6.3 二项式定理 6.3.1 二项式定理 课后训练提升 基础巩固 1.化简多项式(2x+1)5-5(2x+1)4+10(2x+1)3-10(2x+1)2+5(2x+1)1的结果是() A.(2x+2)5 B.2r5 C.(2x-1)5 D.32x5 答案D 解析：原式=[2x+1)1]5=(2x)5=32x 2.(多选题)若Cm-1>3C,则m的取值可能是() A.6 B.7 C.8 D.9 答案BC 解析：根据题意，对于Cg-1和3C,有0≤m-1≤8，且0≤m≤8，则有1≤m≤8 若C-1>3C”,则有别 m>3变形可得m>27-3m解得m>号 (m-1)1(9-m)！ 综合可得2<m≤8，则m=7或8故选BC 3在（佳） 的展开式中常数项是( A.-28 B.-7 C.7 D.28 答案：C 解析（任的通项为11=C贴自）.(（)=1)x 当8=0，即k=6时，17=（←1C(月=7. 4在（停） 的展开式中x2的系数为() 号 B.15 4 c D唱 答案：C 解析（医）°的通项为11=c贴（受）()-26c哈 令3-=2，则k=l,因此2的系数为(-1)×2-4×Cg=故选C 5.组合式C%-2C1+4C-8C3+…+(-2)yC的值等于() A.3n-1 B.1 C.(-1y D.3n 答案：C
6.3 二项式定理 6.3.1 二项式定理 课后· 基础巩固 1.化简多项式(2x+1)5 -5(2x+1)4+10(2x+1)3 -10(2x+1)2+5(2x+1)-1 的结果是( ) A.(2x+2)5 B.2x 5 C.(2x-1)5 D.32x 5 答案:D 解析:原式=[(2x+1)-1]5=(2x) 5=32x 5 . 2.(多选题)若C8 𝑚-1>3C8 𝑚,则 m 的取值可能是( ) A.6 B.7 C.8 D.9 答案:BC 解析:根据题意,对于C8 𝑚-1和 3C8 𝑚,有 0≤m-1≤8,且 0≤m≤8,则有 1≤m≤8. 若C8 𝑚-1>3C8 𝑚,则有 8! (𝑚-1)!(9-𝑚)! >3× 8! 𝑚!(8-𝑚)! ,变形可得 m>27-3m,解得 m>27 4 , 综合可得27 4 <m≤8,则 m=7 或 8.故选 BC. 3.在( 𝑥 2 - 1 √x 3 ) 8 的展开式中常数项是( ) A.-28 B.-7 C.7 D.28 答案:C 解析:( 𝑥 2 - 1 √x 3 ) 8 的通项为 Tk+1=𝐶8 k ( x 2 ) 8-k · (- 1 √𝑥 3 ) 𝑘 =(-1)kC8 𝑘 ( 1 2 ) 8-𝑘 𝑥 8- 4 3 𝑘 , 当 8- 4 3 k=0,即 k=6 时,T7=(-1)6C8 6 ( 1 2 ) 2 =7. 4.在( √𝑥 2 - 2 √𝑥 ) 6 的展开式中,x 2 的系数为( ) A.- 15 4 B. 15 4 C.- 3 8 D. 3 8 答案:C 解析:( √𝑥 2 - 2 √𝑥 ) 6 的通项为 Tk+1=C6 𝑘 ( √𝑥 2 ) 6-𝑘 · (- 2 √𝑥 ) 𝑘 =(-1)k2 2k-6C6 𝑘 x 3-k , 令 3-k=2,则 k=1,因此 x 2 的系数为(-1)1×2 -4×C6 1=- 3 8 ,故选 C. 5.组合式C𝑛 0 -2C𝑛 1+4C𝑛 2 -8C𝑛 3+…+(-2)nC𝑛 𝑛的值等于( ) A.3 n -1 B.1 C.(-1)n D.3 n 答案:C
