第三章函数 3.1 函数的概念与性质 3.1.1 函数及其表示方法 第1课时 函数的概念 课后·训练提升 1.下列函数中，与函数y=x为同一个函数的是() A.y=(Vx)2 By=V√xZ Cy- D.y=Vx3 解析：函数y=x的定义域为Ry=(V的定义域为[0，+0y=三的定义域为(o,0) U(0,+o,故选项A,C中函数的定义域与y=x不同y=VxZ=xl,与y=x的对应关系 不同y=Vx=x,且定义域为R故选D 答案D 2.已知x)=2,则4)=( A.4 B.3 C.2 D.1 解析：由函数解析式可知该函数为常数函数，因此自变量取任意实数时函数值不 变，均为2，故4)=2 答案：C 3.对于函数y=x),下列说法正确的有( ①y是x的函数： ②对于不同的xy的值一定不同： ③a)表示当x=a时函数x)的值： ④在函数的定义中，集合B就是函数的值域： A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 解析：①③正确. 答案B 4.下列图形可以表示以M={x0≤x≤1}为定义域，N={y0≤y≤1}为值域的函数的 图象的是( 4
第三章 函数 3.1 函数的概念与性质 3.1.1 函数及其表示方法 第 1 课时 函数的概念 课后· 1.下列函数中,与函数 y=x 为同一个函数的是( ) A.y=(√𝑥) 2 B.y=√𝑥 2 C.y= 𝑥 𝑥 2 D.y=√x 3 3 解析:函数 y=x 的定义域为 R;y=(√𝑥) 2 的定义域为[0,+∞); y= 𝑥 𝑥 2的定义域为(-∞,0) ∪(0,+∞),故选项 A,C 中函数的定义域与 y=x 不同;y=√𝑥 2=|x|,与 y=x 的对应关系 不同;y=√𝑥 3 3=x,且定义域为 R.故选 D. 答案:D 2.已知 f(x)=2,则 f(4)=( ) A.4 B.3 C.2 D.1 解析:由函数解析式可知该函数为常数函数,因此自变量取任意实数时函数值不 变,均为 2,故 f(4)=2. 答案:C 3.对于函数 y=f(x),下列说法正确的有( ) ①y 是 x 的函数; ②对于不同的 x,y 的值一定不同; ③f(a)表示当 x=a 时函数 f(x)的值; ④在函数的定义中,集合 B 就是函数的值域. A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 解析:①③正确. 答案:B 4.下列图形可以表示以 M={x|0≤x≤1}为定义域,N={y|0≤y≤1}为值域的函数的 图象的是( )
解析：A中的值域不是[0,1]，B中的定义域不是[0,1]，D中的图形不是函数的图象 答案：C 5.下列各组中的两个函数为同一个函数的是() Ax)=Vx+I·Vx-Igx)=√x+1x-1 Bx)=(V2x-5}gx)=2x-5 C)￥s)器 D&0-(偏 解析：A中x)=Vx+IVxI的定义域为{xr≥1}gx)=√x+1x-1)的定义域为 {xk≥1或x≤-1}，它们的定义域不同，不是同一个函数；B中x)=(V2x-52的定义 城为{xx≥引}g)=2x5的定义城为R,它们的定义城不同，不是同一个函数C 中)与8)的对应关系不同，不是同一个函数D中-=>0) 与r)-(月) =(>0)的定义域与对应关系都相同，它们是同一个函数 答案D 6.下列函数中，不满足2x)=2x)的是() A.fx)=xl B.x)=x-x C.fx)=x+1 D.Ax)=-x 解析：对于Cx)=x+1. .2x)=2x+1,2jx)=2x+2 .2x)2x),故选C. 答案C 7.若函数x)=ax2-1,a为正实数，且(-1)=-1，则a的值是( A.1 B.0 C.-1 D.2 解析：.-1)=a(-1)2-1=a-1-1)=a(a-12-1=a3-2a2+a-1=-1, ∴.a3-2a2+a=0,解得a=1或a=0(舍去) 答案：A 8.己知x)=2x-5,若a=1,则实数a的值为 解析：因为x)=2x-5a)=1,所以2a-5=1,解得a=3 答案3 9设x)=:1则2 解析：2)器 ⑨=13② +5…7 答案1
解析:A 中的值域不是[0,1],B 中的定义域不是[0,1],D 中的图形不是函数的图象. 答案:C 5.下列各组中的两个函数为同一个函数的是( ) A.f(x)=√𝑥 + 1 · √𝑥-1,g(x)=√(𝑥 + 1)(𝑥-1) B.f(x)=(√2𝑥-5) 2 ,g(x)=2x-5 C.f(x)= 1-𝑥 𝑥 2 +1 ,g(x)= 1+𝑥 𝑥 2 +1 D.f(x)= (√𝑥) 4 𝑥 ,g(t)=( 𝑡 √𝑡 ) 2 解析:A 中,f(x)=√𝑥 + 1 · √𝑥-1的定义域为{x|x≥1},g(x)=√(𝑥 + 1)(𝑥-1)的定义域为 {x|x≥1 或 x≤-1},它们的定义域不同,不是同一个函数;B 中,f(x)=(√2𝑥-5) 2 的定义 域为{𝑥 |𝑥 ≥ 5 2 },g(x)=2x-5 的定义域为 R,它们的定义域不同,不是同一个函数;C 中,f(x)= 1-𝑥 𝑥 2 +1与 g(x)= 1+𝑥 𝑥 2 +1的对应关系不同,不是同一个函数;D 中,f(x)= (√𝑥) 4 𝑥 =x(x>0) 与 g(x)=( 𝑡 √𝑡 ) 2 =t(t>0)的定义域与对应关系都相同,它们是同一个函数. 