第二章测评 (时间:120分钟满分:150分) 一、选择题(每小题5分,共60分) 1.下列命题不一定成立的是( A.a+m=b+m→a=b B.am=bm→a=b C.a=Ba=b mm D.a=b-→am=bm 答案B 2.下列式子是恒等式的是( Ax2-1=3 B.m=1 C.0×n=0 D.a2+b2≥2ab 答案:C 3.将式子3x2+11x+6进行因式分解,正确的结果是( A.(3x+2)x+3) B.(3x-2)x-3) C.(3x-2)x+3) D.(3x+1)x+6) 答案:A 4.方程x2+1=-x的解集为( A.0 B.R c D.{0,1} 答案:A 5.已知4={x2-2x>0},B={x1} D.{xx2或x1} 答案:C 6.若关于x的方程3x2+mx+1=0的两根分别是n,则m,n的值分别为( A.4,-1 B.4,1 C.-4,1 D.4,-1 -+n=.m 解析:由题意,得 3 解得m=4, ()×n=5 ln=-1 答案:A
第二章测评 (时间:120 分钟 满分:150 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1.下列命题不一定成立的是( ) A.a+m=b+m⇒a=b B.am=bm⇒a=b C. 𝑎 𝑚 = 𝑏 𝑚 ⇒a=b D.a=b⇒am=bm 答案:B 2.下列式子是恒等式的是( ) A.x 2 -1=3 B.m=1 C.0×n=0 D.a 2+b2≥2ab 答案:C 3.将式子 3x 2+11x+6 进行因式分解,正确的结果是( ) A.(3x+2)(x+3) B.(3x-2)(x-3) C.(3x-2)(x+3) D.(3x+1)(x+6) 答案:A 4.方程 x 2+1=-x 的解集为( ) A.⌀ B.R C.{ -1+√3 2 , -1-√3 2 } D.{0,1} 答案:A 5.已知 A={x|x2 -2x>0},B={𝑥 | 𝑥-3 𝑥-1 1} D.{x|x2 或 x1}. 答案:C 6.若关于 x 的方程 3x 2+mx+1=0 的两根分别是- 1 3 ,n,则 m,n 的值分别为( ) A.4,-1 B.4,1 C.-4,1 D.-4,-1 解析:由题意,得{ - 1 3 + 𝑛 = - 𝑚 3 , (- 1 3 ) × 𝑛 = 1 3 , 解得{ 𝑚 = 4, 𝑛 = -1. 答案:A
7方程组侧一子的解集为机 A.{(2,-3)} B.{2,-3),(-2,-7)} C.{2,3),(-2,7)} D.o 解桥由侧5母代-名x化子 故原方程组的解集为{(2,-3),(-2,-7)} 答案B 8.下列命题中真命题的个数是() ①若x>y>z,则y>bz ②若a>b,c>d.abcd4-0,则>是 ③若b,则2>= a-1 A.1 B.2 C.3 D.4 解析:当y=0时,①不成立;当a=1,b=-2,c=-1,d=-2时,满足a>b,c>d,但21或a 当aa-l0,即01+a2 (x<2a+4, 由题意可得1+a2<2a+4,即a2-2a-3<0, 解得-1<a<3,故选A
7.方程组{ |𝑥| = 2, 𝑥-𝑦 = 5 的解集为( ) A.{(2,-3)} B.{(2,-3),(-2,-7)} C.{(2,3),(-2,7)} D.⌀ 解析:由{ |𝑥| = 2, 𝑥-𝑦 = 5 得 { 𝑥 = 2, 𝑦 = -3 或 { 𝑥 = -2, 𝑦 = -7. 故原方程组的解集为{(2,-3),(-2,-7)}. 答案:B 8.下列命题中真命题的个数是( ) ①若 x>y>z,则|xy|>|yz|; ②若 a>b,c>d,abcd≠0,则 𝑎 𝑐 > 𝑏 𝑑 ; ③若 1 𝑎 b,则 𝑏 𝑎 > 𝑏-1 𝑎-1 . A.1 B.2 C.3 D.4 解析:当 y=0 时,①不成立;当 a=1,b=-2,c=-1,d=-2 时,满足 a>b,c>d,但 𝑎 𝑐 b,∴a-b>0,当 a(a-1)>0,即 a>1 或 a0,此时𝑏 𝑎 > 𝑏-1 𝑎-1 ; 当 a(a-1) 𝑎 2 , 𝑥-4 1 + 𝑎 2 , 𝑥 < 2𝑎 + 4, 由题意可得 1+a2<2a+4,即 a 2 -2a-3<0, 解得-1<a<3,故选 A
