志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的： 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org 2.4.2 圆的一般方程 课后·训练提升 基础巩固 1.圆x2+y2.2x+4y+3=0的圆心到直线xy=1的距离为() A.2 B号 C.1 D./2 答案D 解析：圆x2+y2-2x+4y+3=0的圆心坐标为(1，-2)，由点到直线的距离公式得圆心到直线xy=1的距离为 d-1+21=v2. 2 2.下列直线中，平分圆x2+y2-2x-4y+4=0的直线是() A.x+1=0 B.x+y+3=0 C.x-y+1=0 D.x-y+3=0 答案C 解析：要使直线平分圆，只要直线经过圆的圆心即可，由圆的方程得圆心坐标为(1,2).A,B,C,D四个选项 中，只有C选项中的直线经过圆心，故选C 3.(多选题)已知方程x2+y2-axr+2ay+2a2+a-1-0,则下列a的取值中能使方程表示圆的是(） A.-1 B.0 c D.-2 答案：ABC 解析：方程x2+y2-ar+2y+2a2+a-1=0表示圆的条件是(-a)2+(2a)2-4(2a2+a-1)>0,即3a2+4a-4<0,解得- 2<a号 所以α取选项A,B,C中的值能表示圆，取选项D中的值表示一个点，不能表示圆. 4.方程x2+y2+2ax+2by+a2+b2-0表示的图形为() A.以(a,b)为圆心的圆 B.以(-a,-b)为圆心的圆 C.点(a,b) D.点(-a,-b) 答案D 1
1 2.4.2 圆的一般方程 课后· 基础巩固 1.圆 x 2+y2 -2x+4y+3=0 的圆心到直线 x-y=1 的距离为( ) A.2 B. √2 2 C.1 D.√2 答案:D 解析:圆 x 2+y2 -2x+4y+3=0 的圆心坐标为(1,-2),由点到直线的距离公式得圆心到直线 x-y=1 的距离为 d=|1+2-1| √2 = √2. 2.下列直线中,平分圆 x 2+y2 -2x-4y+4=0 的直线是( ) A.x+y-1=0 B.x+y+3=0 C.x-y+1=0 D.x-y+3=0 答案:C 解析:要使直线平分圆,只要直线经过圆的圆心即可,由圆的方程得圆心坐标为(1,2).A,B,C,D 四个选项 中,只有 C 选项中的直线经过圆心,故选 C. 3.(多选题)已知方程 x 2+y2 -ax+2ay+2a 2+a-1=0,则下列 a 的取值中能使方程表示圆的是( ) A.-1 B.0 C. 1 2 D.-2 答案:ABC 解析:方程 x 2+y2 -ax+2ay+2a 2+a-1=0 表示圆的条件是(-a) 2+(2a) 2 -4(2a 2+a-1)>0,即 3a 2+4a-4<0,解得- 2<a<2 3 . 所以 a 取选项 A,B,C 中的值能表示圆,取选项 D 中的值表示一个点,不能表示圆. 4.方程 x 2+y2+2ax+2by+a2+b2=0 表示的图形为( ) A.以(a,b)为圆心的圆 B.以(-a,-b)为圆心的圆 C.点(a,b) D.点(-a,-b) 答案:D
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的： 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org 解析：原方程可化为(x+a)2+0y+b)2=0, 6+88即6=6 y+b=0, ∴.方程表示点(-a,-b) 5.当a为任意实数时，直线(a-1)x-y+a+1=0恒过定点C,则以C为圆心，V5为半径的圆的一般方程为 () A.x2+2-2x+4y=0 B.x2+y2+2x+4y=0 C.x2+y2+2x-4y=0 D.x2+y2-2x-4y=0 答案：C 解析：直线(a-1)x-y+a+1=0可化为(-x-y+1)+a(1+x)=0, 由xy+10得c1,2 x+1=0, 故圆的方程为(x+1)2+0-2)2=5, 即x2+y2+2x-4y=0. 6.若方程x2+y2+ax-2ay+22+3a=0表示的图形是半径为r>0)的圆，则该圆的圆心在() A第一象限 B.第二象限 C第三象限 D.第四象限 答案D 解析：因为方程x2+2+a-2y+22+3a=0表示的图形是圆， 又方程可化为(x+)°+0ar--3a 故圆心坐标为(，a)2-子2-3a 由P>0,即2-3a>0,解得-4<a<0,即0，a<0,故该圆的圆心在第四象限 7.当点P在圆x2+2=1上移动时，它与定点Q(3,0)的连线PQ的中点的轨迹方程是() A.(x+3)2+y2=4 B.(x-3)2+y2=1 C.(2x-3)2+42-1 D.(2x+3)2+4y2-1 2
