0 1 2 3 P 0.1 0.3 2a a (1)求 a 的值和 ξ 的均值;
(2)假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响，求该企业在这两个月内共 被消费者投诉2次的概率 解(1)由分布列的性质得0.1+0.3+2a+a=1, 解得a=0.2, 的分布列为 2 3 0.3 0.4 0.2 ∴.均值E()=0×0.1+1×0.3+2×0.4+3×0.2=1.7 (2)设事件A表示“两个月内共被投诉2次”，事件A1表示“两个月内有一个月被投 诉2次，另一个月被投诉0次”，事件A2表示“两个月均被投诉1次” 则由事件的相互独立性得 P(A1)=C2P(5=2)P(5=0)=2×0.4×0.1=0.08,PA2)=[P(=1)P=0.32=0.09. 因此P(A)=P(41)+P(A2)=0.08+0.09=0.17. 故该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率为0.17， 19.(12分)某公司在迎新年晚会上举行抽奖活动，有甲、乙两个抽奖方案供员工选 择 方案甲：员工最多有两次抽奖机会，每次抽奖的中奖率均为第一次抽奖，若未中 奖则抽奖结束若中奖，则通过抛掷一枚质地均匀的硬币，决定是否继续进行第二 次抽奖.规定：若抛出硬币，反面朝上，员工则获得500元奖金，不进行第二次抽奖：若 正面朝上，则员工须进行第二次抽奖且在第二次抽奖中，若中奖，则获得奖金1000 元；若未中奖，则所获得的奖金为0元 方案乙：员工连续三次抽奖，每次中奖率均为经每次中奖均可获得奖金400元， (1)求某员工选择方案甲进行抽奖所获奖金X(单位：元)的分布列： (2)试比较某员工选择方案乙与选择方案甲进行抽奖，哪个方案更划算？ 解()由题意得，X的所有可能取值为0,50,100，则PX=0)+××=云 52 PX=50)=号×= PX=100)-××=号 因此某员工选择方案甲进行抽奖所获奖金X(单位：元)的分布列为 500 1000 7 2 25 5 25 (2)由(1)可知，选择方案甲进行抽奖所获奖金X的均值 E0=500×3+1000×是=520， 25 若选择方案乙进行抽奖，中奖次数尔B(3,) 则E()=3×2=抽奖所获奖金Y的均值E()=E(400)=400E()=480
(2)假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响,求该企业在这两个月内共 被消费者投诉 2 次的概率. 解:(1)由分布列的性质得 0.1+0.3+2a+a=1, 解得 a=0.2, ∴ξ 的分布列为 ξ 0 1 2 3 P 0.1 0.3 0.4 0.2 ∴均值 E(ξ)=0×0.1+1×0.3+2×0.4+3×0.2=1.7. (2)设事件 A 表示“两个月内共被投诉 2 次”;事件 A1 表示“两个月内有一个月被投 诉 2 次,另一个月被投诉 0 次”;事件 A2 表示“两个月均被投诉 1 次”. 则由事件的相互独立性得 P(A1)=C2 1P(ξ=2)P(ξ=0)=2×0.4×0.1=0.08,P(A2)=[P(ξ=1)]2=0.3 2=0.09. 因此 P(A)=P(A1)+P(A2)=0.08+0.09=0.17. 故该企业在这两个月内共被消费者投诉 2 次的概率为 0.17. 19.(12 分)某公司在迎新年晚会上举行抽奖活动,有甲、乙两个抽奖方案供员工选 择. 方案甲:员工最多有两次抽奖机会,每次抽奖的中奖率均为4 5 .第一次抽奖,若未中 奖,则抽奖结束.若中奖,则通过抛掷一枚质地均匀的硬币,决定是否继续进行第二 次抽奖.规定:若抛出硬币,反面朝上,员工则获得 500 元奖金,不进行第二次抽奖;若 正面朝上,则员工须进行第二次抽奖且在第二次抽奖中,若中奖,则获得奖金 1 000 元;若未中奖,则所获得的奖金为 0 元. 方案乙:员工连续三次抽奖,每次中奖率均为2 5 ,每次中奖均可获得奖金 400 元. (1)求某员工选择方案甲进行抽奖所获奖金 X(单位:元)的分布列; (2)试比较某员工选择方案乙与选择方案甲进行抽奖,哪个方案更划算? 解:(1)由题意得,X 的所有可能取值为 0,500,1 000,则 P(X=0)= 1 5 + 4 5 × 1 2 × 1 5 = 7 25 , P(X=500)= 4 5 × 1 2 = 2 5 , P(X=1 000)= 4 5 × 1 2 × 4 5 = 8 25 , 因此某员工选择方案甲进行抽奖所获奖金 X(单位:元)的分布列为 X 0 500 1 000 P 7 25 2 5 8 25 (2)由(1)可知,选择方案甲进行抽奖所获奖金 X 的均值 E(X)=500× 2 5 +1 000× 8 25 =520. 若选择方案乙进行抽奖,中奖次数 ξ~B(3, 2 5 ), 则 E(ξ)=3× 2 5 = 6 5 ,抽奖所获奖金 Y 的均值 E(Y)=E(400ξ)=400E(ξ)=480