答案A 11.对任意实数x,不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4a2>a3>0,则使得(1-ax20,∴这个不等式可以化为x(x)<0, 0<r号 若二取最小,则a应取最大,因此0<x<二,故选B. ai 答案B 二、填空题(每小题5分,共20分) 13.不等式2-3x<1的解集为 解析:由3x-2<1,得-1<3x-2<1,解得<x<1 答案((G,1) 14.对于实数x,当且仅当n≤x<n+1(n∈N)时,规定[x]=n,则不等式4[x]P 36[x]+45<0的解集是 解析:由4[x]2-36[x+45<0, 得<xK5,则2≤x<8, 答案:2,8)
答案:A 11.对任意实数 x,不等式(a-2)x 2+2(a-2)x-4a2>a3>0,则使得(1-aix) 20,∴这个不等式可以化为 x(𝑥- 2 𝑎𝑖 )<0, ∴0<x<2 𝑎𝑖 . 若 2 𝑎𝑖 取最小,则 ai 应取最大,因此 0<x< 2 𝑎1 ,故选 B. 答案:B 二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13.不等式|2-3x|<1 的解集为 . 解析:由|3x-2|<1,得-1<3x-2<1,解得1 3 <x<1. 答案:( 1 3 ,1) 14.对于实数 x,当且仅当 n≤x<n+1(n∈N)时,规定[x]=n,则不等式 4[x] 2 - 36[x]+45<0 的解集是 . 解析:由 4[x] 2 -36[x]+45<0, 得 3 2 <[x]< 15 2 ,则 2≤x<8. 答案:[2,8)
15.己知ab是正实数且a+b=l,则下列不等式①ab≤号②ab+品之兴③Va+ V历≤V2,④片+元≥2V2中,恒成立的有 (填序号) 解析:.a,b均为正实数,a+b=1, ∴ab≤(()2=ab+品≥兴(Wa+V3=a+b+2a西≤a+b+a+h=2 ∴√a+√b≤√瓦,故①②③正确 +六=尝+器=+台+元22侣元=+V2当且仅当公=28时等号 2b 成立) ④不正确, 答案:①②③ 16若abh∈Rab0则B的最小值为 解析+h+1≥4a+1=4ab+二≥2V4=4,当且仅当a2=2b2且4b=二时,等号成 ab ab ab ab 立 答案:4 三、解答题(共70分) 17.(10分)已知一元二次方程x2+mx+n=0(m,n∈R)的解集为{-1,2},求方程组 区+my二5的解集 (nx+y=3 解:,-1和2是方程x2+mx+n=0的两根, 2%贤过 一份+5-3化 (y=-13 ∴.原方程组的解集为{(-8,-13)} 18.(10分1)已知数轴上,A(-2),Bx),C(6),D(7).若线段BC的中点M到点A的距离 小于线段AD的长,求x的取值范围: (2)若对于任意x,x-2+x+2≥a2+3a恒成立,求实数a的取值范围. 解0)迪题意,得-(2<2-7八 即作+59,解得-28<x<8 故x的取值范围是(-28,8) (2)由绝对值的几何意义知x-2+x+2的最小值为4,.a2+3a≤4,即a2+3a-4≤0,解 得-4≤a≤1. 故a的取值范围是[4,1] 19.(12分)已知二次函数y=x2+2x+c(c∈R)的图象过点(1,3), (1)求出此函数表达式, (2)求方程x2+2x+c=0的解集
