5.3.2函数的极值与最大（小）值 第1课时 函数的极值 课后·训练提升 基础巩固 1.函数x)=3x2lnx-x的极值点的个数是(). A.0 B.1 C.2 D.3 答案B 解析：函数x)的定义域为(0，+o), /=6r1-621=2x13x+u ∴.当02时fx)>0. ∴x=二是x)的极值点 故x)的极值点的个数为1.故选B. 2.已知函数x)=2x3+ax2+36x-24在x=2处有极值，则该函数的单调递增区间是 () A.(2,3) B.(-0,2)和(3，+0) C.(3,+oo) D.(-0,2) 答案B 解析：因为fx)=6r2+2ar+36,且x)在x=2处有极值， 所以f2)=0,即24+4a+36=0,解得a=-15 所以fx)=6x2-30x+36=6(x-2)x-3) 由fx)>0,得x3.故选B. 3.若a>0,b>0,且函数x)=4x3-ar2-2bxr+2在x=1处有极值，则ab的最大值为 (） A.2 B.3 C.6 D.9 答案D 解析fx)=12x2-2ax-2b, x)在x=1处有极值 ∴.f1)=12-2a-2b=0,.a+b=6 又a>0,b>0,.ab≤a+b=9, 当且仅当a=b=3时，等号成立 故ab的最大值为9
5.3.2 函数的极值与最大(小)值 第 1 课时 函数的极值 课后· 基础巩固 1.函数 f(x)=3x 2 -ln x-x 的极值点的个数是( ). A.0 B.1 C.2 D.3 答案:B 解析:函数 f(x)的定义域为(0,+∞), f'(x)=6x- 1 𝑥 -1= 6𝑥 2 -𝑥-1 𝑥 = (2𝑥-1)(3𝑥+1) 𝑥 , ∴当 01 2时,f'(x)>0. ∴x= 1 2是 f(x)的极值点. 故 f(x)的极值点的个数为 1.故选 B. 2.已知函数 f(x)=2x 3+ax2+36x-24 在 x=2 处有极值,则该函数的单调递增区间是 ( ). A.(2,3) B.(-∞,2)和(3,+∞) C.(3,+∞) D.(-∞,2) 答案:B 解析:因为 f'(x)=6x 2+2ax+36,且 f(x)在 x=2 处有极值, 所以 f'(2)=0,即 24+4a+36=0,解得 a=-15. 所以 f'(x)=6x 2 -30x+36=6(x-2)(x-3). 由 f'(x)>0,得 x3.故选 B. 3.若 a>0,b>0,且函数 f(x)=4x 3 -ax2 -2bx+2 在 x=1 处有极值,则 ab 的最大值为 ( ). A.2 B.3 C.6 D.9 答案:D 解析:f'(x)=12x 2 -2ax-2b, ∵f(x)在 x=1 处有极值, ∴f'(1)=12-2a-2b=0,∴a+b=6. 又 a>0,b>0,∴ab≤ (𝑎+𝑏) 2 4 =9, 当且仅当 a=b=3 时,等号成立. 故 ab 的最大值为 9
4.(多选题)如果函数y=x)的导函数y=x)的图象如图所示，那么以下关于函数 y=x)的判断正确的是( y=f(x) -10 12345 A.在区间(2,4)内单调递减 B.在区间(2,3)内单调递增 C.x=-3是极小值点 D.x=4是极大值点 答案BD 解析：当x∈(2,4)时fx)>0,因此函数y=x)在区间(2,4)内单调递增，故A不正确，B 正确； 由题图知，当x=-3时，函数x)取得极小值，但是函数y=x)没有取得极小值，故C 错误； 当x=4时fx)=0;当20,x)单调递增；当x>4时fx)0,得x2,由fx)<0,得1<x<2,所以函数x)在区间(o,1),(2,+o)上 单调递增，在区间(1,2)上单调递减，从而可知x)的极大值和极小值分别为 1),2) 若函数x)恰好有两个不同的零点，则1)=0或2)=0，解得a=5或a=4 6.己知函数x)=x2-alnx(a∈R)不存在极值点，则a的取值范围是() A.(-0,0) B.(0,+oo) C.[0,+o) D.(-0,0] 答案D 解析)的定义域是0，+o/)=2x=.若)在区间0，+0)上不存在极值 点，则a≤2x2在区间(0，+o)上恒成立，故a≤0.故选D 7.当函数y=xe取极值时，其图象的切线方程为】 答案y=日