2 解析:原方程可化为(x+a) 2+(y+b) 2=0, ∴{ 𝑥 + 𝑎 = 0, 𝑦 + 𝑏 = 0, 即{ 𝑥 = -𝑎, 𝑦 = -𝑏. ∴方程表示点(-a,-b). 5.当 a 为任意实数时,直线(a-1)x-y+a+1=0 恒过定点 C,则以 C 为圆心,√5为半径的圆的一般方程为 ( ) A.x 2+y2 -2x+4y=0 B.x 2+y2+2x+4y=0 C.x 2+y2+2x-4y=0 D.x 2+y2 -2x-4y=0 答案:C 解析:直线(a-1)x-y+a+1=0 可化为(-x-y+1)+a(1+x)=0, 由{ -𝑥-𝑦 + 1 = 0, 𝑥 + 1 = 0, 得 C(-1,2). 故圆的方程为(x+1)2+(y-2)2=5, 即 x 2+y2+2x-4y=0. 6.若方程 x 2+y2+ax-2ay+2a 2+3a=0 表示的图形是半径为 r(r>0)的圆,则该圆的圆心在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案:D 解析:因为方程 x 2+y2+ax-2ay+2a 2+3a=0 表示的图形是圆, 又方程可化为(𝑥 + 𝑎 2 ) 2 +(y-a) 2=- 3 4 a 2 -3a, 故圆心坐标为(- 𝑎 2 ,𝑎),r 2=- 3 4 a 2 -3a. 由 r 2>0,即- 3 4 a 2 -3a>0,解得-40,a<0,故该圆的圆心在第四象限. 7.当点 P 在圆 x 2+y2=1 上移动时,它与定点 Q(3,0)的连线 PQ 的中点的轨迹方程是( ) A.(x+3)2+y2=4 B.(x-3)2+y2=1 C.(2x-3)2+4y 2=1 D.(2x+3)2+4y 2=1
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的！ 丛书主编任志河。 http://www.zhyh.org 答案：C 解析：设P(x,n),PQ的中点M的坐标为c,), Q3,0)2… y= y+0 2 ∴.=2x-3,1=2y 又点P在圆x2+2-1上， .(2x-3)2+(2y)2=1,故选C. 8.如果圆的方程为x2+2++2y+2=0,那么当圆的面积最大时，圆心坐标为 答案0，-1) 解析：因为之V2+44反=V4-3k网 所以当k=0时，y最大，此时圆的面积最大， 圆的方程可化为x2+y2+2y=0, 即x2+0+1)2=1,圆心坐标为(0，-1) 9.若方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示以(2，-4)为圆心，4为半径的圆，则F=」 答案：4 解析：由题意得 E =4 号D2+B4亚=4， 解得D=-4,E=8,F=4. 10.当实数m的值为多少时，关于x,y的方程(2m2+m-1)x2+(m2-m+2)y2+m+2=0表示的图形是一个圆？ 解：要使方程(2m2+m-1)x2+(m2-m+2)y2+m+2=0表示的图形是一个圆，需满足2m2+m-1=m2-m+2,得 ㎡2+2m-3=0,解得m=-3或m=1 ①当m=1时，方程为X+y2=三不符合题意，舍去； ②当m3时，方程为14+14=1，即+六表示以原点为圆心，以平为半径的圆 14 综上所述，当m=-3时满足题意 拓展提高 1.己知A(1,0),B(0,√3)，C(2,√3)三点，则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为() 心
