综合检测(B卷) (时间120分钟满分：150分) 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分 1.已知函数x)=是，则f日=( A片 B日 C.-8 D.-16 答案D 解析fx)=(x2)=-2x3 /)-2×-16 2.已知数列{am}为等差数列，Sm为其前n项和，且a2=3a4-6,则Sg等于()。 A.25 B.27 C.50 D.54 答案B 解析：设数列{am}的公差为d .a2=3a4-6,∴.a1+d=3a1+9d-6,即a1+4d=3 ∴.a5=3,∴.S=2a1+a)=9a5=-27 3曲线x)之2-2x在点(1，-)处的切线的倾斜角为 A.-135 B.45 C.-45 D.135 答案D 解析：因为fx)=x-2,所以f1)=1-2=-1,即曲线x)在点(1，-习)处的切线的斜率为. 1,因此所求倾斜角为135° 4.(多选题)己知Sm是等差数列{am}(n∈N的前n项和，且S8>Sg>S,有下列四个命 题，其中是真命题的是( A.公差da9 D.满足Sm>0的n的个数为15 答案：ABC 解析：，S8>S9,且S9=S8+a9, ∴.S8>S8+a9,即a9S7,S8=S7+a8, ∴.S7+a8>S7,即a8>0, .d=a9-a8S7,S9=S7+a8+a9
综合检测(B 卷) (时间:120 分钟 满分:150 分) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 1.已知函数 f(x)= 1 𝑥 2 ,则 f'( 1 2 )=( ). A.- 1 4 B.- 1 8 C.-8 D.-16 答案:D 解析:f'(x)=(x -2 )'=-2x -3 , ∴f'( 1 2 )=-2×( 1 2 ) -3 =-16. 2.已知数列{an}为等差数列,Sn 为其前 n 项和,且 a2=3a4-6,则 S9 等于( ). A.25 B.27 C.50 D.54 答案:B 解析:设数列{an}的公差为 d. ∵a2=3a4-6,∴a1+d=3a1+9d-6,即 a1+4d=3, ∴a5=3,∴S9= 9 2 (a1+a9)=9a5=27. 3.曲线 f(x)= 1 2 x 2 -2x 在点(1, − 3 2 )处的切线的倾斜角为( ). A.-135° B.45° C.-45° D.135° 答案:D 解析:因为 f'(x)=x-2,所以 f'(1)=1-2=-1,即曲线 f(x)在点(1, − 3 2 )处的切线的斜率为- 1,因此所求倾斜角为 135°. 4.(多选题)已知 Sn 是等差数列{an}(n∈N* )的前 n 项和,且 S8>S9>S7,有下列四个命 题,其中是真命题的是( ). A.公差 da9 D.满足 Sn>0 的 n 的个数为 15 答案:ABC 解析:∵S8>S9,且 S9=S8+a9, ∴S8>S8+a9,即 a9S7,S8=S7+a8, ∴S7+a8>S7,即 a8>0, ∴d=a9-a8S7,S9=S7+a8+a9
∴.S7+as+ag>S7,即a8+ag>0. :a1+a15=2a8,.S1515a+al-15a8>0, 2 又a1+a16=a8+a9 S16=16a+a1d=8(as+a9j)>0, 2 又a1+a17=2a9 ∴S17=17a+az-=17a9<0, 故选项B为真命题，选项D为假命题 5.已知x)=x2+3f1)x,则f2)=( A.1 B.2 C.4 D.8 答案A 解析：fx)=2x+3f1),将x=1代入上式可得f1)=2+3f1),则f1)=-1, 所以fx)=2x+3×(-1)=2x-3,故f2)=2×2-3=1. 6.己知函数x)=xx,则这个函数的图象在点(1,1)处的切线方程是() A.y=2x-2 B.y=2x+2 C.y=x-1 D.y=x+1 答案：C 解析1)=n1=0,则切点为(1,0)，导函数fx)=nx+1,则函数x)的图象在点(11) 处的切线的斜率k=f1)=ln1+1=1,所以函数x)的图象在点(11)》处的切线方程 为y=x-l 7.