6.3. 2二项式系数的性质 课后训练提升 基础巩固 1(x)”展开式中的中间两项为 A.-Cx12.Cx12 B.C6x.-Cix10 C.-Cx13.C6x D.Cx!7,-Cx!3 答案：C 解析：由二项式定理展开式的性质知中间两项为第六项和第七项(x3)的通项 为71=C略(xy-t( =(←1Cx334,则T6(-1)5C1x3-20-C1x3,T7=(1)Cx33. 24=Cx9, 2.(a+by”的二项展开式中与第k项二项式系数相同的项是( A.第(n-项 B.第(n-k-1)）项 C.第(n-k+1)项 D.第(n-k+2)项 答案D 解析：第k项的二项式系数是C1,由于C1=Cn-k+1,第(-k+2)项的二项式系数为 C:k+1,因此(a+by的二项展开式中与第k项二项式系数相同的项是第(-k+2)项， 故选D 3.(多选题)设(2-x)5=a0+a1x+a2x2+…+a5x,那么() A.a0+a2+a4=122 B.a0+a1+a2+a3+a4+a5=1 C.a1+a3+a5=-121 D.a1+a3=20 答案：ABC 解析：令x=1,可得a0+a1+a2+a3+a4+a5=1,再令x=-1,可得a0-a1+a2-a3+a4-a5=35 两式相加除以2求得a0+a2+a4=122,两式相减除以2可得a1+a3+a5=-121 又由条件可知a5=-1,故a1+a3=-120. 4.己知C0+2C1+22C2+…+2mC-729,则C1+C3+C5的值等于() A.64 B.32 C.63 D.31 答案B 解析：由已知得(1+2y=3m=729
6.3.2 二项式系数的性质 课后· 基础巩固 1.(𝑥 3 - 1 𝑥 ) 11 展开式中的中间两项为( ) A.-C11 5 x 12 ,C11 5 x 12 B.C11 6 x 9 ,-C11 5 x 10 C.-C11 5 x 13 ,C11 6 x 9 D.C11 5 x 17 ,-C11 5 x 13 答案:C 解析:由二项式定理展开式的性质知中间两项为第六项和第七项.(𝑥 3 - 1 𝑥 ) 11 的通项 为 Tk+1=C11 𝑘 (x 3 ) 11-k·(- 1 𝑥 ) 𝑘 =(-1)kC11 𝑘 x 33-4k ,则 T6=(-1)5C11 5 x 33-20=-C11 5 x 13 ,T7=(-1)6C11 6 x 33- 24=C11 6 x 9 . 2.(a+b) n 的二项展开式中与第 k 项二项式系数相同的项是( ) A.第(n-k)项 B.第(n-k-1)项 C.第(n-k+1)项 D.第(n-k+2)项 答案:D 解析:第 k 项的二项式系数是C𝑛 𝑘-1 ,由于C𝑛 𝑘-1 = C𝑛 𝑛-𝑘+1 ,第(n-k+2)项的二项式系数为 C𝑛 𝑛-𝑘+1 ,因此(a+b) n 的二项展开式中与第 k 项二项式系数相同的项是第(n-k+2)项, 故选 D. 3.(多选题)设(2-x) 5=a0+a1x+a2x 2+…+a5x 5 ,那么( ) A.a0+a2+a4=122 B.a0+a1+a2+a3+a4+a5=1 C.a1+a3+a5=-121 D.a1+a3=20 答案:ABC 解析:令 x=1,可得 a0+a1+a2+a3+a4+a5=1,再令 x=-1,可得 a0-a1+a2-a3+a4-a5=3 5 . 两式相加除以 2 求得 a0+a2+a4=122,两式相减除以 2 可得 a1+a3+a5=-121. 又由条件可知 a5=-1,故 a1+a3=-120. 4.已知C𝑛 0+2C𝑛 1+2 2C𝑛 2+…+2 nC𝑛 𝑛=729,则C𝑛 1 + C𝑛 3 + C𝑛 5的值等于( ) A.64 B.32 C.63 D.31 答案:B 解析:由已知得(1+2)n=3 n=729
