第3课时函数的平均变化率 课后·训练提升 基础巩固 1.函数y=x)=3x+4在区间[-1,2]上的平均变化率为( A.3 B.-3 C.4 D.-4 解析义=2f四-3×2+-3x1+=3. 2-(-1) 2-(-1) 答案：A 2.下列函数在区间3，上的平均变化率大于零的是( Ay=-3x+2 B.y=x2-1 C.y=-2x2+x D.y=-x2+2x 解析：四个函数中，只有y=2+2x在区间[3，引是增函数，所以它在区间[3，引上 的平均变化率大于零 答案D 3.某学生离开家去学校，为了锻炼身体，开始跑步前进，跑累了再走余下的路程.图 中d轴表示离学校的距离，1轴表示所用的时间，则符合该学生走法的只可能是 () ☑☑ 解析：当=0时，学生在家，离学校的距离d0,因此排除A,C,学生先跑后走，因此d 随1的变化是先快后慢，故选D 答案D 4.已知三个函数的图象如图所示，则在区间[α，b]上平均变化率最大的是( y yi=kx+b y2=k2x+b2 y3=kx+b A.y1=kix+b1 B.y2=k2x+b2 C.y3=k3x+b3 D.不能确定 解析：由图象可知，直线y1=k1x+b1最陡峭，所以其斜率最大，在区间[a,b]上的平均变 化率也最大」 答案：A 5.向高为H的水瓶中注水，注满为止.如果注水量V与水深h的函数关系的图象如 图所示，那么水瓶的形状是()
第 3 课时 函数的平均变化率 课后· 基础巩固 1.函数 y=f(x)=3x+4 在区间[-1,2]上的平均变化率为( ) A.3 B.-3 C.4 D.-4 解析: Δ𝑦 Δ𝑥 = 𝑓(2)-𝑓(-1) 2-(-1) = (3×2+4)-[3×(-1)+4] 2-(-1) =3. 答案:A 2.下列函数在区间[-3, 1 2 ]上的平均变化率大于零的是( ) A.y=-3x+2 B.y=x2 -1 C.y=-2x 2+x D.y=-x 2+2x 解析:四个函数中,只有 y=-x 2+2x 在区间[-3, 1 2 ]上是增函数,所以它在区间[-3, 1 2 ]上 的平均变化率大于零. 答案:D 3.某学生离开家去学校,为了锻炼身体,开始跑步前进,跑累了再走余下的路程.图 中 d 轴表示离学校的距离,t 轴表示所用的时间,则符合该学生走法的只可能是 ( ) 解析:当 t=0 时,学生在家,离学校的距离 d≠0,因此排除 A,C;学生先跑后走,因此 d 随 t 的变化是先快后慢,故选 D. 答案:D 4.已知三个函数的图象如图所示,则在区间[a,b]上平均变化率最大的是( ) A.y1=k1x+b1 B.y2=k2x+b2 C.y3=k3x+b3 D.不能确定 解析:由图象可知,直线 y1=k1x+b1 最陡峭,所以其斜率最大,在区间[a,b]上的平均变 化率也最大. 答案:A 5.向高为 H 的水瓶中注水,注满为止.如果注水量 V 与水深 h 的函数关系的图象如 图所示,那么水瓶的形状是( )
0 解析：由图象可知，对于固定的△，△V越来越小，因此水瓶的形状应该是选项B中 的容器 答案B 6.若A(2,3),B(1,5),C(-1,a)三点共线，则实数a= 解析：由题意可知3=-5解得a=9. 1.2 .1.13 答案9 7.某工厂8年来某种产品的总产量C与时间（单位：年）的函数关系如图所示 0 8t/年 以下四种说法： ①前三年产量增长的速度越来越快： ②前三年产量增长的速度越来越慢； ③第三年后这种产品停止生产； ④第三年后产量匀速增加 其中正确的是 (填序号) 解析：当1∈[0,3]时，由图象可以看出对于固定的△，随着1的增加，△C越来越小，反 映了C随时间的变化而逐渐增长但速度越来越慢.当t∈[3,8]时，总产量C没有变 化，即第三年后停产，所以②③正确 答案：②③ 8.求证：函数y=x)=V2x-1在区间服，+∞)内是增函数 证明：设x2,则=f △x X2-X1 =22 X2-X1 _（W2x2i-√2x1i(√2x2i+2x (x2-x1)(√2x2-1+√2x11 V2x21+√2x11 当x1∈服+0时V2x2+V2x1i>0, 从而>0，因此x)在区间}，+0)内是增函数
