第2课时 函数的最大（小）值 课后训练提升 基础巩固 1.己知函数x)=x3px2-gg的图象与x轴相切于点(1,0)，则x)在区间[-1,1]上的最 大值、最小值分别为( A.0,-4 B务4 C.0 D.2,0 答案B 解折由短老得阳8中昭=子 则x)=xr3-2xr2+x,fx)=3x2-4x+1, 令x)=0,解得x=1或x=子 又)=-I=4)=0, 所以)a=务x)加im=4 2.函数x)=x44xx0, .当x=1时，x)取得最小值，且最小值为1)=3 4.己知a,b为正实数，函数x)=ax3+bx+2在区间[0,1]上的最大值为4，则x)在区 间[-1,0]上的最小值为( A.0 B
第 2 课时 函数的最大(小)值 课后· 基础巩固 1.已知函数 f(x)=x3 -px2 -qx 的图象与 x 轴相切于点(1,0),则 f(x)在区间[-1,1]上的最 大值、最小值分别为( ). A.0,-4 B. 4 27 ,-4 C. 4 27 ,0 D.2,0 答案:B 解析:由题意得{ 𝑓(1) = 0, 𝑓'(1) = 0, 即 { 𝑝 + 𝑞 = 1, 3-2𝑝-𝑞 = 0, 得{ 𝑝 = 2, 𝑞 = -1. 则 f(x)=x3 -2x 2+x,f'(x)=3x 2 -4x+1, 令 f'(x)=0,解得 x=1 或 x= 1 3 , 又 f( 1 3 ) = 4 27 ,f(-1)=-4,f(1)=0, 所以 f(x)max= 4 27 ,f(x)min=-4. 2.函数 f(x)=x4 -4x(|x|0, ∴当 x=1 时,f(x)取得最小值,且最小值为 f(1)=3. 4.已知 a,b 为正实数,函数 f(x)=ax3+bx+2 在区间[0,1]上的最大值为 4,则 f(x)在区 间[-1,0]上的最小值为( ). A.0 B. 3 2
C.-2 D.2 答案：A 解析：因为a,b为正实数，所以x)=ar3+bx+2是增函数，所以函数x)=ax3+bx+2 在区间[0,1]上的最大值为1)=a+b+2=4,所以a+b=2. 故函数x)在区间[-1,0]上的最小值为-1)=-(a+b)+2=0. 5.若函数x)=asin x+2sin3x在x=处取得最值，则a等于()】 A.2 B.1 C. 3 D.0 答案A 解析：“)在x=处取得最值， ∴x=是函数x)的极值点 又fx)=acos x+cos3x, 份acos+cosπ=0，解得a=2 6.(多选题)函数y=x)的导函数y=fx)的图象如图所示，则下列结论错误的是 () y=f'(x) A.-3是函数y=x)的极值点 B.-1是函数y=x)的最小值点 Cy=x)在区间(-3,1)内单调递增 Dy=x)的图象在点(OO)处的切线斜率小于0 答案BD 解析：由导函数图象可知f八-3)=0， 当x∈(-oo,-3)时fx)<0,当x∈(-3,1)时，fx)≥0，当且仅当x=-1时fx)=0, .函数y=儿x)在区间(-0，-3)上单调递减，在区间(-3,1)内单调递增， 从而-3是函数y=术x)的极小值点，故C正确，A正确； x)在区间（←3,1）内单调递增 -1不是函数y=x)的最小值点，故B错误， :函数y=x)在x=0处的导数大于0， .切线的斜率大于0，故D错误 综上，选BD 7.若关于x的不等式x33x+3+a≤0恒成立，其中-2≤x≤3，则实数a的最大值为 () A.1 B.-1 C.-5 D.-21