解得n=6, 则C1+C+C5=C6+C哈+C=32 5.己知(1+2x)3展开式的二项式系数的最大值为a,系数的最大值为b,则2的值为 () A12 5 B学 C D28 5 7 答案A 解析：由已知，得a=Cg-70,设b=Cg2', 则Cg2r≥cg121 Cg2r≥Cg*12r+1得5≤r≤6 所以b=C26=C26=7×28,所以2=号 6.设amn≥2，n∈N是(3-Vxy的展开式中x的一次项系数，则三+ +…+3= 03 a18 答案：17 解析：因为am(n≥2，n∈N)是(3-Vxy的展开式中x的一次项系数，所以am=C3m-2, 所以号++…器=兴+是+…品=18(1++)17 a3 7.若(a+√ay的展开式中奇数项系数和为512，则展开式的第八项T3= 答案：120a号 解析：由题意得C9+C保+C4+…=2-l=512=2,即n=10,故T=Co4Wa7=120号 8.在(1-x)5+(1-x)+(1-x)7+(1-x)8的展开式中，含x3的项的系数是 答案：-121 解析：由题意得展开式中含x3的项的系数为C(-1)3+C(-1)3+C(-1)3+C(-1)3=- 121 9.设(5x)”展开式的各项系数之和为M二项式系数之和为N,MW-240,求展开 式中x的系数 解由题意得M=4",N-2m,因为MN=240, 所以4"-2n=240. 解得2m=16或2m=-15(舍去)，所以n=4. (5x-)的展开式的通项为11=C(6x-r()'=(ly54rCx宁 令4=1，解得r=2. 故展开式中x的系数为(-1)254-2C子=150 10.己知(1-x)10,求： ()展开式的中间项是第几项？写出这一项
解得 n=6, 则C𝑛 1 + C𝑛 3 + C𝑛 5 = C6 1 + C6 3 + C6 5=32. 5.已知(1+2x) 8 展开式的二项式系数的最大值为 a,系数的最大值为 b,则 𝑏 𝑎 的值为 ( ) A. 128 5 B. 256 7 C. 512 5 D. 128 7 答案:A 解析:由已知,得 a=C8 4=70,设 b=C8 𝑟2 r , 则{ C8 𝑟2 𝑟 ≥ C8 𝑟-12 𝑟-1 , C8 𝑟2 𝑟 ≥ C8 𝑟+1 2 𝑟+1 , 得 5≤r≤6, 所以 b=C8 62 6=C8 22 6=7×2 8 ,所以𝑏 𝑎 = 128 5 . 6.设 an(n≥2,n∈N* )是(3-√𝑥) n 的展开式中 x 的一次项系数,则 3 2 𝑎2 + 3 3 𝑎3 +…+ 3 18 𝑎18 = . 答案:17 解析:因为 an(n≥2,n∈N* )是(3-√𝑥) n 的展开式中 x 的一次项系数,所以 an=C𝑛 23 n-2 , 所以3 2 𝑎2 + 3 3 𝑎3 +…+ 3 18 𝑎18 = 18 2×1 + 18 3×2 +…+ 18 17 ×18 =18(1- 1 2 + 1 2 - 1 3 + …- 1 18)=17. 7.若(a+√𝑎) n 的展开式中奇数项系数和为 512,则展开式的第八项 T8= . 答案:120𝑎 13 2 解析:由题意得C𝑛 0 + C𝑛 2 + C𝑛 4+…=2 n-1=512=2 9 ,即 n=10,故 T8=C10 7 a 3 (√𝑎) 7=120𝑎 13 2 . 8.在(1-x) 5+(1-x) 6+(1-x) 7+(1-x) 8 的展开式中,含 x 3 的项的系数是 . 答案:-121 解析:由题意得展开式中含 x 3 的项的系数为C5 3 (-1)3+C6 3 (-1)3+C7 3 (-1)3+C8 3 (-1)3=- 121. 9.设(5𝑥- 1 √𝑥 ) 𝑛 展开式的各项系数之和为 M,二项式系数之和为 N,M-N=240,求展开 式中 x 的系数. 解:由题意得 M=4 n ,N=2 n ,因为 M-N=240, 所以 4 n -2 n=240. 解得 2 n=16 或 2 n=-15(舍去),所以 n=4. (5𝑥 − 1 √𝑥 ) n 的展开式的通项为 Tr+1=C4 𝑟·(5x) 4-r·(- 1 √𝑥 ) 𝑟 =(-1)r5 4-rC4 𝑟𝑥 4- 3 2 𝑟 , 令 4- 3 2 r=1,解得 r=2. 故展开式中 x 的系数为(-1)25 4-2C4 2=150. 10.已知(1-x) 10 ,求: (1)展开式的中间项是第几项?写出这一项