解析:由图象可知,对于固定的 Δh,ΔV 越来越小,因此水瓶的形状应该是选项 B 中 的容器. 答案:B 6.若 A(2,3),B(1,5),C(-1,a)三点共线,则实数 a= . 解析:由题意可知5-3 1-2 = 𝑎-5 -1-1 ,解得 a=9. 答案:9 7.某工厂 8 年来某种产品的总产量 C 与时间 t(单位:年)的函数关系如图所示. 以下四种说法: ①前三年产量增长的速度越来越快; ②前三年产量增长的速度越来越慢; ③第三年后这种产品停止生产; ④第三年后产量匀速增加. 其中正确的是 .(填序号) 解析:当 t∈[0,3]时,由图象可以看出对于固定的 Δt,随着 t 的增加,ΔC 越来越小,反 映了 C 随时间的变化而逐渐增长但速度越来越慢.当 t∈[3,8]时,总产量 C 没有变 化,即第三年后停产,所以②③正确. 答案:②③ 8.求证:函数 y=f(x)=√2𝑥-1在区间[ 1 2 , + ∞)内是增函数. 证明:设 x1≠x2,则 Δ𝑦 Δ𝑥 = 𝑓(𝑥2 )-𝑓(𝑥1 ) 𝑥2 -𝑥1 = √2𝑥2 -1-√2𝑥1 -1 𝑥2 -𝑥1 = (√2𝑥2 -1-√2𝑥1 -1)(√2𝑥2 -1+√2𝑥1 -1) (𝑥2 -𝑥1 )(√2𝑥2 -1+√2𝑥1 -1) = 2 √2𝑥2 -1+√2𝑥1 -1 . 当 x1,x2∈[ 1 2 , + ∞)时,√2𝑥2 -1 + √2𝑥1 -1>0, 从而Δ𝑦 Δ𝑥 >0,因此 f(x)在区间[ 1 2 , + ∞)内是增函数
9已知函数)2京 (1)求函数x)的单调区间； (2当x∈B,引时，求函数x)的值域 解(1)函数x)的定义域为(0,0)U(0,2)U(2,+0) 1 设，则是= 2x2-x22x1-x1 X1+x22 x2-X1 X2-X1 (2x2-x号2x1x 当1,2∈(-o,0)U(0,1)时义0时，对于固定的△1，随着1的增加，△S越来越大，故选B
9.已知函数 y=f(x)= 1 2𝑥-𝑥 2 . (1)求函数 f(x)的单调区间; (2)当 x∈[ 1 2 , 3 2 ]时,求函数 f(x)的值域. 解:(1)函数 f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,2)∪(2,+∞). 设 x1≠x2,则 Δ𝑦 Δ𝑥 = 𝑓(𝑥2 )-𝑓(𝑥1 ) 𝑥2 -𝑥1 = 1 2𝑥2-𝑥2 2 - 1 2𝑥1-𝑥1 2 𝑥2 -𝑥1 = 𝑥1+𝑥2 -2 (2𝑥2 -𝑥2 2 )(2𝑥1 -𝑥1 2 ) , 当 x1,x2∈(-∞,0)∪(0,1)时, Δ𝑦 Δ𝑥 0, 所以 f(x)的单调递增区间是(1,2),(2,+∞). (2)由(1)知,f(x)在区间[ 1 2 ,1]上单调递减,在区间[1, 3 2 ]上单调递增, 所以 f(x)的最小值为 f(1)=1; 又 f( 1 2 )=f( 3 2 ) = 4 3 ,所以 f(x)的最大值为4 3 . 所以函数 f(x)的值域为[1, 4 3 ]. 拓展提高 1.在函数 y=|x|(x∈[-1,1])的图象上有一点 P(t,|t|),此函数的图象与 x 轴、直线 x=- 1 及 x=t 围成图形(如图阴影部分)的面积为 S,则 S 与 t 的函数关系图象可表示为 ( ) 解析:(方法一)由题图可知,当-1≤t0 时,对于固定的 Δt,随着 t 的增加,ΔS 越来越大,故选 B
(方法二)当1≤K0时，5-二所以图象是开口向下的抛物线的相应部分，项点坐 标是(0，引当1≥0时，S+二开口是向上的抛物线的相应部分，顶，点坐标是 (0,》所以B满足要求 答案B 2.观察统计图，根据此图得到的以下说法中，正确的个数是( y 生活费收入指数 120 115. 110 105 生活价格指数 100 2015201620172018 ①这几年生活水平逐年得到提高： ②生活费收入指数增长最快的一年是2015年； ③生活价格指数上涨速度最快的一年是2016年； ④虽然2017年生活费收入增长缓慢，但生活价格指数也略有降低，因而生活水平 有较大的改善。 A.1 B.2 C.3 D.4 解析：由题意知，“生活费收入指数”与“生活价格指数”的差是逐年增大的，故①正 确：“生活费收入指数”在2015-2016年最陡：故②正确，“生活价格指数”在 2016-2017年较平缓，故③不正确：2017年“生活价格指数”略有下降，而“生活费收 入指数”呈上升趋势，故④正确」 答案：C 3.如图，向放在水槽底部的烧杯注水（流量一定），注满烧杯后，继续注水，直至注满水 槽，水槽中水面上升高度h与注水时间1之间的函数关系大致是下列图象中的 () ∠∠ B 解析：开始一段时间，水槽底部没有水，烧杯满了之后，水槽中水面上升先快后慢，与 B图象相吻合 答案B 4.己知一次函数y=(k+1)x+k在R上是增函数，且其图象与x轴的正半轴相交，则k 的取值范围是