C.-2 D.2 答案:A 解析:因为 a,b 为正实数,所以 f(x)=ax3+bx+2 是增函数,所以函数 f(x)=ax3+bx+2 在区间[0,1]上的最大值为 f(1)=a+b+2=4,所以 a+b=2. 故函数 f(x)在区间[-1,0]上的最小值为 f(-1)=-(a+b)+2=0. 5.若函数 f(x)=asin x+1 3 sin 3x 在 x= π 3处取得最值,则 a 等于( ). A.2 B.1 C. 2√3 3 D.0 答案:A 解析:∵f(x)在 x= π 3处取得最值, ∴x= π 3是函数 f(x)的极值点. 又 f'(x)=acos x+cos 3x, ∴f'( π 3 )=acos π 3 +cos π=0,解得 a=2. 6.(多选题)函数 y=f(x)的导函数 y=f'(x)的图象如图所示,则下列结论错误的是 ( ). A.-3 是函数 y=f(x)的极值点 B.-1 是函数 y=f(x)的最小值点 C.y=f(x)在区间(-3,1)内单调递增 D.y=f(x)的图象在点(0,f(0))处的切线斜率小于 0 答案:BD 解析:由导函数图象可知,f'(-3)=0, 当 x∈(-∞,-3)时,f'(x)<0,当 x∈(-3,1)时,f'(x)≥0,当且仅当 x=-1 时,f'(x)=0, ∴函数 y=f(x)在区间(-∞,-3)上单调递减,在区间(-3,1)内单调递增, 从而-3 是函数 y=f(x)的极小值点,故 C 正确,A 正确; ∵f(x)在区间(-3,1)内单调递增, ∴-1 不是函数 y=f(x)的最小值点,故 B 错误; ∵函数 y=f(x)在 x=0 处的导数大于 0, ∴切线的斜率大于 0,故 D 错误. 综上,选 BD. 7.若关于 x 的不等式 x 3 -3x+3+a≤0 恒成立,其中-2≤x≤3,则实数 a 的最大值为 ( ). A.1 B.-1 C.-5 D.-21
答案D 解析：若关于x的不等式x3-3x+3+a≤0在区间[2,3]上恒成立，则a≤x3+3x-3在 区间[-2,3]上恒成立，令x)=-x3+3x-3,x∈[-2,3]，则fx)=-3x2+3=-3(x+1)x-1),令 fx)>0,解得-11或x0)的导数fw)的最大值为5，则函数x)的图象在 点(11)处的切线方程是 答案：15x-3y-2=0 解析：.fx)=-2x2+4ax+3=-2x-a2+3+2a2, fx)max=3+2a2=5,.a>0,∴.a=1. ∴fx)=-2x2+4x+3,f1)=-2+4+3=5 又1)号+2+3-号 所求切线方程为y3=5x-1) 即15x-3y-2=0 10.已知函数x)=32-x+m在区间[0,1]上的最小值为号则实数m的值 为 答案2 解析：由)子r32-x+m,可得fx)=2-2x-l,令2-2x1=0,可得x=1±VZ 当x∈(1-√2,1+V②时fx)0)在x=1处取得极值-3-c,其中a,b,c为常数 (1)试确定a,b的值； (2)求函数x)的单调区间： (3)若对任意x>0,不等式x)≥-2c2恒成立，求实数c的取值范围 解(1)由x)在x=1处取得极值-3-c知1)=b-c=-3-c,得b=-3. 又fx)=4ar3lnx+ar4.二+4bx3=x3(4alnx+a+4b),由f1)=0,得a+4b=0,则a=-4b=12. (2)由(1)知fx)=48x3lnx(x>0)
答案:D 解析:若关于 x 的不等式 x 3 -3x+3+a≤0 在区间[-2,3]上恒成立,则 a≤-x 3+3x-3 在 区间[-2,3]上恒成立,令 f(x)=-x 3+3x-3,x∈[-2,3],则 f'(x)=-3x 2+3=-3(x+1)(x-1),令 f'(x)>0,解得-11 或 x0)的导数 f'(x)的最大值为 5,则函数 f(x)的图象在 点(1,f(1))处的切线方程是 . 