1.2.3 充分条件、必要条件 课后·训练提升 基础巩固 1.“x>0”是“x≠0的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：，x>0→x≠0，x≠0中x>0 .“x>0”是“x≠0”的充分不必要条件 答案：A 2.设集合M={xl0<x≤3}，N={x0<x≤2}，则a∈M°是“a∈W的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：，N军M ∴.“a∈M”是“a∈N的必要不充分条件 答案B 3.设x∈R,则x=1”是“x3=x”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：由x3=x,得x=0或x=1或x=-1 ,{1}{-1,0,1} .“x=1”是“x3=x”的充分不必要条件」 答案：A 4若命题甲是命题乙的充分不必要条件，命题丙是命题乙的必要不充分条件，命题 丁是命题丙的充要条件，则命题丁是命题甲的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：由题意，得甲→乙→丙曰丁，故命题丁是命题甲的必要不充分条件 答案B
1.2.3 充分条件、必要条件 课后· 基础巩固 1.“x>0”是“x≠0”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:∵x>0⇒x≠0,x≠0 x>0, ∴“x>0”是“x≠0”的充分不必要条件. 答案:A 2.设集合 M={x|0<x≤3},N={x|0<x≤2},则“a∈M”是“a∈N”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:∵N⫋M, ∴“a∈M”是“a∈N”的必要不充分条件. 答案:B 3.设 x∈R,则“x=1”是“x 3=x”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:由 x 3=x,得 x=0 或 x=1 或 x=-1. ∵{1}⫋{-1,0,1}, ∴“x=1”是“x 3=x”的充分不必要条件. 答案:A 4.若命题甲是命题乙的充分不必要条件,命题丙是命题乙的必要不充分条件,命题 丁是命题丙的充要条件,则命题丁是命题甲的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:由题意,得甲⇒乙⇒丙⇔丁,故命题丁是命题甲的必要不充分条件. 答案:B
5.设a,b∈R,则(a-b)a2<0”是“a<b”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：若(a-b)a2<0,则必有a-b<0,即a<b;而由a<b不能推出(a-b)a2<0,如a=0,b=1, 所以(a-b)a2<0”是“a<b”的充分不必要条件. 故选A 答案：A 6.己知集合A为数集，则“A∩{0,1}={0}”是“A={0}”的 条件 解析：“A∩{0,1}={0}本“A={0},反之，“A={0}”→“An{0,1}={0}” .“A∩{0,1}={0}”是“A={0}”的必要不充分条件. 答案：必要不充分 7.设px∈(-3,8)，试写出一个使p成立的必要不充分条件： 答案x∈(0,8]（答案不唯一） 8,已知不等式m-l<x<m+1成立的一个充分不必要条件是x<三求实数m的取值 范围 解：不等式m-1<<m+1成立的一个充分不必要条件是径 (G,)m-l,m+1), n-1≤解得≤m≤ m+1≥克， 9.下列各题中p是q的什么条件，并说明理由 (1p:a2+b2=0;qa+b=0: (2)pp≤-2或p≥2：q:关于x的方程x2+pr+p+3=0有实根 解(1)因为a2+b2=0→a+b=0,a+b=(力a2+b2=0,所以p是g的充分不必要条件. (2)当p≤-2或p≥2时，如p=3,则方程x2+3x+6=0无实根，而x2+px+p+3=0有实 根时，4≥0，得p≤-2或p≥6，可推出p≤-2或p≥2 所以p是q的必要不充分条件 10.求证：关于x的方程ar2+bx+c=0有一个根为1的充要条件是a+b+c=0. 证明：必要性：，方程ax2+bx+c=0有一个根为1， ∴.x=1满足方程ax2+bx+c=0. ∴.a12+b1+c=0,即a+b+c=0. 充分性：.'a+b+c=0, ∴.c=-a-b,代入方程ax2+bx+c=0中可得ar2+bx-a-b=0,即(x-1)(ax+a+b)=0. 故方程ax2+bx+c=0有一个根为1. .结论成立