己知数列{am}为等比数列，且a3a8+a5a6=8,则10g2a1+l0g2a2+…+log2a10=() A.2+log25 B.6 C.8 D.10 答案D 解析：，数列{an}为等比数列 ∴.a3a8=a5a6,又a3a8+a5a6=8,.a5a6=4 .l0g2a1+log2a2+…+log2a10=log2(asa6)卢=log245=5×2=10, 8.在数列{an}中，a1=0,an+am+1=2n,则a2020=( A.2019 B.2020 C.4039 D.4040 答案B 解析：，an+an+1=2n,① ∴.an+1+am+2=2(n+1),② ②-①得an+2-an=2,∴.数列{an}的偶数项是以a2=2×1-a1=2为首项，2为公差的等差 数列， .∴.a2020=a2+(1010-1)×2=2020 9设函数x)=xnx+cosx号则下列是函数)的极小值点的是(
∴S7+a8+a9>S7,即 a8+a9>0. ∵a1+a15=2a8,∴S15= 15(𝑎1+𝑎15) 2 =15a8>0, 又 a1+a16=a8+a9, ∴S16= 16(𝑎1+𝑎16) 2 =8(a8+a9)>0, 又 a1+a17=2a9, ∴S17= 17(𝑎1+𝑎17) 2 =17a9<0, 故选项 B 为真命题,选项 D 为假命题. 5.已知 f(x)=x2+3f'(1)x,则 f'(2)=( ). A.1 B.2 C.4 D.8 答案:A 解析:f'(x)=2x+3f'(1),将 x=1 代入上式可得,f'(1)=2+3f'(1),则 f'(1)=-1, 所以 f'(x)=2x+3×(-1)=2x-3,故 f'(2)=2×2-3=1. 6.已知函数 f(x)=xln x,则这个函数的图象在点(1,f(1))处的切线方程是( ). A.y=2x-2 B.y=2x+2 C.y=x-1 D.y=x+1 答案:C 解析:f(1)=ln 1=0,则切点为(1,0),导函数 f'(x)=ln x+1,则函数 f(x)的图象在点(1,f(1)) 处的切线的斜率 k=f'(1)=ln 1+1=1,所以函数 f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线方程 为 y=x-1. 7.已知数列{an}为等比数列,且 a3a8+a5a6=8,则 log2a1+log2a2+…+log2a10=( ). A.2+log25 B.6 C.8 D.10 答案:D 解析:∵数列{an}为等比数列, ∴a3a8=a5a6,又 a3a8+a5a6=8,∴a5a6=4, ∴log2a1+log2a2+…+log2a10=log2(a5a6) 5=log24 5=5×2=10. 8.在数列{an}中,a1=0,an+an+1=2n,则 a2 020=( ). A.2 019 B.2 020 C.4 039 D.4 040 答案:B 解析:∵an+an+1=2n,① ∴an+1+an+2=2(n+1),② ②-①得 an+2-an=2,∴数列{an}的偶数项是以 a2=2×1-a1=2 为首项,2 为公差的等差 数列, ∴a2 020=a2+(1 010-1)×2=2 020. 9.设函数 f(x)=xsin x+cos x- 𝑥 2 4 ,则下列是函数 f(x)的极小值点的是( )
A智 B月 D唱 答案D 解析fx)=sinx+XCOS--sinx2=x(cosx-) 当xe(段，罗)时，cosx0， )在区间（伊，）内单调递减，在区间警2红内单调递增， x=买是x)的极小值点 而x=不是函数x)的极值点X=和x均为函数)的极大值点故选D. 10.已知x>0,a=xb=x三c=ln1+x,则( ) A.c0,所以a-b=二0，所以a>h 令x)=a-c=x-ln(1+x)x∈(0，+o),则fx)=1-1>0,所以fx)在区间(0，+o)内单调 +1 递增，所以x)>0)=0,即a>c. 令=b(=r号n+∈0，+所以h=1x女若0，所以)在区间 (0,+o)内单调递减，所以hx)<h(0)=0,即b<c 综上，b<c<a. 1函数品 兰的大致图象是( 品水刘 答案D 解析由题可知，函数的定义域为40y=品-兰-2型，令=0，得x=1则当 x∈0，+到时0，当x∈1,0时y0,当x∈(0-1)时0，故画数)品-号在区 间(0，+o)内单调递减，在区间(-1,0)内单调递减，在区间(-0，-1)内单调递增. 故可排除选项A,B 令x=l,可得y-0,可知选项C不符合，D符合。 12(多选题)对于函数x),下列说法正确的是(