15.已知 a,b 是正实数,且 a+b=1,则下列不等式:①ab≤ 1 4 ;②ab+ 1 𝑎𝑏 ≥ 17 4 ;③√𝑎 + √𝑏 ≤ √2;④ 1 𝑎 + 1 2𝑏 ≥2√2中,恒成立的有 .(填序号) 解析:∵a,b 均为正实数,a+b=1, ∴ab≤( 𝑎+𝑏 2 ) 2 = 1 4 ,ab+ 1 𝑎𝑏 ≥ 17 4 ,(√𝑎 + √𝑏) 2=a+b+2√𝑎𝑏≤a+b+a+b=2, ∴√𝑎 + √𝑏 ≤ √2,故①②③正确. ∵ 1 𝑎 + 1 2𝑏 = 𝑎+𝑏 𝑎 + 𝑎+𝑏 2𝑏 = 3 2 + 𝑏 𝑎 + 𝑎 2𝑏 ≥ 3 2 +2√ 𝑏 𝑎 · 𝑎 2𝑏 = 3 2 + √2(当且仅当 a 2=2b 2 时等号 成立), ∴④不正确. 答案:①②③ 16.若 a,b∈R,ab>0,则 𝑎 4 +4𝑏 4+1 𝑎𝑏 的最小值为 . 解析: 𝑎 4 +4𝑏 4+1 𝑎𝑏 ≥ 4𝑎 2 𝑏 2+1 𝑎𝑏 =4ab+ 1 𝑎𝑏 ≥2√4=4,当且仅当 a 2=2b 2 且 4ab= 1 𝑎𝑏时,等号成 立. 答案:4 三、解答题(共 70 分) 17.(10 分)已知一元二次方程 x 2+mx+n=0(m,n∈R)的解集为{-1,2},求方程组 { 𝑥 + 𝑚𝑦 = 5, 𝑛𝑥 + 𝑦 = 3 的解集. 解:∵-1 和 2 是方程 x 2+mx+n=0 的两根, ∴{ -1 + 2 = -𝑚, (-1) × 2 = 𝑛, ∴ { 𝑚 = -1, 𝑛 = -2, ∴{ 𝑥-𝑦 = 5, -2𝑥 + 𝑦 = 3, 解得{ 𝑥 = -8, 𝑦 = -13. ∴原方程组的解集为{(-8,-13)}. 18.(10 分)(1)已知数轴上,A(-2),B(x),C(6),D(7).若线段 BC 的中点 M 到点 A 的距离 小于线段 AD 的长,求 x 的取值范围; (2)若对于任意 x,|x-2|+|x+2|≥a 2+3a 恒成立,求实数 a 的取值范围. 解:(1)由题意,得| 𝑥+6 2 -(-2)|<|-2-7|, 即| 𝑥 2 + 5|<9,解得-28<x<8. 故 x 的取值范围是(-28,8). (2)由绝对值的几何意义知|x-2|+|x+2|的最小值为 4,∴a 2+3a≤4,即 a 2+3a-4≤0,解 得-4≤a≤1. 故 a 的取值范围是[-4,1]. 19.(12 分)已知二次函数 y=x2+2x+c(c∈R)的图象过点(1,3). (1)求出此函数表达式; (2)求方程 x 2+2x+c=0 的解集;
(3)解不等式x2+2x+cavb+bva 证明:.'(ava+bWb)-(aWb+b√a =√a(a-b)+vb(b-a) =(√a-√b(a-b) =(Va-VBy(Va+VB). ,'a,b∈(0,+∞),且a≠b ∴√a+√b>0,(a-vb2>0 ..(Va-Vb)2(Va+Vb)>0, ∴.ava+bvb>aVb+bva. 21.(12分)某种商品原来每件售价为25元,年销售8万件 (1)据市场调查,若价格每提高1元,销售量将相应减少2000件.要使销售的总收 入不低于原收入,该商品每件定价最多为多少元? (2)为了扩大该商品的影响力,提高年销售量,公司决定明年对该商品进行全面技 术革新和营销策略改革,并提高定价到x元.公司拟投入(x2-600)万元作为技改费 用,投入50万元作为固定宣传费用,投入x万元作为浮动宣传费用试问:当该商品 明年的销售量α至少应达到多少万件时,才可能使明年的销售收入不低于原收入 与总投入之和?并求出此时商品的每件定价. 解(1)设每件定价为1元 由题意,得(8×0.2)≥25×8, 即2-651+1000≤0,解得25≤1≤40. 故要使销售的总收入不低于原收入,该商品每件定价最多为40元 (2)由题意,得当x>25时,不等式ax≥25×8+50+x2-600)+有解, 等价于当x25时,≥2++号有解 :2+2≥2吧名x=10当且仅当x=30时,等号成立, .a≥10.2