答案:D 6.下列函数中,不满足 f(2x)=2f(x)的是( ) A.f(x)=|x| B.f(x)=x-|x| C.f(x)=x+1 D.f(x)=-x 解析:对于 C,f(x)=x+1. ∵f(2x)=2x+1,2f(x)=2x+2, ∴f(2x)≠2f(x),故选 C. 答案:C 7.若函数 f(x)=ax2 -1,a 为正实数,且 f(f(-1))=-1,则 a 的值是( ) A.1 B.0 C.-1 D.2 解析:∵f(-1)=a·(-1)2 -1=a-1,f(f(-1))=a·(a-1)2 -1=a3 -2a 2+a-1=-1, ∴a 3 -2a 2+a=0,解得 a=1 或 a=0(舍去). 答案:A 8.已知 f(x)=2x-5,若 f(a)=1,则实数 a 的值为 . 解析:因为 f(x)=2x-5,f(a)=1,所以 2a-5=1,解得 a=3. 答案:3 9.设 f(x)= 𝑥 2 -1 𝑥 2 +1 ,则 𝑓(2) 𝑓( 1 2 ) = . 解析:∵f(2)= 2 2 -1 2 2 +1 = 3 5 , f( 1 2 ) = ( 1 2 ) 2 -1 ( 1 2 ) 2 +1 =- 3 5 ,∴ 𝑓(2) 𝑓( 1 2 ) =-1. 答案:-1
10.已知函数x)的定义域为-2,6]，在同一平面直角坐标系中，函数x)的图象与直 线x=5的交点个数是 答案1 11.己知x)=2x-1,g(x)=x2,则g2)1)= 解析：因为2)1=2×2-1-1=2 所以g2)1)=g(2)=22=4. 答案4 12.设集合A={x-2≤x≤4}，B={x-5≤x≤5).若使对应关系f为定义在集合A上的 一个函数，则∫可以是 (写出一个即可) 解析：由函数的定义可知，对应关系∫可以是“加1”或“减1等 答案加1（或减1等）答案不唯一) 13已知函数号 (1)求2)：(2)求1)以 解0)授2)=号 an带=--3-目 14己已知函数)千 )求2)f的值： 2求证x)+得是定值 3)求21)+2)+f()t3)+得)+…+2019)+(2+2020)+(20)的值 (解：因为) 所以2)+)= ®江明用=品+蜀-岳京=兴天文在 x2 3)解：由2)扣)+/)=l, 则1)+1)=12)+/)=1， 3)+)=14)+)=1, 2020)+(2)=1, 所以21+2+)3)+)++2019+(+2020+()-2020
10.已知函数 f(x)的定义域为[-2,6],在同一平面直角坐标系中,函数 f(x)的图象与直 线 x=5 的交点个数是 . 答案:1 11.已知 f(x)=2x-1,g(x)=x2 ,则 g(f(2)-1)= . 解析:因为 f(2)-1=2×2-1-1=2, 所以 g(f(2)-1)=g(2)=2 2=4. 答案:4 12.设集合 A={x|-2≤x≤4},B={x|-5≤x≤5}.若使对应关系 f 为定义在集合 A 上的 一个函数,则 f 可以是 .(写出一个即可) 解析:由函数的定义可知,对应关系 f 可以是“加 1”或“减 1”等. 答案:加 1(或减 1 等)(答案不唯一) 13.已知函数 f(x)= 𝑥+1 𝑥+2 . (1)求 f(2);(2)求 f(f(1)). 解:(1)∵f(x)= 𝑥+1 𝑥+2 ,∴f(2)= 2+1 2+2 = 3 4 . (2)f(1)= 1+1 1+2 = 2 3 ,f(f(1))=f( 2 3 ) = 2 3 +1 2 3 +2 = 5 8 . 14.已知函数 f(x)= 𝑥 2 1+𝑥 2 . (1)求 f(2)+f ( 1 2 )的值; (2)求证:f(x)+f( 1 𝑥 )是定值; (3)求 2f(1)+f(2)+f ( 1 2 )+f(3)+f( 1 3 )+…+f(2 019)+f( 1 2 019)+f(2 020)+f( 1 2 020 )的值. (1)解:因为 f(x)= 𝑥 2 1+𝑥 2 , 所以 f(2)+f( 1 2 ) = 2 2 1+2 2 + ( 1 2 ) 2 1+( 1 2 ) 2=1. (2)证明:f(x)+f( 1 𝑥 ) = 𝑥 2 1+𝑥 2 + ( 1 𝑥 ) 2 1+( 1 𝑥 ) 2 = 𝑥 2 1+𝑥 2 + 1 𝑥 2 +1 = 𝑥 2 +1 𝑥 2 +1 =1,是定值. (3)解:由(2)知,f(x)+f( 1 𝑥 )=1, 则 f(1)+f(1)=1,f(2)+f( 1 2 )=1, f(3)+f( 1 3 )=1,f(4)+f( 1 4 )=1, …, f(2 020)+f( 1 2 020)=1, 所以 2f(1)+f(2)+f( 1 2 )+f(3)+f( 1 3 )+…+f(2 019)+f( 1 2 019 )+ f(2 020)+f( 1 2 020)=2 020