答案:15x-3y-2=0 解析:∵f'(x)=-2x 2+4ax+3=-2(x-a) 2+3+2a 2 , ∴f'(x)max=3+2a 2=5,∵a>0,∴a=1. ∴f'(x)=-2x 2+4x+3,f'(1)=-2+4+3=5. 又 f(1)=- 2 3 +2+3= 13 3 , ∴所求切线方程为 y- 13 3 =5(x-1). 即 15x-3y-2=0. 10.已知函数 f(x)= 1 3 x 3 -x 2 -x+m 在区间[0,1]上的最小值为1 3 ,则实数 m 的值 为 . 答案:2 解析:由 f(x)= 1 3 x 3 -x 2 -x+m,可得 f'(x)=x2 -2x-1,令 x 2 -2x-1=0,可得 x=1±√2. 当 x∈(1-√2,1+√2)时,f'(x)0)在 x=1 处取得极值-3-c,其中 a,b,c 为常数. (1)试确定 a,b 的值; (2)求函数 f(x)的单调区间; (3)若对任意 x>0,不等式 f(x)≥-2c 2 恒成立,求实数 c 的取值范围. 解:(1)由 f(x)在 x=1 处取得极值-3-c 知 f(1)=b-c=-3-c,得 b=-3. 又 f'(x)=4ax3 ln x+ax4· 1 𝑥 +4bx3=x3 (4aln x+a+4b),由 f'(1)=0,得 a+4b=0,则 a=-4b=12. (2)由(1)知 f'(x)=48x 3 ln x(x>0)
令fx)=0,得x=1. 当01时fx)>0,x)单调递增 因此x)的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1，+o). (3)由(2)知1)=-3-c既是极小值，也是区间(0，+o)内的最小值，要使x)≥-2c2恒成 立，只需-3-c≥-2c2,即2c2-c-3≥0.解得c≥三或c≤-1 故实数c的取值范围为(0，-U昼+∞） 拓展提高 1.己知函数x)=-x2-2x+3在区间[a,2]上的最大值为5，则a等于() A月 D或 答案：C 解析：由题意知a0时x)f0)=1,当x-3)=1,∴.a的取值范围为[-3,0] 3.已知函数x)=-x3+ar2-4在x=2处取得极值，若m,n∈[-1,1]，则m)+fn)的最小 值是( A.15 B.-15 C.10 D.-13 答案D
令 f'(x)=0,得 x=1. 当 01 时,f'(x)>0,f(x)单调递增. 因此,f(x)的单调递减区间为(0,1),单调递增区间为(1,+∞). (3)由(2)知 f(1)=-3-c 既是极小值,也是区间(0,+∞)内的最小值,要使 f(x)≥-2c 2 恒成 立,只需-3-c≥-2c 2 ,即 2c 2 -c-3≥0.解得 c≥ 3 2 或 c≤-1. 故实数 c 的取值范围为(-∞,-1]∪[ 3 2 , +∞). 拓展提高 1.已知函数 f(x)=-x 2 -2x+3 在区间[a,2]上的最大值为15 4 ,则 a 等于( ). A.- 3 2 B. 1 2 C.- 1 2 D. 1 2或- 3 2 答案:C 解析:由题意知 a0 时,f(x)f(-3)=1,∴a 的取值范围为[-3,0]. 3.已知函数 f(x)=-x 3+ax2 -4 在 x=2 处取得极值,若 m,n∈[-1,1],则 f(m)+f'(n)的最小 值是( ). A.15 B.-15 C.10 D.-13 答案:D