5.设 a,b∈R,则“(a-b)a 2<0”是“a<b”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:若(a-b)a 2<0,则必有 a-b<0,即 a<b;而由 a<b 不能推出(a-b)a 2<0,如 a=0,b=1, 所以“(a-b)a 2<0”是“a<b”的充分不必要条件. 故选 A. 答案:A 6.已知集合 A 为数集,则“A∩{0,1}={0}”是“A={0}”的 条件. 解析:∵“A∩{0,1}={0}” “A={0}”;反之,“A={0}”⇒“A∩{0,1}={0}”. ∴“A∩{0,1}={0}”是“A={0}”的必要不充分条件. 答案:必要不充分 7.设 p:x∈(-3,8),试写出一个使 p 成立的必要不充分条件: . 答案:x∈(-∞,8](答案不唯一) 8.已知不等式 m-1<x<m+1 成立的一个充分不必要条件是1 3 <x<1 2 ,求实数 m 的取值 范围. 解:∵不等式 m-1<x<m+1 成立的一个充分不必要条件是1 3 <x<1 2 , ∴( 1 3 , 1 2 )⫋(m-1,m+1), ∴{ 𝑚-1 ≤ 1 3 , 𝑚 + 1 ≥ 1 2 , 解得- 1 2 ≤m≤ 4 3 . 9.下列各题中,p 是 q 的什么条件,并说明理由: (1)p:a 2+b2=0;q:a+b=0; (2)p:p≤-2 或 p≥2;q:关于 x 的方程 x 2+px+p+3=0 有实根. 解:(1)因为 a 2+b2=0⇒a+b=0,a+b=0 a 2+b2=0,所以 p 是 q 的充分不必要条件. (2)当 p≤-2 或 p≥2 时,如 p=3,则方程 x 2+3x+6=0 无实根,而 x 2+px+p+3=0 有实 根时,Δ≥0,得 p≤-2 或 p≥6,可推出 p≤-2 或 p≥2. 所以 p 是 q 的必要不充分条件. 10.求证:关于 x 的方程 ax2+bx+c=0 有一个根为 1 的充要条件是 a+b+c=0. 证明:必要性:∵方程 ax2+bx+c=0 有一个根为 1, ∴x=1 满足方程 ax2+bx+c=0. ∴a·1 2+b·1+c=0,即 a+b+c=0. 充分性:∵a+b+c=0, ∴c=-a-b,代入方程 ax2+bx+c=0 中可得 ax2+bx-a-b=0,即(x-1)(ax+a+b)=0. 故方程 ax2+bx+c=0 有一个根为 1. ∴结论成立
拓展提高 1.设1,2,5是同一平面上的三条不同直线，则1⊥5，且2⊥6”是“h∥2”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：，1⊥5，且h⊥→1∥2，而1∥h力h⊥3，且h⊥13， .“1⊥5，且2⊥乃”是“1∥h2”的充分不必要条件 答案：A 2.下列结论正确的有() ①“x2>4”是“x2a-1, 1+3a>2a-1, 解：由题意，得 1+3a≤8， 或 8≤1+3a,或2a-1≥1+3a. 2a-1≥2 2≥2a-1 解得影≤a≤或a≤-2 故a的取值范国是昼，U(0,-2] 挑战创新
拓展提高 1.设 l1,l2,l3 是同一平面上的三条不同直线,则“l1⊥l3,且 l2⊥l3”是“l1∥l2”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:∵l1⊥l3,且 l2⊥l3⇒l1∥l2,而 l1∥l2 l1⊥l3,且 l2⊥l3, ∴“l1⊥l3,且 l2⊥l3”是“l1∥l2”的充分不必要条件. 答案:A 2.下列结论正确的有( ) ①“x 2>4”是“x 2𝑎-1, 1 + 3𝑎 ≤ 8, 2𝑎-1 ≥ 2 或 { 1 + 3𝑎 > 2𝑎-1, 8 ≤ 1 + 3𝑎, 2 ≥ 2𝑎-1 或 2a-1≥1+3a, 解得3 2 ≤a≤ 7 3或 a≤-2. 故 a 的取值范围是[ 3 2 , 7 3 ]∪(-∞,-2]. 挑战创新
已知关于x的一元二次方程mx2-4x+4=0①，x2-4mx+4m2-4m-5=0②，m∈R,且0， 求使方程①②都有实数根的充要条件 解：方程①有实数根的充要条件是m≠0，且小1=(4)2-16m≥0，解得m≤1，且m≠0： 方程②有实数根的充要条件是h=(4mP-44m2-4m-5)≥0，解得m≥号 故方程①②都有实数根的充要条件是三≤m<0或0<m≤1
已知关于 x 的一元二次方程 mx2 -4x+4=0①,x 2 -4mx+4m2 -4m-5=0②,m∈R,且 m≠0, 求使方程①②都有实数根的充要条件. 解:方程①有实数根的充要条件是 m≠0,且 Δ1=(-4)2 -16m≥0,解得 m≤1,且 m≠0; 方程②有实数根的充要条件是 Δ2=(-4m) 2 -4(4m2 -4m-5)≥0,解得 m≥- 5 4 . 故方程①②都有实数根的充要条件是- 5 4 ≤m<0 或 0<m≤1