解析：C%-2C1+4C7-8C7+…+(-2yC7=C%+C1(-2)+C?(-22+C(-2)3+…+C7( 2y”=(1-2y”=(-1y 6.(x-V2)10的展开式中x4的系数是() A.-840 B.840 C.210 D.-210 答案B 解析：通项公式Tk+1=Ckx10-(-VZy,令k=4,即得(x-VZy)10的展开式中x5y4的系数 为C10×(-√24=840. 7.已知(x2)” 的展开式中，常数项为15，则n的值为( A.3 B.4 C.5 D.6 答案D 解析：展开式的通项为71=Cy-(I)-1yC令2n-3k=0,得 n=n,k∈N若k=2,则n=3不符合题意；若=4，则n=6,此时1Cg=15,所以 n=6. 8.(1-0为虚数单位)的展开式中第7项为 答案：-210 解析：由通项公式得T7=C(-i=-C。=210, 9.(1+x)3+(1+x)4+…+(1+x)10展开式中x3的系数为 答案330 解析x3的系数为C+C+C+…+C3。=C4+C+C+…+Ci=C-330 10.化简：S=1-2C1+4C2-8C7+…+(-2yCn∈N) 解：将S的表达式改写为S=C9+(-2)C1+(-2)2C2+(-2)3C+…+(-2yC=[1+(-2)]”=( 1y 1,n为偶数 因此S=(-1y= -1,n为奇数 11记(2x+)”的展开式中第m项的系数为bm (1)求bm的表达式 (2)若n=6,求展开式中的常数项 (3)若b3=2b4,求n 解(2x+)”的展开式中第m项为C12xm1(目m1=21Cm422 因此bm=2m+1-mC- 2)当n=6时，(2x+)的展开式的通项为T+1=C路(2x(月=26kC哈2 依题意，6-2k=0,得k=3 故展开式中的常数项为T4=23.Cg=160
解析:C𝑛 0 -2C𝑛 1+4C𝑛 2 -8C𝑛 3+…+(-2)nC𝑛 𝑛 = C𝑛 0 + C𝑛 1·(-2)+C𝑛 2·(-2)2+C𝑛 3·(-2)3+…+C𝑛 𝑛·(- 2)n=(1-2)n=(-1)n . 6.(x-√2y) 10 的展开式中 x 6y 4 的系数是( ) A.-840 B.840 C.210 D.-210 答案:B 解析:通项公式 Tk+1=C10 𝑘 x 10-k (-√2y) k ,令 k=4,即得(x-√2y) 10 的展开式中 x 6y 4的系数 为C10 4 ×(-√2) 4=840. 7.已知(𝑥 2 - 1 𝑥 ) 𝑛 的展开式中,常数项为 15,则 n 的值为( ) A.3 B.4 C.5 D.6 答案:D 解析:展开式的通项为 Tk+1=C𝑛 𝑘 (x 2 ) n-k·(-1)k·( 1 𝑥 ) 𝑘 =(-1)kC𝑛 𝑘 x 2n-3k .令 2n-3k=0,得 n= 3 2 k(n,k∈N* ).若 k=2,则 n=3 不符合题意;若 k=4,则 n=6,此时(-1)4·C6 4=15,所以 n=6. 8.(1-i)10(i 为虚数单位)的展开式中第 7 项为 . 答案:-210 解析:由通项公式得 T7=C10 6 ·(-i)6=-C10 6 =-210. 9.(1+x) 3+(1+x) 4+…+(1+x) 10 展开式中 x 3 的系数为 . 答案:330 解析:x 3 的系数为C3 3 + C4 3 + C5 3+…+C10 3 = C4 4 + C4 3 + C5 3+…+C10 3 = C11 4 =330. 