第五章 一元函数的导数及其应用 5.1导数的概念及其意义 5.1.1变化率问题 课后训练提升 1.己知物体运动的位移s(单位：m)与时间（单位：s)的关系为s(0=3,若 =m3+4-18m5,则下列说法正确的是( ) t A.18m/s是物体从开始到3s这段时间内的平均速度 B.18ms是物体从3s到(3+△)s这段时间内的平均速度 C.18m/s是物体在3s这一时刻的瞬时速度 D.18m/s是物体在(3+△1)s这一时刻的瞬时速度 答案：C 2.曲线y=x)=2x2在点A(2,8)处的切线斜率为( A.4 B.16 C.8 D.2 答案：C 解析：斜率k=lim 2+4x-f2-lim242+a2.8=lim(8+2△x)=8. △x+0 4X-+0 △x+0 3.若一质点运动的位移s与时间1的关系为s=5-32,则该质点在=1时的瞬时速 度是( A.-3 B.3 C.6 D.-6 答案D 解析：质点在仁1时的瞬时速度为=im=31+45-3x正=2m(3A6)=6, 1+0 4.若曲线y=x2+ax+b在点(0，b)处的切线方程是xy+1=0,则() A.a=1,b=1 B.a=-1,b=1 C.a=1,b=-1 D.a=-1b=-1 答案：A 解析：，切线斜率k=lim 0+4x2+a0+4x+b-b=1, △x→+0 Ax .a=1 ,点(0，b)在切线上，∴.b=1.故选A 5.若曲线y=x2在某点处的切线的倾斜角为二，则该点的坐标为()】 A.(0,0) B.(2,4)
第五章 一元函数的导数及其应用 5.1 导数的概念及其意义 5.1.1 变化率问题 课后· 1.已知物体运动的位移 s(单位:m)与时间 t(单位:s)的关系为 s(t)=3t 2 ,若 v= lim Δ𝑡→0 s(3+𝛥t)-s(3) 𝛥t =18 m/s,则下列说法正确的是( ). A.18 m/s 是物体从开始到 3 s 这段时间内的平均速度 B.18 m/s 是物体从 3 s 到(3+Δt)s 这段时间内的平均速度 C.18 m/s 是物体在 3 s 这一时刻的瞬时速度 D.18 m/s 是物体在(3+Δt)s 这一时刻的瞬时速度 答案:C 2.曲线 y=f(x)=2x 2 在点 A(2,8)处的切线斜率为( ). A.4 B.16 C.8 D.2 答案:C 解析:斜率 k= lim Δ𝑥→0 f(2+𝛥x)-f(2) 𝛥x = 𝑙𝑖𝑚 𝛥x→0 2(2+Δ𝑥) 2 -8 Δ𝑥 = lim Δ𝑥→0 (8+2Δx)=8. 3.若一质点运动的位移 s 与时间 t 的关系为 s=5-3t 2 ,则该质点在 t=1 时的瞬时速 度是( ). A.-3 B.3 C.6 D.-6 答案:D 解析:质点在 t=1 时的瞬时速度为 v= lim Δ𝑡→0 5-3(1+𝛥t) 2 -(5-3×1 2 ) 𝛥t = 𝑙𝑖𝑚 𝛥t→0 (-3Δt-6)=-6. 4.若曲线 y=x2+ax+b 在点(0,b)处的切线方程是 x-y+1=0,则( ). A.a=1,b=1 B.a=-1,b=1 C.a=1,b=-1 D.a=-1,b=-1 答案:A 解析:∵切线斜率 k= lim Δ𝑥→0 (0+𝛥x) 2+𝑎(0+𝛥x)+b-b 𝛥x =1, ∴a=1. ∵点(0,b)在切线上,∴b=1.故选 A. 5.若曲线 y=x2 在某点处的切线的倾斜角为π 4 ,则该点的坐标为( ). A.(0,0) B.(2,4)