故选择方案甲较划算 20.(12分)甲盒中装有标号分别为1,2,3的3个红球：乙盒中装有标号分别为 1,2,3,4的4个黑球，从甲、乙两盒中各抽取一个小球 (1)求抽到红球和黑球的标号都是偶数的概率； (2)现从甲、乙两盒各随机抽取1个小球，记其标号的差的绝对值为X,求X的分 布列和数学期望 解()由题意知，抽到红球的标号是偶数的概率为P1子 抽到黑球的标号是偶数的概率为P2=之 因为两次抽取是相互独立事件」 所以抽到红球和黑球的标号都是偶数的概率为P=1P×=君 (2)根据题意列出X的可能取值情况如下表： 标号 2 3 2 0 国此X的可能取值为0,12,3，且PX-=0)-PX=I)品PX-2)-PX=3)= 故X的分布列为 0 2 3 4 12 4 12 X的数学期望为E)=0×+1×5+2×2+3× 7 3 2=6 21.(12分)在一次智力测试时，有A,B两个相互独立的问题，答题规则是：被测试者 答对问题A的得分为α，答对问题B的得分为b,先答哪个问题由被测试者自由选 择，但只有第一道问题答对，才能再答第二道问题，否则终止答题若你是被测试者， 假设你答对问题A,B的概率分别为p1p2. ()当p1P2时，你应该如何依据问题分值的设置选择先答哪一道问题？ (2)已知a=10,b=20,当p1p2满足怎样的关系时，你选择先答问题A? 解：设先答问题A的得分为随机变量X先答问题B的得分为随机变量Y ,PX=0)=1-p1,PX=a=pI(1-p2),P(X=a+b)=pp2, ∴.EX)=0×(1-p1)+ap1(1-p2)+(a+b)p1p2=ap1(1-p2)+(a+bp1p2. P(Y=0)=1-p2,P(Y=b)=p2(1-p1),P(Y=a+b)=pp2, .E()=0×(1p2)+bp2(1-p1)+(a+b)p1p2=bp2(1-p1)+(a+b)pp2. ∴.EX)-E()=ap1(1-p2)bp2(1-p1) ()当pm=p=时，E00-E)-ab
故选择方案甲较划算. 20.(12 分)甲盒中装有标号分别为 1,2,3 的 3 个红球;乙盒中装有标号分别为 1,2,3,4 的 4 个黑球,从甲、乙两盒中各抽取一个小球. (1)求抽到红球和黑球的标号都是偶数的概率; (2)现从甲、乙两盒各随机抽取 1 个小球,记其标号的差的绝对值为 X,求 X 的分 布列和数学期望. 解:(1)由题意知,抽到红球的标号是偶数的概率为 P1= 1 3 , 抽到黑球的标号是偶数的概率为 P2= 1 2 . 因为两次抽取是相互独立事件, 所以抽到红球和黑球的标号都是偶数的概率为 P=P1P2= 1 3 × 1 2 = 1 6 . (2)根据题意列出 X 的可能取值情况如下表: 标号 1 2 3 1 0 1 2 2 1 0 1 3 2 1 0 4 3 2 1 因此 X 的可能取值为 0,1,2,3,且 P(X=0)= 1 4 ,P(X=1)= 5 12 ,P(X=2)= 1 4 ,P(X=3)= 1 12 . 故 X 的分布列为 X 0 1 2 3 P 1 4 5 12 1 4 1 12 X 的数学期望为 E(X)=0× 1 4 +1× 5 12 +2× 1 4 +3× 1 12 = 7 6 . 21.(12 分)在一次智力测试时,有 A,B 两个相互独立的问题,答题规则是:被测试者 答对问题 A 的得分为 a,答对问题 B 的得分为 b,先答哪个问题由被测试者自由选 择,但只有第一道问题答对,才能再答第二道问题,否则终止答题.若你是被测试者, 假设你答对问题 A,B 的概率分别为 p1,p2. (1)当 p1= 1 2 ,p2= 1 3时,你应该如何依据问题分值的设置选择先答哪一道问题? (2)已知 a=10,b=20,当 p1,p2 满足怎样的关系时,你选择先答问题 A? 解:设先答问题 A 的得分为随机变量 X,先答问题 B 的得分为随机变量 Y. ∵P(X=0)=1-p1,P(X=a)=p1(1-p2),P(X=a+b)=p1p2, ∴E(X)=0×(1-p1)+ap1(1-p2)+(a+b)·p1p2=ap1(1-p2)+(a+b)p1p2. ∵P(Y=0)=1-p2,P(Y=b)=p2(1-p1),P(Y=a+b)=p1p2, ∴E(Y)=0×(1-p2)+bp2(1-p1)+(a+b)·p1p2=bp2(1-p1)+(a+b)p1p2. ∴E(X)-E(Y)=ap1(1-p2)-bp2(1-p1). (1)当 p1= 1 2 ,p2= 1 3时,E(X)-E(Y)= 1 3 a- 1 6 b