4.(多选题)如果函数 y=f(x)的导函数 y=f'(x)的图象如图所示,那么以下关于函数 y=f(x)的判断正确的是( ). A.在区间(2,4)内单调递减 B.在区间(2,3)内单调递增 C.x=-3 是极小值点 D.x=4 是极大值点 答案:BD 解析:当 x∈(2,4)时,f'(x)>0,因此函数 y=f(x)在区间(2,4)内单调递增,故 A 不正确,B 正确; 由题图知,当 x=-3 时,函数 f'(x)取得极小值,但是函数 y=f(x)没有取得极小值,故 C 错误; 当 x=4 时,f'(x)=0;当 20,f(x)单调递增;当 x>4 时,f'(x)0,得 x2,由 f'(x)<0,得 1<x<2,所以函数 f(x)在区间(-∞,1),(2,+∞)上 单调递增,在区间(1,2)上单调递减,从而可知 f(x)的极大值和极小值分别为 f(1),f(2). 若函数 f(x)恰好有两个不同的零点,则 f(1)=0 或 f(2)=0,解得 a=5 或 a=4. 6.已知函数 f(x)=x2 -aln x(a∈R)不存在极值点,则 a 的取值范围是( ). A.(-∞,0) B.(0,+∞) C.[0,+∞) D.(-∞,0] 答案:D 解析:f(x)的定义域是(0,+∞),f'(x)=2x- 𝑎 𝑥 = 2𝑥 2 -𝑎 𝑥 ,若 f(x)在区间(0,+∞)上不存在极值 点,则 a≤2x 2 在区间(0,+∞)上恒成立,故 a≤0.故选 D. 7.当函数 y=xe x 取极值时,其图象的切线方程为 . 答案:y=- 1 e
解析：令y'=e+xe=(1+x)e'=0,得x=l, y=所求切线方程为=。 8.己知函数x)=ax2+bx在x=二处有极值，则b的值为 答案-2 解析fx)=2axr+b, 函数x)在x=上处有极值 月)=2a+b=0,得b=-2 9.函数x)=r3+x+1有极值的充要条件是 答案a20或m0x)- 京+=2=*型 2x2 2x2
解析:令 y'=e x+xe x=(1+x)ex=0,得 x=-1, ∴y=- 1 e ,∴所求切线方程为 y=- 1 e . 8.已知函数 f(x)=ax2+bx 在 x= 1 𝑎处有极值,则 b 的值为 . 答案:-2 解析:f'(x)=2ax+b, ∵函数 f(x)在 x= 1 𝑎处有极值, ∴f'( 1 𝑎 )=2a· 1 𝑎 +b=0,得 b=-2. 9.函数 f(x)=ax3+x+1 有极值的充要条件是 . 答案:a20 或 m0),f'(x)=- 1 𝑥 − 1 2𝑥 2 + 3 2 = 3𝑥 2 -2𝑥-1 2𝑥 2 = (3𝑥+1)(𝑥-1) 2𝑥 2
令fx)=0,解得x1=1,n=含舍去)】 当x∈(0,1)时fx)0,故x)在区间(1，+o)上单调递增.故x)在x=1处取得极小 值，极小值为1)=3，x)无极大值 拓展提高 1.己知函数x)=x3-px2-gg的图象与x轴相切于点(1,0)，则x)的( A.极大值为号极小值为0 B极大值为1，极小值为 C.极小值为会极大值为0 D.极大值为号极小值为 答案：A 解析：因为fx)=3xr2-2px-q 所以f1)=3-2p-q=0.① 又1)=1-p-q=0,② 联立①②，解得p=2,q=1. 所以x)=x3-2x2+x,fx)=3x2-4x+1. 令fx)=0,解得x=1或=子 当x0，函数x)单调递增 当1时，fx)>0,函数x)单调递增， 所以当x时，函数)有极大值得)=务 当x=1时，函数x)有极小值1)=0. 故选A 2.己知函数x)=ar3+bx2+cx的图象如图所示，且x)在x=xo与x=2处取得极值 则1)+-1)的值一定( A.等于0 B.大于0 C.小于0 D.小于或等于0 答案B 解析fx)=3ax2+2bx+c 令x)=0,则x0和2是该方程的根， 所以0+2=2弛<0，即0. 3a a