(方法二)当-1≤t0 时,S=1 2 + 𝑡 2 2 ,开口是向上的抛物线的相应部分,顶点坐标是 (0, 1 2 ).所以 B 满足要求. 答案:B 2.观察统计图,根据此图得到的以下说法中,正确的个数是( ) ①这几年生活水平逐年得到提高; ②生活费收入指数增长最快的一年是 2015 年; ③生活价格指数上涨速度最快的一年是 2016 年; ④虽然 2017 年生活费收入增长缓慢,但生活价格指数也略有降低,因而生活水平 有较大的改善. A.1 B.2 C.3 D.4 解析:由题意知,“生活费收入指数”与“生活价格指数”的差是逐年增大的,故①正 确;“生活费收入指数”在 2015~2016 年最陡;故②正确;“生活价格指数”在 2016~2017 年较平缓,故③不正确;2017 年“生活价格指数”略有下降,而“生活费收 入指数”呈上升趋势,故④正确. 答案:C 3.如图,向放在水槽底部的烧杯注水(流量一定),注满烧杯后,继续注水,直至注满水 槽,水槽中水面上升高度 h 与注水时间 t 之间的函数关系大致是下列图象中的 ( ) 解析:开始一段时间,水槽底部没有水,烧杯满了之后,水槽中水面上升先快后慢,与 B 图象相吻合. 答案:B 4.已知一次函数 y=(k+1)x+k 在 R 上是增函数,且其图象与 x 轴的正半轴相交,则 k 的取值范围是
k+1>0, 解析：依题意得 ÷>0, 解得-10 ④若x10. f(x)-f(x2) 其中不正确的是 (填序号) 解析：因为函数x)在区间[a,b上是增函数，所以函数x)在区间[a,b]上的平均变化 率大于零，所以①③⑤都正确，②错误，④中应为若x10. 设x1,2∈[a,b],且x1fx2 则装==红=-k兴 2x1 X2-X1 x2-X1 因为k0，所以ky0,且x)在区间(1，+o)内单调递减，求实数a的取值范围 （1证明：当a=-2时)2
解析:依题意得{ 𝑘 + 1 > 0, -𝑘 𝑘+1 > 0, 解得-10; ② 𝑓(𝑥1 )-𝑓(𝑥2 ) 𝑥1 -𝑥2 0; ④若 x10. 其中不正确的是 .(填序号) 解析:因为函数 f(x)在区间[a,b]上是增函数,所以函数 f(x)在区间[a,b]上的平均变化 率大于零,所以①③⑤都正确,②错误,④中应为若 x10. 设 x1,x2∈[a,b],且 x1≠x2, 则 Δ𝑡 Δ𝑥 = 𝑔(𝑥2 )-𝑔(𝑥1 ) 𝑥2 -𝑥1 = 𝑘𝑓(𝑥2 )-𝑘𝑓(𝑥1 ) 𝑥2 -𝑥1 = 𝑘[𝑓(𝑥2 )-𝑓(𝑥1 )] 𝑥2 -𝑥1 =k· Δ𝑦 Δ𝑥 . 因为 k0,所以 k· Δ𝑦 Δ𝑥 0,且 f(x)在区间(1,+∞)内单调递减,求实数 a 的取值范围. (1)证明:当 a=-2 时,f(x)= 𝑥 𝑥+2
X2 X1 设x1,2∈(-0,2)，且x1≠2，则义==22起 2 Ax X2-X1 X2-X1 (x1+2(x2+2) 因为x1+2+2>0,从而兴0，因此x)在区间(-02)内是增函数 2)解w)=a-l+aa 当a>0时，x)只有单调递减区间(-oo,a)和(a,+o), 要使x)在区间(1，+o)上单调递减，则实数a需满足0<a≤1，即实数a的取值范围 是(0,1]
设 x1,x2∈(-∞,-2),且 x1≠x2,则 Δ𝑦 Δ𝑥 = 𝑓(𝑥2 )-𝑓(𝑥1 ) 𝑥2 -𝑥1 = 𝑥2 𝑥2+2 - 𝑥1 𝑥1+2 𝑥2 -𝑥1 = 2 (𝑥1 +2)(𝑥2 +2) . 因为(x1+2)(x2+2)>0,从而Δ𝑦 Δ𝑥 >0,因此 f(x)在区间(-∞,-2)内是增函数. (2)解:f(x)= 𝑥 𝑥-𝑎 =1+ 𝑎 𝑥-𝑎 (x≠a). 当 a>0 时,f(x)只有单调递减区间(-∞,a)和(a,+∞), 要使 f(x)在区间(1,+∞)上单调递减,则实数 a 需满足 0<a≤1,即实数 a 的取值范围 是(0,1]