c() D() 答案D 解析：，切线斜率k=lim x+xxlim (2x+Ax)=2x. △X+0 4X→0 令2x=m-1,得xy-= 故所求点的坐标为（侵》 6.若曲线y=ax2在点(1，a)处的切线与直线2x-y-6=0平行，则a等于()】 A.1 B时 c D.-1 案：A 解析：由已知得切线斜车k=lim1+4x-.ax坐=lim(2a+aAr=2a 令2a=2,得a=1 7.过点P(-1,2)且与曲线y=3x2-4x+2在点M1,1)处的切线平行的直线方程 是 答案：2x-y+4=0 解析：曲线y=3x2-4x+2在，点M1,1)处的切线斜率为 k=im21+42.4t40*2-3+2=lim(6△r+2）-=2. △X→0 Ax 4X+0 由题意可知过，点P(-1,2)的直线的斜率为2， 故所求直线方程为y-2=2(x+1), 即2x-y+4=0. 8.若曲线y=2x2-4x+a与直线y=1相切，则a= 答案：3 解析：设切，点坐标为(0,1)， 则切线斜率k=lim 2o+4x2-.4x+4)+a-(2x后-4x0+@=4x0-4=0, △x+0 △x ∴.x0=1,即切点坐标为(1,1) .2-4+a=1,即a=3 9.一质点M运动的位移s(单位：m)与时间（单位：s)的关系为s()=a2+1,若质点M 在t=2s时的瞬时速度为8m/s,则常数a的值为 答案2 解桥瓷=2t2-2如-4a+a∴“☐气-4a=8即a2 At △t 10.设P为曲线Cy=x2+2x+3上的点，且曲线C在点P处的切线倾斜角的取值范 围为0，则点P的横坐标的取值范围为 答案1，引 解析：设点P的横坐标为0
C.( 1 4 , 1 16 ) D.( 1 2 , 1 4 ) 答案:D 解析:∵切线斜率 k= lim Δ𝑥→0 (x+𝛥x) 2 -x 2 𝛥x = 𝑙𝑖𝑚 𝛥x→0 (2x+Δx)=2x, ∴令 2x=tanπ 4 =1,得 x= 1 2 .∴y=( 1 2 ) 2 = 1 4 . 故所求点的坐标为( 1 2 , 1 4 ). 6.若曲线 y=ax2 在点(1,a)处的切线与直线 2x-y-6=0 平行,则 a 等于( ). A.1 B. 1 2 C.- 1 2 D.-1 答案:A 解析:由已知得切线斜率 k= lim Δ𝑥→0 a(1+𝛥x) 2 -𝑎×1 2 𝛥x = 𝑙𝑖𝑚 𝛥x→0 (2a+aΔx)=2a. 令 2a=2,得 a=1. 7.过点 P(-1,2)且与曲线 y=3x 2 -4x+2 在点 M(1,1)处的切线平行的直线方程 是 . 答案:2x-y+4=0 解析:曲线 y=3x 2 -4x+2 在点 M(1,1)处的切线斜率为 k= lim Δ𝑥→0 3(1+𝛥x) 2 -4(1+𝛥x)+2-3+4-2 𝛥x = 𝑙𝑖𝑚 𝛥x→0 (3Δx+2)=2. 由题意可知过点 P(-1,2)的直线的斜率为 2, 故所求直线方程为 y-2=2(x+1), 即 2x-y+4=0. 8.若曲线 y=2x 2 -4x+a 与直线 y=1 相切,则 a= . 答案:3 解析:设切点坐标为(x0,1), 则切线斜率 k= lim Δ𝑥→0 2(x0+𝛥x) 2 -4(x0+𝛥x)+a-(2x0 2 -4x0+𝑎) 𝛥x =4x0-4=0, ∴x0=1,即切点坐标为(1,1). ∴2-4+a=1,即 a=3. 9.一质点 M 运动的位移 s(单位:m)与时间 t(单位:s)的关系为 s(t)=at2+1,若质点 M 在 t=2 s 时的瞬时速度为 8 m/s,则常数 a 的值为 . 