令 f'(x)=0,解得 x1=1,x2=- 1 3 (舍去). 当 x∈(0,1)时,f'(x)0,故 f(x)在区间(1,+∞)上单调递增.故 f(x)在 x=1 处取得极小 值,极小值为 f(1)=3,f(x)无极大值. 拓展提高 1.已知函数 f(x)=x3 -px2 -qx 的图象与 x 轴相切于点(1,0),则 f(x)的( ). A.极大值为 4 27 ,极小值为 0 B.极大值为 1,极小值为1 3 C.极小值为- 4 27 ,极大值为 0 D.极大值为 4 27 ,极小值为- 4 27 答案:A 解析:因为 f'(x)=3x 2 -2px-q, 所以 f'(1)=3-2p-q=0.① 又 f(1)=1-p-q=0,② 联立①②,解得 p=2,q=-1. 所以 f(x)=x3 -2x 2+x,f'(x)=3x 2 -4x+1. 令 f'(x)=0,解得 x=1 或 x= 1 3 . 当 x0,函数 f(x)单调递增; 当 1 3 1 时,f'(x)>0,函数 f(x)单调递增, 所以当 x= 1 3时,函数 f(x)有极大值 f( 1 3 ) = 4 27 ; 当 x=1 时,函数 f(x)有极小值 f(1)=0. 故选 A. 2.已知函数 f(x)=ax3+bx2+cx 的图象如图所示,且 f(x)在 x=x0 与 x=2 处取得极值, 则 f(1)+f(-1)的值一定( ). A.等于 0 B.大于 0 C.小于 0 D.小于或等于 0 答案:B 解析:f'(x)=3ax2+2bx+c. 令 f'(x)=0,则 x0 和 2 是该方程的根, 所以 x0+2=- 2𝑏 3𝑎 0
由题图知，fx)0,所以b>0 因为1)+几-1)=2b,所以1)+-1)>0 3.设a0
由题图知,f'(x)0,所以 b>0. 因为 f(1)+f(-1)=2b,所以 f(1)+f(-1)>0. 3.设 a0
令w)=0,解得x=或x=l, 又x)在x=1处取得极小值，则01 6.若x=-2是函数x)=(x2+ax-1)e-1的极值点，则x)的极小值为 答案1 解析：因为x)=(x2+ar-1)e-l, 所以fx)=(2x+a)e-l+(x2+ax-1)e-l=er-l.[x2+(a+2)x+a-1]. 由x=-2是函数x)的极值，点，得f-2)=e3.(4-2a-4+-1)=(-a-1)e3=0,所以a=-1 所以fx)=(x2-x-1)e-lfx)=e-l(x2+x-2) 令fx)>0,得x1;令fx)1,解得0时，解得x-l,当fx)<0时，解得-2<x<-l,所以函数x)的单调递 增区间为(00，-2).(-1，+o),单调递减区间为(-2，-1)。 (2)令fx)=(2x+a)e+(x2+ax+a)er=[x2+(2+a)x+2a]er=(x+a)x+2)er=0
令 f'(x)=0,解得 x= 1 𝑎或 x=1, 又 f(x)在 x=1 处取得极小值,则 01. 6.若 x=-2 是函数 f(x)=(x 2+ax-1)ex-1 的极值点,则 f(x)的极小值为 . 答案:-1 解析:因为 f(x)=(x 2+ax-1)ex-1 , 所以 f'(x)=(2x+a)ex-1+(x 2+ax-1)ex-1=e x-1·[x 2+(a+2)x+a-1]. 由 x=-2 是函数 f(x)的极值点,得 f'(-2)=e -3·(4-2a-4+a-1)=(-a-1)e-3=0,所以 a=-1. 所以 f(x)=(x 2 -x-1)ex-1 ,f'(x)=e x-1 (x 2+x-2). 令 f'(x)>0,得 x1;令 f'(x)1,解得 a0 时,解得 x-1,当 f'(x)<0 时,解得-2<x<-1,所以函数 f(x)的单调递 增区间为(-∞,-2),(-1,+∞),单调递减区间为(-2,-1). (2)令 f'(x)=(2x+a)ex+(x 2+ax+a)ex=[x 2+(2+a)x+2a]ex=(x+a)(x+2)ex=0