(3)解不等式 x 2+2x+ca√𝑏+b√𝑎. 证明:∵(a√𝑎+b√𝑏)-(a√𝑏+b√𝑎) =√𝑎(a-b)+√𝑏(b-a) =(√𝑎 − √𝑏)(a-b) =(√𝑎 − √𝑏) 2 (√𝑎 + √𝑏). ∵a,b∈(0,+∞),且 a≠b, ∴√𝑎 + √𝑏>0,(√𝑎 − √𝑏) 2>0, ∴(√𝑎 − √𝑏) 2 (√𝑎 + √𝑏)>0, ∴a√𝑎+b√𝑏>a√𝑏+b√𝑎. 21.(12 分)某种商品原来每件售价为 25 元,年销售 8 万件. (1)据市场调查,若价格每提高 1 元,销售量将相应减少 2 000 件.要使销售的总收 入不低于原收入,该商品每件定价最多为多少元? (2)为了扩大该商品的影响力,提高年销售量,公司决定明年对该商品进行全面技 术革新和营销策略改革,并提高定价到 x 元.公司拟投入1 6 (x 2 -600)万元作为技改费 用,投入 50 万元作为固定宣传费用,投入1 5 x 万元作为浮动宣传费用.试问:当该商品 明年的销售量 a 至少应达到多少万件时,才可能使明年的销售收入不低于原收入 与总投入之和?并求出此时商品的每件定价. 解:(1)设每件定价为 t 元, 由题意,得(8- 𝑡-25 1 × 0.2)t≥25×8, 即 t 2 -65t+1 000≤0,解得 25≤t≤40. 故要使销售的总收入不低于原收入,该商品每件定价最多为 40 元. (2)由题意,得当 x>25 时,不等式 ax≥25×8+50+ 1 6 (x 2 -600)+ 1 5 x 有解, 等价于当 x>25 时,a≥ 150 𝑥 + 1 6 x+1 5 有解. ∵ 150 𝑥 + 1 6 x≥2√ 150 𝑥 · 1 6 𝑥=10(当且仅当 x=30 时,等号成立), ∴a≥10.2
当该商品明年的销售量α至少达到10.2万件时,才可能使明年的销售收入不低于 原收入与总投入之和,此时该商品的每件定价为30元. 22.(14分)已知关于x的不等式(x-2-4)x-4)>0,其中k∈R (1)当k变化时,试求不等式的解集A; (2)对于不等式的解集A,若满足A∩Z=B(其中Z为整数集).试探究集合B能否为 有限集?若能,求出使得集合B中元素个数最少的k的所有取值,并用列举法表示 集合B,若不能,请说明理由 解(1)当k=0时,A=(0,4)月 当k0,且2时,A=(-o,4U(k++0))月 当k=2时,A=(-0,4)U(4,+0o 当k<0时,A=(k+4) (2)由(1)知:当k≥0时,集合B中的元素的个数无限; 当k<0时,集合B中的元素的个数有限,此时集合B为有限集 因为k+定k)+下4,当且仅当=2时,等号成立, 所以当k=-2时,集合B的元素个数最少 此时A=(4,4),故集合B={-3,-2,-1,0,1,2,3}
当该商品明年的销售量 a 至少达到 10.2 万件时,才可能使明年的销售收入不低于 原收入与总投入之和,此时该商品的每件定价为 30 元. 22.(14 分)已知关于 x 的不等式(kx-k 2 -4)(x-4)>0,其中 k∈R. (1)当 k 变化时,试求不等式的解集 A; (2)对于不等式的解集 A,若满足 A∩Z=B(其中 Z 为整数集).试探究集合 B 能否为 有限集?若能,求出使得集合 B 中元素个数最少的 k 的所有取值,并用列举法表示 集合 B;若不能,请说明理由. 解:(1)当 k=0 时,A=(-∞,4); 当 k>0,且 k≠2 时,A=(-∞,4)∪(𝑘 + 4 𝑘 , + ∞); 当 k=2 时,A=(-∞,4)∪(4,+∞); 当 k<0 时,A=(𝑘 + 4 𝑘 ,4). (2)由(1)知:当 k≥0 时,集合 B 中的元素的个数无限; 当 k<0 时,集合 B 中的元素的个数有限,此时集合 B 为有限集. 因为 k+4 𝑘 =-[(-𝑘) + 4 -𝑘 ]≤-4,当且仅当 k=-2 时,等号成立, 所以当 k=-2 时,集合 B 的元素个数最少. 此时 A=(-4,4),故集合 B={-3,-2,-1,0,1,2,3}