答案:2 解析:∵ Δ𝑠 Δ𝑡 = 𝑠(2+Δ𝑡)-𝑠(2) Δ𝑡 = 𝑎(2+Δ𝑡) 2 -4𝑎 Δ𝑡 =4a+aΔt,∴ lim Δ𝑡→0 𝛥s 𝛥t =4a=8,即 a=2. 10.设 P 为曲线 C:y=x2+2x+3 上的点,且曲线 C 在点 P 处的切线倾斜角的取值范 围为[0, π 4 ],则点 P 的横坐标的取值范围为 . 答案:[-1,- 1 2 ] 解析:设点 P 的横坐标为 x0
则曲线C在点P处的切线斜率k=limn+4xP+2x,+4x+3-x号+2xn+3 △元+0 Ax -m鸟+2a △x m(Ax+20+2)=20+2 由已知得0≤20+2≤1，.-1≤x0≤月 “点P横坐标的取值范国为[1，引 11.已知一物体做自由落体运动，下落的高度h(单位：m)与时间（单位：s)的关系为 h0=g2,其中g为重力加速度g9.8m/s2 (1)求1从3s到3.1s,3.01s,3.001s,3.0001s各段内的平均速度； (2)求=3s时的瞬时速度 解(1)当1在区间[3,3.1]上时，△1=3.1-3=0.1(S), △h=h(3.1)h3)=233.122332≈2.989(m), 故元1=0≈29-29.89m5 0.1 同理，当1在区间[3,3.01]上时，2≈29.449m/s,当1在区间[3,3.001]上时，3≈29.4049 m/s,当t在区间[3,3.0001]上时，币429.40049m/s. (2)因为坐=h3+Ah3_=3+a2932 △t △t a2=86+, 所以m尝=m236+A=3g29.4m6 所以t=3s时的瞬时速度约为29.4ms
则曲线 C 在点 P 处的切线斜率 k= lim Δ𝑥→0 (x0+𝛥x) 2+2(x0+𝛥x)+3-(x0 2+2x0+3) 𝛥x = 𝑙𝑖𝑚 𝛥x→0 (2𝑥0 +2)·Δ𝑥+(Δ𝑥) 2 Δ𝑥 = lim Δ𝑥→0 (Δx+2x0+2)=2x0+2. 由已知得 0≤2x0+2≤1,∴-1≤x0≤- 1 2 . ∴点 P 横坐标的取值范围为[-1,- 1 2 ]. 11.已知一物体做自由落体运动,下落的高度 h(单位:m)与时间 t(单位:s)的关系为 h(t)= 1 2 gt2 ,其中 g 为重力加速度,g≈9.8 m/s2 . (1)求 t 从 3 s 到 3.1 s,3.01 s,3.001 s,3.000 1 s 各段内的平均速度; (2)求 t=3 s 时的瞬时速度. 解:(1)当 t 在区间[3,3.1]上时,Δt=3.1-3=0.1(s), Δh=h(3.1)-h(3)= 1 2 g·3.1 2 - 1 2 g·3 2≈2.989(m), 故𝑣1 = Δℎ Δ𝑡 ≈ 2.989 0.1 =29.89(m/s). 同理,当 t 在区间[3,3.01]上时,𝑣2≈29.449 m/s,当 t 在区间[3,3.001]上时,𝑣3≈29.404 9 m/s,当 t 在区间[3,3.000 1]上时,𝑣4≈29.400 49 m/s. (2)因为Δℎ Δ𝑡 = ℎ(3+Δ𝑡)-ℎ(3) Δ𝑡 = 1 2 𝑔(3+Δ𝑡) 2 - 1 2 𝑔·3 2 Δ𝑡 = 1 2 g(6+Δt), 所以 lim Δ𝑡→0 𝛥h 𝛥t = 𝑙𝑖𝑚 𝛥t→0 1 2 g(6+Δt)=3g≈29.4(m/s). 所以 t=3 s 时的瞬时速度约为 29.4 m/s