3 答案:C 解析:设 P(x1,y1),PQ 的中点 M 的坐标为(x,y), ∵Q(3,0),∴{ 𝑥 = 𝑥1+3 2 , 𝑦 = 𝑦 1 +0 2 , ∴x1=2x-3,y1=2y. 又点 P 在圆 x 2+y2=1 上, ∴(2x-3)2+(2y) 2=1,故选 C. 8.如果圆的方程为 x 2+y2+kx+2y+k2=0,那么当圆的面积最大时,圆心坐标为 . 答案:(0,-1) 解析:因为 r= 1 2 √𝑘 2 + 4-4𝑘 2 = 1 2 √4-3𝑘 2, 所以当 k=0 时,r 最大,此时圆的面积最大, 圆的方程可化为 x 2+y2+2y=0, 即 x 2+(y+1)2=1,圆心坐标为(0,-1). 9.若方程 x 2+y2+Dx+Ey+F=0 表示以(2,-4)为圆心,4 为半径的圆,则 F= . 答案:4 解析:由题意得 { - 𝐷 2 = 2, - 𝐸 2 = -4, 1 2 √𝐷2 + 𝐸2-4𝐹 = 4, 解得 D=-4,E=8,F=4. 10.当实数 m 的值为多少时,关于 x,y 的方程(2m2+m-1)x 2+(m2 -m+2)y 2+m+2=0 表示的图形是一个圆? 解:要使方程(2m2+m-1)x 2+(m2 -m+2)y 2+m+2=0 表示的图形是一个圆,需满足 2m2+m-1=m2 -m+2,得 m2+2m-3=0,解得 m=-3 或 m=1. ①当 m=1 时,方程为 x 2+y2=- 3 2 ,不符合题意,舍去; ②当 m=-3 时,方程为 14x 2+14y 2=1,即 x 2+y2= 1 14,表示以原点为圆心,以 √14 14 为半径的圆. 综上所述,当 m=-3 时满足题意. 拓展提高 1.已知 A(1,0),B(0,√3),C(2,√3)三点,则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为( )
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的！ 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org A写 呼 c25 D哨 答案：B 解析：设△ABC外接圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0, (1+D+F=0, 由题意得{3+V3E+F=0, 4+3+2D+V3E+F=0, 解得D-2E-P-1 即△1BC外接圆的方程为22x+10 则圈心坐标为1,9 故圆心到原点的距离为 1+ 2.已知圆C的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，直线3x+4y+4=0与圆C相切，则圆C的方程为() A.x2+y2-2x-3=0 B.x2+y2+4x=0 C.x2+y2+2x-3=0 D.x2+y2.4x=0 答案D 解析：设圆心C的坐标为(a,0),a>0, “圆心C到直线3x+4y+4=0的距离dBa+4=2,解得a=2, 5 ∴.圆C的方程为(x-2)2+y2=4, 即x2+y2.4x=0. 3.(多选题)已知方程x2+y2+2ax-20y=0,下列叙述正确的是(） A.方程表示的是圆 B.当a0时，方程表示的圆过原点 C.当a0时，方程表示的圆关于直线x+y=0对称 D.当a0时，方程表示的圆的圆心在x轴上 4
4 A. 5 3 B. √21 3 C. 2√5 3 D. 4 3 答案:B 解析:设△ABC 外接圆的方程为 x 2+y2+Dx+Ey+F=0, 由题意得{ 1 + 𝐷 + 𝐹 = 0, 3 + √3𝐸 + 𝐹 = 0, 4 + 3 + 2𝐷 + √3𝐸 + 𝐹 = 0, 解得 D=-2,E=- 4√3 3 ,F=1. 即△ABC 外接圆的方程为 x 2+y2 -2x- 4√3 3 y+1=0. 则圆心坐标为(1, 2√3 3 ), 故圆心到原点的距离为√1 2 + ( 2√3 3 ) 2 = √21 3 . 2.已知圆 C 的半径为 2,圆心在 x 轴的正半轴上,直线 3x+4y+4=0 与圆 C 相切,则圆 C 的方程为( ) A.x 2+y2 -2x-3=0 B.x 2+y2+4x=0 C.x 2+y2+2x-3=0 D.x 2+y2 -4x=0 答案:D 解析:设圆心 C 的坐标为(a,0),a>0, ∴圆心 C 到直线 3x+4y+4=0 的距离 d=|3𝑎+4| 5 =2,解得 a=2, ∴圆 C 的方程为(x-2)2+y2=4, 即 x 2+y2 -4x=0. 3.(多选题)已知方程 x 2+y2+2ax-2ay=0,下列叙述正确的是( ) A.方程表示的是圆 B.当 a≠0 时,方程表示的圆过原点 C.当 a≠0 时,方程表示的圆关于直线 x+y=0 对称 D.当 a≠0 时,方程表示的圆的圆心在 x 轴上