A.- 4π 3 B.- π 3 C. π 3 D. 5π 3 答案:D 解析:f'(x)=sin x+xcos x-sin x- 1 2 x=x(cos 𝑥 − 1 2 ), 当 x∈( 3π 2 , 5π 3 )时,cos x1 2 ,∴f'(x)>0, ∴f(x)在区间( 3π 2 , 5π 3 )内单调递减,在区间5π 3 ,2π 内单调递增, ∴x= 5π 3 是 f(x)的极小值点. 而 x=- 4π 3 不是函数 f(x)的极值点;x=- π 3和 x= π 3均为函数 f(x)的极大值点.故选 D. 10.已知 x>0,a=x,b=x- 𝑥 2 2 ,c=ln(1+x),则( ). A.c0,所以 a-b=𝑥 2 2 >0,所以 a>b. 令 f(x)=a-c=x-ln(1+x)(x∈(0,+∞)),则 f'(x)=1- 1 𝑥+1 >0,所以 f(x)在区间(0,+∞)内单调 递增,所以 f(x)>f(0)=0,即 a>c. 令 h(x)=b-c=x- 𝑥 2 2 -ln(1+x)(x∈(0,+∞)),所以 h'(x)=1-x- 1 𝑥+1 =- 𝑥 2 𝑥+1 0,故函数 y= 2 3𝑥 − 𝑥 2 3 在区 间(0,+∞)内单调递减,在区间(-1,0)内单调递减,在区间(-∞,-1)内单调递增. 故可排除选项 A,B. 令 x=1,可得 y= 1 3 >0,可知选项 C 不符合,D 符合. 12.(多选题)对于函数 f(x)= ln𝑥 𝑥 2 ,下列说法正确的是( )
Ax在x=VE处取得极大值是 Bx)有两个不同的零点 C2)而3 D若x) 答案：ACD 解析：函数)定义域为0，+o/)=血.nx(=2Hnx=2mx 3 令fx)=0,解得x=VE 当00x)在区间(0，V⊙内单调递增；当x>√e时，fx)V元>V3, 所以2)0 令g)=0,解得x=e号 根据函数gx)的单调性，得g(x)max=g(e可)=则k>故D正确， 故选ACD 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分 13.函数x)=r2+alnx在x=2处取得极值，则a= 答案：4 解析：由x)=r2+l血nx,知x)=x+x>0),因为函数x)在x=2处取得极值， 所以f2)=2+=0,解得a=-4 此时fx)=x4=+2Xx2,则当x∈(0,2)时fw0, 所以x)在区间(0,2)内单调递减，在区间(2，+∞)内单调递增，故函数x)在x=2处取 得极小值 故a=-4符合题意. 14.己知数列{an}(n∈N)是等差数列，Sm是其前n项和.若a1a5+a6=13,Sg=18,则 {an}的通项公式an=」 答案-n+7
A.f(x)在 x=√e处取得极大值 1 2e B.f(x)有两个不同的零点 C.f(√2)e 2 答案:ACD 解析:函数 f(x)定义域为(0,+∞),f'(x)= (ln𝑥)'·𝑥 2 -ln𝑥·(𝑥 2 )' 𝑥 4 = 𝑥-2𝑥ln𝑥 𝑥 4 = 1-2ln𝑥 𝑥 3 . 令 f'(x)=0,解得 x=√e. 当 00,f(x)在区间(0,√e)内单调递增;当 x>√e时,f'(x)√π > √3, 所以 f(2)1+ln𝑥 𝑥 2 . 设 g(x)= 1+ln𝑥 𝑥 2 ,则 g'(x)=- 1+2ln𝑥 𝑥 3 (x>0). 令 g'(x)=0,解得 x=e - 1 2. 根据函数 g(x)的单调性,得 g(x)max=g(e - 1 2)= e 2 ,则 k>e 2 .故 D 正确. 故选 ACD. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.函数 f(x)= 1 2 x 2+aln x 在 x=2 处取得极值,则 a= . 