10.化简:S=1-2C𝑛 1+4C𝑛 2 -8C𝑛 3+…+(-2)nC𝑛 𝑛 (n∈N* ). 解:将 S 的表达式改写为 S=C𝑛 0+(-2)C𝑛 1+(-2)2C𝑛 2+(-2)3C𝑛 3+…+(-2)nC𝑛 𝑛=[1+(-2)]n=(- 1)n . 因此 S=(-1)n={ 1,𝑛为偶数, -1,𝑛为奇数. 11.记(2𝑥 + 1 𝑥 ) 𝑛 的展开式中第 m 项的系数为 bm. (1)求 bm 的表达式; (2)若 n=6,求展开式中的常数项; (3)若 b3=2b4,求 n. 解:(1)(2𝑥 + 1 𝑥 ) 𝑛 的展开式中第 m 项为C𝑛 𝑚-1·(2x) n-m+1·( 1 𝑥 ) 𝑚-1 =2 n+1-m·C𝑛 𝑚-1·x n+2-2m, 因此 bm=2 n+1-m·C𝑛 𝑚-1 . (2)当 n=6 时,(2𝑥 + 1 𝑥 ) 𝑛 的展开式的通项为 Tk+1=C6 𝑘·(2x) 6-k·( 1 𝑥 ) 𝑘 =2 6-k·C6 𝑘·x 6-2k . 依题意,6-2k=0,得 k=3, 故展开式中的常数项为 T4=2 3·C6 3=160
(3)由(1)及已知，得2m-2.C7=22m-3.C,从而C=C,即n=5. 拓展提高 4 1.在(V反+友 的展开式中，x的幂指数是整数的项共有( A.3项 B.4项 C.5项 D.6项 答案：C 解析：7+1=C吃4x学.x片=C吃·x2号，又≤24，且kEN故当k=0,612,18,24时x 24k 的幂指数为整数，因此x的幂指数有5项是整数项， 2.在x2+ 的展开式中，若前三项的系数成等差数列，则展开式中有理项的项 2 数为( A.5 B.4 C.3 D.2 答案C 解析：二项展开式的前三项的系数分别为1，C以·，C·(),由其成等差数列，可得 2C以·1+C贤·（月），整理得n=1+,解得n=80n=1舍去)故展开式的通项 7+1=C哈)x4学若为有理项，则有4整∈Zk可取0,48，故展开式中有理项的项 数为3. 3使3x+) (n∈N的展开式中含有常数项的最小的n为( A.4 B.5 C.6 D.7 答案B 解析：71=c3xr-() =C哈3-x心，当Tk1是常数项时，nk=0,即当=2，n=5 时成立 4(多选题)关于（任+x3)”n∈N以下四种判断正确的是( A.存在n∈N,展开式中有常数项 B.对任意n∈N,展开式中没有常数项 C.对任意n∈N,展开式中没有x的一次项 D.存在n∈N,展开式中有x的一次项 答案：AD 解析（传+x)的展开式的通项为I+1=C略x,由通项公式可知，当n=4hk∈N门 和n=4k-1(k∈N)时，展开式中分别存在常数项和一次项. 故AD正确
(3)由(1)及已知,得 2 n-2·C𝑛 2=2·2 n-3·C𝑛 3 ,从而C𝑛 2 = C𝑛 3 ,即 n=5. 拓展提高 1.在(√𝑥 + 1 √x 3 ) 24 的展开式中,x 的幂指数是整数的项共有( ) A.3 项 B.4 项 C.5 项 D.6 项 答案:C 解析:Tk+1=C24 𝑘 𝑥 24-𝑘 2 · 𝑥 - 𝑘 3 = C24 𝑘 · 𝑥 12- 5 6 𝑘 ,又 k≤24,且 k∈N* ,故当 k=0,6,12,18,24 时,x 的幂指数为整数,因此 x 的幂指数有 5 项是整数项. 2.