解析fx)=-3x2+2ax,由函数x)在x=2处取得极值，知f2)=0,即-3×4+2a×2=0,解 得a=3,由此可得x)=-x3+3x2-4,x)=-3x2+6x,易知x)在区间[-1,0)内单调递减，在 区间(0,1]上单调递增，.当m∈[-l,1]时，m)mm=f0)=-4. 又fx)=-3x2+6x的图象开口向下，且对称轴为直线x=1, .当n∈[-1，l]时fnm)mim=f-l)=-9. 故m)+fn)的最小值为-l3 4.(多选题)已知函数x)的定义域为[-1,5]，部分对应值如表所示，x)的导函数 y=x)的图象如图所示，则下列关于函数x)的结论正确的是( 4 ) i5 x =f(x) A.函数x)的极大值点有2个 B.函数x)在区间[0,2]上单调递减 C.若x∈[-1，x)的最大值是2，则1的最大值为4 D.当10,函数x)单调递增；当0<xr<2 或4<x≤5时fx<0,函数x)单调递减.故当x=0时，函数x)取得极大值，当x=4 时，函数x)取得极大值，即函数x)有两个极大值点，故A正确； 函数x)在区间[0,2]上单调递减，故B正确， 作出x)的大致图象如图①所示 f) 21012345x ① 若x∈[-1，，x)的最大值是2， 则1满足0≤≤5，即1的最大值是5，故C错误， 由y=fx)-a=0,得x)=a. 函数x)在x=2处取得极小值2) 若2)≤1，当1<a<2时，x)=a有4个根，如图②所示 201234 ②
解析:f'(x)=-3x 2+2ax,由函数 f(x)在 x=2 处取得极值,知 f'(2)=0,即-3×4+2a×2=0,解 得 a=3,由此可得 f(x)=-x 3+3x 2 -4,f'(x)=-3x 2+6x,易知 f(x)在区间[-1,0)内单调递减,在 区间(0,1]上单调递增,∴当 m∈[-1,1]时,f(m)min=f(0)=-4. 又 f'(x)=-3x 2+6x 的图象开口向下,且对称轴为直线 x=1, ∴当 n∈[-1,1]时,f'(n)min=f'(-1)=-9. 故 f(m)+f'(n)的最小值为-13. 4.(多选题)已知函数 f(x)的定义域为[-1,5],部分对应值如表所示,f(x)的导函数 y=f'(x)的图象如图所示,则下列关于函数 f(x)的结论正确的是( ). x -1 0 4 5 f(x) 1 2 2 1 A.函数 f(x)的极大值点有 2 个 B.函数 f(x)在区间[0,2]上单调递减 C.若 x∈[-1,t],f(x)的最大值是 2,则 t 的最大值为 4 D.当 10,函数 f(x)单调递增;当 0<x<2 或 4<x≤5 时,f'(x)<0,函数 f(x)单调递减.故当 x=0 时,函数 f(x)取得极大值,当 x=4 时,函数 f(x)取得极大值,即函数 f(x)有两个极大值点,故 A 正确; 函数 f(x)在区间[0,2]上单调递减,故 B 正确, 作出 f(x)的大致图象如图①所示. ① 若 x∈[-1,t],f(x)的最大值是 2, 则 t 满足 0≤t≤5,即 t 的最大值是 5,故 C 错误, 由 y=f(x)-a=0,得 f(x)=a. 函数 f(x)在 x=2 处取得极小值 f(2). 若 f(2)≤1,当 1<a<2 时,f(x)=a 有 4 个根,如图②所示. ②
若11时fx)>0; 当-1-1, 解得-V7,当x∈(-2,0)时x)的最小值 为1，则a的值为 答案：1 解析：x)是奇函数，且当x∈(-2,0)时x)的最小值为1， ∴.当x∈(0,2)时x)的最大值为-1 在区间(0,2)内，令f)-a=0,得x-品当00,当xO), fx)=a是令x)=0,得x后
若 11 时,f'(x)>0; 当-1 -1, 6-𝑎 2 ≤ 2, 解得-√7 1 2 ),当 x∈(-2,0)时,f(x)的最小值 为 1,则 a 的值为 . 答案:1 解析:∵f(x)是奇函数,且当 x∈(-2,0)时,f(x)的最小值为 1, ∴当 x∈(0,2)时,f(x)的最大值为-1. 在区间(0,2)内,令 f'(x)= 1 𝑥 -a=0,得 x= 1 𝑎 ,当 00;当 1 𝑎 0), ∴f'(x)=a- 1 𝑥 ,令 f'(x)=0,得 x= 1 𝑎