答案:-4 解析:由 f(x)= 1 2 x 2+aln x,知 f'(x)=x+𝑎 𝑥 (x>0),因为函数 f(x)在 x=2 处取得极值, 所以 f'(2)=2+ 𝑎 2 =0,解得 a=-4. 此时,f'(x)=x- 4 𝑥 = (𝑥+2)(𝑥-2) 𝑥 ,则当 x∈(0,2)时,f'(x)0, 所以 f(x)在区间(0,2)内单调递减,在区间(2,+∞)内单调递增,故函数 f(x)在 x=2 处取 得极小值. 故 a=-4 符合题意. 14.已知数列{an}(n∈N* )是等差数列,Sn 是其前 n 项和.若 a1a5+a6=13,S9=18,则 {an}的通项公式 an= . 答案:-n+7
解析：设数列{an}的公差为d, 由已加得侣a6十8+5=13屏得侣 故am=6-(n-1)=-n+7. 15.己知数列{an}为等差数列，公差为1，且a5是a3与a11的等比中项，则 a11= 答案9 解析：{an}为等差数列，且公差为1，且as是a3与a1的等比中项， .a3=a3a11,即(a1+4)2=(a+2(a1+10),解得a1-1, .等差数列{an}的通项公式为an=n-2,故a11=11-2=9, 16.己知函数x)=sin2x+4 acosx在区间(0，罗内单调递增，则实数a的取值范围 为 答案(-∞，-引 解析fx)=2cos2x-4 asinx,因为函数x)在区间(0，)内单调递增， 所以fx)=2cos2x-4 asinx≥0在区间(0，习内恒成立， 即2a≤o在区间(0，)内恒成立. sinx 令g树==2smr∈(0，》 sinx sinx 令t=sinx∈(0,1)，p(0=2-2,e(0,1), 则9)=之2p()=12=1,所以2a≤-l,解得a≤号2即实数a的取值范围为(-∞，-引 三、解答题：本大题共6小题解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤，共70分 17.(10分)已知各项均为正数的等比数列{am}的前n项和为Sm,且a1=3,S3=39. (1)求数列{am}的通项公式 (2)设数列{cm}满足cm-立，求数列{cn}的前n项和Tm a 解()设数列{am}的公比为q,由am=3,S3=39,得=3， (a1+a19+a1q2=39 于是g2+q-12=0,解得q=3(g=-4不符合题意，舍去)，故an=a1g-1=3×3l=3” 2)(1)得Sn-3n-), 则cm==2-2× an2z3n 18.(12分)已知函数x)=x2-2anx-1,其中a∈R,且a≠0 (1)当a=2时，求曲线y=x)在点(11)处的切线方程；
解析:设数列{an}的公差为 d, 由已知得{ 𝑎1 (𝑎1 + 4𝑑) + 𝑎1 + 5𝑑 = 13, 9𝑎1 + 36𝑑 = 18, 解得{ 𝑎1 = 6, 𝑑 = -1. 故 an=6-(n-1)=-n+7. 15.已知数列{an}为等差数列,公差为 1,且 a5 是 a3 与 a11的等比中项,则 a11= . 答案:9 解析:∵{an}为等差数列,且公差为 1,且 a5 是 a3 与 a11的等比中项, ∴𝑎5 2=a3a11,即(𝑎1 + 4) 2=(a1+2)(a1+10),解得 a1=-1, ∴等差数列{an}的通项公式为 an=n-2,故 a11=11-2=9. 16.已知函数 f(x)=sin 2x+4acos x 在区间(0, π 2 )内单调递增,则实数 a 的取值范围 为 . 答案:(−∞,− 1 2 ] 解析:f'(x)=2cos 2x-4asin x,因为函数 f(x)在区间(0, π 2 )内单调递增, 所以 f'(x)=2cos 2x-4asin x≥0 在区间(0, π 2 )内恒成立, 即 2a≤ cos2𝑥 sin𝑥 在区间(0, π 2 )内恒成立. 令 g(x)= cos2𝑥 sin𝑥 = 1-2sin 2 𝑥 sin𝑥 = 1 sin𝑥 -2sin x,x∈(0, π 2 ), 令 t=sin x∈(0,1),φ(t)= 1 𝑡 -2t,t∈(0,1), 则 φ'(t)=- 1 𝑡 2 -2φ(1)=1-2=-1,所以 2a≤-1,解得 a≤- 1 2 ,即实数 a 的取值范围为(−∞,− 1 2 ]. 