在(𝑥 1 2 + 1 2𝑥 1 4 ) 𝑛 的展开式中,若前三项的系数成等差数列,则展开式中有理项的项 数为( ) A.5 B.4 C.3 D.2 答案:C 解析:二项展开式的前三项的系数分别为 1,C𝑛 1 · 1 2 ,C𝑛 2 · ( 1 2 ) 2 ,由其成等差数列,可得 2C𝑛 1 · 1 2 =1+C𝑛 2 · ( 1 2 ) 2 ,整理得 n=1+ 𝑛(𝑛-1) 8 ,解得 n=8(n=1 舍去),故展开式的通项 Tk+1=C8 𝑘 ( 1 2 ) 𝑘 𝑥 4- 3𝑘 4 .若为有理项,则有 4- 3𝑘 4 ∈Z,k 可取 0,4,8,故展开式中有理项的项 数为 3. 3.使(3𝑥 + 1 𝑥√𝑥 ) 𝑛 (n∈N* )的展开式中含有常数项的最小的 n 为( ) A.4 B.5 C.6 D.7 答案:B 解析:Tk+1=C𝑛 𝑘 (3x) n-k( 1 𝑥√𝑥 ) 𝑘 = C𝑛 𝑘3 n-k𝑥 𝑛- 5 2 𝑘 ,当 Tk+1是常数项时,n- 5 2 k=0,即当 k=2,n=5 时成立. 4.(多选题)关于( 1 𝑥 + 𝑥 3 ) 𝑛 (n∈N* )以下四种判断正确的是( ) A.存在 n∈N* ,展开式中有常数项 B.对任意 n∈N* ,展开式中没有常数项 C.对任意 n∈N* ,展开式中没有 x 的一次项 D.存在 n∈N* ,展开式中有 x 的一次项 答案:AD 解析:( 1 𝑥 + 𝑥 3 ) 𝑛 的展开式的通项为 Tk+1=C𝑛 𝑘 x 4k-n ,由通项公式可知,当 n=4k(k∈N* ) 和 n=4k-1(k∈N* )时,展开式中分别存在常数项和一次项. 故 AD 正确
5若(ax2+)°的展开式中x的系数是-80，则实数a= 答案-2 解析：71=C(am25-()=C货asx10令10k=5,解得k=2.又展开式中r的 系数为-80，则有C好a3=-80,解得a=-2. 6.设a-0,n是大于1的自然数，(1+)的展开式为ao+a1x+a2x2++amr若点 Ai,a)i=0,1,2)的位置如图所示，则a= 3+---A 1↑Aa 答案3 解析：由题意知A0(0,1),A1(1,3),A2(2,4), 即a0=1,a1=3,a2=4 (1+)”的展开式的通项知Tk+1=C略（月）W=0,12,…m 故台-3三-4，解得a=3. 7.己知m,n∈Nx)=(1+xym+(1+xy”的展开式中x的系数为19，求x2的系数的最 小值及此时展开式中x?的系数 解x)=(1+xym+(1+xy=1+Cmx+Cnx2+…+Cmxm+1+Chx+Cx2++Cx” 由题设知m+n=19,又m,n∈N*,所以1≤m≤18. x2的系数为C品+C2=m2-m)+之r2-n）=m2-19m+171. 所以当m=9或10时，x2的系数的最小值为81， 此时x7的系数为Cg+C10=156 挑战创新 己知x)=(1+xy"g(x)=(1+2x)y"(m,n∈N), (1)若m=3,n=4,求x)gx)的展开式中含x2的项 (2)令(x)=x)+gx),h(x)的展开式中含x的项的系数为12，那么当m,n为何值时， 含x2的项的系数取得最小值？ 解：(1)当m=3,n=4时x)gx)=(1+x)3(1+2x)4.(1+x)3展开式的通项为C3x,(1+2x)4 展开式的通项为C4(2xyx)gx)的展开式含x2的项为 1×C(2x2+Cx×C42x)+Cx2×1=51x2 (2)h(x)=jx)+gx)=(1+xy"+(1+2xy” 因为h(x)的展开式中含x的项的系数为12 所以C+2C1=12