又a>0,∴.当0时，fx)>0 ∴)在区间(0，)内单调递减，在区间（台，+∞）内单调递增。 因而要使x)在区间(1，+0)内无最小值，需≤1，即a≥1.① 又gx)=e-ax,…g(x)=e-a, :函数gx)=e-ar在区间(1，+o)内单调递增， ∴.gx)=e-a≥0在区间(1，+o)内恒成立， ∴.a≤(e)min在区间(1，+o)内恒成立 而er>e,∴.a≤e.② 综合①②，a∈[1，] 9.若函数几x)=e的图象始终在函数g(x)=x-a图象的上方，则实数a的取值范围 是 答案(-1，+0) 解析：由题意知，xgx)=e-x+a>0对一切实数x恒成立， 令h(x)=e-x+a,则h(x)min>0, :hx)=e-l,令hx)=0,得x=0, 当x0时，h(x)>0,则hx)在区间(0，+o)内单调递增， .当x=0时，hx)取得极小值，即最小值，且最小值为h(O)=1+a, ∴.1+a>0,得a>-1. 10.己知函数x)=lnx+a1-x) (I)讨论x)的单调性： (2)当x)有最大值，且最大值大于2a-2时，求a的取值范围」 解：(I)x)的定义域为(0，+o/fx)=a 若a≤0，则fx)>0,所以x)在区间(0，+o)内单调递增. 若a>0,则当x∈(0，月)时fx>0, 当x∈（台，+o∞）时，fx0 所以)在区间(0，)内单调递增，在区间（怎，+∞）内单调递减 综上，当a≤0时，)在区间(0，+o)内单调递增，当a>0时，x)在区间(0，)内单调递 增，在区间台，+∞)内单调递减 (2)由(1)知，当a≤0时x)在区间(0，+o)内无最大值： 当a>0时)在x=处取得极大值且为最大值，最大值为月ln+a(1-日)=ln a+a-1.因此-lna+a-1>2a-2, 即lna+a-l<0
又 a>0,∴当 01 𝑎时,f'(x)>0, ∴f(x)在区间(0, 1 𝑎 )内单调递减,在区间( 1 𝑎 , +∞)内单调递增, 因而要使 f(x)在区间(1,+∞)内无最小值,需 1 𝑎≤1,即 a≥1.① 又 g(x)=e x -ax,∴g'(x)=e x -a, ∵函数 g(x)=e x -ax 在区间(1,+∞)内单调递增, ∴g'(x)=e x -a≥0 在区间(1,+∞)内恒成立, ∴a≤(ex )min 在区间(1,+∞)内恒成立. 而 e x>e,∴a≤e.② 综合①②,a∈[1,e]. 9.若函数 f(x)=e x 的图象始终在函数 g(x)=x-a 图象的上方,则实数 a 的取值范围 是 . 答案:(-1,+∞) 解析:由题意知,f(x)-g(x)=e x -x+a>0 对一切实数 x 恒成立, 令 h(x)=e x -x+a,则 h(x)min>0, ∵h'(x)=e x -1,令 h'(x)=0,得 x=0, 当 x0 时,h'(x)>0,则 h(x)在区间(0,+∞)内单调递增, ∴当 x=0 时,h(x)取得极小值,即最小值,且最小值为 h(0)=1+a, ∴1+a>0,得 a>-1. 10.已知函数 f(x)=ln x+a(1-x). (1)讨论 f(x)的单调性; (2)当 f(x)有最大值,且最大值大于 2a-2 时,求 a 的取值范围. 解:(1)f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)= 1 𝑥 -a. 若 a≤0,则 f'(x)>0,所以 f(x)在区间(0,+∞)内单调递增. 若 a>0,则当 x∈(0, 1 𝑎 )时,f'(x)>0; 当 x∈( 1 𝑎 , +∞)时,f'(x)0 时,f(x)在区间(0, 1 𝑎 )内单调递 增,在区间( 1 𝑎 , +∞)内单调递减. (2)由(1)知,当 a≤0 时,f(x)在区间(0,+∞)内无最大值; 当 a>0 时,f(x)在 x= 1 𝑎处取得极大值且为最大值,最大值为 f( 1 𝑎 )=ln 1 𝑎 +a(1 − 1 𝑎 )=-ln a+a-1.因此-ln a+a-1>2a-2, 即 ln a+a-1<0