三、解答题:本大题共 6 小题,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤,共 70 分. 17.(10 分)已知各项均为正数的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 a1=3,S3=39. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设数列{cn}满足 cn= 𝑆𝑛 𝑎𝑛 ,求数列{cn}的前 n 项和 Tn. 解:(1)设数列{an}的公比为 q,由 a1=3,S3=39,得{ 𝑎1 = 3, 𝑎1 + 𝑎1𝑞 + 𝑎1𝑞 2 = 39, 于是 q 2+q-12=0,解得 q=3(q=-4 不符合题意,舍去),故 an=a1q n-1=3×3 n-1=3 n . (2)由(1)得 Sn= 3 2 (3n -1), 则 cn= 𝑆𝑛 𝑎𝑛 = 3 2 − 3 2 × 1 3 𝑛 , 则 Tn= 3 2 n- 3 2 ( 1 3 + 1 3 2 + ⋯ + 1 3 𝑛 )= 3 2 n- 3 2 × 1 3 (1- 1 3𝑛 ) 1- 1 3 = 3 2 n+ 1 4×3 𝑛-1 − 3 4 . 18.(12 分)已知函数 f(x)=x2 -2aln x-1,其中 a∈R,且 a≠0. (1)当 a=2 时,求曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(2)求函数x)的单调区间. 解(1)当a=2时，x)=x2-4lnx-1, 所以x)=2x是所以1)=0,1)=-2， 所以所求切线方程为y-0=-2(x-1),即y=-2x+2. 2)函数x)的定义域为(0，+o/x)=2xg,因为a∈R,且a0, ①当a0在区间(0，+o)内恒成立 所以函数x)的单调递增区间为(0，+0)，无单调递减区间； ②当a>0时，由>0得Va x>0, 0得0ra 所以函数x)的单调递增区间为（√a,+o),单调递减区间为(0，V@, 综上可知，当a0时，x)的单调递增区间为（√a,+oo),单调递减区间为(0，√@）， 19.(12分)已知数列{an}的前n项和Sn=n2+pn,且a4,a7,a12成等比数列 (I)求数列{an}的通项公式： 2)若bm=s-,求数列{bm}的前n项和Tm anan+i 解(1)当n=1时，a1=S=1+p,当n≥2时，an=Sm-Sm-1=2n-1+p, 当n=1时，a1=1+p也满足上式， 故an=2n-1+p. ,a4,7,a12成等比数列 ∴a4a12=a吲， ∴.(7+p)23+p)=(13+p2,解得p=2, .∴.am=2n+1. (2)由()可得bn=4= 4n2+8n anan+1(2n+1)(2n+3) 4n2+8n+3 m=n(-+-++ 201一2m+3=n2十=n+22 1 2n+3 20.(12分)已知函数x)=lnx-x2+x. (I)求函数x)的单调区间； 2)i证明：当a≥2时，关于x的不等式x(任-1)x2+a1恒成立 (1)解：由已知可得，/x)2x+1=2>0, 由fx)1;由fx)>0,得00), 所以g6r)=x+(1-a）=a2+-ar
(2)求函数 f(x)的单调区间. 解:(1)当 a=2 时,f(x)=x2 -4ln x-1, 所以 f'(x)=2x- 4 𝑥 ,所以 f(1)=0,f'(1)=-2, 所以所求切线方程为 y-0=-2(x-1),即 y=-2x+2. (2)函数 f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=2x- 2𝑎 𝑥 ,因为 a∈R,且 a≠0, ①当 a0 在区间(0,+∞)内恒成立, 所以函数 f(x)的单调递增区间为(0,+∞),无单调递减区间; ②当 a>0 时,由{ 𝑓'(𝑥) > 0, 𝑥 > 0, 得 x>√𝑎, 由{ 𝑓'(𝑥) 0, 得 00 时,f(x)的单调递增区间为(√𝑎,+∞),单调递减区间为(0,√𝑎). 