5.若(𝑎𝑥 2 + 1 √𝑥 ) 5 的展开式中 x 5 的系数是-80,则实数 a= . 答案:-2 解析:Tk+1=C5 𝑘·(ax2 ) 5-k( 1 √𝑥 ) 𝑘 = C5 𝑘·a 5-k𝑥 10- 5 2 𝑘 .令 10- 5 2 k=5,解得 k=2.又展开式中 x 5 的 系数为-80,则有C5 2·a 3=-80,解得 a=-2. 6.设 a≠0,n 是大于 1 的自然数,(1 + 𝑥 𝑎 ) 𝑛 的展开式为 a0+a1x+a2x 2+…+anx n .若点 Ai(i,ai)(i=0,1,2)的位置如图所示,则 a= . 答案:3 解析:由题意知 A0(0,1),A1(1,3),A2(2,4), 即 a0=1,a1=3,a2=4. 由(1 + 𝑥 𝑎 ) 𝑛 的展开式的通项知 Tk+1=C𝑛 𝑘 ( 𝑥 𝑎 ) 𝑘 (k=0,1,2,…,n). 故 C𝑛 1 𝑎 =3,C𝑛 2 𝑎 2=4,解得 a=3. 7.已知 m,n∈N* ,f(x)=(1+x) m+(1+x) n 的展开式中 x 的系数为 19,求 x 2 的系数的最 小值及此时展开式中 x 7 的系数. 解:f(x)=(1+x) m+(1+x) n=1+C𝑚 1 x+C𝑚 2 x 2+…+C𝑚 𝑚x m+1+C𝑛 1 x+C𝑛 2 x 2+…+C𝑛 𝑛 x n . 由题设知 m+n=19,又 m,n∈N* ,所以 1≤m≤18. x 2 的系数为C𝑚 2 + C𝑛 2 = 1 2 (m2 -m)+ 1 2 (n 2 -n)=m2 -19m+171. 所以当 m=9 或 10 时,x 2 的系数的最小值为 81, 此时 x 7 的系数为C9 7 + C10 7 =156. 挑战创新 已知 f(x)=(1+x) m,g(x)=(1+2x) n (m,n∈N* ). (1)若 m=3,n=4,求 f(x)g(x)的展开式中含 x 2 的项. (2)令 h(x)=f(x)+g(x),h(x)的展开式中含 x 的项的系数为 12,那么当 m,n 为何值时, 含 x 2 的项的系数取得最小值? 解:(1)当 m=3,n=4 时,f(x)g(x)=(1+x) 3·(1+2x) 4 .(1+x) 3 展开式的通项为C3 𝑟 x r ,(1+2x) 4 展开式的通项为C4 𝑟 (2x) r ,f(x)g(x)的展开式含 x 2 的项为 1×C4 2 (2x) 2+C3 1 x×C4 1 (2x)+C3 2 x 2×1=51x 2 . (2)h(x)=f(x)+g(x)=(1+x) m+(1+2x) n . 因为 h(x)的展开式中含 x 的项的系数为 12, 所以C𝑚 1 +2C𝑛 1=12
即m+2n=12, 所以m=12-2n. x2的系数为C+4C=C2.2n+4C2=12-2m)(11-2m)+2nn-l)=4r2-25n+66=4(n- }+铝n∈N,所以当m=3m=6时，含的项的系数取得最小值
即 m+2n=12, 所以 m=12-2n. x 2 的系数为C𝑚 2 +4C𝑛 2 = C12-2𝑛 2 +4C𝑛 2 = 1 2 (12-2n)·(11-2n)+2n(n-1)=4n 2 -25n+66=4(𝑛- 25 8 ) 2 + 431 16 ,n∈N* ,所以当 n=3,m=6 时,含 x 2 的项的系数取得最小值