得x=-a或x=-2. 当a=2时，fx)≥0恒成立，函数x)无极值，故舍去. 当a-2. 当x变化时x)x)的变化情况如下表所示 （-00,-2) 2 -2,-a) -a -a,+00) fx) 0 ) 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 由表可知x):大=儿-2)=(4-2a+a)e2=3,解得a=4-3e20， 即+a0或a-l>0,解得a号或a>l, 所以当a∈(-∞，-)U(1,+∞)时，曲线x)与x轴仅有一个交点 挑战创新 己知函数x)=x4+ax3+2x2+bx∈R),其中a,b∈R (1)当a=9时，讨论函数x)的单调性 (2)若函数x)仅在x=0处有极值，求a的取值范围！ 解：(1)fx)=4x3+3ax2+4x=x(4x2+3ax+4), 当a=9时fx)=x(4x2-10x+4)=2x2x-1x-2) 令)=0，解得x1=0,nx3=2 当x变化时fx),x)的变化情况如下表所示
得 x=-a 或 x=-2. 当 a=2 时,f'(x)≥0 恒成立,函数 f(x)无极值,故舍去. 当 a-2. 当 x 变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表所示. x (-∞,-2) -2 (-2,-a) -a (-a,+∞) f'(x) + 0 - 0 + f(x) 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 由表可知,f(x)极大值=f(-2)=(4-2a+a)e-2=3,解得 a=4-3e20, 即 5 27 +a0,解得 a1, 所以当 a∈(−∞,− 5 27)∪(1,+∞)时,曲线 y=f(x)与 x 轴仅有一个交点. 挑战创新 已知函数 f(x)=x4+ax3+2x 2+b(x∈R),其中 a,b∈R. (1)当 a=- 10 3 时,讨论函数 f(x)的单调性; (2)若函数 f(x)仅在 x=0 处有极值,求 a 的取值范围. 解:(1)f'(x)=4x 3+3ax2+4x=x(4x 2+3ax+4), 当 a=- 10 3 时,f'(x)=x(4x 2 -10x+4)=2x(2x-1)(x-2). 令 f'(x)=0,解得 x1=0,x2= 1 2 ,x3=2. 当 x 变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表所示
-0,0) 0 (,) (2,+0 f(x) 0 ) 单调递减 极小值 单调递增极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以x)在区间(0，，2，+0)上单调递增，在区间(0,0)，.（经，2）上单调递减 (2)/x)=x(4x2+3ar+4),显然x=0不是方程4x2+3ar+4=0的根，为使x)仅在x=0 处有极值，必须有42+3ax+4≥0恒成立，即有4=9a2-64≤0，解得≤a≤号此时 0)=b是唯一的极值 因此满足条件的a的取值范国是[是，引
x (-∞,0) 0 (0, 1 2 ) 1 2 ( 1 2 ,2) 2 (2,+∞) f'(x) - 0 + 0 - 0 + f(x) 单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以 f(x)在区间(0, 1 2 ),(2,+∞)上单调递增,在区间(-∞,0),( 1 2 , 2)上单调递减. (2)f'(x)=x(4x 2+3ax+4),显然 x=0 不是方程 4x 2+3ax+4=0 的根,为使 f(x)仅在 x=0 处有极值,必须有 4x 2+3ax+4≥0 恒成立,即有 Δ=9a 2 -64≤0,解得- 8 3 ≤a≤ 8 3 ,此时 f(0)=b 是唯一的极值. 因此满足条件的 a 的取值范围是[− 8 3 , 8 3 ]