19.(12 分)已知数列{an}的前 n 项和 Sn=n2+pn,且 a4,a7,a12成等比数列. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若 bn= 4𝑆𝑛 𝑎𝑛𝑎𝑛+1 ,求数列{bn}的前 n 项和 Tn. 解:(1)当 n=1 时,a1=S1=1+p,当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=2n-1+p, 当 n=1 时,a1=1+p 也满足上式, 故 an=2n-1+p. ∵a4,a7,a12 成等比数列, ∴a4a12=𝑎7 2 , ∴(7+p)(23+p)=(13+p) 2 ,解得 p=2, ∴an=2n+1. (2)由(1)可得 bn= 4𝑆𝑛 𝑎𝑛 𝑎𝑛+1 = 4𝑛 2+8𝑛 (2𝑛+1)(2𝑛+3) = 4𝑛 2+8𝑛 4𝑛 2 +8𝑛+3 =1- 3 2 ( 1 2𝑛+1 − 1 2𝑛+3 ), ∴Tn=n- 3 2 ( 1 3 − 1 5 + 1 5 − 1 7 + ⋯ + 1 2𝑛+1 − 1 2𝑛+3 )=n- 1 2 + 3 4𝑛+6 = 2𝑛 2+2𝑛 2𝑛 +3 . 20.(12 分)已知函数 f(x)=ln x-x 2+x. (1)求函数 f(x)的单调区间; (2)证明:当 a≥2 时,关于 x 的不等式 f(x)0), 由 f'(x)1;由 f'(x)>0,得 00), 所以 g'(x)= 1 𝑥 -ax+(1-a)= -𝑎𝑥 2 +(1-𝑎)𝑥+1 𝑥
因为a≥2，所以gm)=ax+ 令g《)=0,得x==1舍去)所以当x∈(0，月)时8x>0,当x∈(（台，+o∞) 时g(x)0),国为h2)=n2<0,且函数(a)在区间0，+o)内单调递减， 所以当a≥2时，(a)<0,即对于任意正数x总有gx)<0,即对于任意正数x,关于x 的不等式(（侣-1r2+a-l恒成立 21.(12分)已知在数列{an}中，a1=1,am+1=3an+1(n∈N*) ()证明数列{a.+是等比数列，并求数列{am}的通项公式， (2)数列{bm}的通项公式bn-%-nEN,数列{cn}满足cn-n∈N,记数列{cn} 2n an 的前n项和为T.若不等式(-lyA<Tn+是对任意n∈N恒成立，求实数A的取值范 围 解：()因为a=l,an+1=3an+ln∈N,所以an+1+2-3(an+ 所以兰3且m+号 0n+9 所以数列0+}是以为首项，3为公比的等比数列. =之从而an3 因此am+=3ml-& 2n∈Nt 73n- 2)(0将c总==品u∈N 21 an 2 +3x 所以1=1×分+2× 京+…+n2a,① n=l×分+2x宁+3x分++n六② 0-②得=1分+++…+六n六-2兴所以7=4 2n-1 所以1+是=4品 因为不等式(Iy以<Tn+点对任意neN恒成立， 所以当n为偶数时，有K4品恒成立 设m)=42品n≥2) 易知n)在区间[2，+o)内单调递增， 所以n)min=2)=3.所以1<3； 当n为奇数时，有-<42品恒成立，设gm)=42品n≥)
因为 a≥2,所以 g'(x)=- 𝑎(𝑥- 1 𝑎 )(𝑥+1) 𝑥 . 令 g'(x)=0,得 x= 1 𝑎 (x=-1 舍去),所以当 x∈(0, 1 𝑎 )时,g'(x)>0,当 x∈( 1 𝑎 , +∞) 时,g'(x)0),因为 h(2)= 1 4 -ln 2<0,且函数 h(a)在区间(0,+∞)内单调递减, 所以当 a≥2 时,h(a)<0,即对于任意正数 x 总有 g(x)<0,即对于任意正数 x,关于 x 的不等式 f(x)<( 𝑎 2 − 1)x 2+ax-1 恒成立. 21.(12 分)已知在数列{an}中,a1=1,an+1=3an+1(n∈N* ). (1)证明数列{𝑎𝑛 + 1 2 }是等比数列,并求数列{an}的通项公式; (2)数列{bn}的通项公式 bn= 𝑛(3 𝑛 -1) 2 𝑛 (n∈N* ),数列{cn}满足 cn= 𝑏𝑛 𝑎𝑛 (n∈N* ),记数列{cn} 的前 n 项和为 Tn.