令g(a=lna+a-1,则g(a)在区间(0，+o)内单调递增，且g(1)=0.于是，当01时g(a)>0. 因此，a的取值范围是(0,1) 11已知函数)-，若当x∈0,2]时x)≥恒成立，求a的取值范围， ex 解：当x∈[0,2]时，x)≥二恒成立， 即≥在区间0,2]上恒成立， x2+1 设8)-x∈02 则有gx)max≤a, gtw)-e22+g22兰=1Ie2x+x+ (x2+1)2 (x2+1)2 令h(x)=e-2(x-1)+(x+1),x∈[0,2]， 则h(x)=xe-2+1>0, ∴.h(x)在区间[0,2]上单调递增 ∴.hx)≥h0)=1>0. 令g《(x)>0,解得10,函数x)单调递增： 若a>0,令fx)=0,即受-0，得x=a 当x∈(0，a)时fx)0,函数x)单调递增. (2)当x∈[1，]时，分如下情况讨论： ①当a0,函数x)单调递增，其最小值为1)=a<1,这与函数x)在区间 [1,e上的最小值是三相矛盾； ②当a=1时，由(1)知，函数x)在区间[1，]上单调递增，其最小值为1)=1，与函数 x)在区间[1，上的最小值是三相矛盾：
令 g(a)=ln a+a-1,则 g(a)在区间(0,+∞)内单调递增,且 g(1)=0.于是,当 01 时,g(a)>0. 因此,a 的取值范围是(0,1). 11.已知函数 f(x)= 𝑎𝑥 2 +𝑥+𝑎 e 𝑥 ,若当 x∈[0,2]时,f(x)≥ 1 e 2恒成立,求 a 的取值范围. 解:当 x∈[0,2]时,f(x)≥ 1 e 2恒成立, 即 a≥ e 𝑥-2 -𝑥 𝑥 2 +1 在区间[0,2]上恒成立, 设 g(x)= e 𝑥-2 -𝑥 𝑥 2 +1 ,x∈[0,2]. 则有 g(x)max≤a, g'(x)= (e 𝑥-2 -1)(𝑥 2 +1)-(e 𝑥-2 -𝑥)·2𝑥 (𝑥 2 +1) 2 = (𝑥-1)[e 𝑥-2 (𝑥-1)+𝑥+1] (𝑥 2 +1) 2 . 令 h(x)=e x-2 (x-1)+(x+1),x∈[0,2], 则 h'(x)=xe x-2+1>0, ∴h(x)在区间[0,2]上单调递增, ∴h(x)≥h(0)=1- 1 e 2>0. 令 g'(x)>0,解得 10,函数 f(x)单调递增; 若 a>0,令 f'(x)=0,即 𝑥-𝑎 𝑥 2 =0,得 x=a. 当 x∈(0,a)时,f'(x)0,函数 f(x)单调递增. (2)当 x∈[1,e]时,分如下情况讨论: ①当 a0,函数 f(x)单调递增,其最小值为 f(1)=a<1,这与函数 f(x)在区间 [1,e]上的最小值是3 2 相矛盾; ②当 a=1 时,由(1)知,函数 f(x)在区间[1,e]上单调递增,其最小值为 f(1)=1,与函数 f(x)在区间[1,e]上的最小值是3 2相矛盾;
③当1e时，由(1)知，函数x)在区间[1，e]上单调递减，其最小值为e)=1+“>2,与 函数x)在区间[1，]上的最小值是三相矛盾 综上所述，a的值为√E
③当 1e 时,由(1)知,函数 f(x)在区间[1,e]上单调递减,其最小值为 f(e)=1+ 𝑎 e >2,与 函数 f(x)在区间[1,e]上的最小值是3 2相矛盾. 综上所述,a 的值为√e