①当a>b时，先答问题A; ②当a=b时，先答问题A或B均可； ③当a0, 即p1+pp2>2p2时，选择先答问题A 22.(12分)某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝 10元的价格出售.如果当天卖不完，那么剩下的玫瑰花作垃圾处理 (1)若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量（单 位：枝，n∈N)的函数解析式： (2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表： 旧需求量n 14 15 16 17 18 19 20 频数 10 20 16 16 15 13 10 以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率 ①若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润（单位：元），求X的分布列、均 值及方差 ②若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请 说明理由 解(1)当日需求量n≥16时，利润y=80. 当日需求量n<16时，利润y=10n-80 因此当天的利润y关于当天需求量n的函数解析式为y= 10n-80,n<16,n∈N 80,n≥16 (2)①X可能的取值为60,70,80，并且P(X=60)=0.1,P(X=70)=0.2,P(X=80)=0.7. 故X的分布列为 60 70 80 1 .2 0.7 EX)=60×0.1+70×0.2+80×0.7=76, DX)=(60-76)}2×0.1+(70-76)2×0.2+(80-76)2×0.7=44 ②花店一天应购进17枝玫瑰花， 理由如下： 若花店一天购进17枝玫瑰花，Y表示当天的利润（单位：元），则Y的分布列为 55 65 75 85 0.1 0.2 0.16 0.54 E(=55×0.1+65×0.2+75×0.16+85×0.54=76.4. 由以上的计算结果可以看出，E(X)<E(Y), 即购进17枝玫瑰花时的平均利润大于购进16枝时的平均利润. 故花店一天应购进17枝玫瑰花
①当 a>1 2 b 时,先答问题 A; ②当 a= 1 2 b 时,先答问题 A 或 B 均可; ③当 a0, 即 p1+p1p2>2p2 时,选择先答问题 A. 22.(12 分)某花店每天以每枝 5 元的价格从农场购进若干枝玫瑰花,然后以每枝 10 元的价格出售.如果当天卖不完,那么剩下的玫瑰花作垃圾处理. (1)若花店一天购进 16 枝玫瑰花,求当天的利润 y(单位:元)关于当天需求量 n(单 位:枝,n∈N)的函数解析式; (2)花店记录了 100 天玫瑰花的日需求量(单位:枝),整理得下表: 日需求量 n 14 15 16 17 18 19 20 频数 10 20 16 16 15 13 10 以 100 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率. ①若花店一天购进 16 枝玫瑰花,X 表示当天的利润(单位:元),求 X 的分布列、均 值及方差; ②若花店计划一天购进 16 枝或 17 枝玫瑰花,你认为应购进 16 枝还是 17 枝?请 说明理由. 解:(1)当日需求量 n≥16 时,利润 y=80. 当日需求量 n<16 时,利润 y=10n-80. 因此当天的利润 y 关于当天需求量 n 的函数解析式为 y={ 10𝑛-80,𝑛 < 16, 80,𝑛 ≥ 16 (n∈N). (2)①X 可能的取值为 60,70,80,并且 P(X=60)=0.1,P(X=70)=0.2,P(X=80)=0.7. 故 X 的分布列为 X 60 70 80 P 0.1 0.2 0.7 E(X)=60×0.1+70×0.2+80×0.7=76, D(X)=(60-76)2×0.1+(70-76)2×0.2+(80-76)2×0.7=44. ②花店一天应购进 17 枝玫瑰花. 理由如下: 若花店一天购进 17 枝玫瑰花,Y 表示当天的利润(单位:元),则 Y 的分布列为 Y 55 65 75 85 P 0.1 0.2 0.16 0.54 E(Y)=55×0.1+65×0.2+75×0.16+85×0.54=76.4. 由以上的计算结果可以看出,E(X)<E(Y), 即购进 17 枝玫瑰花时的平均利润大于购进 16 枝时的平均利润. 故花店一天应购进 17 枝玫瑰花