若不等式(-1)nλ<Tn+ 𝑛 2 𝑛-1对任意 n∈N*恒成立,求实数 λ 的取值范 围. 解:(1)因为 a1=1,an+1=3an+1(n∈N* ),所以 an+1+ 1 2 =3(𝑎𝑛 + 1 2 ). 所以𝑎𝑛+1+ 1 2 𝑎𝑛+ 1 2 =3,且 a1+ 1 2 = 3 2 , 所以数列{𝑎𝑛 + 1 2 }是以3 2 为首项,3 为公比的等比数列. 因此 an+ 1 2 = 3 2 ×3 n-1= 3 𝑛 2 ,从而 an= 3 𝑛 -1 2 ,n∈N* . (2)由(1)得 cn= 𝑏𝑛 𝑎𝑛 = 𝑛(3 𝑛-1) 2𝑛 3𝑛-1 2 = 𝑛 2 𝑛-1 (n∈N* ), 所以 Tn=1× 1 2 0+2× 1 2 1+3× 1 2 2+…+n· 1 2 𝑛-1 ,① 1 2 Tn=1× 1 2 1+2× 1 2 2+3× 1 2 3+…+n· 1 2 𝑛 ,② 由①-②得, 1 2 Tn=1× 1 2 0 + 1 2 + 1 2 2+…+ 1 2 𝑛-1 -n· 1 2 𝑛 =2- 𝑛+2 2 𝑛 ,所以 Tn=4- 𝑛+2 2 𝑛-1 . 所以 Tn+ 𝑛 2 𝑛-1=4- 2 2 𝑛-1 . 因为不等式(-1)nλ<Tn+ 𝑛 2 𝑛-1对任意 n∈N*恒成立, 所以当 n 为偶数时,有 λ<4- 2 2 𝑛-1恒成立. 设 f(n)=4- 2 2 𝑛-1 (n≥2). 易知 f(n)在区间[2,+∞)内单调递增, 所以 f(n)min=f(2)=3.所以 λ<3; 当 n 为奇数时,有-λ<4- 2 2 𝑛-1恒成立,设 g(n)=4- 2 2 𝑛-1 (n≥1)
易知gn)在区间[1，+oo)内单调递增， 所以g(n)min=g(1)=2 所以-1-2. 综上，实数1的取值范围是(-2,3)， 22.(12分)已知函数x)=e2r2+ar+1,a∈R (1)若x)为R上的增函数，求a的取值范围 (2)若a>0,x1x2,且x1)+x2)=4,证明x1+x2)K2. (I)解fx)=er-x+a,因为x)为R上的增函数，所以fx)=e-x+a≥0恒成立，即e x≥-a恒成立，设Fx)=e-x,则F《(x)=ex1,令F《(x)=0,得x=0,于是当x∈(-o,0) 时，F(x)0,所以Fx)在区间(-o,0)内单调递减，在区间 (0,+o)内单调递增， 所以x=0为函数Fx)的极小值，点，也是唯一的极值点，所以Fx)在x=0处取得最 小值 所以Fx)≥FO)=1, 故-a≤1，解得a≥-1. 所以实数a的取值范围为[-1，+oo) (2)证明：由(1)知，当a>0时x)为R上的增函数 由于0)=2，x1fx2,且x1)+x2)=4, 所以x1x2中一个大于0，一个小于0. 不妨设x1h(0)=4, 所以x2)=4x1)<-x1),而x)为R上的增函数， 所以x2<-x1,故x1+x2<0 从而x1+x2)0)=2
易知 g(n)在区间[1,+∞)内单调递增, 所以 g(n)min=g(1)=2, 所以-λ-2. 综上,实数 λ 的取值范围是(-2,3). 22.(12 分)已知函数 f(x)=e x - 1 2 x 2+ax+1,a∈R. (1)若 f(x)为 R 上的增函数,求 a 的取值范围; (2)若 a>0,x1≠x2,且 f(x1)+f(x2)=4,证明 f(x1+x2)0,所以 F(x)在区间(-∞,0)内单调递减,在区间 (0,+∞)内单调递增, 所以 x=0 为函数 F(x)的极小值点,也是唯一的极值点,所以 F(x)在 x=0 处取得最 小值. 所以 F(x)≥F(0)=1, 故-a≤1,解得 a≥-1. 所以实数 a 的取值范围为[-1,+∞). (2)证明:由(1)知,当 a>0 时,f(x)为 R 上的增函数. 由于 f(0)=2,x1≠x2,且 f(x1)+f(x2)=4, 所以 x1,x2 中一个大于 0,一个小于 0. 不妨设 x1h(0)=4, 所以 f(x2)=4-f(x1)<f(-x1),而 f(x)为 R 上的增函数, 所以 x2<-x1,故 x1+x2<0. 从而 f(x1+x2)<f(0)=2