(2)展开式中各二项式系数之和 (3)展开式中除常数项外，其余各项的系数和 解：(1)由已知得展开式共11项，中间项为第6项，即T6=C(-x)5=-252x (2)C+C0+C经+…+C18=210=1024. (3)设(1-x)10=a0+a1x+a2x2+…+a10x10, 令x=1,得a0+a1+a2+…+a10=0: 令x=0,得a0=1,故a1+a2+…+a10=-1 拓展提高 1.若(1+√25=a+bv2a,b为有理数)，则a+b=() A.45 B.55 C.70 D.80 答案：C 解析：因为 (1+V25=Cg(2°+Cg(V②1+C(2y+C(W23+C(V24+C(V2y=1+5V2+20+20 V2+20+4V2=41+29V2. 由已知可得41+29v2=a+bVZ,即a=41,b=29, 所以a+b=41+29=70. 2.设(1+x+x2y=a0+a1x+a2x2+…+a2x2m,则a0+a2+a4+…+a2n等于(） A.2m B.3h.1 2 C.2n+1 D.3%+1 2 答案D 解析：令x=1,得3m=a0+a1+a2+…+a2-1+a2m.① 令x=-1,得1=a0-a1+a2-…-a2m-1+a2m② ①+②得3”+1=2(a+a+…+a2b解得ao+2+…+a2m-3”+1 2 3.若(1-2xP021=a0+ax+…+a202r202l(∈R),则2+学+…+28的值为 A.2 B.0 C.-2 D.-1 答案D 解析：已知(1-2x2021=a0+ax+…+a2021r2021,令x=2 则12×)221-w+受+学…+器-0，其中0=1，故号+学…+学器-l 448?被7除的余数为a0≤a<7),则(x)°的展开式中x3的系数为 A.4320 B.-4320 C.20 D.-20 答案B 解析：因为487=(49-1)7=C9497-C7496+…+C49-1
(2)展开式中各二项式系数之和. (3)展开式中除常数项外,其余各项的系数和. 解:(1)由已知得展开式共 11 项,中间项为第 6 项,即 T6=C10 5 (-x) 5=-252x 5 . (2)C10 0 + C10 1 + C10 2 +…+C10 10=2 10=1 024. (3)设(1-x) 10=a0+a1x+a2x 2+…+a10x 10 , 令 x=1,得 a0+a1+a2+…+a10=0; 令 x=0,得 a0=1,故 a1+a2+…+a10=-1. 拓展提高 1.若(1+√2) 5=a+b√2(a,b 为有理数),则 a+b=( ) A.45 B.55 C.70 D.80 答案:C 解析:因为 (1+√2) 5=C5 0 (√2) 0+C5 1 (√2) 1+C5 2 (√2) 2+C5 3 (√2) 3+C5 4 (√2) 4+C5 5 (√2) 5=1+5√2+20+20 √2+20+4√2=41+29√2, 由已知可得 41+29√2=a+b√2,即 a=41,b=29, 所以 a+b=41+29=70. 2.设(1+x+x2 ) n=a0+a1x+a2x 2+…+a2nx 2n ,则 a0+a2+a4+…+a2n等于( ) A.2 n B. 3 𝑛 -1 2 C.2 n+1 D. 3 𝑛+1 2 答案:D 解析:令 x=1,得 3 n=a0+a1+a2+…+a2n-1+a2n.① 令 x=-1,得 1=a0-a1+a2-…-a2n-1+a2n.② ①+②得 3 n+1=2(a0+a2+…+a2n),解得 a0+a2+…+a2n= 3 𝑛+1 2 . 3.若(1-2x) 2 021=a0+a1x+…+a2 021x 2 021(x∈R),则 𝑎1 2 + 𝑎2 2 2+…+ 𝑎2 021 2 2 021的值为( ) A.2 B.0 C.-2 D.-1 答案:D 解析:已知(1-2x) 2 021=a0+a1x+…+a2 021x 2 021 ,令 x= 1 2 , 则(1-2 × 1 2 ) 2 021 =a0+ 𝑎1 2 + 𝑎2 2 2+…+ 𝑎2 021 2 2 021=0,其中 a0=1,故 𝑎1 2 + 𝑎2 2 2+…+ 𝑎2 021 2 2 021=-1. 4.487 被 7 除的余数为 a(0≤a<7),则(𝑥- 𝑎 𝑥 2 ) 6 的展开式中 x -3 的系数为( ) A.4 320 B.-4 320 C.20 D.-20 答案:B 解析:因为 487=(49-1)7=C7 0·497 -C7 1·496+…+C7 6·49-1