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的！ 丛书主编任志河。 http://www.zhyh.org 答案：BC 解析：将方程配方，得(x+a)2+0y-a)2-2a2 当a0时，方程表示圆，而且圆心(-a,a)在直线x+y=0上，所以圆关于直线x+y=0对称. 将(0,0)代入原方程，左边=右边，故当方程表示圆时，圆经过原点 故A不正确，B,C正确，D不正确 4.己知A(-2,0),B1,0)两定点，如果动点P满足IPA川=21PBL,那么点P的轨迹所包围的图形的面积等于 () A.π B.4π C.8π D.9元 答案B 解析：设动点P的轨迹坐标为x,则由P4=2PB1,得(x+2)2+y2=2(x-12+y2,化简得(x 2)2+2=4,故点P的轨迹是以(2,0)为圆心，2为半径的圆，该圆的面积为4元 5方程2+y2+x+(m-1)y+㎡-0所确定的圆中，最大圆的面积是」 答案平 解析所给圆的半径 1+(m-1)2-2m2= -(m+1)2+3. 所以当m一1时，半径r取最大值要此时圆最大，最大圆的面积是要 挑战创新 点A(2,0)是圆x2+y2=4上的定点，点B(1,1)是圆内一点，P,Q为圆上的动点. (1)求线段AP的中点的轨迹方程， (2)若∠PBQ=90°，求线段PQ的中点的轨迹方程 解(1)设线段AP的中点为Mxy): 由中点公式得点P坐标为P(2x-2,2y) 因为点P在圆x2+y2=4上， 所以(2x-2)2+(2y)2=4 故线段AP的中点的轨迹方程为(x-1)2+2=1. (2)设线段PQ的中点为N(xy), 5
5 答案:BC 解析:将方程配方,得(x+a) 2+(y-a) 2=2a 2 . 当 a≠0 时,方程表示圆,而且圆心(-a,a)在直线 x+y=0 上,所以圆关于直线 x+y=0 对称. 将(0,0)代入原方程,左边=右边,故当方程表示圆时,圆经过原点. 故 A 不正确,B,C 正确,D 不正确. 4.已知 A(-2,0),B(1,0)两定点,如果动点 P 满足|PA|=2|PB|,那么点 P 的轨迹所包围的图形的面积等于 ( ) A.π B.4π C.8π D.9π 答案:B 解析:设动点 P 的轨迹坐标为(x,y),则由|PA|=2|PB|,得√(𝑥 + 2) 2 + 𝑦 2=2√(𝑥-1) 2 + 𝑦 2,化简得(x- 2)2+y2=4,故点 P 的轨迹是以(2,0)为圆心,2 为半径的圆,该圆的面积为 4π. 5.方程 x 2+y2+x+(m-1)y+1 2 m2=0 所确定的圆中,最大圆的面积是 . 答案: 3π 4 解析:所给圆的半径 r= 1 2 √1 + (𝑚-1) 2 -2𝑚2 = 1 2 √-(𝑚 + 1) 2 + 3. 所以当 m=-1 时,半径 r 取最大值√3 2 ,此时圆最大,最大圆的面积是3π 4 . 挑战创新 点 A(2,0)是圆 x 2+y2=4 上的定点,点 B(1,1)是圆内一点,P,Q 为圆上的动点. (1)求线段 AP 的中点的轨迹方程; (2)若∠PBQ=90°,求线段 PQ 的中点的轨迹方程. 解:(1)设线段 AP 的中点为 M(x,y), 由中点公式得点 P 坐标为 P(2x-2,2y). 因为点 P 在圆 x 2+y2=4 上, 所以(2x-2)2+(2y) 2=4, 故线段 AP 的中点的轨迹方程为(x-1)2+y2=1. (2)设线段 PQ 的中点为 N(x,y)
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的！ 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org 在Rt△PBQ中，IPM=|BNM 设O为坐标原点，连接ON,则ON⊥PQ, 所以OP2=|OW2+1PN2=|OW2+|BW2, 即x2+y2+(x-1)2+0y1)2=4, 故线段PQ的中点的轨迹方程为x2+y2-x少1=0. 6
6 在 Rt△PBQ 中,|PN|=|BN|. 设 O 为坐标原点,连接 ON,则 ON⊥PQ, 所以|OP|2=|ON|2+|PN|2=|ON|2+|BN|2 , 即 x 2+y2+(x-1)2+(y-1)2=4, 故线段 PQ 的中点的轨迹方程为 x 2+y2 -x-y-1=0