所以487被7除的余数为6，所以a=6 所以(x)°的展开式的通项为1C路(6x6-3 令6-3k=-3,得=3，所以(x)°的展开式中x3的系数为Cg(-6°=4320 5在()”的二项式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等 于」 答案：112 解析：依题意，得2n=256,解得n=8. 通项c哈x片.（到=c2学 令8“=0，得k=2.故常数项为C(-2P=112 6.(a+x)1+x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a= 答案：3 解析：设(a+x1+x)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+asr5. 令x=1,得(a+1)×24=a0+a1+a2+a3+a4+a5.① 令x=-1,得0=a0-a1+a2-3+a4-a5.② ①-②，得16(a+1)=2(a1+a3+a5)=2×32,解得a=3. 7.求证：32m+2-8n-9(n∈N能被64整除 证明(32y1=(8+1y+1=C%+18m+1+C+18m+…+C182+C+181+C1, 32m+2-8n-9=[(C9+18m-l+C+18m-2+…+C1)82+C7+181+Cn+]-8n-9 =82(C%+18m-l+C1+18m-2+…+C71) 故32m+2-8n-9(n∈N能被64整除 挑战创新 己知(1+2x-x2)7=a0+a1x+a2x2+…+a13x13+a14x14求 (1)a0+a+a2+…+a14; (2)a1+a3+a5+…+a13. 解：(1)令x=1,则a0+a1+a2+…+a14=27=128.① (2)令x=-1,则a0-a1+a2-a3+…-a13+a14=(-2)7=-128.② ①-②，得2(a1+a3+…+a13)=256 故a1+a3+…+a13=128
所以 487 被 7 除的余数为 6,所以 a=6. 所以(𝑥- 6 𝑥 2 ) 6 的展开式的通项为 Tk+1=C6 𝑘·(-6)k·𝑥 6-3𝑘 . 令 6-3k=-3,得 k=3,所以(𝑥- 6 𝑥 2 ) 6 的展开式中 x -3 的系数为C6 3·(-6)3=-4 320. 5.在(√x 3 - 2 x ) n 的二项式中,所有项的二项式系数之和为 256,则常数项等 于 . 答案:112 解析:依题意,得 2 n=256,解得 n=8. 通项C8 𝑘 · 𝑥 8-𝑘 3 · (- 2 𝑥 ) 𝑘 = C8 𝑘 (-2)k·𝑥 8-4𝑘 3 , 令 8-4𝑘 3 =0,得 k=2.故常数项为C8 2 (-2)2=112. 6.(a+x)(1+x) 4 的展开式中 x 的奇数次幂项的系数之和为 32,则 a= . 答案:3 解析:设(a+x)(1+x) 4=a0+a1x+a2x 2+a3x 3+a4x 4+a5x 5 . 令 x=1,得(a+1)×2 4=a0+a1+a2+a3+a4+a5.① 令 x=-1,得 0=a0-a1+a2-a3+a4-a5.② ①-②,得 16(a+1)=2(a1+a3+a5)=2×32,解得 a=3. 7.求证:32n+2 -8n-9(n∈N* )能被 64 整除. 证明:∵(32 ) n+1=(8+1)n+1=C𝑛+1 0 ·8 n+1+C𝑛+1 1 ·8 n+…+C𝑛+1 𝑛-1 ·8 2+C𝑛+1 𝑛 ·8 1+C𝑛+1 𝑛+1 , ∴3 2n+2 -8n-9=[(C𝑛+1 0 ·8 n-1+C𝑛+1 1 ·8 n-2+…+C𝑛+1 𝑛-1 )82+C𝑛+1 𝑛 ·8 1+C𝑛+1 𝑛+1 ]-8n-9 =8 2·(C𝑛+1 0 ·8 n-1+C𝑛+1 1 ·8 n-2+…+C𝑛+1 𝑛-1 ), 故 3 2n+2 -8n-9(n∈N* )能被 64 整除. 挑战创新 已知(1+2x-x 2 ) 7=a0+a1x+a2x 2+…+a13x 13+a14x 14 .求: (1)a0+a1+a2+…+a14; (2)a1+a3+a5+…+a13. 解:(1)令 x=1,则 a0+a1+a2+…+a14=2 7=128.① (2)令 x=-1,则 a0-a1+a2-a3+…-a13+a14=(-2)7=-128.② ①-②,得 2(a1+a3+…+a13)=256, 故 a1+a3+…+a13=128